第二十一章 一元二次方程（A卷·提升卷 单元重点综合测试）（解析版）

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第21章 一元二次方程（A卷·提升卷）一、单选题（本大题共12小题，每题3分，共36分。）1．下列属于一元二次方程的是(    )A． B． C． D．2．关于的方程的二次项系数和一次项系数分别是(   )A．3， B．3,2 C．3,5 D．3，3．若关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）A．a≥﹣且a≠0 B．a≤﹣ C．a≥﹣ D．a≤﹣且a≠04．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则原方程可化为（    ）A． B．C． D．5．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位上的数字为x，则根据题意可列方程（    ）A． B．C． D．6．欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是（    ）A．线段的长 B．线段的长C．线段的长 D．线段的长7．若一元二次方程的两根分别为，则的值是（     ）．A． B． C． D．8．若代数式是完全平方式，则m的值为（   ）A．10 B．0 C． D．9．若一元二次方程的两个实数根分别是，则（   ）A． B． C． D．10．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ）A． B． C． D．11．已知m是方程x2+x-1=0的根，则式子m3+2m2+2020的值为（    ）A．2018 B．2019 C．2020 D．202112．如图，矩形中，，，动点E从A出发，以的速度沿向B运动，动点F从C出发，以的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为时点E的运动时间是（    ）A． B． C．或 D．第II卷（非选择题）二、填空题(本大题共6小题，每题3分，共18分)13．一元二次方程的一次项系数是 ．14．若关于x的一元二次方程的一个实数根是，则代数式的值等于 .15．一个直角三角形的两条直角边相差7，面积是30，则斜边长为 ．16．三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程的根，则三角形的第三条边长为 ．17．关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a（2x﹣1）2+b（2x﹣1）+2＝0的两根分别为 .18．如图是一张长20cm、宽10cm的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，则可列出方程为 ．三、解答题（本大题共7小题，共66分）19．解方程：（1）x2＋4x﹣1＝0 （2）x（x－2）＋x－2＝020．已知关于的一元二次方程有实数根，是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于44？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．21．如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，AB边上留有2米宽的小门EF（不用篱笆围），设AD长为米.（1）用含有的代数式表示边AB的长，并直接写出的取值范围；（2）当矩形场地的面积为160平方米时，求AD的长．22．今年春季，三元土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲，乙两种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有辆，根据如表提供的信息，解答以下问题：(1)这10辆汽车中有________辆汽车装运乙种土特产，共装运________吨土特产（用含有的式子表示并化简）；(2)求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有的式子表示并化简）．(3)现为了促销，公司决定甲种土特产每吨让利元，乙种土特产每吨利润不变，若无论装运甲的汽车为多少辆，这10辆车装运的土产品销售完后，总利润都保持不变，求的值．23．已知关于x的方程：x2＋（m﹣2）x﹣m＝0．(1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．(2)设非0实数m，n是方程的两根，试求m﹣n的值．24．组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划比赛28场，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？25．如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．  (1)是否存在某一时刻t，使？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由．(2)当t为何值时，的长度等于？(3)若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于？第21章 一元二次方程（A卷·提升卷）一、单选题（本大题共12小题，每题3分，共36分）1．下列属于一元二次方程的是(    )A． B． C． D．【答案】A【详解】根据一元二次方程的定义可知一元二次方程含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，方程必须是整式方程，符合条件的只有选项A,故答案选A．2．关于的方程的二次项系数和一次项系数分别是(   )A．3， B．3,2 C．3,5 D．3，【答案】D【详解】解：由得，可知二次项系数和一次项系数分别是3，，故选D．3．若关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）A．a≥﹣且a≠0 B．a≤﹣ C．a≥﹣ D．a≤﹣且a≠0【答案】A【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，∴，解得：且．故选A．4．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，则原方程可化为（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，，∴，，∴，∴原方程为，∴故选：D．5．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，若设个位上的数字为x，则根据题意可列方程（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字为，十位上的数字为．根据题意得：．故选：B．6．欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是（    ）A．线段的长 B．线段的长C．线段的长 D．线段的长【答案】C【详解】解：由勾股定理得：∵，，∴整理得：∵∴的长是方程 的一个正根故选：C．7．若一元二次方程的两根分别为，则的值是（     ）．A． B． C． D．【答案】A【详解】解：根据题意得：，，则，故选：A．8．若代数式是完全平方式，则m的值为（   ）A．10 B．0 C． D．【答案】D【详解】解：∵代数式是完全平方式，∴，∴，故选：D．9．若一元二次方程的两个实数根分别是，则（   ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：一元二次方程的两个实数根分别是2、，，．故选A．10．