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2025中考数学一轮复习讲义第6讲 因式分解（含解析+答案解析）
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这是一份2025中考数学一轮复习讲义第6讲 因式分解（含解析+答案解析），共19页。学案主要包含了规律方法等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2B．﹣x2+4y2C．x2﹣2y+1D．﹣x2﹣4y2
2．计算：1252﹣50×125+252＝（ ）
A．100B．150C．10000D．22500
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣3x﹣2＝（x﹣1）（x﹣2）
B．3x2﹣27＝3（x+3）（x﹣3）
C．x3﹣x2﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
4．将多项式a3﹣16a进行因式分解的结果是（ ）
A．a（a+4）（a﹣4）B．（a﹣4）2
C．a（a﹣16）D．（a+4）（a﹣4）
5．下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A．4x2﹣6xy+9y2B．4a2﹣4a﹣1
C．x2﹣1D．4m2﹣4mn+n2
6．若m3+2m﹣1＝0，则2m4+m3+4m2﹣2024的值是（ ）
A．﹣2024B．﹣2025C．﹣2022D．﹣2023
7．把﹣6a3+4a2﹣2a分解因式时，提出公因式后，另一个因式是（ ）
A．3a2﹣2a+1B．6a2﹣4a+2C．3a2﹣2aD．3a2+2a﹣1
8．对4x2﹣16因式分解，嘉嘉的解答为：4（x+2）（x﹣2）；琪琪的解答为：（2x+2）（2x﹣2），下列判断正确的是（ ）
A．只有嘉嘉的结果对B．只有琪琪的结果对
C．两人的结果都对D．两人的结果都不对
9．若代数式mk2+（k+3）2（其中k为整数）能被3整除，则m的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2+4x+4＝（x+2）2D．x2﹣x+1＝（x﹣1）2
二．填空题（共5小题）
11．整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解因式：a2+3ab+2b2＝ ．
12．因式分解：ab2﹣4a＝ ．
13．因式分解：m2n﹣9n+3﹣m＝ ．
14．因式分解a2﹣4a+4的结果是 ．
15．分解因式：4m2n﹣4mn+n＝ ．
三．解答题（共5小题）
16．先阅读、观察、理解，再解答后面的问题：
第1个等式：1×2=13（1×2×3﹣0×1×2）=13（1×2×3）
第2个等式：1×2+2×3=13（1×2×3﹣0×1×3）+13（2×3×4﹣1×2×3）
=13（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3）=13（2×3×4）
第3个等式：1×2+2×3+3×4=13（1×2×3﹣0×1×2）+13（2×3×4﹣1×2×3）+13（3×4×5﹣2×3×4）
=13（1×2×3﹣0×1×3+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4）=13（3×4×5）
（1）依此规律，猜想：1×2+2×3+3×4+……+n（n+1）＝ （直接写出结果）；
（2）根据上述规律计算：10×11+11×12+12×13+……+29×30．
17．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
（1）求整式M、P；
（2）将整式P因式分解；
（3）P的最小值为 ．
18．若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，因为5＝12+22，再如M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“完美数”．
（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断41是否为“完美数”；
（2）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x，y是整数，k为常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
（3）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．
19．有一电脑AI程序如图，能处理整式的相关计算，已知输入整式A＝k﹣1，整式C＝2k2+k﹣3后，屏幕上自动将整式B补齐，但由于屏幕大小有限，只显示了整式B的一部分：B＝2k+…．
（1）嘉淇想：把B设为2k+m，再利用A•B＝C来解决问题，请利用嘉淇的想法求程序自动补全的整式B；
（2）在（1）的条件下，嘉淇发现：若k为任意整数，整式B2﹣2C的值总能被某个大于1的正整数整除，求这个正整数的值．
20．已知多项式①x2﹣2xy，②x2﹣4y2，③x2﹣4xy+4y2．
（1）把这三个多项式因式分解；
（2）请选择下列其中一个等式（A或B），求x与y的关系．
A．①+②＝③；B．①+③＝②；
2025年中考数学一轮复习之因式分解
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2B．﹣x2+4y2C．x2﹣2y+1D．﹣x2﹣4y2
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；符号意识．
【答案】B
【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．
【解答】解：A．x2+4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；
B．﹣x2+4y2是2y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式；
C．x2﹣2y+1是三项不能用平方差公式分解因式；
D．﹣x2﹣4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式．
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．
2．计算：1252﹣50×125+252＝（ ）
A．100B．150C．10000D．22500
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【答案】C
【分析】直接利用完全平方公式分解因式，进而计算得出即可．
【解答】解：1252﹣50×125+252
＝（125﹣25）2
＝10000．
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣3x﹣2＝（x﹣1）（x﹣2）
B．3x2﹣27＝3（x+3）（x﹣3）
