[数学]湖北省腾云联盟2025届高三上学期8月联考试卷(解析版)

这是一份[数学]湖北省腾云联盟2025届高三上学期8月联考试卷(解析版)，共19页。试卷主要包含了 若集合，则， 设，“复数是纯虚数”是“”的， 函数的一个对称中心的是等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，
所以.
故选：B．
2. 设，“复数是纯虚数”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件；B. 必要不充分条件；
C. 充分必要条件；D. 既不充分也不必要条件.
【答案】A
【解析】当是纯虚数时，一定有，但是当时，只有当时，才能是纯虚数，所以“复数是纯虚数”是“”的充分而不必要条件，
故选：A.
3. 函数的一个对称中心的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，则,
当k=1时，对称中心为：，结合选项，ABC错误，
故选：D.
4. 过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】中，，
，即，
故选：A.
5. 中国航天英雄太空旅程时间一览表如下，则太空旅程时间数据下四分位数为（ ）
A. 3B. 8C. 9D. 183
【答案】C
【解析】将数据从小到大排列后得到21时23分，3天，5天，13天，15天，33天，90天，154天，183天，183天，187天，187天，，下四分位数为第三个数和第四个数的平均数，即9天.
故选：C.
6. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱.若侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设当底面水平放置时，液面高为，
依题意，侧面水平放置时，液面恰好过的四等分点处，，
所以水的体积，
解得.
故选：B.
7. 直线经过函数图象的对称中心，则的最小值为（ ）
A. 9B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，
∴fx关于点2,1对称，
则直线经过点2,1，
即，所以，
所以.
当且仅当且，即时，等号成立.
故选：A.
8. 已知函数，且恒成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时，，
若，则，要使恒成立，即，
若，则，要使恒成立，
即，，即，
当时，，
，
∴fx在0,+∞上单调递增，
要使恒成立，即，
综上所述，的取值范围为，
故选：C．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了100次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时，样本标准差为6；骑自行车平均用时，样本方差为4．假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布．则下列说法中正确的是（ ）
（参考数值：随机变量服从正态分布，则，.）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】由题意可设，
由题意可得：，所以A正确，B错误；
，
，
，
，故C错误；
，
，
，故D正确.
故选：AD．
10. 已知平面四边形中，，和，将平面四边形沿对角线翻折，得到四面体.则下列说法正确的是（ ）
A. 无论翻折到何处，
B. 四面体的体积的最大值为
C. 当时，四面体的外接球的体积为
D. 当时，二面角的余弦值为
【答案】ACD
【解析】对于：取线段的中点，连接，
是等边三角形，在中，，
，
又平面，
平面，
又平面，即无论翻折到何处，，故A正确；
对于B：当平面平面时，四面体的体积最大，
又，平面平面，平面，
所以平面，
又，，
所以，故B错误；
对于C：当时，，，
所以，，又，即两两互相垂直，且，
将四面体补成棱长为的正方体，则正方体的外接球即为四面体的外接球，
所以外接球半径，
所以外接球体积为，故C正确；
对于D：当时，，，
所以，，
将四面体补成棱长为的正方体，
取中点，中点，则，，所以，
又,平面，平面，
所以，所以，又，平面，
所以平面，又平面，所以，
是二面角的平面角，
又平面，平面，所以，
所以，则当时，二面角的余弦值为，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知定义域为的函数满足：①若，则；②对一切正实数，则（ ）
A.
B.
C. ，恒有成立
D. 存在正实数，使得成立
【答案】BCD
【解析】对于A，在中，令，可得，无法确定f1的值，A错；
对于B，令，代入条件②中，，即，B对；
对于C，当时，，且当时，，则，C对；
对于D，取，由于
，从而成等差数列，即成等差数列，
即
而公差，所以当n充分大时，可使，D对.
故选：BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若平面内不共线的向量两两夹角相等，且，则__________.
【答案】
【解析】因为平面内不共线平面向量两两的夹角相等，
即两两的夹角为，
.
13. 从有5个红球和4个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.那么，在第3次摸到红球的条件下第4次摸到红球的概率为__________.
【答案】
【解析】用表示事件"第次摸到红球"，表示事件"第次摸到红球"，.
.
14. 已知抛物线，从抛物线内一点出发平行于轴的光线经过抛物线上点反射后交抛物线于点，直线与轴交点横坐标为__________；的面积为__________.
【答案】
【解析】，
设切线与轴交于点，由抛物线的光学性质可知，
过焦点，即与轴交点横坐标为；，直线的斜率为，
直线的倾斜角为60°，且，
即，
.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角所对的边分别为，且满足.
（1）求；
（2）若，且的面积为，求.
解：（1）由题设及正弦定理得，，
即.
，
，
整理得，
即，
，
即.
（2）由，得，
由余弦定理得，
即，
.
16. 已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）讨论关于方程的解的个数.
解：（1）函数的定义域为，
令，解得，
当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
所以当时，有极小值，且极小值为.
综上所述，的单调递增区间为1,+∞，单调递减区间为；
有极小值，极小值为，无极大值.
（2）令，解得；
当时，；当时，.
当时，，当时，，
结合（1）中分析可得，的大致图象如图所示，
方程的解的个数为函数y=fx的图象与直线的交点个数.
由（1）可得当时，有最小值；
由图可得，当时，方程无解；
当或时，方程有1个解；
当时，方程有两个解.
17. 如图，已知四棱锥中，平面，且.

