[数学]湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试试题(解析版)

这是一份[数学]湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试试题(解析版)，共18页。试卷主要包含了 已知集合， ，则， 已知两条直线，则“”是“”的， 已知，则， 已知点在所在的平面内，且， 已知函数，则下列结论正确的有等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，
1. 已知集合， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，
，
故.
故选：C.
2. 已知两条直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，，则，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知复数满足，则的共轭复数在复平面中的对应点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】，故，其对应的点为，
该点在第四象限，
故选：D.
4. 将这个数据作为总体，从这个数据中随机选取个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意可知，总体平均数为，
从这个数据中随机选取个数据作为一个样本，情况如下：
选到，则样本平均数为，所以，
选到，则样本平均数为，所以，
选到，则样本平均数为，所以，
选到，则样本平均数为，所以，
选到，则样本平均数为，所以，
选到，则样本平均数为，所以，
选到，则样本平均数为，所以，
选到，则样本平均数为，所以，
选到，则样本平均数为，所以，
选到，则样本平均数为，所以，
所以该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过的概率为.
故选：D.
5. 已知，则（ ）
A. 或7B. 或
C. 7或-7D. -7或
【答案】B
【解析】因为，故，
故，故，故，
故选：B.
6. 已知点在所在的平面内，且.过点的直线与直线分别交于，设，则的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设的中点为，连接，则，
故即，故为的中点，
因为三点共线，故存在实数，使得，
故，而，
因为不共线，故即，
，
当且仅当时等号成立，故的最小值为，
故选：C.
7. 一个三角形纸板的三个顶点为，以边上的高所在直线为旋转轴，将三角形纸板旋转，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
而为三角形内角，故，
故，故，故，
故几何体的体积为
故选：A.
8. 若不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令，则恒成立，
又，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
且时，不符合题意；
当时，令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，所以，
令，，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，即的取值范围是.
故选：B.
二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的最大值为
C. 函数的所有零点构成的集合为
D. 函数在上是增函数
【答案】BC
【解析】对A：，所以.故A错误；
对B：因为，
当即时，函数有最大值，故B正确；
对C：由，故C正确；
对D：，
由，
令得，函数在上递增，在右侧一定是先单调递减，故D错误.
故选：BC.
10. 已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 的图象关于点成中心对称
C.
D.
【答案】ABD
【解析】对A，满足，
令，
则，即f1=0，
又为偶函数，，故A对；
对B，，
，
故的周期，
再根据，即，
∴fx的图象关于点成中心对称，故B对；
对C，由B知：的周期，
故，
，
令，
则f2=-f0，
又当时，
，
即，
即，
，
故，故C错误；
对D，满足，
∴fx关于1,0中心对称，
又当时，
∴fx在0,2上单调递增；
当时，，
当时，为偶函数，
，
，
当且仅当时，即时等号成立，
，故D对
故选：ABD.
11. 在平面直角坐标系中，已知点是曲线上任意一点，过点向圆引两条切线，这两条切线与的另一个交点分别为，则下列结论正确的有（ ）
A.
B. 直线与圆相切
C. 的周长的最小值为
D. 的面积的最小值为
【答案】BD
【解析】如图，不妨设点位于第一象限，直线在圆的左边，直线在圆的右边.
首先，若直线的斜率不存在，则，，
设直线的方程为：即.
因为直线与圆相切，所以，
此时直线：与曲线只有1个交点，不合题意；
其次，若直线的斜率不存在，则，，
设直线的方程为：即.
因为直线与圆相切，所以，
此时直线：，所以.
此时：，，，.
所以，故A不成立；
直线：，由得直线与圆相切，故B成立；
因为，所以的周长为，满足C选项；
，满足D选项.
最后，直线，的斜率都存在时：
设（且），，.
所以，
所以直线的方程为：，即.
因为直线与圆相切，所以：.
同理可得：.
所以为方程的两根.
所以：，.
又直线的方程为：，
点到直线的距离为：.
所以直线与圆相切，故B正确；
又，
又，点到直线的距离为：.
所以.
令，，
.
设
当时，恒成立.
所以当时，，所以；
当时，，所以；
当时，，所以.
所以在和上单调递增，在0,2上单调递减.
又因为，，所以.
所以，符合D.
综上可知，的面积的最小值为，故D正确.
又的内切圆半径为1，所以，
所以.
即周长的最小值为，故C错误.
故选：BD.
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知某种商品的广告费（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间的对应数据如下表：
根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则当广告费为10万元时，销售额预测值为__________万元.
【答案】66
【解析】由题意知：，，
将样本中心点代入，
即，解得：，故，
将代入，
即.
13. 过双曲线的一个焦点作倾斜角为的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是__________.
【答案】
【解析】由双曲线的对称性不妨设倾斜角为的直线过右焦点，