C．x3﹣x2﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用因式分解的定义先排除D，再利用乘法与因式分解的关系通过计算分解结果判断A、B、C．
【解答】解：∵（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2≠x2﹣3x﹣2，故选项A分解错误；
3x2﹣27＝3（x2﹣9）＝3（x+3）（x﹣3），故选项B分解正确；
x（x+1）（x﹣1）＝x3﹣x≠x3﹣x2﹣x，故选项C分解错误；
（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，该变形是整式乘法不是因式分解，故选项D错误．
故选：B．
【点评】本题考查的了整式的因式分解，掌握乘法和因式分解的关系是解决本题的关键．
4．将多项式a3﹣16a进行因式分解的结果是（ ）
A．a（a+4）（a﹣4）B．（a﹣4）2
C．a（a﹣16）D．（a+4）（a﹣4）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】先提公因式，然后按照平方差公式因式分解即可．
【解答】解：a3﹣16a
＝a（a2﹣16）
＝a（a+4）（a﹣4）．
故选：A．
【点评】本题考查了提公因式法和平方差公式法进行因式分解，掌握提取公因式法，平方差公式是解题的关键．
5．下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A．4x2﹣6xy+9y2B．4a2﹣4a﹣1
C．x2﹣1D．4m2﹣4mn+n2
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，据此逐一判断即可．
【解答】解：A．4x2﹣6xy+9y2不符合完全平方公式的特点，故不符合题意；
B．4a2﹣4a﹣1不符合完全平方公式的特点，故不符合题意；
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），用平方差公式分解，故不符合题意；
D．4m2﹣4mn+n2＝（2m﹣n）2，用完全平方公式分解，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，能熟记完全平方公式是解此题的关键，
6．若m3+2m﹣1＝0，则2m4+m3+4m2﹣2024的值是（ ）
A．﹣2024B．﹣2025C．﹣2022D．﹣2023
【考点】因式分解的应用．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】D
【分析】根据m3+2m﹣1＝0，可得m3+2m＝1，再将其整体代入原式计算即可．
【解答】解：∵m3+2m﹣1＝0，
∴m3+2m＝1，
∴原式＝2m4+m3+4m2﹣2024
＝2m（m3+2m）+m3﹣2024
＝m3+2m﹣2024
＝1﹣2024
＝﹣2023，
故选：D．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．把﹣6a3+4a2﹣2a分解因式时，提出公因式后，另一个因式是（ ）
A．3a2﹣2a+1B．6a2﹣4a+2C．3a2﹣2aD．3a2+2a﹣1
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】将﹣6a3+4a2﹣2a提取公因式﹣2a，据此即可求解．
【解答】解：﹣6a3+4a2﹣2a＝﹣2a（3a2﹣2a+1），
故选：A．
【点评】本题考查提公因式法分解因式，借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
8．对4x2﹣16因式分解，嘉嘉的解答为：4（x+2）（x﹣2）；琪琪的解答为：（2x+2）（2x﹣2），下列判断正确的是（ ）
A．只有嘉嘉的结果对B．只有琪琪的结果对
C．两人的结果都对D．两人的结果都不对
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：4x2﹣16
＝4（x2﹣4）
＝4（x+2）（x﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意分解因式必须分解到不能再分解为止．
9．若代数式mk2+（k+3）2（其中k为整数）能被3整除，则m的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】因式分解的应用．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】B
【分析】先将原式变形为＝（m+1）k2+3（2k+3），根据代数式mk2+（k+3）2（其中k为整数）能被3整除，可知（m+1）能被3整除，因此m的值可以是2，不能等于1，3，4．
【解答】解：原式＝mk2+（k+3）2
＝mk2+k2+6k+9
＝（m+1）k2+3（2k+3），
∵代数式mk2+（k+3）2（其中k为整数）能被3整除，
∴（m+1）能被3整除，
∴m的值可以是2，不能等于1，3，4，
故选：B．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2+4x+4＝（x+2）2D．x2﹣x+1＝（x﹣1）2
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可．
【解答】解：A、从左到右的变形错误，x2+2x﹣1≠（x﹣1）2，故此选项不符合题意；
B、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，等式左边是几个整式的乘积式，右边是多项式，属整乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、x2+4x+4＝（x+2）2等式左边是多项式，右边是几个整式的乘积，属于因式分解，故此选项符合题意；
D、从左到右的变形错误，x2﹣x+1≠（x﹣1）2，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握分解因式的定义是关键．
二．填空题（共5小题）
11．整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解因式：a2+3ab+2b2＝ （a+2b）（a+b） ．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】（a+2b）（a+b）．
【分析】根据图形面积的两种表示方法求解即可．
【解答】解：∵矩形的长为a+2b，宽为a+b，
∴a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．
故答案为：（a+2b）（a+b）．
【点评】本题考查了因式分解的知识，熟练掌握图形的面积的求法和利用拼图分解因式是解题关键．
12．因式分解：ab2﹣4a＝ a（b+2）（b﹣2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（b2﹣4）
＝a（b+2）（b﹣2），
