北京市大兴区2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题（Word版附解析）

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1.本试卷共4页，共两部分，21道小题.满分150分.考试时间120分钟.
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称､班级､姓名和准考证号.
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答.
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 椭圆的长轴长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 9
2. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 若直线方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
4. 两条平行直线与间的距离等于（ ）
A. B. 1C. D. 2
5. 过点且被圆截得弦长最大的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. 圆与圆的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相离C. 内切D. 外切
7. 采取随机模拟的方法估计气步枪学员击中目标的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中，以三个随机数为一组，代表三次射击击中的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
907 966 181 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
根据以上数据估计，该学员三次射击至少击中两次的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 若方程表示双曲线，则实数取值范围为（ ）
A. B.
C D.
9. 已知是双曲线与椭圆的左､右公共焦点，是在第一象限内的公共点，若，则的离心率是（ ）
A. B. C. D.
10. 平面内与定点距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.曲线是当时的双纽线，是曲线上的一个动点，则下列结论不正确的是（ ）
A 曲线关于原点对称
B. 满足的点有且只有一个
C.
D. 若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 如果事件A与事件B互斥，且，，则＝ ．
12. 经过原点且与直线垂直的直线方程为__________.
13. 已知双曲线是等轴双曲线，则的右焦点坐标为__________；的焦点到其渐近线的距离是__________.
14. 探照灯、汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面（其纵断面是拋物线的一部分），正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过射出，则________，光线从点到经过的总路程为________．
15. 画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上两个动点.直线的方程为.给出下列四个结论：
①的蒙日圆的方程为；
②在直线上存在点，椭圆上存在，使得；
③记点到直线的距离为，则的最小值为；
④若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为.
其中所有正确结论的序号为__________.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知两直线：和：，
（1）若与交于点，求的值；
（2）若，试确定需要满足的条件．
17. 已知椭圆与经过左焦点的一条直线交于两点.
（1）若为右焦点，求的周长；
（2）若直线的倾斜角为，求线段的长.
18. 已知圆C经过点A（2，0），与直线x+y＝2相切，且圆心C在直线2x+y﹣1＝0上.
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线l经过点（0，1），并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程.
19. 如图，在四面体中，平面，点为棱的中点，.
（1）证明：；
（2）求平面和平面夹角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
20. 已知抛物线，过的焦点且垂直于轴的直线交于不同的两点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若过点的直线与相交于不同的两点为线段的中点，是坐标原点，且与的面积之比为，求直线的方程.
21. 已知椭圆的上､下顶点为，左､右焦点为，四边形是面积为2的正方形.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上异于的点，判断直线和直线的斜率之积是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由；
（3）已知圆的切线与椭圆相交于两点，判断以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.