苏科版（2024）九年级上册1.2 一元二次方程的解法同步练习题

这是一份苏科版（2024）九年级上册1.2 一元二次方程的解法同步练习题，共30页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc25272" 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc25272 \h 1
\l "_Tc28978" 【题型2 配方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc28978 \h 2
\l "_Tc14325" 【题型3 公式法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc14325 \h 3
\l "_Tc21768" 【题型4 因式分解法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc21768 \h 3
\l "_Tc4587" 【题型5 用指定方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc4587 \h 4
\l "_Tc9824" 【题型6 用适当的方法解一元二次方程 PAGEREF _Tc9824 \h 4
\l "_Tc12627" 【题型7 用换元法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc12627 \h 5
\l "_Tc31343" 【题型8 配方法的应用】 PAGEREF _Tc31343 \h 6
【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】
【例1】（2023春·九年级课时练习）将方程(2x－1)2=9的两边同时开平方，
得2x－1=________，
即2x－1＝________或2x－1＝________，
所以x1＝________，x2＝ ________．
【变式1-1】（2023春·全国·九年级专题练习）解下列方程：4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）
【变式1-2】（2023·全国·九年级假期作业）如果方程(x−5)2=m−7可以用直接开平方求解，那么m的取值范围是（ ）.
A．m>0B．m⩾7
C．m>7D．任意实数
【变式1-3】（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考阶段练习）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A．x2+9＝0B．－2x2=0C．x2－3=0D．(x－2)2=0
【知识点2 配方法解一元二次方程】
将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二
次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法
来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【题型2 配方法解一元二次方程】
【例2】（2023春·九年级统考课时练习）用配方法解方程，补全解答过程．
3x2−52=12x．
解：两边同除以3，得______________________________．
移项，得x2−16x=56．
配方，得_________________________________，
即(x−112)2=121144．
两边开平方，得__________________，
即x−112=1112，或x−112=−1112．
所以x1=1，x2=−56．
【变式2-1】（2023春·全国·九年级专题练习）用配方法解一元二次方程：
(1)x2−3x−1=0（配方法）；
(2)2x2−7x+3=0（配方法）．
【变式2-2】（2023春·山西太原·九年级阶段练习）用配方法解一元二次方程2x2−5x+2=0．请结合题意填空，完成本题的解答．
解：方程变形为2x2−5x+(52)2−(52)2+2=0，第一步
配方，得(2x−52)2−174=0．第二步
移项，得(2x−52)2=174．第三步
两边开平方，得2x−52=±172．第四步
即2x−52=172或2x−52=−172．第五步
所以x1=5+174，x2=5−174．第六步
（1）上述解法错在第 步；
（2）请你用配方法求出该方程的解．
【变式2-3】（2023春·全国·九年级专题练习）（1）请用配方法解方程2x2−6x+3=0；
（2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0．
【知识点3 公式法解一元二次方程】
当b2−4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)通过配方，其实数根可写为x=−b±b2−4ac2a的形式，这个
式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解
一元二次方程的方法叫做公式法.
