专题32 最值问题-【真题汇编】2024年中考数学真题专题分类汇编练习（原卷版+解析版）

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一、选择题
1. （2024四川乐山）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川南充）如图，在中，，平分交于点D，点E为边上一点，则线段长度的最小值为（ ）
A. B. C. 2D. 3
3. （2024四川南充）当时，一次函数有最大值6，则实数m的值
为（ ）
A. 或0B. 0或1C. 或D. 或1
4. （2024四川泸州）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（ ）

A. 4B. 5C. 8D. 10
5. （2024四川宜宾）如图，在中，，以为边作，，点D与点A在的两侧，则的最大值为（ ）
A. B. C. 5D. 8
6. （2024四川达州）如图，是等腰直角三角形，，，点，分别在，边上运动，连结，交于点，且始终满足，则下列结论：①；②；③面积的最大值是；④的最小值是．其中正确的是（ ）

A. ①③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④

二、填空题
1. （2024四川广安）如图，在中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为______．
2. （2024四川成都市）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______．
3. （2024江苏扬州）如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为_____．
4. （2024四川广元）如图，在中，，，则的最大值为______．

5. （2024河南省）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为_________，最小值为_________.
6. （2024四川宜宾）如图，正方形的边长为1，M、N是边、上的动点．若，则的最小值为___________．
7. （2024四川内江）如图，在中，，，是边上一点，且，点是内心，的延长线交于点，是上一动点，连接、，则的最小值为________．

三、解答题
1. （2024河南省）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．
（1）小球被发射后_________时离地面的高度最大（用含的式子表示）．
（2）若小球离地面的最大高度为，求小球被发射时的速度．
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为．”已知实验楼高，请判断他的说法是否正确，并说明理由．
2. （2024广西）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出，求二次函数的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表：
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
3. （2024江苏连云港）【问题情境】
（1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略；
【操作实践】
（2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系；
【探究应用】
（3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长；
（4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值．
4. （2024山东烟台）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？
（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？
5. （2024山东枣庄）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线．
（1）求的值；
（2）若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围．
6. （2024天津市）已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点．
（1）当时，求该抛物线顶点的坐标；
（2）当时，求的值；
（3）若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值．
7. （2024安徽省）已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线的顶点横坐标大1．
（1）求b的值；
（2）点在抛物线上，点在抛物线上．
（ⅰ）若，且，，求h的值；
（ⅱ）若，求h的最大值．
8. （2024四川凉山）如图，在菱形中，，是边上一个动点，连接，的垂直平分线交于点，交于点．连接．

（1）求证：；
（2）求的最小值．
a
…
0
2
4
…
x
…
*
2
0
…
y的最小值
…
*
…