故答案为：a（b+2）（b﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．因式分解：m2n﹣9n+3﹣m＝ （m﹣3）（mn+3n﹣1） ．
【考点】因式分解﹣分组分解法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（m﹣3）（mn+3n﹣1）．
【分析】依据题意，根据因式分解的一般方法，先分组再运用公式法及提公因式可以得解．
【解答】解：原式＝n（m2﹣9）﹣（m﹣3）
＝n（m+3）（m﹣3）﹣（m﹣3）
＝（m﹣3）（mn+3n﹣1）．
故答案为：（m﹣3）（mn+3n﹣1）．
【点评】本题主要考查了分组分解法进行因式分解，解题时要熟练掌握并理解．
14．因式分解a2﹣4a+4的结果是 （a﹣2）2 ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（a﹣2）2．
【分析】利用完全平方公式，进行分解即可解答．
【解答】解：a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，
故答案为：（a﹣2）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15．分解因式：4m2n﹣4mn+n＝ n（2m﹣1）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】n（2m﹣1）2．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝n（4m2﹣4m+1）
＝n（2m﹣1）2．
故答案为：n（2m﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．先阅读、观察、理解，再解答后面的问题：
第1个等式：1×2=13（1×2×3﹣0×1×2）=13（1×2×3）
第2个等式：1×2+2×3=13（1×2×3﹣0×1×3）+13（2×3×4﹣1×2×3）
=13（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3）=13（2×3×4）
第3个等式：1×2+2×3+3×4=13（1×2×3﹣0×1×2）+13（2×3×4﹣1×2×3）+13（3×4×5﹣2×3×4）
=13（1×2×3﹣0×1×3+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4）=13（3×4×5）
（1）依此规律，猜想：1×2+2×3+3×4+……+n（n+1）＝ 13n（n+1）（n+2） （直接写出结果）；
（2）根据上述规律计算：10×11+11×12+12×13+……+29×30．
【考点】因式分解﹣提公因式法；有理数的混合运算．
【专题】规律型；因式分解；运算能力．
【答案】（1）n（n+1）（n+2）；
（2）8660．
【分析】（1）观察已知等式得到一般性规律，写出即可；
（2）原式利用得出的规律计算即可求出值．
【解答】解：（1）根据题意得：1×2+2×3+3×4+……+n（n+1）=13n（n+1）（n+2）；
故答案为：13n（n+1）（n+2）；
（2）原式＝（1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10+……+29×30）﹣（1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10）
=13×29×30×31−13×9×10×11
＝8990﹣330
＝8660．
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，以及有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．
17．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
（1）求整式M、P；
（2）将整式P因式分解；
（3）P的最小值为 ﹣16 ．
【考点】因式分解﹣运用公式法；整式的加减．
【专题】因式分解；整式；运算能力．
【答案】（1）5x﹣20；
（2）P＝4（x+2）（x﹣2）；
（3）﹣16．
【分析】（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；
（2）把P提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（3）利用非负数的性质求出P的最小值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：M＝（3x2﹣4x﹣20）﹣3x（x﹣3）
＝3x2﹣4x﹣20﹣3x2+9x
＝5x﹣20；
P＝3x2﹣4x﹣20+（x+2）2
＝3x2﹣4x﹣20+x2+4x+4
＝4x2﹣16；
（2）P＝4x2﹣16
＝4（x2﹣4）
＝4（x+2）（x﹣2）；
（3）∵P＝4x2﹣16，x2≥0，
∴当x＝0时，P的最小值为﹣16．
故答案为：﹣16．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及整式的加减，熟练掌握运算法则及因式分解的方法是解本题的关键．
18．若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，因为5＝12+22，再如M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“完美数”．
（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断41是否为“完美数”；
（2）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x，y是整数，k为常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
（3）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．
【考点】因式分解的应用．
【专题】阅读型；应用意识．
【答案】（1）41是完美数；
（2）k＝8时，S是完美数；
（3）mn是完美数．
【分析】（1）利用“完美数”的定义可得；
（2）利用配方法，将S配成完美数，可求k的值，
（3）根据完全平方公式，可证明mn是“完美数”．
【解答】解：（1）∵8＝22+22，
∴8是完美数，
∵41＝42+52，
∴41是完美数；
（2）∵S＝x2+9y2+4x﹣12y+k＝（x+2）2+（3y﹣2）2+k﹣8，
∴k＝8时，S是完美数；
（3）设m＝a2+b2，n＝c2+d2，（a，b，c，d为整数），
∴mn＝（a2+b2）（c2+d2）＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd﹣2abcd
∴mn＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2
∴mn是完美数．
