2020-2021学年吉林省四平市铁西区八年级上学期期中数学试题及答案

这是一份2020-2021学年吉林省四平市铁西区八年级上学期期中数学试题及答案，共20页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏 捂口鼻B．喷嚏后 慎揉眼
C．勤洗手 勤通风D．戴口罩 讲卫生
2．已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C＝3∠A，则此三角形（ ）
A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°
C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形
3．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
4．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（ ）
A．AM＝BMB．AP＝BNC．∠MAP＝∠MBPD．∠ANM＝∠BNM
5．①两角及一边对应相等；②两边及其夹角对应相等；③两边及一边所对的角对应相等；④两角及其夹边对应相等，以上条件能判断两个三角形全等的是（ ）
A．①③B．②④C．②③④D．①②④
6．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则第三边长为 ．
8．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是 ．
9．等腰三角形的一个外角是100°，则这个等腰三角形的底角为 ．
10．如图所示，△ABC≌△ECD，∠A＝48°，∠D＝62°，则图中∠B的度数是 度．
11．如图，三角形纸片ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 cm．
12．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是 （只填序号）．
13．如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 ．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B（6，8），若点P同时满足下列条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边距离相等，则点P的坐标为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝3∠A，求∠B的度数．
16．已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，请判断△ABC的形状．
17．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，AD＝AC，以线段AD为边作△ADE，使得AE＝AB，∠BAE＝∠CAD．求证：DE＝CB．
18．图a、图b是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．
（1）在图a中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为轴对称图形；
（2）在图b中画出四边形ABCD（C、D都在小正方形的顶点上），使四边形ABCD面积为3的轴对称图形．
四、解答题（每题7分，共28分）
19．若一个多边形的内角和比它的外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数和对角线的条数．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
求证：BE垂直平分CD．
21．如图，已知A（1，2），B（3，1），C（4，3）．
（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）直线m平行于x轴，在直线m上求作一点P使得△ABP的周长最小，请在图中画出P点．
22．如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰△CAD，使AC＝AD，连接BD，若∠DBC＝41°，请求出∠CAD的度数．
五、解答题（每题8分，共16分）
23．如图：已知AD∥BC，AD＝CB，A、E、F、C在同一直线上且AE＝CF，
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若∠DFA＝90°，∠A＝30°，AD＝4，请求出BE的长．
24．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，再过P作PF∥BC交AC于F．
（1）请证明△PFD≌△QCD；
（2）请求出DE的长．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABO是等边三角形，边BO上有一点E（m，0），且B、E两点之间的距离为6．
（1）求B的坐标（用含有m的式子表示）；
（2）如图（1），若点F在线段AB上运动，点P在y轴的正半轴上运动，当PE+PF的值最小时，BF＝7．请求出此时m的值．
（3）在（2）条件下，连接BP，请求出S△POE：S△POB的值．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）PC＝ cm（用含t的代数式表示）．
（2）当点P从点B开始运动同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CA向点A运动，当△ABP≌△PCQ时，求v的值．
