苏科版七年级数学下册精品专题9.8整式乘法与因式分解章末九大题型总结(拔尖篇)同步练习(学生版+解析)

这是一份苏科版七年级数学下册精品专题9.8整式乘法与因式分解章末九大题型总结(拔尖篇)同步练习(学生版+解析)，共51页。
专题9.8 整式乘法与因式分解章末九大题型总结（拔尖篇）【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc24968" 【题型1 巧用乘法公式求值】  PAGEREF _Toc24968 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc25262" 【题型2 整式乘法中不含某项问题】  PAGEREF _Toc25262 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc14890" 【题型3 多项式乘法中的规律性问题】  PAGEREF _Toc14890 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc10531" 【题型4 整式运算中的整除问题】  PAGEREF _Toc10531 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc10594" 【题型5 乘法公式的几何背景】  PAGEREF _Toc10594 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc30934" 【题型6 利用因式分解探究三角形形状】  PAGEREF _Toc30934 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc13012" 【题型7 利用拆项或添项进行因式分解】  PAGEREF _Toc13012 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc247" 【题型8 因式分解的应用】  PAGEREF _Toc247 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc679" 【题型9 整式运算中的定值问题】  PAGEREF _Toc679 \h 12【题型1 巧用乘法公式求值】【例1】（2023春·湖南益阳·八年级统考期中）使用整式乘法法则与公式可以使计算简便，请利用法则或公式计算下列各题(1)已知a+1a=5，求a2+1a2的值(2)计算：2−22−23−⋯−218−219+220（写计算过程）(3)设a，b，c，d都是正整数，并且a5=b4，c3=d2，c−a=19求d−b的值．【变式1-1】（2023春·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考开学考试）已知x满足（x﹣2020）2+（2023﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是 ．【变式1-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知：x2+xy=10，y2+xy=6，x−y=−1，则：（1）x+y= ．（2）求x，y的值分别为 ．【变式1-3】（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）已知a−ba+b=a2−b2．(1)2−12+122+1=______；(2)求2+122+124+128+1216+1的值；(3)求23+132+134+138+1316+1332+1结果的个位数字．【题型2 整式乘法中不含某项问题】【例2】（2023春·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考期中）若(x2+nx+3)(x2−3x+m)的展开式中不含x2和x3项，则m+n= ．【变式2-1】（2023秋·甘肃武威·八年级校考期末）老师在黑板上布置了一道题：已知x＝－2，求式子(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值．小亮和小新展开了下面的讨论：小亮：只知道x的值，没有告诉y的值，这道题不能做；小新：这道题与y的值无关，可以求解；根据上述说法，你认为谁说的正确？为什么？【变式2-2】（2023秋·河南周口·八年级校考期末）已知x2+mx−32x+n的展开式中不含x的一次项，常数项是－6，则mn的值为 ．【变式2-3】（2023秋·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）已知关于x、y的代数式2x+5y32x−5y3−mx−32+nx的值与x的取值无关，求实数m、n的值．【题型3 多项式乘法中的规律性问题】【例3】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）下列图像都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗星星，第②个图形中一共有11颗星星，第③个图形中一共有21颗星星，……按此规律排列下去，第⑨个图形中星星的颗数为 ．  