2025年中考数学二轮专题复习讲义第16讲 菱形问题（含解析）

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2. 如图,在平面直角坐标系中,点A(-4,0),B(0,3),点M为x轴上一动点，点N为平面内一动点.若以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形，请求出所有符合条件的点 N的坐标.
3.如图，抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.若点D是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，存在点E，使得以点A，C，D，E为顶点的四边形是菱形，求点E的坐标.
二阶 设问进阶练
例 如图，抛物线 y=−23x2−143x−4与x轴交于B，C两点，与y轴交于点 A.
(1)若抛物线上存在一点P，点H是平面内任意一点，使得四边形 BPOH是菱形,求点 P 的坐标;
(2)若点D为y轴上一点，K为平面内任意一点，当以B，C，D，K为顶点的四边形是以 BC为边的菱形时，求点 D的坐标；
(3)若点M为抛物线对称轴上一动点，在平面内是否存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形是菱形?·若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
(4)如图④，连接AB，交抛物线对称轴于点 F，点G为x轴上一动点，在平面内是否存在点Q，使得以A，F，G，Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
(5)如图⑤，将原抛物线向右平移1个单位得到新抛物线，点P 是新抛物线的顶点，点 K是平面内一点，点 H为x 轴上一点.是否存在点 K，使得以点C，P，H，K为顶点的四边形是菱形?若存在，请求出点K的坐标；若不存在，请说明理由.
三阶综合强化练
1.如图，已知抛物线 y=x²−2x−3与x轴交于A，D两点，与y轴交于点 C，点 B 为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的对称轴及点 B的坐标；
(2)若抛物线上存在一点 E，使得 SEAD=SCAD,求点E的坐标；
(3)(任意一点+抛物线上的动点)若平面直角坐标系内存在动点 P，抛物线上是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区
2.如图，抛物线 y=ax²+bx+6a≠0与x轴交于A,B(3,0)两点,与y轴交于点 C ,顶点为D,且点 D 的横坐标为1.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在线段 BC 上存在一点 M,使得. ∠BMO=45°,，求点M的坐标；
(3)(y轴上的动点+对称轴上的动点)点P是y轴上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D 为顶点的四边形是菱形?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区
3.如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 y=ax²+bx+ca≠0与x轴交于A，B两点(点 B在点A右侧), AB=4,与y轴交于点 C，直线 y=−23x+2经过点 B,C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图②,点 P 为BC上方抛物线上一点,过点 P 作. PE‖x轴交直线 BC于点E，作 PF‖y轴交直线 BC 于点 F,求 △PEF周长的最大值；
(3)(x轴上的动点+任意一点)在(2)的条件下，若点S是x轴上的动点，点Q为平面内一点，是否存在点S，Q，使得以S，Q，E，F为顶点的四边形是菱形?若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
作图区 答题区
一阶 方法突破练
1.解：格点C，D的位置如解图所示(答案不唯一).
2. 解:∵A(-4,0),B(0,3),∴AB=5.
①当AB 为菱形的边时，
a.若AB 与AM 为邻边,如解图①,以点 A 为圆心,AB 长为半径画圆，交x轴于点M，
∵BN∥AM,且BN=AM=AB=5,
∴N₁(-5,3),N₂(5,3);
b.若AB 与BM为邻边,如解图②,以点 B 为圆心,AB长为半径画圆，交x轴于点 M，
此时ON₃=OB=3,∴N₃(0,-3);
②当AB 为菱形的对角线时，如解图③，作AB 的垂直平分线交x轴于点M，
∵ BN₄∥AM₄,设N₄(n,3),
∴BM₄=AM₄=BN₄=−n,∴OM₄=4+n,
在 Rt△BOM₄中,由勾股定理得,
n²−4+n²=9,解得 n=−258,∴N4−2583.
综上所述,点N的坐标为(-5,3)或(5,3)或(0,-3)或 −2583.
3. 解:∵ 抛物线 y=−x²+2x+3与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点 C,
∴A(-1,0),B(3,0),C(0,3),分三种情况讨论：
①如解图①，当 AD 为菱形的对角线时，则AD 与CE互相垂直平分，∴E(0,-3);
②如解图②③，当 CD 为菱形的对角线时，
则 CE=AD=AC=10, ∴E103或 E −103;
③如解图④,当AC 为菱形的对角线时，则CE=AD=CD,
设D(d,0),
由 CD²=AD²,得 d²+3²=d+1²,,解得d=4,
∴CE=AD=CD=5,∴E(-5,3).
综上所述,点 E 的坐标为(0,-3)或( 103或 −103或(-5,3).
二阶 设问进阶练
例 解:(1)∵抛物线与x轴交于B,C两点,
∴B(-6,0),C(-1,0),
∵四边形BPOH是菱形，∴线段OB的垂直平分线与抛物线的交点即为点 P.
∵OB=6,∴点P的横坐标为-3.
将x=-3代入抛物线解析式得y=4.
∴点P的坐标为(-3,4);
(2)由(1)可知,B(-6,0),C(-1,0),∴BC=5,
∵ BC为菱形的一边,∴BC=CD.
设D(0,n),. ∴CD²=1²+n²,
则 1²+n²=5²,解得 n=±26.
∴点D的坐标为(0,2 6)或(0,-2 6);
(3)存在.
∵ 抛物线的解析式为 y=−23x2−143x−4,令x=0,得y=-4,∴A(0,-4).
∵−b2a=−1432×−23=−72,
∴设点 M的坐标为 −72m.
①当AB为菱形对角线时，如解图①，连接AB，取AB的中点H，过点H作AB的垂线与抛物线对称轴交于点M₁，过点A作BM₁的平行线，过点B作AM₁的平行线，两平行线交于点 N₁，
∵A(0,-4),B(-6,0),
∴H(-3,-2). AB 所在直线的解析式为 y=−23x−4.