【题型3 公式法解一元二次方程】
【例3】（2023·上海·九年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1)3x=5x2+6；
(2)x+322+10=x2x+85．
【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）用公式法解一元二次方程：2x2+7x−4=0（用公式法求解）．
【变式3-2】（2023春·河南·九年级校考阶段练习）用公式法解方程：(x−1)(x−2)=5．
【变式3-3】（2023·江苏·九年级假期作业）用公式法解下列方程：
(1)9x2+1=66x；
(2)2x2+43x−22=0．
【知识点4 因式分解法概念】
当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程
转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
【题型4 因式分解法解一元二次方程】
【例4】（2023·上海·九年级假期作业）用因式分解法解下列方程：
(1)2+3x2=x；
(2)2x−12−x2x−1=0．
【变式4-1】（2023春·全国·九年级专题练习）用因式分解法解方程：x(x-1)=2(x-1)（因式分解法）．
【变式4-2】（2023·江苏·九年级假期作业）解下列一元二次方程：(2x+1)2+42x+1+4=0；
【变式4-3】（2023春·海南儋州·九年级专题练习）因式分解法解方程：
(1)3（x-5）2=2（5-x）；
(2)abx2-（a2+b2）x+ab=0 （ab≠0） ；
【题型5 用指定方法解一元二次方程】
【例5】（2023春·九年级单元测试）按照指定方法解下列方程：
(1)3x2−15=0 （用直接开平方法）
(2)x2−8x+15=0 （用因式分解法）
(3)x2−6x+7=0 （用配方法）
(4)y2+2=22y（用求根公式法）
【变式5-1】（2023·全国·九年级专题练习）解方程：
(1)4x2=16．（直接开平方法）
(2)2x2−3x+1=0（配方法）
(3)xx−2+x−2=0（因式分解法）
(4)2x2−6x+1=0（公式法）
【变式5-2】（2023春·海南省直辖县级单位·九年级校考阶段练习）解方程：
(1)x+62=9（直接开平方法 ）
(2)x2+x−6=0；(公式法)
(3)x(x−2)+x−2=0；(因式分解法)
(4)x2+2x−120=0 (配方法)
【变式5-3】（2023·山东淄博·统考二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x2+2x−1=0．
【题型6 用适当的方法解一元二次方程
【例6】（2023·全国·九年级假期作业）用适当方法解下列方程：
(1)(2x−1)2=9；
(2)12x2−45x−525=0；
(3)(3x−1)2−(x+1)2=0；
(4)(x−2)2+x(x−2)=0；
(5)12x2−52x+1=0；
(6)0.3x2+0.5x=0.3x+2.1．
【变式6-1】（2023春·河南南阳·九年级统考期中）请选择适当方法解下列方程：
(1)2xx−3+x=3
(2)xx−6=2x−8
(3)3xx−3=2x−1x+1
【变式6-2】（2023春·山东枣庄·九年级统考期中）用适当方法解下列方程：
(1)9x2−1=0
(2)4y2−4y+1=0
(3)x2−6x−3=0
(4)x2−6x+9=5−2x2．
【变式6-3】（2023·宁夏中卫·九年级校考期中）用适当方法解方程
(1)6x−12−25=0；
(2)y2−y=3y−1
(3)x2+18=22x；
(4)x+1x−1+2x+3=8．
【题型7 用换元法解一元二次方程】
【例7】（2023春·山西忻州·九年级统考阶段练习）阅读和理解
下面是小康同学的数学小论文，请仔细阅读，并完成相应的任务：
②选取二次项和常数项配方：x2−4x+2=x−22+22−4x，
或x2−4x+2=x+22−4+22x
③选取一次项和常数项配方：x2−4x+2=2x−22−x2
根据上述材料，解决下面问题：
（1）写出x2−8x+4的两种不同形式的配方；
（2）已知x2+y2+xy−3y+3=0，求xy的值．
【变式8-3】（2023·四川成都·统考二模）在测量时，为了确定被测对象的最佳值，经常要对同一对象测量若干次，然后选取与各测量数据的差的平方和为最小的数作为最佳近似值．例如测量数据为0.8，1.2，1.3，1.5时，设最佳值为a，那么(a−0.8)2+(a−1.2)2+(a−1.3)2+(a−1.5)2应为最小，此时a=_________；设某次实验测量了m次，由这m次数据的得到的最佳值为a1；又测量了n次，这n次数据得到的最佳值为a2，则利用这m+n次数据得到的最佳值为__________．
专题1.2 一元二次方程的解法【八大题型】
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc25272" 【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc25272 \h 1
\l "_Tc28978" 【题型2 配方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc28978 \h 3
\l "_Tc14325" 【题型3 公式法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc14325 \h 6
\l "_Tc21768" 【题型4 因式分解法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc21768 \h 8
\l "_Tc4587" 【题型5 用指定方法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc4587 \h 10
\l "_Tc9824" 【题型6 用适当的方法解一元二次方程 PAGEREF _Tc9824 \h 15
\l "_Tc12627" 【题型7 用换元法解一元二次方程】 PAGEREF _Tc12627 \h 20
\l "_Tc31343" 【题型8 配方法的应用】 PAGEREF _Tc31343 \h 23
【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】
根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法.