由双曲线可得渐近线方程为，
双曲线的半焦距为，故右焦点坐标为，
过倾斜角为的直线方程为，
由可得交点坐标为，
由可得交点坐标为，
倾斜角为的直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积为.
14. 已知数列有30项，，且对任意，都存在，使得.
（1）__________；（写出所有可能的取值）
（2）数列中，若满足：存在使得，则称具有性质.若中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，则__________.
【答案】 1047
【解析】当时，，
当时，，或 ，
当时，，或，或时有或，
当时，，或，或时有或，或时有或或，
综上所述：的所有可能取值为：.
中恰有4项具有性质，且这4项的和为20，故，
，即具有性质，
则易知从开始是以为首项为公差的等差数列 ，
.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）由，则当时
两式相减得，所以.
将代入得，，
所以对于，故an是首项为2，公比为2的等比数列，
所以.
（2）.
，
因为当时，当时，
所以当时，，
当时，.
故.
16. 如图，长方体中，点分别在上，且，.
（1）求证：平面；
（2）当时，求平面与平面的夹角的余弦值.
（1）证明：因为平面平面，所以，
又且，平面，所以平面，
且平面，故，同理，，
平面，
所以平面.
（2）解：以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图：
则，
在平面中，
设平面的一个法向量为n=x,y,z，
则，可取
由（1）知，平面的一个法向量为
设平面与平面的夹角为，
则
故所求的夹角的余弦值为.
17. 已知椭圆经过点，且离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，且，求的方程.
解：（1）联立
得，故所求椭圆的方程为.
（2）如图：
易知.
①当斜率为0时，或，不符合题意.
②当斜率不为0时设，设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立，
消去得.
所以，，
由得，代入以上两式消去得.
故，化为一般方程为.
18. 如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室.粒子在室不旋转，在室､室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为.

（1）已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为，求；
（2）求的分布列和数学期望；
（3）设，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率.
解：（1）设“两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”.
事件A发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态，
故，解得或.
（2）由题知，时分3类情形，
①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态；
②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态，
通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态粒子改变状态；
③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态，
所以，
同理，
，
所以所求的分布列为
所以所求数学期望.
（3）设“两个粒子通过1号门后处于上旋状态粒子个数为个”，，
“两个粒于通过2号门后处于上旋状态的粒于个数为2个”，
则，
，
则.
故.
19. 已知函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在1,+∞上恒成立，求实数的取值范围；
（3）帕德近似（Pade apprximatin）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示.
（i）当且时，试比较与的大小；
（ii）当时，求证：.
解：（1）当时，，则.
所以的减区间为0,+∞，无增区间.
（2）因在1,+∞上恒成立，
所以，所以（）
设，则
再设，则，
则在1,+∞上恒成立，所以在1,+∞单调递增，
所以，
所以h'x>0在1,+∞上恒成立，所以hx在1,+∞单调递增，
所以.
又在1,+∞上恒成立，所以.
（3）（i）记，则，
所以Fx在0,+∞上单调递增，而，
于是，当时，，当时，.
（ii）当时，原不等式即.
由于当时，，所以，
当时，也成立.
所以对任意的恒成立.
在中取，则有，也即，
所以（a）
记函数，
由于，所以只需考虑的符号，
易知在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，.
所以（b）
由（a）（b）得，
故.1
3
4
5
7
14
18
30
42
46
X
0
1
2
P