【变式3-1】（2023春·重庆·八年级校考期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝　 　．（2）a+bn的展开式共有______项，系数和为_______．（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．（4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期 ．【变式3-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳中学校考开学考试）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第n个叠放的图形中，小正方体木块总数应是 ．  【变式3-3】（2023春·北京昌平·八年级北京市昌平区第二中学校考期中）阅读以下材料：(x−1)(x+1)=x2−1；(x−1)x2+x+1=x3−1；(x−1)x3+x2+x+1=x4−1⋯⋯（1）根据以上规律，(x−1)xn−1+xn−2+xn−3+⋯+x+1=　　　　 ；（2）利用（1）的结论，求1+5+52+53+54+55+⋯+52018+52019+52000的值【题型4 整式运算中的整除问题】【例4】（2023春·安徽蚌埠·八年级统考期末）一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n'．把n'放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n'的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为Fn，例如：n=23时，n'=32，F23=2332−322311=−81．对于两位正整数s与t，其中s=10a+b，t=10x+y（1≤bb，当a+bc−d为9的倍数时，则所有满足条件的N2的最大值为 ．【变式8-1】（2023春·甘肃陇南·八年级统考期末）阅读与思考请仔细阅读并完成相应任务．生活中我们经常用到密码，例如用支付宝或微信支付时．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式：x3+2x2−x−2可以因式分解为x−1x+1x+2，当x=29时，x−1=28，x+1=30，x+2=31，此时可以得到数字密码283031．任务：(1)根据上述方法，当x=15，y=5时，对于多项式x3−xy2分解因式后可以形成哪些数字密码？(2)已知一个直角三角形的周长是24，斜边长为11，其中两条直角边分别为x，y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到的密码（只需一个即可）．【变式8-2】（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）如图1，现有3种不同型号的A型、B型、C型卡片若干张．个，据此写出一个多项式的因式分解：____________________．【拓展与延伸】如图3，在一个边长为a的正方体中挖出一个边长为b的正方体，据此写出a3−b3=______________．【题型9 整式运算中的定值问题】【例9】（2023春·江苏苏州·八年级期中）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系．如图，大长方形GMAN由5个全等的长为a，宽为b的小长方形和另外两个长方形拼成．记其中长方形ABCD的面积为S1，长方形EFGH的面积为S2，设CD=x，且当x>b时，不论x取何值，S1−S2为定值，则a与b的数量关系为 ．【变式9-1】（2023上·浙江杭州·七年级杭州绿城育华学校校考期中）如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，下列说法中正确的有（    ）①小长方形的较长边为y−12；②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为x−y+4；③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④当x=20时，阴影A和阴影B的面积和为定值．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式9-2】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）将4块相同的小长方形绿化带按如图所示的方式不重叠的放在长方形花坛ABCD内AD>AB，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形面积分别为S1，S2，已知小长方形绿化带的长为a米，宽为b米，且a>b．(1)当AD=20米时，请用含a，b的式子分别表示S1= 米2，S2= 米2，S1−S2= 米2；(2)由于空间有限，花坛的短边AB长度为定值，而花坛的长边AD可以延伸，将这4块小长方形绿化带按同样的方式放在新的长方形花坛ABCD内，要使未被覆盖的部分分割的两个长方形面积S1=S2，求a，b满足的数量关系．