直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为x2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥0,m≠0)的形式；
②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解.
【题型1 用直接开平方法解一元二次方程】
【例1】（2023春·九年级课时练习）将方程(2x－1)2=9的两边同时开平方，
得2x－1=________，
即2x－1＝________或2x－1＝________，
所以x1＝________，x2＝ ________．
【答案】 ±3 3 －3 2 －1
【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可.
【详解】∵(2x－1)2=9
∴2x－1=±3
∴2x－1＝3，2x－1＝-3
∴x1＝2，x2＝-1
【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键.
【变式1-1】（2023春·全国·九年级专题练习）解下列方程：4（x﹣1）2﹣36=0（直接开方法）
【答案】x1＝4，x2＝﹣2．
【分析】直接利用开方法进行求解即可得到答案；
【详解】解：∵4x−12−36=0
∴（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3，
∴x1＝4，x2＝﹣2
【变式1-2】（2023·全国·九年级假期作业）如果方程(x−5)2=m−7可以用直接开平方求解，那么m的取值范围是（ ）.
A．m>0B．m⩾7
C．m>7D．任意实数
【答案】B
【分析】根据m−7≥0时方程有实数解，可求出m的取值范围．
【详解】由题意可知m−7≥0时方程有实数解，解不等式得m⩾7，故选B．
【点睛】形如x+m2=a的一元二次方程当a≥0时方程有实数解．
【变式1-3】（2023春·安徽蚌埠·九年级校联考阶段练习）用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A．x2+9＝0B．－2x2=0C．x2－3=0D．(x－2)2=0
【答案】A
【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．
【详解】解：（A）移项可得x2=−9，故选项A无解；
（B）−2x2=0，即x2=0，故选项B有解；
（C）移项可得x2=3，故选项C有解；
（D）x−22=0，故选项D有解；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．
【知识点2 配方法解一元二次方程】
将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②方程两边同除以二
次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④
把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法
来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
【题型2 配方法解一元二次方程】
【例2】（2023春·九年级统考课时练习）用配方法解方程，补全解答过程．
3x2−52=12x．
解：两边同除以3，得______________________________．
移项，得x2−16x=56．
配方，得_________________________________，
即(x−112)2=121144．
两边开平方，得__________________，
即x−112=1112，或x−112=−1112．
所以x1=1，x2=−56．
【答案】x2−56=16x x2−16x+(112)2=56+(112)2 x−112=±1112
【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．
【详解】3x2−52=12x．
解：两边同除以3，得x2−56=16x．
移项，得x2−16x=56．
配方，得x2−16x+(112)2=56+(112)2，
即(x−112)2=121144．
两边开平方，得x−112=±1112，
即x−112=1112，或x−112=−1112．
所以x1=1，x2=−56．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
【变式2-1】（2023春·全国·九年级专题练习）用配方法解一元二次方程：
(1)x2−3x−1=0（配方法）；
(2)2x2−7x+3=0（配方法）．
【答案】(1)x1=3+132，x2=3−132
(2)x1=12，x2=3
【分析】（1）将常数项移动到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解；
（2）方程两边都除以2并将常数项移动到右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．
