苏科版七年级数学下册精品专题9.7整式乘法与因式分解章末八大题型总结(培优篇)同步练习(学生版+解析)

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专题9.7 整式乘法与因式分解章末八大题型总结（培优篇）【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc25752" 【题型1 整式的乘除中的错解问题】  PAGEREF _Toc25752 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc17509" 【题型2 整式乘除的计算与化简】  PAGEREF _Toc17509 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc7665" 【题型3 整式混合运算的应用】  PAGEREF _Toc7665 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc1569" 【题型4 因式分解（提公因式与公式法综合）】  PAGEREF _Toc1569 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc4102" 【题型5 因式分解（十字相乘法）】  PAGEREF _Toc4102 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2086" 【题型6 因式分解（分组分解法）】  PAGEREF _Toc2086 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc1736" 【题型7 利用因式分解求值】  PAGEREF _Toc1736 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc7310" 【题型8 整式的乘除中的阅读理解类问题】  PAGEREF _Toc7310 \h 6【题型1 整式的乘除中的错解问题】【例1】（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）某同学计算一个多项式乘−3x2时，因抄错符号，算成了加上−3x2，得到的答案是x2−12x+1，那么正确的计算结果是 ．【变式1-1】（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）小林同学把9(M−5)错抄为9M−5，抄错后算得的答案为a，则正确答案为 ．【变式1-2】（2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考开学考试）在计算x+ax+b时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12；乙把a错看成−a，得到结果是：x2+x−6．(1)求出a，b的值；(2)在（1）的条件下，计算x+ax−b的结果．【变式1-3】（2023春·湖南永州·七年级统考期末）甲、乙两人共同计算一道整式：x+a2x+b，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2−7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x−3．(1)求−2a+ba+b的值；(2)若整式中的a的符号不抄错，且a=3，请计算这道题的正确结果．【题型2 整式乘除的计算与化简】【例2】（2023秋·上海金山·八年级校联考期末）已知： a+b=32，ab=1，化简a−2b−2的结果是 ．【变式2-1】（2023春·陕西西安·八年级校考期中）已知m满足3m−20152+2014−3m2=5．(1)求2015−3m2014−3m的值．(2)求6m−4029的值．【变式2-2】（2023春·辽宁沈阳·八年级校考期中）（1）运用乘法公式计算：9992−1002×998+1（2）先化简，再求值：2x+y2x−y−3x+yx−2y−x2÷−12y，其中x=−1，y=2．【变式2-3】（2023春·福建三明·八年级统考期中）为了比较两个数的大小，我们可以求这两个数的差，若差为0，则两数相等；若差为正数，则被减数大于减数．若M=a+3a−4，N=a+22a−5，其中a为有理数，(1)求M−N，要求化简为关于a的多项式；(2)比较M，N的大小．【题型3 整式混合运算的应用】【例3】（2023秋·重庆大渡口·八年级重庆市第三十七中学校校联考开学考试）阅读材料：材料1：将一个三位数或三位以上的整数分成左中右三个数，如果满足：中间数=左边数的平方+右边数的平方，那么我们称该整数是平方和数，比如，对于整数251，它的中间数是5，左边数是2，右边数是1，因为22+12=5，所以251是平方和数；再比如，对于整数3254，因为32+42=25，所以3254是一个平方和数．显然，152，4253这两个数也肯定是平方和数．材料2：将一个三位数或者三位以上的整数分成左中右三个数，如果满足：中间数=2×左边数×右边数，那么我们称该整数是双倍积数；比如：对于整数163，它的中间数是6，左边数是1，右边数是3，因为2×1×3=6，所以163是双倍积数；再比如，对于整数3305，因为2×3×5=30，所以3305是一个双倍积数，显然，361，5303这两个数也肯定是双倍积数．请根据上述定义完成下面问题：(1)如果一个三位整数既是平方和数，又是双倍积数，则该三位整数是_____．（直接写出结果）(2)如果我们用字母a表示一个整数分出来的左边数，用字母b表示一个整数分出来的右边数，则a585b为一个平方和数，a504b为一个双倍积数，求a2−b2的值．【变式3-1】（2023秋·贵州遵义·八年级校考期中）如图，学校操场主席台前计划修建一块凹字形花坛．（单位：米）(1)用含a，b的整式表示花坛的面积；(2)若a=2,b=1，工程费为500元/平方米，求建花坛的总工程费为多少元?