【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．
19．有一电脑AI程序如图，能处理整式的相关计算，已知输入整式A＝k﹣1，整式C＝2k2+k﹣3后，屏幕上自动将整式B补齐，但由于屏幕大小有限，只显示了整式B的一部分：B＝2k+…．
（1）嘉淇想：把B设为2k+m，再利用A•B＝C来解决问题，请利用嘉淇的想法求程序自动补全的整式B；
（2）在（1）的条件下，嘉淇发现：若k为任意整数，整式B2﹣2C的值总能被某个大于1的正整数整除，求这个正整数的值．
【考点】因式分解的应用；一次函数的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】配方法；运算能力．
【答案】（1）B＝2k+3；
（2）见解答．
【分析】（1）设“”代表的代数式为m，即B＝2k+m，利用多项式乘以多项式进行展开，再合并同类项，即可求解；
（2）利用完全平方公式，单项式乘以多项式展开，再因式分解即可．
【解答】解：（1）设“”代表的代数式为m，
即B＝2k+m，则A•B＝（k﹣1）（2k+m）＝2k2+mk﹣2k﹣m＝2k2+（m﹣2）k﹣m，
∵A•B＝C＝2k2+k﹣3，
∴2k2+（m﹣2）k﹣m＝2k2+k﹣3，
∴m﹣2＝1，
解得m＝3，
即程序自动补全的整式B＝2k+3；
（2）∵B2﹣2C＝（2k+3）2﹣2（2k2+k﹣3）
＝4k2+12k+9﹣（4k2+2k﹣6）＝10k+15＝5（2k+3），
若k为任意整数，则2k+3为整数，
∴整式B2﹣2C的值总能被5整除．
【点评】本题考查了整式的乘法，加减法，因式分解，熟练掌握知识点以及运算法则是解题的关键．
20．已知多项式①x2﹣2xy，②x2﹣4y2，③x2﹣4xy+4y2．
（1）把这三个多项式因式分解；
（2）请选择下列其中一个等式（A或B），求x与y的关系．
A．①+②＝③；B．①+③＝②；
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）①x（x﹣2y）；②（x+2 y）（x﹣2 y）；③（x﹣2y）2；
（2）见详解．
【分析】（1）分别根据提公因式法和公式法进行因式分解即可；
（2）由题意列得对应的等式，然后变形后进行因式分解，再结合等式成立进行判断即可．
【解答】解：（1）①x2﹣2xy＝x（x﹣2y）．
②x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），
③x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2；
（2）选择A：
∵①+②＝③，
∴x（x﹣2y）+（x+2y）（x﹣2y）＝（x﹣2y）2，
即x（x﹣2y）+（x+2y）（x﹣2y）﹣（x﹣2y）2＝0，
因式分解得：（x﹣2 y）（x+4 y）＝0，
∴x﹣2y＝0或x+4y＝0，
解得：x＝2y或x＝﹣4y．
选择B：
∵①+③＝②，
∴x（x﹣2y）+（x﹣2y）2＝（x+2y）（x﹣2y），
即x（x﹣2 y）+（x﹣2 y）2﹣（x+2 y）（x﹣2 y）＝0．
因式分解得：（x﹣2 y）（x﹣4 y）＝0，
∴x﹣2y＝0或x﹣4y＝0，
解得：x＝2y或x＝4y．
【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
3．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
4．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
5．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
6．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
7．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
8．因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
9．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
10．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
11．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2B．﹣x2+4y2C．x2﹣2y+1D．﹣x2﹣4y2
2．计算：1252﹣50×125+252＝（ ）
A．100B．150C．10000D．22500
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣3x﹣2＝（x﹣1）（x﹣2）
B．3x2﹣27＝3（x+3）（x﹣3）
C．x3﹣x2﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
4．将多项式a3﹣16a进行因式分解的结果是（ ）
A．a（a+4）（a﹣4）B．（a﹣4）2
C．a（a﹣16）D．（a+4）（a﹣4）
5．下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A．4x2﹣6xy+9y2B．4a2﹣4a﹣1
C．x2﹣1D．4m2﹣4mn+n2
6．若m3+2m﹣1＝0，则2m4+m3+4m2﹣2024的值是（ ）
A．﹣2024B．﹣2025C．﹣2022D．﹣2023
7．把﹣6a3+4a2﹣2a分解因式时，提出公因式后，另一个因式是（ ）
A．3a2﹣2a+1B．6a2﹣4a+2C．3a2﹣2aD．3a2+2a﹣1
8．对4x2﹣16因式分解，嘉嘉的解答为：4（x+2）（x﹣2）；琪琪的解答为：（2x+2）（2x﹣2），下列判断正确的是（ ）
A．只有嘉嘉的结果对B．只有琪琪的结果对
C．两人的结果都对D．两人的结果都不对
9．若代数式mk2+（k+3）2（其中k为整数）能被3整除，则m的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2+4x+4＝（x+2）2D．x2﹣x+1＝（x﹣1）2
二．填空题（共5小题）
11．整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解因式：a2+3ab+2b2＝ ．
12．因式分解：ab2﹣4a＝ ．
13．因式分解：m2n﹣9n+3﹣m＝ ．
14．因式分解a2﹣4a+4的结果是 ．
15．分解因式：4m2n﹣4mn+n＝ ．
三．解答题（共5小题）
16．先阅读、观察、理解，再解答后面的问题：
第1个等式：1×2=13（1×2×3﹣0×1×2）=13（1×2×3）
第2个等式：1×2+2×3=13（1×2×3﹣0×1×3）+13（2×3×4﹣1×2×3）
=13（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3）=13（2×3×4）
