专题11 一次函数与反比例函数综合-【真题汇编】2024年中考数学真题专题分类汇编练习（原卷版+解析版）

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一、选择题
1. （2024安徽省）已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为（ ）
A.B. C. 1D. 3
【答案】A
【解析】题目主要考查一次函数与反比例函数的交点问题，根据题意得出，代入反比例函数求解即可
【详解】∵反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，
∴，
∴，
∴，
故选：A
2. （2024四川泸州）已知关于x的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象．首先根据一元二次方程无实数根确定k的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置．
【详解】∵方程无实数根，
∴，
解得：，则函数的图象过二，四象限，
而函数的图象过一，三象限，
∴函数与函数的图象不会相交，则交点个数为0，
故选：A．
二、填空题
1. （2024山东威海）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围______．
【答案】或
【解析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据图象解答即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键．
由图象可得，当或时，，
∴满足的的取值范围为或，
故答案为：或．
2.（2024四川广元） 已知与的图象交于点，点B为y轴上一点，将沿翻折，使点B恰好落在上点C处，则B点坐标为______．

【答案】
【解析】本题考查了反比例函数的几何综合，折叠性质，解直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出以及，根据解直角三角形得，根据折叠性质，，然后根据勾股定理进行列式，即．
【详解】解：如图所示：过点A作轴，过点C作轴，

∵与的图象交于点，
∴把代入，得出，
∴，
把代入，
解得，
∴，
设，
在，
∴，
∵点B为y轴上一点，将沿翻折，
∴，，
∴，
则，
解得（负值已舍去），
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
三、解答题
1. （2024江西省）如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点C，连接．
（1）点B的坐标为______；
（2）求所在直线的解析式．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】题目主要考查一次函数与反比例函数综合问题，等腰三角形的性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的相应性质是解题关键．
（1）过点B作轴，根据等腰直角三角形的性质得出，即可确定点B的坐标；
（2）根据点确定反比例函数解析式，然后即可得出，再由待定系数法确定一次函数解析式即可．
【小问1详解】
解：过点B作轴于D，如图所示：
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
由（1）得，代入，
得，
∴，
∵过点作x轴的垂线交双曲线于点C，
∴当时，，
∴，
设直线的解析式为，将点B、C代入得：
，解得，
∴直线的解析式为．
2. （2024甘肃临夏）如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为．
（1）求，的值；
（2）将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）直接把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出a，然后利用待定系数法即可求得k的值；
（2）根据直线向上平移m个单位长度，可得直线解析式为，根据三角形全等的判定和性质即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵点A在反比例函数图象上，
∴，解得，
将代入，
；
【小问2详解】
解：如图，过点C作轴于点F，
，
，，
，
，
，，
∵直线向上平移m个单位长度得到，
令，得，令，得，
，，
，，
，
双曲线过点C，
，
解得或（舍去），
．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，正确表示点C的坐标是解题的关键．
3.（2024甘肃威武） 如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接，求的面积．
【答案】（1）一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为；
（2）
【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合：
（1）先根据一次函数图象的平移规律，再把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可；
（2）先分别求出C、D的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：∵将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数的解析式为；
把代入中得：，解得，
∴反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：∵轴，，
∴点C和点D的纵坐标都为2，
在中，当时，，即；
在中，当时，，即；
∴，
∵，
∴．
4. （2024湖北省）一次函数经过点，交反比例函数于点．
（1）求；
（2）点在反比例函数第一象限的图象上，若，直接写出的横坐标的取值范围．
【答案】（1），，； （2）．
【解析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握数形结合的思想．
（1）利用一次函数经过点，点，列式计算求得，，得到点，再利用待定系数法求解即可；
（2）利用三角形面积公式求得，得到，据此求解即可．
小问1详解】
解：∵一次函数经过点，点，
∴，
解得，
∴点，
∵反比例函数经过点，
∴；
【小问2详解】
解：∵点，点，
∴，
∴，，
由题意得，
∴，
∴，
∴的横坐标的取值范围为．
5. （2024江苏连云港）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2．
（1）求的值；
（2）利用图像直接写出时的取值范围；
（3）如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1） （2）或 （3）8
【解析】【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可；
（2）图像法求不等式的解集即可；
（3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可．
【小问1详解】
点在的图像上，
当时，．
∴，
将点代入，得．
【小问2详解】
由（1）知：，
联立，解得：或，
∴；
由图像可得：时的取值范围为：或．
【小问3详解】
∵，
∴当时，，
∴，
∵将直线沿轴向下平移4个单位，
∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H
∴当时，，当时，，
∴，，
∴，
∴，
如图，过点作，垂足为，
∴．
又，，
．
连接，
∵平移，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴阴影部分面积等于的面积，即．
6. （2024山东枣庄）列表法、表达式法、图像法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系：
（1）求、的值，并补全表格；
（2）结合表格，当的图像在的图像上方时，直接写出的取值范围．
【答案】（1），补全表格见解析
（2）的取值范围为或；
【解析】【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合，利用图像法写自变量的取值范围；
（1）根据表格信息建立方程组求解的值，再求解的值，再补全表格即可；
（2）由表格信息可得两个函数的交点坐标，再结合函数图像可得答案.
【小问1详解】
解：当时，，即，
当时，，即，
∴，
解得：，
∴一次函数为，
当时，，
∵当时，，即，
∴反比例函数为：，
当时，，
当时，，
当时，，
补全表格如下：
【小问2详解】
由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，，
∴当的图像在的图像上方时，的取值范围为或；
7. （2024上海市）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．