【变式3-2】（2023春·贵州铜仁·八年级统考期中）在矩形ABCD内，将一张边长为a的正方形纸片和两张边长为b的正方形纸片（a>b），按图1，图2两种方式放置（两个图中均有重叠部分），矩形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2，当AD−AB=2时，S1−S2的值是（　　）A．2a B．2b C．−2b+b2 D．2a−2b【变式3-3】（2023秋·浙江·八年级期中）正方形ABCD中，点G是边CD上一点（不与点C，D重合），以CG为边在正方形ABCD外作正方形CEFG，且B，C，E三点在同一条直线上，设正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b（a>b）．(1)求图1中阴影部分的面积S1（用含a，b的代数式表示）；(2)当a=5，b=3时，求图1中阴影部分的面积S1的值；(3)当a=5，b=3时，请直接写出图2中阴影部分的面积S2的值．【题型4 因式分解（提公因式与公式法综合）】【例4】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）分解因式（1）20a3-30a2 （2）25（x+y）2-9（x-y）2【变式4-1】（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）分解因式：3a2m−n+12n−m= ．【变式4-2】（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考开学考试）多项式−2a3−4a2−2a因式分解的结果是 ．【变式4-3】（2023春·湖南永州·八年级统考期末）请把下列各式分解因式(1)a2a−b+b−a(2)(a2+b2)2−4a2b2【题型5 因式分解（十字相乘法）】【例5】（2023春·湖南益阳·八年级校考期中）阅读下面的材料，解答提出的问题：已知：二次三项式x2−4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式及m的值．解：设另一个因式为x+n，由题意，得x2−4x+m=x+3x+n，x2−4x+m=x2+n+3x+3n，所以n+3=−4m=3n，解得m=−21n=−7．所以另一个因式为x−7，m的值为−21．提出问题：(1)已知二次三项式x2−5x−p有一个因式是x−1，另一个因式是________；(2)已知二次三项式3x2+2x−k有一个因式是x−5，求另一个因式及k的值．【变式5-1】（2023春·湖南邵阳·八年级统考期末）多项式x2+x−6可因式分解成x+ax+b，其中a，b均为整数，则a+b2023的值为（    ）A．−1 B．1 C．−2023 D．2023【变式5-2】（2023秋·上海静安·八年级上海市风华初级中学校考期中）分解因式：2x2+4x2−42x2+4x−12．【变式5-3】（2023春·湖南怀化·八年级统考期末）材料1：由多项式乘法，x+ax+b=x2+a+bx+ab，将该式子从右到左地使用，即可对形如x2+a+bx+ab的多项式进行因式分解：x2+a+bx+ab=x+ax+b．多项式x2+a+bx+ab的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和．材料2：因式分解：(x+y)2+2x+y+1，解：将“x+y”看成一个整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=(A+1)2，再将“A”还原得：原式=(x+y+1)2．上述解题用到整体思想，整体思想是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：(1)根据材料1将x2+4x+3因式分解；(2)根据材料2将(x−y)2−10x−y+25因式分解；(3)结合材料1和材料2，将m2−2mm2−2m+4+3因式分解．【题型6 因式分解（分组分解法）】【例6】（2023秋·山东日照·八年级统考期末）已知a+b=3,ab=1，则多项式a2b+ab2−a−b的值为 ．【变式6-1】（2023春·江苏·八年级期中）分解因式：a4−4a3+4a2−9= ．【变式6-2】（2023春·福建漳州·八年级校考期中）阅读理解∶当一个多项式没有公因式又不能用公式法时，这里再介绍一种因式分解方法，叫分组分解法．比如因式分解：am+bm+an+bn=am+bm+an+bn=ma+b+na+b=a+bm+n这种分组法是分组后用提公因式法分解；比如因式分解：a2+2ab+b2−9=a2+2ab+b2−9=a+b2−9=a+b+3a+b−3这种分组法是分组后用公式法分解．根据以上信息分解因式：(1)ab−a−b+1；(2)a2−9b2−2a+6b；(3)n2+(n+1)(n+2)(n+3)(n+6)．【变式6-3】（2023秋·上海·八年级校考期中）因式分解：x2+9xy+18y2−3x−9y．【题型7 利用因式分解求值】【例7】（2023春·四川达州·八年级校联考期中）若a=2022x+2023，b=2022x+2024，c=2022x+2025，则多项式a2+b2+c2−ab−ac−bc的值为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【变式7-1】（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆南开中学校考期中）若x2+x−3=0，则x3+2x2−2x+5的值为 ．【变式7-2】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市文晖中学校考期中）（1）当mn=−4，m+n=3，求m−n的值．（2）已知x+y=2,xy=34，求x3y+xy3+2x2y2的值．【变式7-3】（2023春·江苏泰州·八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）阅读材料：若m2+2mn+2n2−(1)判断a+b5的展开式共有______项；写出a+b6的第三项的系数是______；(2)计算与猜想：①计算：25−5×24+10×23−10×22+5×2−1②猜想：2x−16的展开式中含x3项的系数是______．