【变式9-3】（2023下·江苏苏州·七年级苏州工业园区星湾学校校考期中）阅读理解，若x满足30−xx−10=160，求30−x2+x−102的值．解：设30−x=a，x−10=b，则30−xx−10=ab=160，a+b=30−x+x−10=20，30−x2+x−102=a2+b2=a+b2−2ab=202−2×160=80，归纳方法：首先，利用换元进行式子简化，再利用和（差）是定值，积是定值的特点与其平方和之间的关系进行转化．解决问题：(1)若x满足2021−xx−2016=2，则2021−x2+x−20162=____________________．(2)若x满足2021−x2+x−20182=2020，求2021−xx−2018的值．(3)如图，在长方形ABCD中，AB=20，BC=12，点E、F是BC、CD上的点，且BE=DF=x，分别以FC、CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH和CEMN，若长方形CEPF的面积为150平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？专题9.8 整式乘法与因式分解章末九大题型总结（拔尖篇）【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc18593" 【题型1 巧用乘法公式求值】  PAGEREF _Toc18593 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc5277" 【题型2 整式乘法中不含某项问题】  PAGEREF _Toc5277 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc5429" 【题型3 多项式乘法中的规律性问题】  PAGEREF _Toc5429 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc20980" 【题型4 整式运算中的整除问题】  PAGEREF _Toc20980 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc19687" 【题型5 乘法公式的几何背景】  PAGEREF _Toc19687 \h 15 HYPERLINK \l "_Toc9557" 【题型6 利用因式分解探究三角形形状】  PAGEREF _Toc9557 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc20955" 【题型7 利用拆项或添项进行因式分解】  PAGEREF _Toc20955 \h 25 HYPERLINK \l "_Toc14662" 【题型8 因式分解的应用】  PAGEREF _Toc14662 \h 30 HYPERLINK \l "_Toc20671" 【题型9 整式运算中的定值问题】  PAGEREF _Toc20671 \h 35【题型1 巧用乘法公式求值】【例1】（2023春·湖南益阳·八年级统考期中）使用整式乘法法则与公式可以使计算简便，请利用法则或公式计算下列各题(1)已知a+1a=5，求a2+1a2的值(2)计算：2−22−23−⋯−218−219+220（写计算过程）(3)设a，b，c，d都是正整数，并且a5=b4，c3=d2，c−a=19求d−b的值．【答案】(1)a2+1a2=23(2)6(3)d−b=757【分析】（1）利用完全平方公式变形计算即可；（2）将原式变形为220−219−218−⋯−23−22+2，然后依次进行运算即可；（3）根据已知条件得出a=b4a4=b2a22，c=d2c2=dc2，根据c−a=19，得出dc+b2a2dc−b2a2=19，根据a，b，c，d都是正整数，dc+b2a2>dc−b2a2，得出dc+b2a2=19，dc−b2a2=1，求出d=10c，b=3a，根据d=10c，b=3a，a5=b4，c3=d2，得出c=100，d=10c=1000，根据c−a=19，得出a=c−19=100−19=81，求出b=3a=243，即可得出答案．【详解】（1）解：∵a+1a2=a2+1a2+2，∴a2+1a2=a+1a2−2=52−2=23．（2）解：2−22−23−⋯−218−219+220=220−219−218−⋯−23−22+2=2192−1−218−⋅⋅⋅−23−22+2=219−218−⋅⋅⋅−23−22+2=2182−1−217−⋅⋅⋅−23−22+2=218−217−⋅⋅⋅−23−22+2=⋅⋅⋅=22+2=4+2=6．（3）解：∵a5=b4，∴a=b4a4=b2a22，∵c3=d2，∴c=d2c2=dc2，∵c−a=19，∴dc2−b2a22=19，即dc+b2a2dc−b2a2=19，∵a，b，c，d都是正整数，又∵a=b4a4=b2a22，c=d2c2=dc2，∴b2a22，dc2为正整数，∴dc+b2a2为正整数，∵dc+b2a2dc−b2a2=19，∴dc−b2a2为正整数，∵dc+b2a2>dc−b2a2，∴dc+b2a2=19，dc−b2a2=1，∴dc+b2a2+dc−b2a2=2dc=19+1=20，∴dc=10，即d=10c，∵dc+b2a2−dc−b2a2=2b2a2=19−1=18，∴b2a2=9，即b2=9a2，∵a，b，c，d都是正整数，∴b=3a，∵d=10c，b=3a，a5=b4，c3=d2，∴c3=d2=10c2=100c2，解得：c=100，则d=10c=1000，∵c−a=19，∴a=c−19=100−19=81，∴b=3a=243，∴d−b=1000−243=757．