（1）证明：平面；
（2）已知锐二面角的正弦值为，求二面角的余弦值.
（1）证明：法一：如图1，延长和相交于点，连接，

，，则，
又，，
则平面平面平面.
法二：如图2，过作平行交于点，

，则，
，
，，，
，均平行于平面，
且是平面内的两条相交直线，
平面平面，又平面平面.
法三：如图2，过作平行交于点，连接，
，且，
平行，，则，
平行于，，
..均平行于平面，且是平面内的两条相交直线，
平面平面，又平面平面.
（2）解：法一：平面平面平面平面，
如图3，过点作交于平面平面，

平面平面.
过点作交于，又，
且平面，平面，
为二面角的平面角，则，
设，则，
平面平面，，
又，，
中，，则，
过点作交于点，连接，
则为二面角的平面角，
，
综上所述，二面角的余弦值为.
法二：如图4，在平面内过点作的垂线于的延长线交于点

过作交于，连接，
平面平面平面平面，
平面平面平面，
平面，
平面，
又平面，即为二面角的平面角，
平面平面，，又，
中，，则，
，
，
中，边上的高，
设二面角平面角为平面，
，
综上所述，二面角的余弦值为.
法三：如图5，平面在平面内过点引的垂线记为轴，
以所在直线为轴，轴如图建立空间直角坐标系，

平面平面，，又，
，
中，，则，
则，
设平面的法向量为n=x,y,z，
，取，则
得，平面的法向量为n1=0,0,1，
二面角正弦值为，①，
设二面角的平面角为，平面的法向量为，
②
由①解得，代入②中，得，
综上所述，二面角的余弦值为.
18. 已知点是圆上的任意一点，，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹记为；点是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹记为；已知直线与相交于点，与相交于点，线段和线段的中点分别为.
（1）求曲线和曲线的方程；
（2）已知的面积为，求直线的斜率的值.
解：（1）依题意可得，
点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆，即，
依题意可得，
点的轨迹是以为焦点，1为实轴长的双曲线，即.
（2）设，
联立消去得，，由韦达定理可得，
联立.去得，，由韦达定理可得，
则线段的长度为，
点到直线的距离为，
，
即，
，
，
法一：，
，
令在上单调递增，
，
，使得上单调递减，
在上单调递增，即当时，
在上无解.
综上所述，直线的斜率的值为1.
法二：设，显然f1=0，
，
令，
当时，，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，
在上恒成立，即在单调递增，
在上有且仅有一解，
综上所述，直线的斜率的值为1.
19. 在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“A型扩展”.如将数列进行“A型扩展”，第一次得到数列：第二次得到数列设第次“A型扩展”后所得数列为（其中），并记；在数列的每相邻两项之间插入后项与前项的商，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次“B型扩展”.即将数列进行“B型扩展”，第一次得到数列；第二次得到数列设第次“B型扩展”后所得数列为（其中），当时，记.
（1）当时，求数列1，2第3次“A型拓展”得到的数列的第6项；
（2）当时，求数列的通项公式；
（3）是否存在一个项数为的数列，记的各项和为，记进行第一次“B型拓展”后得到的新数列，记各项和为，使得成立.（其中，是第二问中数列的通项公式）若存在，写出一个满足条件的的通项公式；若不存在，请说明理由.
解：（1）将数列1，2进行第一次"A型拓展"得到1，2，2；进行第二次"A型拓展"得到；进行第三次"A型拓展"得到1，2，2，4，2，8，4，8，2；所以第6项为8；
（2）当时，，
，
所以，
又，
从而是首项为，公比为3的等比数列，，
，
，
，
，
即bn是以2为首项，1为公差的等差数列，.
（3）将数列进行型拓展后得到数列，
显然，，
，
，且，
可以看作是数列的前项和，
即分别对应，
取，
当时，
，
即.神舟五号
神舟六号
神舟七号
神舟九号
神舟十号
神舟十一号
神舟十二号
神舟十三号
神舟十四号
神舟十五分
神舟十六
神舟十七号
21时23分
5天
3天
13天
15天
33天
90天
183天
183天
187天
154天
187天