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由题意可知：，∴解得：，∵，∴，故选：C．11．已知m是方程x2+x-1=0的根，则式子m3+2m2+2020的值为（    ）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【答案】D【详解】解：∴m是方程x2+x-1=0的根，∴m2+m-1=0，∴m2=-m+1，∴m3=m（-m+1）=-m2+m=m-1+m=2m-1∴m3+2m2+2020=2m-1+2（-m+1）+2020=2m-1-2m+2+2020=2021．故选：D．12．如图，矩形中，，，动点E从A出发，以的速度沿向B运动，动点F从C出发，以的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则的长为时点E的运动时间是（    ）A． B． C．或 D．【答案】C【详解】解：如图所示，过E作于点M，由题意知，当运动时间为秒时，，，，，根据勾股定理得：，即，整理得：，解得：，，的长为时点E的运动时间是或，故选C．第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）13．一元二次方程的一次项系数是 ．【答案】-6【详解】解：，移项得，，因此方程的一次项系数为-6．故答案为：-6．14．若关于x的一元二次方程的一个实数根是，则代数式的值等于 .【答案】4【详解】∵关于x的一元二次方程的一个实数根是m，∴m2-2m-1=0，∴m2=2m+1，2m=m2-1，∴ =2m+1- = = =4.故答案为415．一个直角三角形的两条直角边相差7，面积是30，则斜边长为 ．【答案】13【详解】解：设较短的直角边是x，则较长直角边是（x+7），由题意有：x（x+7）=30，解得x1=5，x2=-12（舍）∴两直角边分别是5，12∴斜边是13．故答案是：1316．三角形的两边长分别为4和5，第三边的长是方程的根，则三角形的第三条边长为 ．【答案】2【详解】解：，，∴或，∴，．当时，则三角形的三边长分别为2，4，5，∵，∴此时三角形成立；当时，则三角形的三边长分别为10，4，5时，∵，∴此时三角形不存在．故答案为：2．17．关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a（2x﹣1）2+b（2x﹣1）+2＝0的两根分别为 .【答案】【详解】两个方程的系数、结构相同，1、2也是关于的方程的两个根∴或，故答案为：18．如图是一张长20cm、宽10cm的矩形纸板．将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，则可列出方程为 ．【答案】（20-2x）（10-2x）=144【详解】解：∵纸板是长为20cm，宽为10cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为x cm的正方形，∴无盖纸盒的长为（20-2x）cm，宽为（10-2x）cm．依题意，得：（20-2x）（10-2x）=144．故答案为：（20-2x）（10-2x）=144．三、解答题（本大题共7题，共66分）19．解方程：（1）x2＋4x﹣1＝0 （2）x（x－2）＋x－2＝0【答案】（1）x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）x1＝2，x2＝－1【详解】解：（1）∵x2＋4x﹣1＝0，∴a＝1，b＝4，c＝﹣1，∵△＝16+4＝20，∴x＝，∴，；（2）x（x－2）＋x－2＝0，因式分解得：（x﹣2）（x+1）＝0，可得x﹣2＝0或x+1＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1．20．已知关于的一元二次方程有实数根，是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于44？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】【详解】解：设方程的两个实数根为，则∴令，即解得：∵方程有实数根，∴即：综上所述：21．如图，依靠一面长18米的墙，用34米长的篱笆围成一个矩形场地ABCD，AB边上留有2米宽的小门EF（不用篱笆围），设AD长为米.（1）用含有的代数式表示边AB的长，并直接写出的取值范围；（2）当矩形场地的面积为160平方米时，求AD的长．【答案】(1) (36-2x)米，；(2)10米．【详解】(1)设AD长为米，AE+FB=米，则AB=AE+EF+FB=34-2x+2=(36-2x)米，依靠一面长18米的墙，，，， (2)由矩形场地的面积为160平方米，由题意列方程得：，，，，或，，当x=10时，36-2x=1618不符合要求，舍去．AD的长为10米．22．今年春季，三元土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲，乙两种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有辆，根据如表提供的信息，解答以下问题：(1)这10辆汽车中有________辆汽车装运乙种土特产，共装运________吨土特产（用含有的式子表示并化简）；(2)求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有的式子表示并化简）．(3)现为了促销，公司决定甲种土特产每吨让利元，乙种土特产每吨利润不变，若无论装运甲的汽车为多少辆，这10辆车装运的土产品销售完后，总利润都保持不变，求的值．【答案】(1)，(2)元(3)【详解】（1）解：装运甲种土特产的汽车有辆，装运乙种土特产的汽车有辆，装运的总量为（吨），故答案为：，；（2）解：由题意得，销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为元；（3）解：由题意得，总利润为元，∵无论装运甲的汽车为多少辆，这10辆车装运的土产品销售完后，总利润都保持不变，∴总利润与的值无关，∴，∴．23．已知关于x的方程：x2＋（m﹣2）x﹣m＝0．(1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根．(2)设非0实数m，n是方程的两根，试求m﹣n的值．【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）证明：   ．     无论m取何实数时，总有．     ∴方程总有两个不相等的实数根．（2）把代入方程，得．  即．  ∵，∴．   由根与系数的关系，．     ∴．∴．24．组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划比赛28场，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？【答案】8【详解】解：设比赛组织者应邀请x个队参加比赛，由题意得，，整理得，，解得，，（不合题意，舍去），答：比赛组织者应邀请8个队参加比赛．25．如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．  (1)是否存在某一时刻t，使？若存在，请求出此时刻t的值，若不存在，请说明理由．(2)当t为何值时，的长度等于？(3)若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于？【答案】(1)存在；(2)当或时，的长度等于(3)当为或5时，的面积等于【详解】（1）解：存在；根据题意得：，∵，∴，，∴，∴，即，解得：；（2）解：根据题意得：，在中根据勾股定理得：，即，解得：，，答：当或时，的长度等于；（3）解：①当时，，由题意，得，解得：，（舍去）；②当时，，由题意，得，解得：，（舍去）；③当时，，由题意，得，此方程无解；综上所述，当为或5时，的面积等于土特产种类甲乙每辆汽车运载量（吨）43每吨土特产利润（元）140160土特产种类甲乙每辆汽车运载量（吨）43每吨土特产利润（元）140160