（1）
解： x2−3x−1=0 ，
方程变形得：x2－3x=1，
配方得：x2－3x+ 94 =1+ 94 ，即（x－ 32 ）2= 134 ，
开方得：x－ 32 =± 132 ，
解得：x1= 3+132 ，x2= 3−132 ；
（2）
解：移项得：2x2−7x=−3
系数化1得：x2−72x=−32
两边加上一次项系数一半的平方得：x2−72x+742=−32+742
配方得：x−742=2516
开方得：x−74=±54
解得：x1=12，x2=3．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法：配方法．熟练掌握配方法的一般步骤是解题的关键．
【变式2-2】（2023春·山西太原·九年级阶段练习）用配方法解一元二次方程2x2−5x+2=0．请结合题意填空，完成本题的解答．
解：方程变形为2x2−5x+(52)2−(52)2+2=0，第一步
配方，得(2x−52)2−174=0．第二步
移项，得(2x−52)2=174．第三步
两边开平方，得2x−52=±172．第四步
即2x−52=172或2x−52=−172．第五步
所以x1=5+174，x2=5−174．第六步
（1）上述解法错在第 步；
（2）请你用配方法求出该方程的解．
【答案】（1）一；（2）x1=2，x2=12．
【详解】试题分析：将方程二次项系数化为1，常数项移动右边，两边都加上(54)2，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．
试题解析：变形得：x2−52x+1=0，变形得：x2−52x=−1，配方得：x2−52x+(54)2=−1+(54)2，即(x−54)2=916，开方得：x−54=±34，则x1=2，x2=12．
考点：解一元二次方程-配方法．
【变式2-3】（2023春·全国·九年级专题练习）（1）请用配方法解方程2x2−6x+3=0；
（2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0．
【答案】（1）x1=3+3，2x2=3−32；（2）x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a
【分析】（1）先将两边同时除以二次项系数；再移项，将常数项移到右边；左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，将左边写成完全平方式，最后再直接开平方；
（2）先将两边同时除以二次项系数；再移项，将常数项移到右边；左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，将左边写成完全平方式，最后再直接开平方；
【详解】解：（1）2x2−6x+3=0
两边同时除以2得：x2−3x+32=0，
移项得：x2−3x=−32，
两边同时加上(32)2得：x2−3x+(32)2=−32+(32)2，
配方得：(x−32)2=34，
解得：x1=3+3，2x2=3−32；
（2）ax2+bx+c=0a≠0
两边同时除以a得：x2+bax+ca=0，
移项得：x2+bax=−ca，
两边同时加上(b2a)2得：x2+b2ax+(b2a)2=−ca+(b2a)2，
配方得：(x+b2a)2=−4ac+b24a2，
当b2−4ac>0时，
解得：x1=−b+b2−4ac2a，x2=−b−b2−4ac2a，
当b2−4ac=0时，
x1=x2=−b2a，
当b2−4acN．
【答案】 1.2 ma1+na2m+n
【分析】利用完全平方公式展开后合并，再将(a−0.8)2+(a−1.2)2+(a−1.3)2+(a−1.5)2配方得到4a−1.22+1.26，则利用非负数的性质得到当a=1.2时，代数式有最小值；m+n次数据得到的最佳值为m+n个数据的平均数．
【详解】解：(a−0.8)2+(a−1.2)2+(a−1.3)2+(a−1.5)2
=a2−1.6a+0.82+a2−2.4a+1.22+a2−2.6a+1.32+a2−3a+1.52
=4a2−9.6a+7.02
=4a−1.22+1.26，
∵4a−1.22≥0，
∴当a=1.2时，(a−0.8)2+(a−1.2)2+(a−1.3)2+(a−1.5)2有最小值；
∵m次数据的得到的最佳值为a1，n次数据得到的最佳值为a2，
设最佳值为a，与m个数据的差的平方和为m(a−a1)2+t，与n个数据的差的平方和为n(a−a2)2+s，
m(a−a1)2+t+n(a−a2)2+s
=ma2−2ma1a+ma12+t+na2−2na2a+na22+s
=(m+n)a−ma1+na2m+n2−(ma1+na2)2m+n+ma12+na22+t+s
当a=ma1+na2m+n时，m(a−a1)2+t+n(a−a2)2+s最小，
∴m+n次数据得到的最佳值为ma1+na2m+n．
故答案为：1.2，ma1+na2m+n．
【点睛】本题考查了配方法：根据完全平方公式为a2±2ab+b2=a±b2，二次项系数为1的多项式配成完全平方式是加上一次项系数一半的平方，注意等式是恒等变形是解题关键．