（1）求k与m的值；
（2）过点A作直线轴与直线交于点C，求的值．
【答案】（1），； （2）．
【解析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是：
（1）把B的坐标代入，求出n，然后把B的坐标代入，求出k，最后把A的坐标代入求出m即可；
（2）根据轴求出C的纵坐标，然后代入，求出C的横坐标，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可．
【小问1详解】
解：把代入，
得，
解得，
∴，
把代入，
得，
∴，
把代入，
得；
【小问2详解】
解：由（1）知：
设l与y轴相交于D，

∵轴，轴轴，
∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，，
把代入，得，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∴．
8. （2024重庆市B）如图，在中，，，点为上一点，过点作交于点．设的长度为，点，的距离为，的周长与的周长之比为．
（1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质；
（3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过）
【答案】（1）
（2）函数图象见解析，随x增大而增大，随x增大而减小
（3）
【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定：
（1）证明，根据相似三角形的性质得到，据此可得答案；
（2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可；
（3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小；
【小问3详解】
解：由函数图象可知，当时的取值范围．
9. （2024四川成都市）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上．
（1）求，，的值；
（2）若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值；
（3）过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值．
【答案】（1），，
（2）点的坐标为或，
（3）
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，根据平行四边形的性质，分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况，分别利用中点坐标公式列方程组求解即可；
（3）设点，则，，利用相似三角形的性质得，进而解方程得，则，利用待定系数法求得直线的表达式为，联立方程组得，根据题意，方程有且只有一个实数根，利用根的判别式求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，将代入中，得，则，
将代入中，得，则，
∴，
将代入中，得，则；
【小问2详解】
解：设，由（1）知，
若，，，为顶点的四边形为平行四边形，分以下情况：
当为对角线时，则，解得，
∴，则；
当为对角线时，则，解得，
∴，则；
当为对角线时，依题意，这种情况不存在，
综上所述，满足条件的点的坐标为或，；
【小问3详解】
解：如图，设点，则，，
若，则，即，
∴，即，
解得，
∵，∴，则，
设直线的表达式为，
则，解得，
∴直线的表达式为，
联立方程组，得，
∵有且只有一点，
∴方程有且只有一个实数根，
∴，解得；
由题意，不存在，
故满足条件的k值为．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合、反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法、相似三角形的性质、平行四边形的性质、坐标与图形、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论思想求解是解答的关键．
10. （2024四川德阳）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．
（1）求的值和反比例函数的解析式；
（2）将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集．
【答案】（1）；反比例函数的解析式为
（2）；不等式的解集为
【解析】【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题：
（1）把代入求出，得，从而可求出的值；
（2）由平移得直线与直线平行，得，把点代入得，得，代入，求出，得出；由图象得当时，在直线的下方，故可求出不等式的解集．
【小问1详解】
解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴；
∴，
把代入，得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：∵直线是将直线向下平移个单位长度后得到的，
∴直线与直线平行，
∴，
∴，
∵直线与反比例函数图象的交点为，
把代入得，，
解得，，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴；
由图象知，当时，在直线的下方，
∴不等式的解集为
11. （2024四川广安）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
【解析】【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式；
（2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，然后的面积大于12，再建立不等式即可求解．
【小问1详解】
解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把，都代入一次函数，得 ，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：如图，

对于，当，解得，
∴，
∵，
∴，
∵的面积大于12，
∴，即，
当时，则,
解得：，
当时，则，
解得：；
∴或．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．
12. （2024四川广元）如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，．

（1）求与的解析式；
（2）当时，请结合图象直接写出自变量x取值范围；
（3）求的面积．
【答案】（1）；
（2）或
（3）
【解析】【分析】本题考查反比例函数图象和性质，反比例函数与一次函数综合，求出一次函数与反比例函数图象交点坐标是关键；
（1）根据题意可得，即有，问题随之得解；
（2）表示反比例函数的图象在一次函数的图象上方时，对应的自变量的取值范围，据此数形结合作答即可；
（3）若与y轴相交于点C，可得，则，根据，问题即可得解．
【小问1详解】
由题知，
∴，
∴，，
∴，
把，代入得，
∴，
∴；
【小问2详解】
由图象可知自变量x的取值范围为或
【小问3详解】
若与y轴相交于点C，
当时，，
∴，即：，
∴．