第3个等式：1×2+2×3+3×4=13（1×2×3﹣0×1×2）+13（2×3×4﹣1×2×3）+13（3×4×5﹣2×3×4）
=13（1×2×3﹣0×1×3+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4）=13（3×4×5）
（1）依此规律，猜想：1×2+2×3+3×4+……+n（n+1）＝ （直接写出结果）；
（2）根据上述规律计算：10×11+11×12+12×13+……+29×30．
17．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
（1）求整式M、P；
（2）将整式P因式分解；
（3）P的最小值为 ．
18．若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，因为5＝12+22，再如M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“完美数”．
（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断41是否为“完美数”；
（2）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x，y是整数，k为常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
（3）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．
19．有一电脑AI程序如图，能处理整式的相关计算，已知输入整式A＝k﹣1，整式C＝2k2+k﹣3后，屏幕上自动将整式B补齐，但由于屏幕大小有限，只显示了整式B的一部分：B＝2k+…．
（1）嘉淇想：把B设为2k+m，再利用A•B＝C来解决问题，请利用嘉淇的想法求程序自动补全的整式B；
（2）在（1）的条件下，嘉淇发现：若k为任意整数，整式B2﹣2C的值总能被某个大于1的正整数整除，求这个正整数的值．
20．已知多项式①x2﹣2xy，②x2﹣4y2，③x2﹣4xy+4y2．
（1）把这三个多项式因式分解；
（2）请选择下列其中一个等式（A或B），求x与y的关系．
A．①+②＝③；B．①+③＝②；
2025年中考数学一轮复习之因式分解
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2B．﹣x2+4y2C．x2﹣2y+1D．﹣x2﹣4y2
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；符号意识．
【答案】B
【分析】能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差．
【解答】解：A．x2+4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；
B．﹣x2+4y2是2y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式；
C．x2﹣2y+1是三项不能用平方差公式分解因式；
D．﹣x2﹣4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式．
故选：B．
【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记平方差公式结构是解题的关键．
2．计算：1252﹣50×125+252＝（ ）
A．100B．150C．10000D．22500
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【答案】C
【分析】直接利用完全平方公式分解因式，进而计算得出即可．
【解答】解：1252﹣50×125+252
＝（125﹣25）2
＝10000．
故选：C．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
3．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣3x﹣2＝（x﹣1）（x﹣2）
B．3x2﹣27＝3（x+3）（x﹣3）
C．x3﹣x2﹣x＝x（x+1）（x﹣1）
D．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用因式分解的定义先排除D，再利用乘法与因式分解的关系通过计算分解结果判断A、B、C．
【解答】解：∵（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2≠x2﹣3x﹣2，故选项A分解错误；
3x2﹣27＝3（x2﹣9）＝3（x+3）（x﹣3），故选项B分解正确；
x（x+1）（x﹣1）＝x3﹣x≠x3﹣x2﹣x，故选项C分解错误；
（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，该变形是整式乘法不是因式分解，故选项D错误．
故选：B．
【点评】本题考查的了整式的因式分解，掌握乘法和因式分解的关系是解决本题的关键．
4．将多项式a3﹣16a进行因式分解的结果是（ ）
A．a（a+4）（a﹣4）B．（a﹣4）2
C．a（a﹣16）D．（a+4）（a﹣4）
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】先提公因式，然后按照平方差公式因式分解即可．
【解答】解：a3﹣16a
＝a（a2﹣16）
＝a（a+4）（a﹣4）．
故选：A．
【点评】本题考查了提公因式法和平方差公式法进行因式分解，掌握提取公因式法，平方差公式是解题的关键．
5．下列各式中能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A．4x2﹣6xy+9y2B．4a2﹣4a﹣1
C．x2﹣1D．4m2﹣4mn+n2
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，据此逐一判断即可．
【解答】解：A．4x2﹣6xy+9y2不符合完全平方公式的特点，故不符合题意；
B．4a2﹣4a﹣1不符合完全平方公式的特点，故不符合题意；
C．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），用平方差公式分解，故不符合题意；
D．4m2﹣4mn+n2＝（2m﹣n）2，用完全平方公式分解，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，能熟记完全平方公式是解此题的关键，
6．若m3+2m﹣1＝0，则2m4+m3+4m2﹣2024的值是（ ）
A．﹣2024B．﹣2025C．﹣2022D．﹣2023
【考点】因式分解的应用．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】D
【分析】根据m3+2m﹣1＝0，可得m3+2m＝1，再将其整体代入原式计算即可．
【解答】解：∵m3+2m﹣1＝0，
∴m3+2m＝1，
∴原式＝2m4+m3+4m2﹣2024
＝2m（m3+2m）+m3﹣2024
＝m3+2m﹣2024