(3)运用：若今天是星期五，过7天仍是星期五，那么再过86天是星期______．【变式8-2】（2023秋·上海静安·七年级上海市风华初级中学校考期中）我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式＋余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．例如：计算6x4−7x3−x2−1÷(2x+1)，可用竖式除法如图：所以6x4−7x3−x2−1除以2x+1，商式为3x3−5x2+2x−1，余式为0．根据阅读材料，请回答下列问题：(1)x2+2x−3÷x−1=______；(2)计算：x3−x2−4÷x−2；(3)x3+ax2+bx−2能被x2+2x+2整除，求a、b的值．【变式8-3】（2023春·湖南怀化·七年级统考期末）阅读下列材料，解决相应问题：(1)36和84 　 　“友好数对”．（填“是”或“不是”）(2)为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且a≠b；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且c≠d，则a，b，c，d之间存在一个等量关系，其探究和说理过程如下，请你将其补充完整．解：根据题意，“友好数对”中的两个数分别表示为10a+b和10c+d，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后两个数依次表示为 　 　和 　 　．因为它们是友好数对，所以10a+b10c+d= 　 　．即a，b，c，d的等量关系为： 　 　．(3)请从下面A、B两题中任选一题作答，我选择 　 　题．A．请再写出一对“友好数对”，与本题已给的“友好数对”不同．B．若有一个两位数，十位数字为x+2，个位数字为x，另一个两位数，十位数字为x+2，个位数字为x+8，且这两个数为“友好数对”，直接写出这两个两位数．“友好数对”已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如43×68=34×86=2924，所以43和68与34和86都是“友好数对”．专题9.7 整式乘法与因式分解章末八大题型总结（培优篇）【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc7423" 【题型1 整式的乘除中的错解问题】  PAGEREF _Toc7423 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5062" 【题型2 整式乘除的计算与化简】  PAGEREF _Toc5062 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc31771" 【题型3 整式混合运算的应用】  PAGEREF _Toc31771 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc9356" 【题型4 因式分解（提公因式与公式法综合）】  PAGEREF _Toc9356 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc28827" 【题型5 因式分解（十字相乘法）】  PAGEREF _Toc28827 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc16179" 【题型6 因式分解（分组分解法）】  PAGEREF _Toc16179 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc29265" 【题型7 利用因式分解求值】  PAGEREF _Toc29265 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc5819" 【题型8 整式的乘除中的阅读理解类问题】  PAGEREF _Toc5819 \h 20【题型1 整式的乘除中的错解问题】【例1】（2023春·山东菏泽·七年级统考期末）某同学计算一个多项式乘−3x2时，因抄错符号，算成了加上−3x2，得到的答案是x2−12x+1，那么正确的计算结果是 ．【答案】−12x4+32x3−3x2【分析】先用错误的结果减去已知多项式求得原式，再乘以−3x2即可解答．【详解】解：这个多项式是（x2-0.5x+1）-（-3x2）=4x2-0.5x+1，正确的计算结果是：（4x2-0.5x+1）（-3x2）=−12x4+32x3−3x2．故答案为−12x4+32x3−3x2．【点睛】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握单项式与多项式相乘运算法则是解答本题的关键．【变式1-1】（2023秋·湖北孝感·七年级统考期末）小林同学把9(M−5)错抄为9M−5，抄错后算得的答案为a，则正确答案为 ．【答案】a−40【分析】将错就错根据9M−5=a求出M，代入正确式子计算．【详解】解：由题意可得：9M−5=a，∴9M=a+5，∴9(M−5)=9M−45=a+5−45=a−40，故答案为：a−40．【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式1-2】（2023秋·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考开学考试）在计算x+ax+b时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12；乙把a错看成−a，得到结果是：x2+x−6．(1)求出a，b的值；(2)在（1）的条件下，计算x+ax−b的结果．