（3）在（2）的条件下，求△ABP≌△QCP时v的值．
参考答案
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中图案是轴对称图形的是（ ）
A．打喷嚏 捂口鼻B．喷嚏后 慎揉眼
C．勤洗手 勤通风D．戴口罩 讲卫生
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
解：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
2．已知△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C满足关系式∠B+∠C＝3∠A，则此三角形（ ）
A．一定有一个内角为45°B．一定有一个内角为60°
C．一定是直角三角形D．一定是钝角三角形
【分析】由三角形内角和定理可得关于∠A的一元一次方程，解方程即可得解．
解：∵∠B+∠C+∠A＝180°，∠B+∠C＝3∠A，
∴∠B+∠C+∠A＝4∠A＝180°，
∴∠A＝45°．
故选：A．
3．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
解：线段BE是△ABC的高的图是选项D．
故选：D．
4．如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（ ）
A．AM＝BMB．AP＝BNC．∠MAP＝∠MBPD．∠ANM＝∠BNM
【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM＝BM，AN＝BN，∠ANM＝∠BNM，
∵点P时直线MN上的点，
∴∠MAP＝∠MBP，
∴A，C，D正确，B错误，
故选：B．
5．①两角及一边对应相等；②两边及其夹角对应相等；③两边及一边所对的角对应相等；④两角及其夹边对应相等，以上条件能判断两个三角形全等的是（ ）
A．①③B．②④C．②③④D．①②④
【分析】根据三角形全等的判定方法，运用排除法，对各个选项进行分析从而确定答案．
解：①两角及一边对应相等能判定两个三角形全等；
②两边及其夹角对应相等能判定两个三角形全等；
③两边及一边所对的角对应相等不能判定两个三角形全等；
④两角及其夹边对应相等能判定两个三角形全等．
故选：D．
6．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条边的垂直平分线的交点
【分析】因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则第三边长为 4 ．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，求得第三边的取值范围，再进一步根据第三边是整数求解．
解：根据三角形的三边关系，得
4﹣1＜第三边长＜4+1，即3＜第三边长＜5，
又第三边长为整数，
则第三边长为4．
故答案为：4．
8．点P（﹣2，3）关于x轴的对称点的坐标是 （﹣2，﹣3） ．
【分析】两点关于x轴对称，那么横坐标不变，纵坐标互为相反数．
解：点P（﹣2，3）关于x轴的对称，即横坐标不变，纵坐标互为相反数，
∴对称点的坐标是（﹣2，﹣3）．
故答案为：（﹣2，﹣3）．
9．等腰三角形的一个外角是100°，则这个等腰三角形的底角为 50°或80° ．
【分析】由等腰三角形的一个外角是100°，可分别从①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角与②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角去分析求解，即可求得答案．
解：①若100°的外角是此等腰三角形的顶角的邻角，
则此顶角为：180°﹣100°＝80°，
则其底角为：＝50°；
②若100°的外角是此等腰三角形的底角的邻角，
则此底角为：180°﹣100°＝80°；
故这个等腰三角形的底角为：50°或80°．
故答案为：50°或80°．
10．如图所示，△ABC≌△ECD，∠A＝48°，∠D＝62°，则图中∠B的度数是 70 度．
【分析】根据全等三角形的性质求出∠ACB，根据三角形内角和定理计算即可．
解：∵△ABC≌△ECD，∠D＝62°，
∴∠ACB＝∠D＝62°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣48°﹣62°＝70°，
故答案为：70．
11．如图，三角形纸片ABC，AB＝10cm，BC＝7cm，AC＝6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 9 cm．
【分析】由折叠中对应边相等可知，DE＝CD，BE＝BC，可求AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC，则△AED的周长为AD+DE+AE＝AC+AE．
解：DE＝CD，BE＝BC＝7cm，
∴AE＝AB﹣BE＝3cm，
∴△AED的周长＝AE+AD+DE＝AC+AE＝6+3＝9cm．
12．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是 ② （只填序号）．
【分析】一般三角形全等的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，据此可逐个对比求解．
解：∵已知∠ABC＝∠DCB，且BC＝CB
∴若添加①∠A＝∠D，则可由AAS判定△ABC≌△DCB；
若添加②AC＝DB，则属于边边角的顺序，不能判定△ABC≌△DCB；
若添加③AB＝DC，则属于边角边的顺序，可以判定△ABC≌△DCB．
故答案为：②．