＝1﹣2024
＝﹣2023，
故选：D．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．把﹣6a3+4a2﹣2a分解因式时，提出公因式后，另一个因式是（ ）
A．3a2﹣2a+1B．6a2﹣4a+2C．3a2﹣2aD．3a2+2a﹣1
【考点】因式分解﹣十字相乘法等；因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】将﹣6a3+4a2﹣2a提取公因式﹣2a，据此即可求解．
【解答】解：﹣6a3+4a2﹣2a＝﹣2a（3a2﹣2a+1），
故选：A．
【点评】本题考查提公因式法分解因式，借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法．
8．对4x2﹣16因式分解，嘉嘉的解答为：4（x+2）（x﹣2）；琪琪的解答为：（2x+2）（2x﹣2），下列判断正确的是（ ）
A．只有嘉嘉的结果对B．只有琪琪的结果对
C．两人的结果都对D．两人的结果都不对
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：4x2﹣16
＝4（x2﹣4）
＝4（x+2）（x﹣2），
故选：A．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意分解因式必须分解到不能再分解为止．
9．若代数式mk2+（k+3）2（其中k为整数）能被3整除，则m的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】因式分解的应用．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】B
【分析】先将原式变形为＝（m+1）k2+3（2k+3），根据代数式mk2+（k+3）2（其中k为整数）能被3整除，可知（m+1）能被3整除，因此m的值可以是2，不能等于1，3，4．
【解答】解：原式＝mk2+（k+3）2
＝mk2+k2+6k+9
＝（m+1）k2+3（2k+3），
∵代数式mk2+（k+3）2（其中k为整数）能被3整除，
∴（m+1）能被3整除，
∴m的值可以是2，不能等于1，3，4，
故选：B．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2+4x+4＝（x+2）2D．x2﹣x+1＝（x﹣1）2
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可．
【解答】解：A、从左到右的变形错误，x2+2x﹣1≠（x﹣1）2，故此选项不符合题意；
B、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，等式左边是几个整式的乘积式，右边是多项式，属整乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、x2+4x+4＝（x+2）2等式左边是多项式，右边是几个整式的乘积，属于因式分解，故此选项符合题意；
D、从左到右的变形错误，x2﹣x+1≠（x﹣1）2，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握分解因式的定义是关键．
二．填空题（共5小题）
11．整式的学习中我们常常使用拼图的方法得出相应的等式，利用如图所示的拼图分解因式：a2+3ab+2b2＝ （a+2b）（a+b） ．
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【答案】（a+2b）（a+b）．
【分析】根据图形面积的两种表示方法求解即可．
【解答】解：∵矩形的长为a+2b，宽为a+b，
∴a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）．
故答案为：（a+2b）（a+b）．
【点评】本题考查了因式分解的知识，熟练掌握图形的面积的求法和利用拼图分解因式是解题关键．
12．因式分解：ab2﹣4a＝ a（b+2）（b﹣2） ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝a（b2﹣4）
＝a（b+2）（b﹣2），
故答案为：a（b+2）（b﹣2）
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13．因式分解：m2n﹣9n+3﹣m＝ （m﹣3）（mn+3n﹣1） ．
【考点】因式分解﹣分组分解法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（m﹣3）（mn+3n﹣1）．
【分析】依据题意，根据因式分解的一般方法，先分组再运用公式法及提公因式可以得解．
【解答】解：原式＝n（m2﹣9）﹣（m﹣3）
＝n（m+3）（m﹣3）﹣（m﹣3）
＝（m﹣3）（mn+3n﹣1）．
故答案为：（m﹣3）（mn+3n﹣1）．
【点评】本题主要考查了分组分解法进行因式分解，解题时要熟练掌握并理解．
14．因式分解a2﹣4a+4的结果是 （a﹣2）2 ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（a﹣2）2．
【分析】利用完全平方公式，进行分解即可解答．
【解答】解：a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，
故答案为：（a﹣2）2．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
15．分解因式：4m2n﹣4mn+n＝ n（2m﹣1）2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】n（2m﹣1）2．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝n（4m2﹣4m+1）
＝n（2m﹣1）2．
故答案为：n（2m﹣1）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．先阅读、观察、理解，再解答后面的问题：
第1个等式：1×2=13（1×2×3﹣0×1×2）=13（1×2×3）
第2个等式：1×2+2×3=13（1×2×3﹣0×1×3）+13（2×3×4﹣1×2×3）
=13（1×2×3﹣0×1×2+2×3×4﹣1×2×3）=13（2×3×4）
第3个等式：1×2+2×3+3×4=13（1×2×3﹣0×1×2）+13（2×3×4﹣1×2×3）+13（3×4×5﹣2×3×4）
=13（1×2×3﹣0×1×3+2×3×4﹣1×2×3+3×4×5﹣2×3×4）=13（3×4×5）
（1）依此规律，猜想：1×2+2×3+3×4+……+n（n+1）＝ 13n（n+1）（n+2） （直接写出结果）；
（2）根据上述规律计算：10×11+11×12+12×13+……+29×30．
【考点】因式分解﹣提公因式法；有理数的混合运算．
【专题】规律型；因式分解；运算能力．
【答案】（1）n（n+1）（n+2）；
（2）8660．