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，数字规律计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，准确计算．【变式1-1】（2023春·四川内江·八年级四川省内江市第六中学校考开学考试）已知x满足（x﹣2020）2+（2023﹣x）2＝10，则（x﹣2021）2的值是 ．【答案】4【分析】根据题意原式可化为[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，再应用完全平方公式可化为（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，应用整体思想合并同类项，即可得出答案．【详解】解：∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝10∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝10，∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝10，∴2（x﹣2021）2+2＝10，∴（x﹣2021）2＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab＋b2，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．【变式1-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知：x2+xy=10，y2+xy=6，x−y=−1，则：（1）x+y= ．（2）求x，y的值分别为 ．【答案】 −4 x=−52，y=32【分析】由x2+xy−y2+xy可得x+yx−y=4，再根据x−y=−1，可得x+y=−4，可得x+y=−4x−y=−1，进而可得x，y的值．【详解】解：∵x2+xy=10，y2+xy=6，∴x2+xy−y2+xy=10−6=4，即：x2−y2=4，∴x+yx−y=4，∵x−y=−1，∴x+y=−4，可得x+y=−4x−y=−1，解得：x=−52y=−32即：x，y的值分别为x=−52，y=32；故答案为：−4；x=−52，y=32．【点睛】本题考查平方差公式及其变形，由x2+xy−y2+xy得到x+yx−y=4是解决问题的关键．【变式1-3】（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）已知a−ba+b=a2−b2．(1)2−12+122+1=______；(2)求2+122+124+128+1216+1的值；(3)求23+132+134+138+1316+1332+1结果的个位数字．【答案】(1)15(2)232－1(3)0【分析】（1）根据平方差公式求出即可；（2）添加上(2−1)，重复根据平方差公式依次求出，即可得出答案；（3）根据（2）的规律，多次利用平方差公式即可得出答案．【详解】（1）解：(2−1)(2+1)(22+1)=(22−1)(22+1)=24−1=15；故答案为：15；（2）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24−1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28−1)(28+1)(216+1)=(216−1)(216+1)=232−1；（3）2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)…(332+1)=(3−1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)=(32−1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)=(34−1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)=(38−1)(38+1)(316+1)(332+1)=(316−1)(316+1)(332+1)=(332−1)(332+1)=364−1；∵31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，...，可知3n的个位数呈3、9、7、1...循环，64÷4=16，∴364的个位数是1，∴364−1的个位数是0．即2(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)…(332+1)结果的个位数字是0．