[数学]湖南省2024届高三仿真模拟考试试题(五)(解析版)

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1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得，
又函数在R上单调递增，则，即，
又由得，即，
所以.
故选：D.
2. 若复数（为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，
故复数的虚部为.
故选：A.
3. 九九重阳节期间，甲､乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在初八、初九、初十这三天中随机选一天，乙同学在初八、初九这两天中随机选一天，且两名同学的选择互不影响，则他们在同一天去的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】甲同学在三天中随机选一天，共有3种情况，乙同学在两天中随机选一天，共有2种情况，所以一共有种情况，
他们在同一天去共有2种情况，所以他们在同一天去的概率为.
故选：B.
4. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A. 4B. 7C. 8D. 9
【答案】B
【解析】由，可得，解得，
故
故选：B.
5. 如图，在直角梯形中，，若分别是边，上的动点，满足，其中，若，则的值为（ ）

A. 1B. 3C. D.
【答案】D
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可得.
设，，由，即，据此可得，
故，同理可得，，
据此可得，
则，整理可得，
由于，故.故选：D.

6. 蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率（每分钟鸣叫的次数）与气温（单位：℃）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据，建立了关于的线性回归方程，则下列说法不正确的是（ ）
A. 的值是20
B. 变量，呈正相关关系
C. 若的值增加1，则的值约增加0.25
D. 当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预报值为33.5℃
【答案】D
【解析】由题意，得，
，
则，故A正确；
由线性回归方程可知，，变量，呈正相关关系，故B正确；
若的值增加1，则的值约增加0.25，故C正确；
当时，，故D错误.
故选：D.
7. 设，，，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】，，，故.
故选：C.
8. 已知函数，则关于的不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题设，对称轴为且图象开口向下，
则在上递增，上递减，
由，即恒过且，
所以上，上，
而在上递增，且上，上，
所以的解集为.
故选：C.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知双曲线的离心率为，右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，则有（ ）
A. 渐近线方程为B. 渐近线方程为
C. D.
【答案】BC
【解析】双曲线离心率为
故渐近线方程为，
取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得,
则，所以，则，故选BC.
10. 将函数的图象向右平移个单位长度，对于所得图象对应的函数，下列说法正确的是（ ）
A. 在区间上单调递减B. 在区间上单调递增
C. 在区间上单调递减D. 在区间上单调递增
【答案】BC
【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，
得，
∵，∴，
∴函数在上单调递增，故选项B正确；
因为，所以，
所以函数在上单调递减，故选项C正确，
故选：BC.
11. 已知均为正实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】因为，当且仅当时等号成立，所以，故正确；
由得，
同理，
当且仅当，即时等号成立，故B正确；
满足题意，但，故C错误；
由得，所以，当且仅当即时等号成立，所以，故D正确
故选：ABD.
12. 已知定义在上的函数满足为偶函数，为奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 函数为周期函数
C. 函数为上的偶函数D.
【答案】AB
【解析】因为为偶函数，
，故函数图象关于直线对称，
f2x+1为奇函数，1），函数图象关于1,0对称，
对于B，，故2是函数的周期，函数为周期函数，故B正确；
对于A，，令，故f1=0，
又，故A正确；
对于C，，当时，f'x>0，即函数在上递增，
函数图象关于1,0对称，故函数在上递减，故函数在上递增，
所以，故函数不是偶函数，故C错误；
对于D，，故D错误，
故选：AB.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，C为平面内的一个动点，且满足，则点C的轨迹方程为______________．
【答案】
【解析】依题意，设，由，
得，
即，整得得，
所以点的轨迹方程为.
14. 在的展开式中，所有项的二项式系数的和为64，则常数项为______.
【答案】60
【解析】由题可知：，所以，
展开式通项为，
