第二十一章 一元二次方程 单元检测一（解析版）

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第二十一章 一元二次方程 单元检测一一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（    ）A． B．C． D．2．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（　　）A．(x−2)2−3=0 B．(x+4)2=15C． D．3．一元二次方程的根是（    ）A． B．C． D．4．若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为（     ）A．1 B．3 C．-1 D．-25．已知关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）A． B． C．且 D．6．李明去参加聚会，每两个人都会互相赠送礼物，他发现共送礼物30件，则共有（    ）人参加聚会．A．5 B．6 C．9 D．157．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后，共有196人患流行性感冒，则每轮传染中平均一人传染的人数是（    ）A．14 B．13 C．12 D．118．方程的两个根的和是（    ）A． B．0 C．2 D．49．利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（   ）A． B． C． D．10．关于的一元二次方程的根的情况是（　　）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根11．若方程 的两根为，，则 的值为：（   ）A．2 B． C． D．12．如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（    ）A． B．C． D．二、填空题13．一元二次方程的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 ．14．方程化为一般形式是 ．15．已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ．16．已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则 ．17．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元，若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为 ．18．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格进行两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．平均每次下调的百分率是 ．三、解答题19．用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．20．已知方程，根据下列条件之一求的值．（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程有两个相反的实数根；（3）方程的一个根为．21．已知关于的一元二次方程．(1)求证：这个一元二次方程一定有实数根；(2)设该一元二次方程的两根为，，且，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值．22．如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒．(1)无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）．(2)若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长．23．成都“蒲江猕猴桃”是维含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地年开始种植“猕猴桃”亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为．(1)求到年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？(2)市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克．①若降价元，每天能售出多少千克？（用的代数式表示）②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为10元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利元，则售价应降低多少元？24．请阅读下列解方程的过程．解：设，则原方程可变形为，解得．当时，，解得；当时，，此方程无实数根．所以原方程的解为．我们将上述解方程的方法叫做换元法．请用换元法解方程：．第二十一章 一元二次方程 单元检测一一、单选题1．下列方程是一元二次方程的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此逐项判断即可．【详解】解：A、方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故不符合题意；B、方程不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意；C、方程是一元二次方程，故符合题意；D、方程的未知数的最高次数是1，不是一元二次方程，故不符合题意；故选：C．2．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（　　）A．(x−2)2−3=0 B．(x+4)2=15C． D．【答案】A【分析】本题主要考查配方法的掌握，关键在于一次项的系数等于2倍的二次项系数和常数项的乘积，根据配方法的原理，凑成完全平方式即可．【详解】解：，配方得：，∴，故选：A．3．一元二次方程的根是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先整理确定公因式，再提出公因式，求出解即可．【详解】解：，整理，得，因式分解，得，即或，∴，．故选：B．4．若关于 的一元二次方程 有一个实数根为 ，则 的值为（     ）A．1 B．3 C．-1 D．-2【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程解的定义是解题的关键．将代入原方程即可解决问题．【详解】解：将代入原方程得，，解得．故选：A5．已知关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ）A． B． C．且 D．【答案】B【分析】求出根的判别式，根据有两个不相等的实数根列出不等式，解不等式即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，∴，即∵，当时，，即关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟记根的判别式，根据根的情况列出不等式．6．李明去参加聚会，每两个人都会互相赠送礼物，他发现共送礼物30件，则共有（    ）人参加聚会．A．5 B．6 C．9 D．15【答案】B【分析】设有n人参加聚会，则每人送出（n−1）件礼物，根据共送礼物30件，列出方程，解方程即可．【详解】解：设有n人参加聚会，则每人送出（n−1）件礼物，由题意得，n（n−1）＝30，解得：，（舍去），∴共有6人参加聚会，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．7．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后，共有196人患流行性感冒，则每轮传染中平均一人传染的人数是（    ）A．14 B．13 C．12 D．11【答案】B【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，根据经过两轮传染后患病的人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，依题意得：，解得（不合题意，舍去），故选：B．8．方程的两个根的和是（    ）A． B．0 C．2 D．4【答案】C【分析】此题主要考查了因式分解法解方程，解方程求出两个根，可得结论．正确分解因式是解题关键．【详解】解：∵，∴或，∴，，∴，故选：C．9．利用公式解可得一元二次方程式的两解为a、b，且，则a的值为（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键．利用公式法即可求解．【详解】解：，∴，，，∵一元二次方程式的两解为、，且，∴的值为．故选：A．10．关于的一元二次方程的根的情况是（　　）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．