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解此题的关键是重复运用平方差公式，根据结果得出规律，题目比较好，有一定的难度．【题型2 整式乘法中不含某项问题】【例2】（2023春·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考期中）若(x2+nx+3)(x2−3x+m)的展开式中不含x2和x3项，则m+n= ．【答案】9．【分析】根据展开式中不含x2和x3项，即x2和x3项的系数为0即可求解．【详解】解：(x2+nx+3)(x2−3x+m)，=x4−3x3+mx2+nx3−3nx2+mnx+3x2−9x+3m，=x4+(n−3)x3+(m−3n+3)x2+(mn−9)x+3m，根据展开式中不含x2和x3项，列方程组得，n−3=0m−3n+3=0，解得，n=3m=6，m+n=9，故答案为：9．【点睛】本题考查整式乘法和二元一次方程组，解题关键是根据多项式中不含某一项时，这一项的系数为0列方程组．【变式2-1】（2023秋·甘肃武威·八年级校考期末）老师在黑板上布置了一道题：已知x＝－2，求式子(2x－y)(2x＋y)＋(2x－y)(y－4x)＋2y(y－3x)的值．小亮和小新展开了下面的讨论：小亮：只知道x的值，没有告诉y的值，这道题不能做；小新：这道题与y的值无关，可以求解；根据上述说法，你认为谁说的正确？为什么？【答案】小新的说法正确，原因见解析【分析】根据平方差公式，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简即可得到答案．【详解】解：2x−y2x+y+2x−yy−4x+2yy−3x=4x2−y2+2xy−y2−8x2+4xy+2y2−6xy=−4x2，∴这道题与y的值无关，可以求解，∴小新的说法正确．【点睛】本题主要考查了平方差公式，多项式乘以多项式，多项式乘以单项式，熟知整式的相关计算法则是解题的关键，注意去括号的时候的符号问题．【变式2-2】（2023秋·河南周口·八年级校考期末）已知x2+mx−32x+n的展开式中不含x的一次项，常数项是－6，则mn的值为 ．【答案】6【分析】根据多项式乘多项式运算法则进行化简，然后令含x的一次项的系数为零以及常数项为−6即可求出答案．【详解】解：x2+mx−32x+n=2x3+nx2+2mx2+mnx−6x−3n=2x3+n+2mx2+mn−6x−3n，∵x2+mx−32x+n的展开式中不含x的一次项，常数项是－6，∴mn−6=0−3n=−6，∴mn=6．故答案为：6．【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用多项式乘多项式的运算法则，本题属于基础题型．【变式2-3】（2023秋·福建泉州·八年级福建省泉州市培元中学校考期中）已知关于x、y的代数式2x+5y32x−5y3−mx−32+nx的值与x的取值无关，求实数m、n的值．【答案】m=2，n=−12或m=−2，n=12．【分析】先对原式进行化简，然后根据代数式的值与x的取值无关令含x的项的系数为0，分情况求出m、n的值即可．【详解】解：原式=4x2−25y6−m2x2−6mx+9+nx=4x2−25y6−m2x2+6mx−9+nx=4−m2x2−25y6+6m+nx−9，∵代数式2x+5y32x−5y3−mx−32+nx的值与x的取值无关，∴4−m2=0，6m+n=0，∴m=±2，当m=2时，由6m+n=0可得12+n=0，解得：n=−12，当m=−2时，由6m+n=0可得−12+n=0，解得：n=12，∴m=2，n=−12或m=−2，n=12．【点睛】本题考查了整式的混合运算，求一个数的平方根，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．【题型3 多项式乘法中的规律性问题】【例3】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）下列图像都是由相同大小的星星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗星星，第②个图形中一共有11颗星星，第③个图形中一共有21颗星星，……按此规律排列下去，第⑨个图形中星星的颗数为 ．  【答案】144【分析】根据题意将每个图形都看作两部分，一部分是上面的构成规则的矩形，另一部分是构成下面的近似金字塔的形状，然后根据递增关系即可得到答案．【详解】第①个图形中星星的颗数4=2+1×2；第②个图形中星星的颗数11=2+3+2×3；第③个图形中星星的颗数21=2+3+4+3×4；第④个图形中星星的颗数34=2+3+4+5+4×5；……∴第n个图形中星星的颗数=2+3+4+5+⋯+n+n+1+nn+1=2+n+1n2+nn+1 =32n2+52n ∴当n=9时，32n2+52n=32×92+52×9=144，∴第⑨个图形中的星星颗数为144颗，故答案为：144【点睛】本题考查了图形变化规律，正确地得到每个图形中小星星的数字变化情况是解题的关键．【变式3-1】（2023春·重庆·八年级校考期中）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝　 　．（2）a+bn的展开式共有______项，系数和为_______．