第二十一章 一元二次方程（单元重点综合测试卷，人教版）（原卷版）

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第二十一章 一元二次方程（单元重点综合测试）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知关于x的一元二次方程的常数项为0，则k的值为（　　）A．−2 B．2 C．2或 D．4或2．若将关于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为，则该方程中的一次项系数为（    ）A．5 B．3 C． D．3．关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）A． B． C．或 D．4．把方程化成的形式，则的值是（　　）A．9 B．13 C． D．5．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）A． B． C．且 D．且6．关于x的一元二次方程（k为常数）的根的情况，下列说法正确的是（    ）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．不能确定根的情况7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（    ）A．14 B．10 C．13 D．168．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（    ）A． B． C． D．9．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（   ）  A． B．C． D．10．对于多项式记为，即；若令，，即；下面几个结论正确的个数有（    ）个．（1）存在实数x使成立，则k的取值范围是；（2）若，则；（3）若，则或；（4）存在整数，使成立．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上11．将方程配方成的形式，则 ．12．若定义，那么满足的x值为 ．13．已知为方程的根，那么的值为 ．14．已知，是关于的方程的两个实数根，且满足，则的值为 ．15．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，则道路的宽为 ．16．将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为 ．三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题10分）解下列方程(1) ； (2) （配方法）；(3) ； (4) （公式法） 18．（本题9分）阅读下面材料：小明在解方程时，发现括号内的代数式是完全相同的，于是将x2-1视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，解此方程，得．当时，，，∴．当时，，∴．∴原方程的解为．以上解题方法就叫换元法．请利用换元法解决以下问题：(1)直接写出方程的根为___________；(2)利用换元法解方程：．19．（本题9分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆人次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．20．（本题10分）关于的一元二次方程有实数根．(1)求的取值范围；(2)如果是符合条件的最大整数，且关于的一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值；(3)若方程的两个实数根为，且，求此时的值．21．（本题10分）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．(1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加______件，每件商品盈利______元（用含x的代数式表示）；(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？(3)商家能达到平均每天盈利1800元吗？请说明你的理由．22．（本题12分）【综合与实践】某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．【探究发现】【猜想结论】如果，那么存在（当且仅当时，等号成立）．【证明结论】（补全横线上的说理过程）因为，所以①当且仅当，即时，，所以；②当，即时，______．综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）．【应用结论】（1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？（2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？【拓展应用】（3）如图，学校计划一边靠墙，其余边用篱笆围成三小块面积均为的矩形苗圃，中间用两道篱笆隔断，设每小块苗圃垂直于墙的一边长为米，求为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？23．（本题12分）请阅读以下材料：①若是关于x的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数a、b、c有如下关系：，，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理（韦达定理）．②定义：已知关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限根方程”．如：一元二次方程的两根为，因为，，所以一元二次方程为“限根方程”．请解决下列问题：(1)判断一元二次方程是否为“限根方程”，并说明理由；(2)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，且方程的两根满足，求k的值；(3)若关于x的一元二次方程是“限根方程”，则m的取值范围为 ．（此小问直接填空，不写过程）