[数学]黑龙江省大庆市2025届高三上学期第一次质量检测试题(解析版)

这是一份[数学]黑龙江省大庆市2025届高三上学期第一次质量检测试题(解析版)，共15页。试卷主要包含了 记为等差数列的前项和，若，则， 已知，且，则， 已知，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】设，则，
所以，又，
所以，解得，
所以，所以复数在复平面内所对应的点为，位于第四象限.
故选：D.
2. 已知上的函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】取，，则，但，
即，所以函数不是奇函数，故充分性不满足；
若函数为奇函数，则，即，故必要性满足；
所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件.
故选：B.
3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A. 112B. 122C. 132D. 142
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，则，解得，
所以.
故选：C.
4. 法国当地时间2024年7月26日晚，第三十三届夏季奥林匹克运动会在巴黎举行开幕式.“奥林匹克之父”顾拜旦曾经说过，奥运会最重要的不是胜利，而是参与；对人生而言，重要的不是凯旋，而是拼搏.为弘扬奥运精神，某学校组织高一年级学生进行奥运专题的答题活动.为了调查男生和女生对奥运会的关注程度，在高一年级随机抽取10名男生和10名女生的竞赛成绩（满分100分），按从低到高的顺序排列，得到下表中的样本数据：
则下列说法错误的是（ ）
A. 男生样本数据的分位数是86
B. 男生样本数据的中位数小于男生样本数据的众数
C. 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变
D. 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变
【答案】D
【解析】对于A：，所以男生样本数据的分位数是，故A正确；
对于B：男生样本数据的中位数为，男生样本数据的众数为，故B正确；
对于C：女生样本数据的平均数为，
女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数为，故C正确；
对于D：女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变，
但是极差变小，所以方差变小，故D错误.
故选：D.
5. 已知圆台的上､下底面半径分别为1和3，母线长为，则圆台的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为圆台的上､下底面半径分别为1和3，母线长为，
所以圆台的高，
所以圆台的体积.
故选：A.
6. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为在上单调递增，所以，则；
当且，即时，函数在上单调递增，
要使在上单调递增，则，解得；
当，即时，对勾函数在上单调递增，上单调递减，
要使在上单调递增，则，解得；
综上可得实数的取值范围为.故选：A.
7. 已知，且，则（ ）
A. -1B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得，则，
又因为，所以，同号，
又因为，
则，同正，
所以，则，
所以，
所以，故D正确.
故选：D.
8. 已知函数，若对任意的，，则的最大值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，x∈0,+∞，所以，
当时，f'x>0恒成立，所以在0,+∞上单调递增，且当时，不符合题意；
当时，则当时f'x>0，当时f'x<0，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，则，
所以，
令，则，
所以当时，当时，
所以在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
所以，
所以，
则，
即的最大值为.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】因为，
则，故A错误；
，故B正确；
又，当，则，
所以，
所以，即，故C正确；
当，则，所以，
所以，故不使得，故D错误.
故选：BC.
10. 某学校足球社团进行传球训练，甲､乙､丙三名成员为一组，训练内容是从某人开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人.现假定每次传球都能被接到，开始传球的人为第一次触球者，记第次触球者是甲的概率为.已知甲为本次训练的第一次触球者，即，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】：甲传球给乙或丙，故，故正确；
：乙或丙传球给其他两个人，故，故错误；
、：由题意得：要想第次触球者是甲，则第次触球的不能是甲，
且第次触球的人，有12的概率将球传给甲，
故，则，故C正确；
因为，设，
解得：，所以
因为，所以是以23为首项，公比是的等比数列，
故，所以，
故，则，
故，故正确.
故选：．
11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，直线经过且与交于两点，其中点A在第一象限，线段的中点在轴上的射影为点.若，则（ ）
A. 的斜率为
B. 是锐角三角形
C. 四边形的面积是
D.
【答案】ABD
【解析】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，即，

设，
则，可得，
因为，即，
可知等边三角形，即，
且∥x轴，可知直线的倾斜角为，斜率为，故A正确；
则直线，
联立方程，解得或，
即，，则，
可得，
在中，，且，
可知为最大角，且为锐角，所以是锐角三角形，故B正确；
四边形的面积为，故C错误；
因为，所以，故D正确；
故选：ABD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，，，则的值为__________.
【答案】
【解析】因为，，
所以，
又，所以，解得.
13. 已知是椭圆的左焦点，直线交椭圆于两点.若，则椭圆的离心率为__________.
【答案】
【解析】设是椭圆的右焦点，连接，

