2025年中考数学二轮专题复习讲义第06讲 二次函数公共点问题综合练习（含解析）

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1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点. A−12,点B(3,2),若抛物线 y=x²−4x−3+c与线段AB有公共点，结合函数图象，求c的取值范围.!-
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2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点. A−12,点B(3,2),若抛物线 y=x²−2bx+b²−1与线段AB有公共点，结合函数图象，求b的取值范围.}
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3. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,3),B(3,5),若抛物线 y=x−b²+bb≥0与线段AB有公共点，结合函数图象，求b的取值范围.
4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点 A0−4,B2−2,若抛物线 y=ax²−2ax−a+2与线段AB有两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.
5. 如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-3),B(2,2).若抛物线 y=ax²−2ax+a−2与线段AB有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点. A−12,点B(3,2),若抛物线 y=ax²−4ax−5a与线段AB 有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.
设问进阶练
例 在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,2),( Q2+2a5a,抛物线 y=ax²+bx+ca≠0.
(1)当 a=25,b=0时，若抛物线与线段PQ 没有公共点，请结合函数图象，求c的取值范围；
(2)当 a=25,c=0时，若抛物线与线段PQ 有一个公共点，请结合函数图象，求b的取值范围；
(3)当 a=1,b=2时，若抛物线与线段PQ有一个公共点，请结合函数图象，求c的取值范围；
(4)当 b=3a,c=a时，若抛物线与线段 PQ 没有公共点，请结合图象，求a的取值范围；
(5)当 b=−4a,c=0时，若抛物线与线段PQ有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围.
综合强化练
1.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y=ax−mx−na≠0.
(1)若 m=1−2a,n=a−2,，求抛物线的对称轴(用含a的代数式表示)；
(2)创新题·代数推理 在(1)的条件下，设该抛物线的顶点坐标为(p，q)，当 a≠1时，求证： qp+a≤98;
(3)若 m=−1,n=3,，平面内有两点 P2−4,Q−1−4,，当抛物线与线段PQ 有公共点，求a的取值范围.
作图区 答题区
2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=mx²−2mm+1x+2m≠0与y轴交于点A，点A关于抛物线对称轴的对称点为点 B.
(1)当 m=−2时，求抛物线的顶点坐标；
(2)若 AB=6,，求抛物线的解析式；
(3)已知点 Pm+32,Q0m+1,，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围.
作图区 答题区
考向 2 与直线结合求取值范围
方法突破练
1.已知直线 y=kx与抛物线 y=x²+2x+3有两个交点，求k的取值范围.
2.已知直线 y=−x+3与抛物线 y=ax²−4ax+1a0)存在两个交点，设左侧的交点为点. Px₁y₁,当 −2≤x₁0)两点,∴将E(2,y₁) 和F(4,y₂)分别代人 y'=8xx0)得 y1=82=4,y2=84=2,.. E(2,4) ,F(4，2)，∵抛物线与图象 G有公共点，∴可以求出抛物线与图象G的临界点，即分别求出与点E，F的交点,∴将E(2,4)代入 y=ax²−2ax+8+a得4=4a-4a+8+a,解得a=-4,将F(4,2)代入 y=ax²−2ax+8+a得2=16a-8a+8+a ,解得 a=−23,∴抛物线与图象G有公共点时a的取值范围是 −4≤a≤−23.
3.解：(1)∵点M是反比例函数图象上的点，
∴将x=2代入 y=−4x,得y=-2,∴M(2,-2),
∵点M在抛物线 y=−x²+2ax+a²−3上,
∴将M(2,-2)代入 y=−x²+2ax+a²−3中,解得a=1或a=-5,
∴抛物线的解析式为 y=−x²+2x−2或 y=−x²−10x+22;
(2)当a=-1时，抛物线的解析式为 y=−x²−2x−2,
∴抛物线的对称轴为直线 x=−−22×−1=−1,分对称轴在区间内和区间外两种情况讨论：
①对称轴在区间外,当t-1>-1,即t>0时,当x=t-1时,y取得最大值,
即 −t−1²−2t−1−2=−3,解得 t=2(负值舍去)， ∴t=2;
②对称轴在区间内,当t-1