只有一个实数根【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值，即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．【详解】解：∵，∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故选：．11．若方程 的两根为，，则 的值为：（   ）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，根据方程 的两根为，得，，根据进行计算即可得；掌握一元二次方程根与系数的关系，代数式求值是解题的关键．【详解】解：∵方程 的两根为，∴，∴，故选：B．12．如图，在一块长、宽的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），水渠把耕地分成面均为的6个矩形小块，水渠应挖多宽？设水渠应挖xm宽，根据题意，可列方程（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，得到平移水渠后矩形耕地的边长及形状是解决本题的突破．把3条水渠平移到矩形耕地的一边，可得总耕地面积的形状为一个矩形，根据耕地总面积列出方程即可．【详解】解：由题意得：．故选：A．二、填空题13．一元二次方程的二次项系数是 ；一次项系数是 ；常数项是 ．【答案】 1 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式：，首先把一元二次方程化为一般形式，然后进行解答即可．【详解】解：∵∴∴二次项系数为，一次项系数为1，常数项为，故答案为：；1；．14．方程化为一般形式是 ．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，移项、去括号、合并同类项即可求解，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．【详解】解：移项得，，去括号得，，合并同类项得，，∴方程化为一般形式为，故答案为：．15．已知m是一元二次方程的一个根，则的值是 ．【答案】0【分析】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．利用一元二次方程的解的定义得到，再根据，代入求解即可求．【详解】解：是一元二次方程的一个根，即，，将代入得：原式，故答案为：0．16．已知a，b为常数，若方程的两个根与方程的两个根相同，则 ．【答案】【分析】本题主要考查了解一元二次方程-因式分解法，先求出方程的解，进而可求出的值，据此可解决问题．熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键．【详解】解：由方程得，，．因为方程的两个根与方程的两个根相同，则将代入得，，解方程得，，，所以．故答案为：．17．某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元，若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为 ．【答案】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为60−x−40=20−x元，每星期可卖出200+8x件，利用每星期的销售总利润＝每件的销售利润×每星期的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：当店主把该商品每件售价降低x元时，每件的销售利润为60−x−40=20−x元，根据题意得：．故答案为：．18．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格进行两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．平均每次下调的百分率是 ．【答案】【分析】设平均每次下调的百分率为x，根据题意列出方程求解即可．本题主要考查了一元二次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程求解是解题的关键．【详解】解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得，解得，．∵降价的百分率不可能大于1，∴不符合题意，舍去．符合题目要求的是．即：平均每次下调的百分率是．故答案为：．三、解答题19．用配方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键：（1）配方法解方程即可；（2）配方法解方程即可；（3）配方法解方程即可；（4）配方法解方程即可．【详解】（1）解：，∴；（2）∴；（3）∴；（4），∴．20．已知方程，根据下列条件之一求的值．（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程有两个相反的实数根；（3）方程的一个根为．【答案】（1），；（2）；（3）．【分析】（1）根据，得出关于的方程求出的值；（2）方程两实数根相反即两根和=0，根据根与系数的关系得出关于的方程求出的值并检验；（3）把代入原方即可求出的值．【详解】（1）∵，而方程有两个相等的实数根，∴，即，求得，；（2）因为方程有两个相反的实数根，所以两根之和为且，则，求得；（3）∵方程有一根为，∴，∴．【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，代入法求方程的解，综合性比较强.21．已知关于的一元二次方程．(1)求证：这个一元二次方程一定有实数根；(2)设该一元二次方程的两根为，，且，，分别是一个直角三角形的三边长，求的值．【答案】(1)证明见解析；(2)或．【分析】（）利用根的判别式求出即可；（）把原方程因式分解，求出方程的两个根，，分别探讨不同的数值为斜边，利用勾股定理解决问题；本题考查了根的判别式，解一元二次方程和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）证明：∵，∵，∴，∴这个一元二次方程一定有两个实数根；（2）解：原方程可变为，则方程的两根为，，∴直角三角形三边为，，；若为直角三角形的斜边时，则：，∴（负值已舍去）；若为直角三角形的斜边时，则：，∴（负值已舍去）；综上所述，的值为或．22．如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒．(1)无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）．(2)若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长．【答案】(1)，(2)【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键．（1）根据图形即可求解；（2）求解方程即可．【详解】（1）由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为故答案为：，（2）由题意得：，整理得：，解得：（不符合题意，舍去）∴剪去的正方形边长为23．成都“蒲江猕猴桃”是维含量特别高的红心猕猴桃，营养丰富，老少皆宜，某种植基地年开始种植“猕猴桃”亩，该基地这两年“猕猴桃”种植面积的平均年增长率为．(1)求到年“猕猴桃”的种植面积达到多少亩？(2)市场调查发现，当“猕猴桃”的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克．①若降价元，每天能售出多少千克？（用的代数式表示）②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“猕猴桃”的平均成本价为10元/千克，若要销售“猕猴桃”每天获利元，则售价应降低多少元？【答案】(1)到年“猕猴桃”的种植面积达到亩；(2)售价应降低元．【分析】本题考查了一元二次方程的应用及有理数的乘方，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．（1）根据有理数的乘方运算求解即可；（2）①由降低元，得每天可售出千克，②根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．【详解】（1）解：（亩）答：到年“猕猴桃”的种植面积达到亩；（2）解：①设售价应降低元，则每天可售出千克；②依题意，得：，整理，得：，解得：．∵要尽量减少库存，∴．答：售价应降低元．24．请阅读下列解方程的过程．解：设，则原方程可变形为，解得．当时，，解得；当时，，此方程无实数根．所以原方程的解为．我们将上述解方程的方法叫做换元法．请用换元法解方程：．【答案】【分析】设，则原方程可变形为，求出a的值，再将还原，求出x的值即可．【详解】解：设，则原方程可变形为，解得．当时，，解得．经检验，是分式方程的解；当时，，解得．经检验，是分式方程的解．所以原方程的解是．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次的方法和步骤，以及解分式方程的方法和步骤．