（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．（4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期 ．【答案】（1）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）n+1,2n；（3）1；（4）三【分析】（1）根据得出的系数规律，将原式展开即可；（2）直接根据得出的规律即可求解；（3）利用规律计算原式即可得到结果；（4）由8100=7+1100，根据得出的规律即可求解．【详解】解：（1）（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）∵a+bn的展开式是按照a的指数从n到0进行降幂排列，∴a+bn的展开式共有n+1项，从规律可发现系数和为2n；（3）令（1）中a=2，b=-1，得：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（2-1）5=1；（4）8100=7+1100根据规律可知，7+1100除以7余数为1，∴若今天是星期二，经过8100天后是星期三．【点睛】此题考查了完全平方公式，找出题中的规律是解本题的关键．【变式3-2】（2023春·广东深圳·八年级深圳中学校考开学考试）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第n个叠放的图形中，小正方体木块总数应是 ．  【答案】2n2−n【分析】图（1）中只有一层，有4×0+1一个正方体，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有4×1+1个．图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有4×2+1，依此类推出第n层正方体的个数，即可推出当有n层时总的正方体个数．【详解】解：经分析，可知：第一层的正方体个数为4×0+1，第二层的正方体个数为4×1+1，第三层的正方体个数为4×2+1，……第n层的个数为：4n−1+1，第n个叠放的图形中，小正方体木块总数为：1+4×1+1+4×2+1+⋅⋅⋅+4n−2+1+4n−1+1=n+41+2+3+⋅⋅⋅+n−2+n−1=n+4×1+n−1n−12=n+2nn−1=2n2−n．故答案为：2n2−n【点睛】本题解题关键是根据图形的变换总结规律，由图形变换得规律：每次都比上一次增加一层，增加第n层时小正方体共增加了4n−1+1个，将n层的小正方体个数相加即可得到总的小正方体个数．【变式3-3】（2023春·北京昌平·八年级北京市昌平区第二中学校考期中）阅读以下材料：(x−1)(x+1)=x2−1；(x−1)x2+x+1=x3−1；(x−1)x3+x2+x+1=x4−1⋯⋯（1）根据以上规律，(x−1)xn−1+xn−2+xn−3+⋯+x+1=　　　　 ；（2）利用（1）的结论，求1+5+52+53+54+55+⋯+52018+52019+52000的值【答案】（1）xn−1；（2）52001−14【分析】（1）仔细观察上式就可以发现得数中x的指数是式子中x的最高指数减1，根据此规律就可求出本题.（2）不难看出所求式子是材料中等号左边式子的一个因式，将所求式子转化成(x−1)xn−1+xn−2+xn−3+⋯+x+1形式，即可利用（1）的结论进行求解.【详解】（1）(x−1)xn−1+xn−2+xn−3+⋯+x+1中最高次项为x•xn−1=xn，所以(x−1)xn−1+xn−2+xn−3+⋯+x+1=xn-1；（2）1+5+52+53+54+55+⋯+52018+52019+52000=14（5-1）（1+5+52+53+54+55+⋯+52018+52019+52000）=52001−14【点睛】仔细观察式子，总结出运算规律，是解决此类题的关键.【题型4 整式运算中的整除问题】【例4】（2023春·安徽蚌埠·八年级统考期末）一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，则将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n'．把n'放在n的后面组成第一个四位数，把n放在n'的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为Fn，例如：n=23时，n'=32，F23=2332−322311=−81．对于两位正整数s与t，其中s=10a+b，t=10x+y（1≤bb时，不论x取何值，S1−S2为定值，∴2b−a=0，即a=2b．【点睛】本题主要考查了正数的混合运算，列代数式，解题的关键是根据图形，列出正确代数式．【变式9-1】（2023上·浙江杭州·七年级杭州绿城育华学校校考期中）如图，长为y(cm)，宽为x(cm)的大长方形被分割为7小块，除阴影A，B外其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为4cm，下列说法中正确的有（    ）①小长方形的较长边为y−12；②阴影A的一条较短边和阴影B的一条较短边之和为x−y+4；③若x为定值，则阴影A和阴影B的周长和为定值；④当x=20时，阴影A和阴影B的面积和为定值．