河北省新时代NT教育2024-2025学年高三上学期入学摸底测试 数学

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考试说明：
1.本试卷共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填在答题卡上.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则（ ）
A -13B. 0C. D. 13
2. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知向量满足，且，则（ ）
A. -9B. -6C. 6D. 9
4. 某校高三数学老师共有20人，他们的年龄分布如下表所示：
下列说法正确的是（ ）
A. 这20人年龄的分位数的估计值是46.5
B. 这20人年龄的中位数的估计值是41
C. 这20人年龄的极差的估计值是55
D. 这20人年龄的众数的估计值是35
5. 已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C D.
6. 已知，将的图象向右平移个单位长度后得到的图象，函数的图象与y=gx的图象交点横坐标为，则最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
7. 已知正三棱台，上下底面边长分别为1和3，侧面和底面所成角为，则棱台的体积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，则（ ）
A B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，周期为，且满足，则（ ）
A.
B. 向右平移个单位变为偶函数
C. 在区间上单调递减
D. 在上有两个不相等的实数解
10. 已知曲线上的动点到点的距离与其到直线的距离相等，则（ ）
A. 曲线的轨迹方程为
B. 若为曲线上的动点，则的最小值为5
C. 过点，恰有2条直线与曲线有且只有一个公共点
D. 圆与曲线交于两点，与交于两点，则四点围成四边形的周长为12
11. 已知函数，则（ ）
A. 时，是的极大值点
B. 若存在三个零点，则
C. 当时，过点可以作的切线，有且只有一条
D. 存在，使得
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 记为等比数列的前项和，若，则__________.
13. 已知，则__________.
14. 为促进学生个性化全面发展，树人中学开设了丰富多彩的课余选课活动.已知高一年级共100人开始选课，要求没有人选到的课是一模一样的.通过选课模拟测试，发现每人选课3门，不合要求，每人选课4门，符合要求.则年级总共开设__________门课.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 的内角所对的边分别是，已知.
（1）求；
（2）若，求的面积.
16. 已知和为椭圆上的两点.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设直线与椭圆交于两点，求的取值范围.
17. 如图，在四棱锥中，等边与等边的边长均为，.

（1）若平面，求；
（2）若，求二面角的余弦值.
18. 某校社团开展知识竞赛活动，比赛有两个阶段，每队由两名成员组成.比赛规则如下：阶段由某参赛队中一名队员答2个题，若两次都未答对，则该队被淘汰，该队得0分；若至少答对一个，则该队进入阶段，并获得5分奖励.在阶段由参赛队的另一名队员答3个题，每答对一个得5分，答错得0分，该队的成绩为，两阶段的得分总和.已知某参赛队由甲乙两人组成，设甲每次答对的概率为，乙每次答对的概率为，各次答对与否相互独立.
（1）若，甲参加阶段比赛，求甲乙所在队的比赛成绩不少于10分的概率；
（2）①设甲参加阶段比赛，求该队最终得分的数学期望（用表示）；
②，且，设乙参加阶段比赛时，该队最终得分的数学期望为，则时，求的最小值.
19. 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.如图，是函数的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近的实数，在横坐标为的点处作的切线，则在处的切线与轴交点的横坐标是，同理在处的切线与轴交点的横坐标是，一直继续下去，得到数列.令.

（1）当时，用牛顿法求出方程近似解；
（2）在（1）的条件下，当时，写出与的关系式（无需证明），并求数列的通项公式；
（3）令，已知是两个正实数，且，求证：.
年龄
人数
1
2
6
5
4
2