13. （2024四川乐山）如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点．
（1）求、的值和一次函数的表达式；
（2）连接，求点到线段的距离．
【答案】（1），，
（2）点到线段的距离为
【解析】【分析】（1）根据点、在反比例函数图象上，代入即可求得、的值；根据一次函数过点，，代入求得，，即可得到表达式；
（2）连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，可推出 轴，、、的长度，然后利用勾股定理计算出的长度，最后根据，计算得的长度，即为点到线段的距离．
【小问1详解】
点、在反比例函数图象上
，
又一次函数过点，
解得：
一次函数表达式为：；
【小问2详解】
如图，连接，过点作，垂足点，过点作，垂足为点，
，
轴，
点，，
点，，
在中，
又
即
∴，即点C到线段的距离为．
【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键．
14. （2024四川凉山）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接，求的面积．
【答案】（1） （2）6
【解析】【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，一次函数的平移等知识，熟练掌握函数的平移法则是关键．
（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点坐标，根据平行线间的距离可得，代入数据计算即可．
【小问1详解】
解：点在正比例函数图象上，
，解得，
，
在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为．
小问2详解】
解：把直线向上平移3个单位得到解析式为，
令，则，
∴记直线与轴交点坐标为，连接，
联立方程组，
解得，（舍去），
，
由题意得：，
∴同底等高，
．
15. （2024四川泸州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与x轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D，且，求点C的坐标．
【答案】（1）一次函数解析式为，反比例函数解析式为
（2）
【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合：
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先利用反比例函数比例系数的几何意义得到，进而得到；再证明，推出，设，则，求出，可得，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
把，代入中得：，
∴，
∴一次函数解析式；
【小问2详解】
解：如图所示，过点B作轴于E，设与x轴交于F，
∵直线与反比例函数和的图象分别交于点C，D，
∴，
∴，
∴；
∵轴，点B在反比例函数的图象上，
∵，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴．
16. （2024四川眉山）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标；
（3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值．
【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为
（2）点的坐标为
（3）或
【解析】【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，勾股定理，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
（1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论；
（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为；
（3）将直线向下平移a个单位长度后得直线的解析式为，得到，根据勾股定理即可得到结论．
【小问1详解】
解：一次函数与反比例函数的图象交于点，，
，
，
反比例函数的表达式为，
把代入得，
，
，
，
把，代入得，
，
解得，
一次函数的表达式为；
【小问2详解】
解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，
此时，的周长最小，
点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为；
小问3详解】
解：将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，
直线的解析式为，
，，
，
，
解得或．
17.（2024四川南充） 如图，直线经过两点，与双曲线交于点．
（1）求直线和双曲线的解析式．
（2）过点C作轴于点D，点P在x轴上，若以O，A，P为顶点的三角形与相似，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）直线解析式为，双曲线解析式为
（2）点P坐标为或或或
【解析】【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，相似三角形的性质：
（1）待定系数法求出一次函数的解析式，进而求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可；
（2）分和，两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：直线经过两点，
∴，解得：，
∴，
当时，，解得：，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，，
∴，，
当以O，A，P为顶点的三角形与相似时，分两种情况进行讨论：
①当，则：，
∴，
∴，
∴或；
②当，则：，
∴，
∴，
∴或；
综上：点P坐标为或或或．
18. （2024四川自贡）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）P是直线上的一个动点，的面积为21，求点P坐标；
（3）点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出Q点坐标．
【答案】（1），
（2）点P坐标为或；
（3）Q点坐标为或
【解析】【分析】（1）先求出，再代入，得出，再运用待定系数法解一次函数的解析式，即可作答．
（2）先得出直线与直线的交点的坐标，根据求不规则面积运用割补法列式化简得，解出，即可作答．
（3）要进行分类讨论，当点在点的右边时和点在点的左边时，根据求不规则面积运用割补法列式，其中运用公式法解方程，注意计算问题，即可作答．
【小问1详解】
解：依题意把代入，得出
解得
把代入中，得出
∴
则把和分别代入
得出
解得
∴；
小问2详解】
解：记直线与直线的交点为
∵
∴当时，则
∴
∵P是直线上的一个动点，
∴设点，
∵的面积为21，
∴
即
∴
解得或
∴点P坐标为或；
【小问3详解】
解：由（1）得出
∵点Q在反比例函数位于第四象限的图象上，
∴设点Q的坐标为
如图：点在点的右边时
∵的面积为21，和
∴
整理得
解得（负值已舍去）
经检验是原方程的解，
∴Q点坐标为
如图：点在点的左边时
∵的面积为21，和
∴
整理得
解得，符合题意，，不符合题意，
则，故
综上：Q点坐标为或．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，几何综合，待定系数法求一次函数的解析式，割补法求面积，公式法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
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