【答案】(1)a=2，b=3(2)x2−x−6【分析】（1）根据题意得出(x+a)(x+6)=x2+(6+a)x+6a=x2+8x+12，(x−a)(x+b)=x2+(−a+b)x−ab=x2+x−6，得出6+a=8，−a+b=1，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．【详解】（1）根据题意得：x+ax+6=x2+6+ax+6a=x2+8x+12，x−ax+b=x2+−a+bx−ab=x2+x−6，所以6+a=8，−a+b=1，解得：a=2，b=3；（2）当a=2，b=3时，x+ax−b=x+2x−3=x2−x−6．【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，能正确运用多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．【变式1-3】（2023春·湖南永州·七年级统考期末）甲、乙两人共同计算一道整式：x+a2x+b，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2−7x+3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x−3．(1)求−2a+ba+b的值；(2)若整式中的a的符号不抄错，且a=3，请计算这道题的正确结果．【答案】(1)-14．(2)x2+5x−3【分析】（1）根据题意，列出关于a和b的代数式的值，直接代入计算即可；（2）先求出b的值，再代入计算．【详解】（1）解：甲抄错了a的符号的计算结果为：x−a2x+b=2x2+−2a+bx−ab=2x2−7x+3，因为对应的系数相等，故−2a+b=−7，ab=−3乙漏抄了第二个多项式中x的系数，计算结果为：x+ax+b=x2+a+bx+ab=x2+2x−3．因为对应的系数相等，故a+b=2，ab=−3，∴−2a+ba+b=−7×2=−14（2）解：乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果得出：a+b=2，故3+b=2，∴b=-1，把a=3，b=-1代入x+a2x+b，得(x+3)(2x-1)=2x2+5x-3，故答案为：2x2+5x-3．【点睛】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进行计算，是常考题型，解题时要细心．【题型2 整式乘除的计算与化简】【例2】（2023秋·上海金山·八年级校联考期末）已知： a+b=32，ab=1，化简a−2b−2的结果是 ．【答案】2【分析】先把所求式子化简为ab−2a+b+4，然后把已知条件式整体代入求解即可．【详解】解：a−2b−2 =ab−2a−2b+4=ab−2a+b+4，∵a+b=32，ab=1，∴原式=1−2×32+4=1−3+4=2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了多项式乘以多项式——化简求值，正确计算是解题的关键．【变式2-1】（2023春·陕西西安·八年级校考期中）已知m满足3m−20152+2014−3m2=5．(1)求2015−3m2014−3m的值．(2)求6m−4029的值．【答案】(1)−2(2)±3【分析】（1）原式利用完全平方公式化简，计算即可确定出原式的值；（2）原式利用完全平方公式变形，计算即可得到结果．【详解】（1）解：设a=3m−2015，b=2014−3m，可得a+b=−1，a2+b2=5，∵（a+b）2=a2+b2+2ab，∴1=5+2ab，即ab=−2，则2015−3m2014−3m=3m−20152014−3m=−ab=2；（2）解：设a=3m−2015，b=2014−3m，可得6m−4029=3m−2015−2014−3m=a−b，∵a−b2=a2+b2−2ab，∴6m−40292=a−b2=a2+b2−2ab=5+4=9，则6m−4029=±3．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式及运算法则是解本题的关键．【变式2-2】（2023春·辽宁沈阳·八年级校考期中）（1）运用乘法公式计算：9992−1002×998+1（2）先化简，再求值：2x+y2x−y−3x+yx−2y−x2÷−12y，其中x=−1，y=2．【答案】（1）−1994；（2）−2y−10x，6【分析】（1）把原式化为1000−12−1000+21000−2+1，再利用乘法公式进行简便运算即可；（2）先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，再把x=−1，y=2代入化简后的代数式进行计算即可．【详解】解：（1）9992−1002×998+1=1000−12−1000+21000−2+1=10002−2000+1−10002+4+1=−1994；（2）2x+y2x−y−3x+yx−2y−x2÷−12y=4x2−y2−3x2+6xy−xy+2y2−x2÷−12y=y2+5xy÷−12y=−2y−10x；当x=−1，y=2时，原式=−2×2−10×−1=−4+10=6．【点睛】本题考查的是整式的化简求值，整式的混合运算，完全平方公式与平方差公式的灵活运用，熟记运算公式与运算法则是解本题的关键．【变式2-3】（2023春·福建三明·八年级统考期中）为了比较两个数的大小，我们可以求这两个数的差，若差为0，则两数相等；若差为正数，则被减数大于减数．若M=a+3a−4，N=a+22a−5，其中a为有理数，(1)求M−N，要求化简为关于a的多项式；(2)比较M，N的大小．【答案】(1)−a2−2(2)M”或“(3)△ABC的周长为7【分析】、（1）将x2+2y2−2xy−8y+16=0变形为x−y2+y−42=0，然后根据二次方的非负性求出结果即可；（2）求出A−B=a−12+2>0，得出A>B即可；（3）先根据a2+b2−6a−2b+10=0求出，a=3，b=1，根据三角形三边关系求出2B．故答案为：>．（3）解：∵a2+b2−6a−2b+10=0，∴a2−6a+9+b2−2b+1=0，∴a−32+b−12=0，∴a−3=0，b−1=0，解得：a=3，b=1，∵a、b、c是三角形的三边，∴3−1