13．如图，△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为 65° ．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质得出∠C＝∠CAD，进而可得出结论．
解：∵△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣55°﹣30°＝95°．
∵直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴∠C＝∠CAD＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝95°﹣30°＝65°．
故答案为：65°．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，8），点B（6，8），若点P同时满足下列条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边距离相等，则点P的坐标为 （3，3） ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到点P在线段AB的垂直平分线x＝3上，根据角平分线的性质解答即可．
解：∵点A（0，8），点B（6，8），点P到A，B两点的距离相等，
∴点P在线段AB的垂直平分线x＝3上，
∵点P到∠xOy的两边距离相等，
∴点P的坐标为（3，3），
故答案为：（3，3）．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝3∠A，求∠B的度数．
【分析】用∠B表示出∠A，再根据直角三角形两锐角互余列方程求解即可．
解：∵∠B＝3∠A，
∴∠A＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠B+∠B＝90°，
解得∠B＝67.5°．
16．已知a、b、c为△ABC的三边长，b、c满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且a为方程|a﹣4|＝2的解，请判断△ABC的形状．
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出b，c的值，进而利用三角形三边关系得出a的值，进而判断出其形状．
解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a为方程|a﹣4|＝2的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6或2．
∵a、b、c为△ABC的三边长，b+c＜6，
∴a＝6不合题意舍去，
∴a＝b＝2，
∴△ABC是等腰三角形．
17．如图，△ABC中，D为BC边上的一点，AD＝AC，以线段AD为边作△ADE，使得AE＝AB，∠BAE＝∠CAD．求证：DE＝CB．
【分析】先由角的和差性质证得∠DAE＝∠CAB，再根据SAS定理证明△ADE≌△ACB，最后根据全等三角形的性质得出DE＝CB．
【解答】证明：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠BAD＝∠CAD+∠BAD，
即∠DAE＝∠CAB，
在△ADE和△ACB中，
，
∴△ADE≌△ACB（SAS），
∴DE＝CB．
18．图a、图b是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．
（1）在图a中画出△ABC（点C在小正方形的顶点上），使△ABC为轴对称图形；
（2）在图b中画出四边形ABCD（C、D都在小正方形的顶点上），使四边形ABCD面积为3的轴对称图形．
【分析】（1）根据轴对称图形的定义，画出图形即可．
（2）构造两底分别为2，4的直角梯形即可．
解：（1）如图a，△ABC即为所求．
（2）如图b中，四边形ABCD即为所求．
四、解答题（每题7分，共28分）
19．若一个多边形的内角和比它的外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数和对角线的条数．
【分析】一个多边形的内角和等于外角和的3倍多180°，而任何多边形的外角和是360°，因而多边形的内角和等于1260°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，即可求出答案．
解：设这个多边形的边数为n，则内角和为180°（n﹣2），依题意得：
180°（n﹣2）＝360°×3+180°，
解得n＝9，
对角线条数：．
答：这个多边形的边数是9，对角线有27条．
20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F．
求证：BE垂直平分CD．
【分析】首先根据HL证明Rt△ECB≌Rt△EDB，得出∠EBC＝∠EBD，然后根据等腰三角形底边上的高与顶角的平分线重合即可证明．
【解答】证明：∵ED⊥AB，
∴∠EDB＝90°，
在Rt△ECB和Rt△EDB中，
，
∴Rt△ECB≌Rt△EDB（HL），
∴∠EBC＝∠EBD，
又∵BD＝BC，
∴BF⊥CD，
∴CF＝DF，
∴BE垂直平分CD．
21．如图，已知A（1，2），B（3，1），C（4，3）．
（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）请直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（3）直线m平行于x轴，在直线m上求作一点P使得△ABP的周长最小，请在图中画出P点．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于y轴的对称点位置，再连接即可；
（2）根据所画出的图形写出点的坐标；