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【分析】观察图形，由大长方形的长及小长方形的宽，可得出小长方形的长为y−12cm，说法①符合题意；②由大长方形的宽及小长方形的长、宽，可得出阴影A，B的较短边长，将其相加可得出阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为2x−y+4cm，说法②不符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的周长计算公式可得出阴影A和阴影B的周长之和为22x+4，结合x为定值可得出说法③符合题意；由阴影A，B的相邻两边的长度，利用长方形的面积计算公式可得出阴影A和阴影B的面积之和为xy−20y+240cm2，代入x=20可得出说法④符合题意．【详解】解：∵大长方形的长为ycm，小长方形的宽为4cm，∴小长方形的长为y−3×4=y−12cm，说法①符合题意；∵大长方形的宽为xcm，小长方形的长为y−12cm，小长方形的宽为4cm，∴阴影A的较短边为x−2×4=x−8cm，阴影B的较短边为x−y−12=x−y+12cm，∴阴影A的较短边和阴影B的较短边之和为x−8+x−y+12=2x−y+4cm，说法②不符合题意；∵阴影A的较长边为y−12cm，较短边为x−8cm，阴影B的较长边为3×4=12cm，较短边为x−y+12cm，∴阴影A的周长为2y−12+x−8=2x+y−20cm，阴影B的周长为212+x−y+12=2x−y+24cm，∴阴影A和阴影B的周长之和为2x+y−20+2x−y+24=22x+4cm，∴若x为定值，则阴影A和阴影B的周长之和为定值，说法③符合题意；∵阴影A的较长边为y−12cm，较短边为x−8cm，阴影B的较长边为3×4=12cm，较短边为x−y+12cm，∴阴影A的面积为y−12x−8=xy−12x−8y+96cm2，阴影B的面积为12x−y+12=12x−12y+144cm2，∴阴影A和阴影B的面积之和为xy−12x−8y+96+12x−12y+144=xy−20y+240cm2，当x=20时，xy−20y+240=240cm2，说法④符合题意，综上所述，正确的说法有①③④，共3个，故选：B．【点睛】本题考查了列代数式以及整式的混合运算，根据图形分别表示出相关边长并能熟练运用整式加减的运算法则是解题的关键．【变式9-2】（2023春·河北石家庄·八年级统考期中）将4块相同的小长方形绿化带按如图所示的方式不重叠的放在长方形花坛ABCD内AD>AB，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形面积分别为S1，S2，已知小长方形绿化带的长为a米，宽为b米，且a>b．(1)当AD=20米时，请用含a，b的式子分别表示S1= 米2，S2= 米2，S1−S2= 米2；(2)由于空间有限，花坛的短边AB长度为定值，而花坛的长边AD可以延伸，将这4块小长方形绿化带按同样的方式放在新的长方形花坛ABCD内，要使未被覆盖的部分分割的两个长方形面积S1=S2，求a，b满足的数量关系．【答案】(1)40b−2ab，20a−2ab，40b−20a(2)a=2b【分析】（1）由题意可得，根据长方形面积公式表示S1和S2，即可得S1−S2；（2）设AD=y，由题意可得，根据长方形面积公式表示S1和S2，使S1=S2，即得到a，b满足的数量关系．【详解】（1）解：由题意可得：S1的长边为AD−a，S1的短边为2b，S2的长边为AD−2b，S2的短边为a，根据长方形面积公式得S1=AD−a×2b=40b−2ab，【答案】(1)21(2)−20112(3)364平方单位【分析】（1）根据题目提供的方法，进行计算即可．（2）根据题意可得，a2+b2=2020，a+b=2021−x+x−2018=3，将ab化成12a+b2−a2+b2的形式，代入求值即可．（3）根据题意可得，20−x12−x=150，即20−xx−12=−150，根据（1）中提供的方法，求出20−x2+12−x2的结果就是阴影部分的面积．【详解】（1）解：设2021−x=a，x−2016=b；则2021−xx−2016=ab=2，a+b=2021−x+x−2016=5，∴2021−x2+x−20162=a2+b2=a+b2−2ab=52−2×2=21，故答案为：21．（2）解：设2021−x=a，x−2018=b，则2021−x2+x−20182=a2+b2=2020，a+b=2021−x+x−2018=3，∴2021−xx−2018=ab=12a+b2−a2+b2=12×32−2020=−20112，故答案为：−20112．（3）解：由题意得，FC=20−x，EC=12−x，∵长方形CEPF的面积为150，∴20−x12−x=150，∴20−xx−12=−150，+设20−x=a，x−12=b，则20−xx−12=ab=−150 a+b=20−x+x−12=8，∴∴阴影部分的面积=20−x2+12−x2，=a2+b2=a+b2−2ab=82−2×−150=364平方单位，∴阴影部分的面积和为364平方单位．【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，阅读理解题目中提供的方法，是类比、推广的前提和关键．