【分析】（1）观察已知等式得到一般性规律，写出即可；
（2）原式利用得出的规律计算即可求出值．
【解答】解：（1）根据题意得：1×2+2×3+3×4+……+n（n+1）=13n（n+1）（n+2）；
故答案为：13n（n+1）（n+2）；
（2）原式＝（1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10+……+29×30）﹣（1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+7×8+8×9+9×10）
=13×29×30×31−13×9×10×11
＝8990﹣330
＝8660．
【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，以及有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键．
17．如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式．
（1）求整式M、P；
（2）将整式P因式分解；
（3）P的最小值为 ﹣16 ．
【考点】因式分解﹣运用公式法；整式的加减．
【专题】因式分解；整式；运算能力．
【答案】（1）5x﹣20；
（2）P＝4（x+2）（x﹣2）；
（3）﹣16．
【分析】（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果；
（2）把P提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（3）利用非负数的性质求出P的最小值即可．
【解答】解：（1）根据题意得：M＝（3x2﹣4x﹣20）﹣3x（x﹣3）
＝3x2﹣4x﹣20﹣3x2+9x
＝5x﹣20；
P＝3x2﹣4x﹣20+（x+2）2
＝3x2﹣4x﹣20+x2+4x+4
＝4x2﹣16；
（2）P＝4x2﹣16
＝4（x2﹣4）
＝4（x+2）（x﹣2）；
（3）∵P＝4x2﹣16，x2≥0，
∴当x＝0时，P的最小值为﹣16．
故答案为：﹣16．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，以及整式的加减，熟练掌握运算法则及因式分解的方法是解本题的关键．
18．若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，因为5＝12+22，再如M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x，y是整数），所以M也是“完美数”．
（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断41是否为“完美数”；
（2）已知S＝x2+9y2+4x﹣12y+k（x，y是整数，k为常数）要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由；
（3）如果数m，n都是“完美数”，试说明mn也是“完美数”．
【考点】因式分解的应用．
【专题】阅读型；应用意识．
【答案】（1）41是完美数；
（2）k＝8时，S是完美数；
（3）mn是完美数．
【分析】（1）利用“完美数”的定义可得；
（2）利用配方法，将S配成完美数，可求k的值，
（3）根据完全平方公式，可证明mn是“完美数”．
【解答】解：（1）∵8＝22+22，
∴8是完美数，
∵41＝42+52，
∴41是完美数；
（2）∵S＝x2+9y2+4x﹣12y+k＝（x+2）2+（3y﹣2）2+k﹣8，
∴k＝8时，S是完美数；
（3）设m＝a2+b2，n＝c2+d2，（a，b，c，d为整数），
∴mn＝（a2+b2）（c2+d2）＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd﹣2abcd
∴mn＝（ac+bd）2+（ad﹣bc）2
∴mn是完美数．
【点评】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键．
19．有一电脑AI程序如图，能处理整式的相关计算，已知输入整式A＝k﹣1，整式C＝2k2+k﹣3后，屏幕上自动将整式B补齐，但由于屏幕大小有限，只显示了整式B的一部分：B＝2k+…．
（1）嘉淇想：把B设为2k+m，再利用A•B＝C来解决问题，请利用嘉淇的想法求程序自动补全的整式B；
（2）在（1）的条件下，嘉淇发现：若k为任意整数，整式B2﹣2C的值总能被某个大于1的正整数整除，求这个正整数的值．
【考点】因式分解的应用；一次函数的应用；非负数的性质：偶次方．
【专题】配方法；运算能力．
【答案】（1）B＝2k+3；
（2）见解答．
【分析】（1）设“”代表的代数式为m，即B＝2k+m，利用多项式乘以多项式进行展开，再合并同类项，即可求解；
（2）利用完全平方公式，单项式乘以多项式展开，再因式分解即可．
【解答】解：（1）设“”代表的代数式为m，
即B＝2k+m，则A•B＝（k﹣1）（2k+m）＝2k2+mk﹣2k﹣m＝2k2+（m﹣2）k﹣m，
∵A•B＝C＝2k2+k﹣3，
∴2k2+（m﹣2）k﹣m＝2k2+k﹣3，
∴m﹣2＝1，
解得m＝3，
即程序自动补全的整式B＝2k+3；
（2）∵B2﹣2C＝（2k+3）2﹣2（2k2+k﹣3）
＝4k2+12k+9﹣（4k2+2k﹣6）＝10k+15＝5（2k+3），
若k为任意整数，则2k+3为整数，
∴整式B2﹣2C的值总能被5整除．
【点评】本题考查了整式的乘法，加减法，因式分解，熟练掌握知识点以及运算法则是解题的关键．
20．已知多项式①x2﹣2xy，②x2﹣4y2，③x2﹣4xy+4y2．
（1）把这三个多项式因式分解；
（2）请选择下列其中一个等式（A或B），求x与y的关系．
A．①+②＝③；B．①+③＝②；
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）①x（x﹣2y）；②（x+2 y）（x﹣2 y）；③（x﹣2y）2；
（2）见详解．
【分析】（1）分别根据提公因式法和公式法进行因式分解即可；
（2）由题意列得对应的等式，然后变形后进行因式分解，再结合等式成立进行判断即可．
【解答】解：（1）①x2﹣2xy＝x（x﹣2y）．
②x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），
③x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2；
（2）选择A：
∵①+②＝③，
∴x（x﹣2y）+（x+2y）（x﹣2y）＝（x﹣2y）2，
即x（x﹣2y）+（x+2y）（x﹣2y）﹣（x﹣2y）2＝0，
因式分解得：（x﹣2 y）（x+4 y）＝0，
∴x﹣2y＝0或x+4y＝0，
解得：x＝2y或x＝﹣4y．
选择B：
∵①+③＝②，
∴x（x﹣2y）+（x﹣2y）2＝（x+2y）（x﹣2y），
即x（x﹣2 y）+（x﹣2 y）2﹣（x+2 y）（x﹣2 y）＝0．
因式分解得：（x﹣2 y）（x﹣4 y）＝0，
∴x﹣2y＝0或x﹣4y＝0，
解得：x＝2y或x＝4y．
