[数学]广东省揭阳市两校2025届高三上学期8月联考试题(解析版)

这是一份[数学]广东省揭阳市两校2025届高三上学期8月联考试题(解析版)，共15页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，或，
知.
故选：C.
2. “”是“”的（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由得，解得，
由得，所以，解得，
所以“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：B.
3. 已知函数的值域为R，那么实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为函数的值域为，
而的值域为R，所以函数的值域包含,
所以，解得，
故选：B.
4. 如图，已知，，点C在函数的图象上，点D在函数的图象上，若四边形为正方形，则（ ）

A. B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】依题意，，由四边形为正方形，得，
则点，而点在函数的图象上，即，解得，
经验证符合题意，所以.
故选：B.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：，
则：，，
从而有：，
即.故选：B
6. 神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球．在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水．回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用．净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据）
A. 10B. 12C. 14D. 16
【答案】C
【解析】设过滤的次数为，原来水中杂质为1，
则，即，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以的最小值为14，则至少要过滤14次．
故选：C.
7. 设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设，
因为，则，，
由椭圆的定义可得，，
因为，即，
在中，则，即，
解得，可得，
在△中，可得，整理得，
所以椭圆E的离心率为.
故选：B．
8. 已知数列满足，前n项和为，，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】数列中，，由，得，，
则有，
因此数列是以1为首项，2为公比的等比数列，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】作出和的图象，如图所示，由图象可得，当时，，
当时，，，，故A，B正确.
令，则，在上单调递减，所以，故C错误.
，所以，故D正确.
故选：ABD.
10. 已知函数，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 函数的图象不可能关于点对称
C. 当时，函数在上单调递增
D. 若函数在上存在零点，则实数a的取值范围是
【答案】BCD
【解析】对于A，，则当时，，A错误；
对于B，，
则函数的图象不关于点对称，B正确；
对于C，当时，，
设，当时，单调递增且，又函数
在上单调递增，因此函数在上单调递增，C正确；
对于D，由，设，则当时，，
又在上有解，即方程在上有解，
得在上有解，而在上单调递减，则，D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数t的可能取值为（ ）
A. 1B. C. 3D. 4
【答案】CD
【解析】令，则，的定义域为，
，
所以，所以是奇函数，
不等式等价于
，
即，
当时单调递增，可得单调递增，单调递增，单调递减，
所以在(0,+∞)单调递增，
又因为为奇函数且定义域为，
所以在上单调递增，所以，即，令，只需，
令，则，，
所以，对称轴为，所以时，
，
所以，可得实数的可能取值为3或4.
故选：CD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 定义运算则不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题意可得对任意恒成立，
若，则，符合题意，即成立；
若，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
13. 已知过原点O的直线与交于A，B两点（A点在B点左侧），过A作x轴的垂线与函数交于C点，过B点作x轴的垂线与函数交于D点，当平行于x轴时，点A的横坐标为__________.
【答案】2
【解析】设，则，
而，由平行于x轴，得，解得，
于，整理，即，解得，
所以点A的横坐标为2.
14. 已知是定义在R上的单调函数，对x∈R恒成立，则的值为_______．
【答案】9
【解析】因为函数y=fx是定义在R上的单调函数，且对x∈R，恒成立，
所以存在常数，使得，
则，即，
又因为，则，
注意到在上单调递增，且，可得，
所以，即.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，．
（1）求角B的大小；
（2）若的面积，设D是BC的中点，求的值．
解：（1）∵，
∴由正弦定理得，，
即，
即，
即，
即，
，，，
∵B∈0,π，；
（2），
.
在中，由正弦定理得，，
在中，由正弦定理得，，
，，
∴.
16. 如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.

（1）证明：BDCC1；
（2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.
（1）证明：如图所示，连接,
因为为棱台，所以四点共面，
又因为四边形为菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又因为且平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：取中点，连接，
因为底面是菱形，且，所以是正三角形，
所以，即，
由于平面，以为原点，分别以为轴、轴和轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
假设点存在，设点的坐标为，其中，
可得，
设平面的法向量，则，
取，可得，所以.
又由平面的法向量为，
所以，解得，
由于二面角为锐角，则点在线段上，
所以，即，
故上存在点，当时，二面角的余弦值为.

17. 设函数，满足：①；②对任意，恒成立．

（1）求函数的解析式．
（2）设矩形的一边在轴上，顶点，在函数的图象上．设矩形的面积为，求证：．
（1）解：因为，
由，得，则；
由，得，恒成立，
即恒成立，所以，所以，
所以；
（2）证明：因为，
令，得；令，得；
所以在单调递增，单调递减．
不妨设，，由知，
那么，；
故，
因为，所以．
18. 已知函数是奇函数.（e是自然对数的底）
（1）求实数k的值；
（2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值.
解：（1）因为是奇函数，且定义域为R，所以，
即，解得.经检验，此时是奇函数
所以.
（2）由（1）知，
由时，恒成立，得，
因为，所以，
设，
因为，当且仅当时，等号成立，又，所以，
故，
所以.
（3）由题意得：，
不妨设，
以a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即，且，
以，，为长度的线段也能构成三角形，则恒成立，得恒成立，
因为，仅当a=b时前一个等号成立，
所以，即，于是n的最大值为.
19. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若不等式恒成立，求的取值范围；
（3）当时，试判断函数的零点个数，并给出证明．,解：（1）因为，
所以，
当时，恒成立，所以；
当时，令，
解得（舍去负根），
令，得；令，得．
综上所述，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）由恒成立，得在上恒成立，
所以在上恒成立．
令，
则．
令，
易知在上单调递减．
又，
所以当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，
即，
所以，即的取值范围为．
（3）当时，，
则，
令，
则，
当时，，所以在上单调递减．
又，
所以在上存在唯一的零点．
设在上的零点为，
可得当时，，单调递增；
当时，单调递减，
解法一：，
因为，所以，
故．又，所以．
又，
所以在上有一个零点．
又，
所以在上有一个零点．
当时，，
所以在上没有零点．
当时，
令，
则，
所以在上单调递减，
所以，所以，
所以，
而，所以，
故在上没有零点．
综上所述，在定义域上有且仅有2个零点．
解法二：因为，，
所以在上有一个零点．
又，
所以在上有一个零点，
当时，，
易证，
所以，
从而在上恒成立，
故在上没有零点．
当时，，
设，则，
所以在上单调递减．
又，则在上恒成立，
所以在上恒成立，
故在上没有零点．
综上所述，在定义域上有且仅有2个零点．