由对称性可知：，则为平行四边形，
则，即，
因，则，
在中，由余弦定理可得，
即，解得，
所以椭圆的离心率为.
14. 已知且，函数在上有且仅有两个零点，则的取值范围是__________.
【答案】且
【解析】因为函数在上有且仅有两个零点，
所以有两个交点，
即有两个交点，
令，则有两个交点，
，
所以在区间上，，单调递增，
在区间上，，单调递减且，
，
有两个交点，
，
所以且．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 2024年7月12日，国家疾控局会同教育部､国家卫生健康委和体育总局制定并发布了《中小学生超重肥胖公共卫生综合防控技术导则》，其中一级预防干预技术的生活方式管理中就提到了“少喝或不喝含糖饮料，足量饮水”，某中学准备发布健康饮食的倡议，提前收集了学生的体重和饮食习惯等信息，其中学生饮用含糖饮料的统计结果如下：学校有的学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为；而每天饮用含糖饮料低于500毫升的学生的肥胖率为.
（1）若从该中学的学生中任意抽取一名学生，求该生肥胖的概率；
（2）现从该中学的学生中任意抽取三名学生，记表示这三名学生中肥胖的人数，求的分布列和数学期望.
解：（1）设“学生每天饮用含糖饮料不低于500毫升”为事件A，则，
设“学生的肥胖”为事件B，则，
由全概率公式可得，
所以从该中学的学生中任意抽取一名学生，该生肥胖的概率为.
（2）由题意可知：，且的可能取值为0，1，2，3，则有：
，
，
所以的分布列为
的期望.
16. 如图，在平面四边形中，，是边长为2的正三角形，为的中点，将沿折到的位置，.

（1）求证：；
（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：依题意是边长为2的正三角形，为的中点，所以，
所以，，，，，
则，所以，又，即，所以，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以；
（2）解：如图建立空间直角坐标系，则B1,0,0，P0,0,1，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，令，
设直线与平面所成角为，则 ，
所以直线与平面所成角的正弦值为.

17. 设的内角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）若的面积为，求的周长.
解：（1）因为，由正弦定理可得，
且，
即，
整理可得，
且，则，可得，即，
且，所以.
（2）因为的面积为，则，
又因为，
可得，
由正弦定理，可得，
其中为的外接圆半径，
则，即，
可得，则，
由余弦定理可得，
即，解得，
所以的周长为.
18. 已知函数，其中.
（1）证明：当时，；
（2）若时，有极小值，求实数的取值范围；
（3）对任意的恒成立，求实数的取值范围.
（1）证明：因为，则对任意恒成立，
可知在内单调递减，则，
所以当时，.
（2）解：因为，则，
令，则对任意恒成立，
可知hx在0,+∞内单调递增，则，
当，即时，则hx>0对任意恒成立，即f'x>0，
可知在0,+∞内单调递增，无极值，不合题意；
当，即时，则hx在0,+∞内存在唯一零点，
当时，hx<0，即f'x<0；当时，hx>0，即f'x>0；
可知在内单调递减，在内单调递增，
可知存在极小值，符合题意；
综上所述：实数的取值范围为1,+∞.
（3）解：令，
则，
原题意等价于对任意恒成立，
且，则，解得，
若，因为，则，
则，
可知Fx在内单调递增，则，即符合题意；
综上所述：实数的取值范围为.
19. 已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，渐近线方程为.
（1）求的方程；
（2）若互相垂直的两条直线均过点，且，直线交于两点，直线交于两点，分别为弦和的中点，直线交轴于点，设.
①求；
②记，，求.
解：（1）依题意设双曲线方程为，
则渐近线方程为，
则，解得，所以的方程为；
（2）①当直线中又一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在是，直线与轴重合，不符合题意；
所以直线的斜率均存在且不为，
设的方程为，Ax1,y1，Bx2,y2，，，
由，得，
则，所以，，
所以，则，
所以，同理可得，
因为、、三点共线，所以，
又，所以，
因，所以；
②，
所以
，
设，
则，
所以，
所以
，
所以，
所以.
男生
82
85
86
87
88
90
90
92
94
96
女生
82
84
85
87
87
87
88
88
90
92
0
1
2
3