【点评】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
考点卡片
1．非负数的性质：偶次方
偶次方具有非负性．
任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．
2．有理数的混合运算
（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧
1．转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算．
2．凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解．
3．分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算．
4．巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律往往使计算更简便．
3．整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号、合并同类项．
（2）整式的加减实质上就是合并同类项．
（3）整式加减的应用：
①认真审题，弄清已知和未知的关系；
②根据题意列出算式；
③计算结果，根据结果解答实际问题．
【规律方法】整式的加减步骤及注意问题
1．整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
2．去括号时，要注意两个方面：一是括号外的数字因数要乘括号内的每一项；二是当括号外是“﹣”时，去括号后括号内的各项都要改变符号．
4．因式分解的意义
1、分解因式的定义：
把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如：
3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验．
5．因式分解-提公因式法
1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2、具体方法：
（1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数．
提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号．
3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
4、提公因式法基本步骤：
（1）找出公因式；
（2）提公因式并确定另一个因式：
①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；
②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；
③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同．
6．因式分解-运用公式法
1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法．
平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；
完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2；
2、概括整合：
①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．
②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍．
3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止．
7．提公因式法与公式法的综合运用
先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可．
8．因式分解-分组分解法
1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式．
2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法．
例如：①ax+ay+bx+by
＝x（a+b）+y（a+b）
＝（a+b）（x+y）
②2xy﹣x2+1﹣y2
＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1
＝1﹣（x﹣y）2
＝（1+x﹣y）（1﹣x+y）
9．因式分解-十字相乘法等
借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的
方法，通常叫做十字相乘法．
①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解．
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；
可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：
x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）
②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解
这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2，
把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一
次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．
10．因式分解的应用
1、利用因式分解解决求值问题．
2、利用因式分解解决证明问题．
3、利用因式分解简化计算问题．
【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用
1．因式分解是研究代数式的基础，通过因式分解将多项式合理变形，是求代数式值的常用解题方法，具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．
2．用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分．
11．一次函数的应用
1、分段函数问题
分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
2、函数的多变量问题
解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数．
3、概括整合
（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用．
（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键．
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