（3）根据轴对称进行画图即可．
解：（1）如图1所示：
（2 ）A1（﹣1，2）；B1（﹣3，1）；C1（﹣4，3）；
（3）如图2所示：
点P即为所求．
22．如图，以等边△ABC的边AC为腰作等腰△CAD，使AC＝AD，连接BD，若∠DBC＝41°，请求出∠CAD的度数．
【分析】根据等边三角形的性质和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵AC＝AD，
∴∠ACD＝∠ADC，
设∠ACD＝∠ADC＝α，则∠BCD＝60°+α，
∵∠DBC＝41°，
∴∠ABD＝60°﹣41°＝19°，
∵AB＝AC＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝19°，
∴∠BDC＝180°﹣41°﹣（60°+α）＝α﹣19°，
∴α＝49°，
∴∠ACD＝∠ADC＝49°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝82°．
五、解答题（每题8分，共16分）
23．如图：已知AD∥BC，AD＝CB，A、E、F、C在同一直线上且AE＝CF，
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若∠DFA＝90°，∠A＝30°，AD＝4，请求出BE的长．
【分析】（1）由“SAS”可证△AFD≌△CEB，可得∠B＝∠D；
（2）由直角三角形的性质可求DF＝2，由全等三角形的性质可求DF＝BE＝2．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE．
在△AFD和△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（SAS），
∴∠B＝∠D；
（2）解：∵∠DFA＝90°，∠A＝30°，AD＝4，
∴DF＝，
由（1）知△AFD≌△CEB，
∴BE＝DF＝2．
24．如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，再过P作PF∥BC交AC于F．
（1）请证明△PFD≌△QCD；
（2）请求出DE的长．
【分析】（1）过P作PF∥BC交AC于F，得出等边三角形APF，推出AP＝PF＝QC，根据等腰三角形性质求出EF＝AE，由“AAS”可证△PFD≌△QCD，
（2）由全等三角形的性质可得FD＝CD，推出DE＝AC，即可求解．
【解答】（1）证明：∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP＝PF＝AF，
∵PE⊥AC，
∴AE＝EF，
∵AP＝PF，AP＝CQ，
∴PF＝CQ．
在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS）；
（2）解：∵△PFD≌△QCD，
∴FD＝CD，
∵AE＝EF，
∴EF+FD＝AE+CD，
∴AE+CD＝DE＝AC，
∵AC＝1，
∴DE＝．
六、解答题（每题10分，共20分）
25．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABO是等边三角形，边BO上有一点E（m，0），且B、E两点之间的距离为6．
（1）求B的坐标（用含有m的式子表示）；
（2）如图（1），若点F在线段AB上运动，点P在y轴的正半轴上运动，当PE+PF的值最小时，BF＝7．请求出此时m的值．
（3）在（2）条件下，连接BP，请求出S△POE：S△POB的值．
【分析】（1）由B、E两点之间的距离为6；
（2）如图1，作点E关于y轴对称点E'，过点E'作E'F'⊥AB，由垂线段最短可得此时，PE'+PF'的值最小，由直角三角形的性质可求BO＝10，即可求解；
（3）分别利用三角形面积公式求出两个三角形面积，可得结论．
解：（1）∵边BO上有一点E（m，0），且B、E两点之间的距离为6，
∴点B（m﹣6，0）；
（2）如图1，作点E关于y轴对称点E'，过点E'作E'F'⊥AB，
由垂线段最短可得此时，PE'+PF'的值最小，
∵E'F⊥AB，∠ABO＝60°，BF'＝7，
∴BE'＝2BF'＝14，
∴BO+OE'＝14，
∴6﹣m﹣m＝14
∴m＝﹣4；
（3）∵m＝﹣4，
∴m﹣6＝﹣10，
∴OE＝4，OB＝10，
∴S△POE＝，，
∴S△POE：S△POB＝2：5．
26．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝12cm，点P从点B出发，以2cm/s速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）PC＝ 12﹣2t cm（用含t的代数式表示）．
（2）当点P从点B开始运动同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CA向点A运动，当△ABP≌△PCQ时，求v的值．
（3）在（2）的条件下，求△ABP≌△QCP时v的值．
【分析】（1）根据P点的运动速度可得BP的长，再利用BC﹣BP即可得到CP的长；
（2）由全等三角形的性质可得BP＝CQ，AB＝PC，分别求出点Q运动的时间和长度，即可求解；
（3）由全等三角形的性质可得BP＝CQ，AB＝PC，分别求出点Q运动的时间和长度，即可求解．
解：（1）依题意，得
PC＝12﹣2t．
故答案是：12﹣2t；
（2）∵△ABP≌△PCQ，
∴BP＝CQ，AB＝PC，
∵AB＝10，
∴PC＝10，
∴BP＝12﹣10＝2，
∴2t＝2，
解得：t＝1，
∵CQ＝BP＝2，
v×1＝2，
解得：v＝2；
（3）∵△ABP≌△QCP，
∴BA＝CQ，PB＝PC
∵PB＝PC，
∴BP＝PC＝BC＝6，
2t＝6，
解得：t＝3，
∵CQ＝BA＝10，
∴v×3＝10，
解得：v＝．