令，得4，常数项为.
15. 点P是抛物线上一动点，则点P到点的距离与到直线的距离之和的最小值是___________.
【答案】
【解析】因为抛物线方程为，
所以抛物线的焦点坐标为准线方程为：，
如图所示：
由抛物线的定义得：点p到的焦点的距离与到准线的距离相等，
所以当A，P，F三点共线时，P到点的距离与到直线的距离之和最小，
最小值为.
16. 已知关于x的方程有4个不等实数根，则a的取值范围是______．
【答案】0【解析】由得,
由于，所以问题转化为和共有4个不同的实根，
记，则，当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，
故，又因此，当时，，当时，，故的图象如图所示，
要使和共有4个不同的实根，则需要且，
解得0四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知的内角，，的对边分别为，，，且
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
解：（1）由正弦定理，可得，
故，即，
，化简得，
又，故.
（2）由得，
又，即得，
则，故周长为.
18. 已知数列的前项和为，正项等差数列满足，且成等比数列.
（1）求和的通项公式；
（2）证明：.
（1）证明：由得，
两式相减可得，即.
当时，，即，
则，解得，
且，可知是首项为，公比为的等比数列，
可得
设等差数列的公差为，
因为成等比数列，则，
即，解得或（舍去），
所以.
（2）解：由（1）得，则，
可知是以首项，公比为的等比数列，
则
，
所以.
19. 为落实教育部的双减政策，义务教育阶段充分开展课后特色服务.某校初中部的篮球特色课深受学生喜爱，该校期末将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投3次，先在M处投一次三分球，投进得3分，未投进不得分，以后均在N处投两分球，每投进一次得2分，未投进不得分.测试者累计得分高于3分即通过测试，并终止投篮.甲､乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在M处和N处各投10次，根据他们每轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表：
若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率.
（1）已知该校有300名学生的投篮水平与甲同学相当，求这300名学生通过测试人数的数学期望；
（2）在甲､乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率.
解：（1）甲同学两分球投篮命中的概率为，
甲同学三分球投篮命中的概率为，
设甲同学累计得分为，
则，
则，
所以甲同学通过测试的概率为.
设这300名学生通过测试的人数为，由题设，
所以.
（2）乙同学两分球投篮命中率为，
乙同学三分球投篮命中率为.
设乙同学累计得分为，则，.
设“甲得分比乙得分高”为事件，“甲､乙两位同学均通过了测试”为事件，
则，
，
由条件概率公式可得.
20. 已知平行四边形中，，点在上，且满足，将沿折起至的位置，得到四棱锥.
（1）求证：平面平面；
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
（1）证明：在中，，，，
由余弦定理得，
所以，由勾股定理知.
折叠后，则有，，因为PE∩DE=E，所以平面，
又平面，所以平面平面；
（2）解：，，则即为二面角的平面角.
以为坐标原点，、所在的方向分别作为、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
于是、、，，
所以，，，
设平面的一个法向量，
有，即，令，则，.
所以即为平面的一个法向量.
.
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
21. 已知椭圆C：的一个焦点为F（2，0），离心率为．过焦点
F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求四边形AMBN面积的最大值．
（1）解：由题意可得 解得,
故椭圆的方程为.
（2）当直线斜率不存在时 , 的坐标分别为,
四边形面积为，
当直线斜率存在时 , 设其方程为 点 , 点 到直线的距离分别为
则四边形 面积为,
得,
则，
所以
，
因为
所以中点,
当时, 直线方程为,
解得
所以
.
当 时 , 四边形 面积的最大值
综上四边形 面积的最大值为 .
22. 已知函数.
（1）若，求函数的最大值；
（2）若恒成立，求的值；
（3）令，过点作曲线的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证：点一定在第一象限内.
（1）解：当时，的定义域为，
令，得，令，得．
因此，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以.
（2）解：令，,
若，存，与恒成立矛盾，
所以必有，，，
设方程两根分别为，则，所以方程必有一正根，记作，
所以函数在单调递增，在,单调递减，
若满足条件，必有，注意,
则有，代入式，解得，
所以；
（3）证明：因为，设两切点为，,，
不妨设在的右边，则，，
所以，两点处的切线方程分别为，，
令，解得，，
因为，所以，
要证明，即证明，因为，即证，
设，则，
所以在上是增函数，所以，则，
所以，故点一定在第一象限内.（次数/分钟）
20
30
40
50
60
（℃）
25
27.5
29
32.5
36