设 M₁N₁ 所在直线的解析式为 y=32x+d1,
将H(-3,-2)代入得 d1=52,
∴M₁N₁所在直线的解析式为 y=32x+52,
将 x=−72代入，得 y=−114.∴M1−72−114.
∵H为M₁N₁的中点,∴ N1−52−54;
②当AB为菱形的边时，
∵A(0,-4),B(-6,0),∴AB²=6²+4²=52.
a.如解图②,当AM=AB时,则. AM²=AB²,即 −722+m−−42=52,解得 m=−4±1592, ∴M2−72−4+1592,M3−72−4−1592.
∴根据平移性质可得 N2−1921592,N3(−192, −1592);
b.如解图③,当BM=AB时,则. BM²=AB²,
即 −72−−62+m2=52,解得 m=±1832, ∴M4−721832,M5−72−1832.
∴根据平移性质可得 N4521832−4,N552 −1832−4).
综上所述，点 N 的坐标为 −52−54或 (−192, 1592)或 −192−1592或 521832−4或 52 −1832−4);
(4)存在.
由(3)得AB所在直线的解析式为 y=−23x−4,∵ 点 F 为线段 AB 与抛物线对称轴的交点，
∴F−72−53.
∵点G在x轴上,
∴ 设点 G的坐标为(g,0).
①如解图④，当AF 为菱形对角线时，
设线段AF的中点为I，则 I−74−176.
设G₁Q₁所在直线的解析式为 y=32x+d2,将 I−74−176代入，解得 d2=−524,
∴ G₁Q₁所在直线的解析式为 y=32x−524.令y=0,解得 x=536∴G15360,
∵点 I−74−176是Q₁G₁的中点,
∴Q1−13136−173;
②当AF 为菱形的边时，
∵A0−4,F−72−53,∴AF2=63736
a.如解图⑤,当AG=AF时,则 AG²=AF²,
即 g2+−42=63736,解得 g=±616,
∴G2−6160,G36160.
∴ 根 据 平 移 性 质 可 得 Q2−61+21673, Q361−21673;
b.如解图⑥,当FG=AF时,则 FG²=AF²,
即 −72−g2+−532=63736,
解得 g=−72±5376,
∴G4−72−53760,G5−72+53760.
∴ 根据平移性质得 Q4537673,Qs537673.
综上所述，点 Q 的坐标为 −13136−173或 −61+21673或 61−21673或 −5376−73或 5376−73;
(5)存在.
原抛物线向右平移1个单位后，新抛物线的对称轴为直线 x=−52,∴P−52256,∴CP=7066,
分以下情况讨论：
①如解图⑦,当 CH 是菱形的对角线时，由菱形的性质得点 P 与点 K₁ 关于x轴对称，
∴K1−52−256,
②如解图⑦，当CK 为菱形的对角线时，由菱形的性质得， CH=PK=CP=7066, ∴K27066−52256,K3−7066−52256,
③如解图⑧，当CP 为菱形的对角线时，由菱形性质得，PC垂直且平分HK，
∵C−10,P−52256,
∴PC中点的坐标为 −742512,
∴ 直线 PC 的解析式为 y=−259x−259,
∴设直线KH的解析式为 y=925x+d3,将 −742512代入，得 d3=407150,
∴ 直线 KH 的解析式为 y=925x+407150,
∵ PK∥HC,
∴点K的纵坐标为 256,代入直线 KH,得 x=10927, ∴K410927256,
综上所述，点 K 的坐标为 −52−256或 7066−52 256)或 −7066−52256或 10927256.
三阶 综合强化练
1. 解:(1)B(1,-4);
(2)【思路点拨】由题意知,△EAD 与△CAD 有公共底AD，若想使两三角形面积相等，则高相等即可，设出点E的坐标，由高相等，列方程求解即可.
如解图①，设 Exx²−2x−3,
∵点C为抛物线与y轴的交点,∴C(0,-3),
∵ △EAD 与 △CAD 有 共 同 的 底 边 AD, 且 SEAD=SCAD,
∴点E到x轴的距离等于点C到x轴的距离，
∴|x²−2x−3|=3,
解得 x1=2,x2=0,x3=7+1,x4=−7+1,
∴E12−3,E20−3,E37+13,E4−7+13,
∴点E的坐标为(2,-3)或(0,-3)或( 7+13或 −7+13;
(3)【思路点拨】因为 AC 为菱形的对角线，由菱形对角线互相垂直且平分的性质，可知菱形对角线过点O，可求出菱形另一条对角线所在的直线解析式，将其与抛物线解析式联立求解即可.
存在，如解图②，
∵ 四边形是以AC为对角线的菱形，
由菱形对角线互相垂直平分的性质，作AC的垂直平分线交抛物线于点 Q₁，Q₂，
令 x²−2x−3=0,得 x₁=−1,x₂=3,
∴A(3,0),
∴OA=OC=3,
∴AC 的垂直平分线过点O，
设AC的中点为点F，
∴F32−32,. 直线Q₁Q₂的解析式为y=-x,
联立 y=x2−2x−3y=−x,
解得 x=13+12y=13+12 x=−13+12y=13−12,
∴Q1−13+1213−12,Q213+1213+12.
2.解：(1)抛物线的解析式为 y=−2x²+4x+6;
(2)【思路点拨】可作 MN⊥y 轴,OH⊥OM 交 CB 的延长线于点H,作HK⊥y轴,构造△OMN≌△HOK,得到对应边相等，求得点M的坐标.
由(1)得,点C(0,6),
∵直线 BC经过点 B(3,0),C(0,6),
∴ 直线 BC 的解析式为y=-2x+6,
设点M的坐标为(m,-2m+6)(0