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苏科版七年级数学下册精品专题10.2实际问题与二元一次方程组【十一大题型】同步练习(学生版+解析)
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这是一份苏科版七年级数学下册精品专题10.2实际问题与二元一次方程组【十一大题型】同步练习(学生版+解析)，共49页。
专题10.2 实际问题与二元一次方程组【十一大题型】【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc30133" 【题型1 行程问题】 PAGEREF _Toc30133 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc21028" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Toc21028 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc27829" 【题型3 配套问题】 PAGEREF _Toc27829 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc27" 【题型4 年龄问题】 PAGEREF _Toc27 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc1165" 【题型5 销售问题】 PAGEREF _Toc1165 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc17272" 【题型6 分配问题】 PAGEREF _Toc17272 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc18781" 【题型7 几何图形问题】 PAGEREF _Toc18781 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc14699" 【题型8 数字问题】 PAGEREF _Toc14699 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc18175" 【题型9 古代问题】 PAGEREF _Toc18175 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc7230" 【题型10 方案问题】 PAGEREF _Toc7230 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc7421" 【题型11 图表问题】 PAGEREF _Toc7421 \h 11【题型1 行程问题】【例1】（2023春·山东临沂·七年级统考期末）甲、乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑，如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙，求甲、乙两人的平均速度．【变式1-1】（2023春·江苏连云港·七年级统考期末）我县境内的某段铁路桥长2200m，现有一列高铁列车从桥上通过，测得此列高铁从开始上桥到完全过桥共用30s，整列高铁在桥上的时间是25s，试求此列高铁的车速和车长．【变式1-2】（2023春·河北廊坊·七年级廊坊市第四中学校考期中）琪琪沿街匀速行走，发现每隔12min从背后驶过一辆7路公交车，每隔6min从迎面驶来一辆7路公交车．假设每辆7路公交车行驶速度相同，而且7路公交车总站每隔固定时间发一辆车．问：（1）7路公交车行驶速度是琪琪行走速度的 倍．（2）7路公交车总站每间隔 min发一辆车．【变式1-3】（2023春·湖南娄底·七年级统考期末）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，则他从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟． (1)小华家离学校多远？(2)小华从家里到学校到达中点的时间与小华从学校到家里到达中点的时间会一样吗？如果不一样，哪种情况所花的时间更多？请通过计算说明理由．【题型2 工程问题】【例2】（2023春·安徽芜湖·七年级校考期末）自来水厂的供水池有7个进出水口，每天早晨6点开始进出水，且此时水池中有水15%，在每个进出水口是匀速进出的情况下，如果开放3个进口和4个出口，5小时将水池注满；如果开放4个进口和3个出口，2小时将水池注满．若某一天早晨6点时水池中有水24%，又因为水管改造，只能开放3个进口和2个出口，则从早晨6点开始经过 小时水池的水刚好注满．【变式2-1】（2023春·四川泸州·七年级泸县五中校考期中）制造某种产品，1人用机器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用机器，2人靠手工，每天可制造80件．3人用机器，1人靠手工，每天可制造多少件产品？【变式2-2】（2023春·湖南常德·七年级统考期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需要6周完成，共需装修费5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．(1)设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意列出关于m、n的二元一次方程组．(2)如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？请说明理由．(3)如果从节约开支的角度考虑，应选哪家公司？请说明理由．【变式2-3】（2023春·河北邯郸·七年级统考期中）有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成．(1)设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：______．(2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数．【题型3 配套问题】【例3】（2023春·全国·七年级期末）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．(1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板___________张（直接填空），需长方形纸板___________张（直接填空）．(2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题）3．（2023秋·山东济南·七年级校考期末）列方程组解应题某校为7年级寄宿学生安排宿舍，每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间住6人，则有一间只住4人，求该年级寄宿的学生人数和宿舍间数？【变式3-1】（2023春·山东菏泽·七年级统考期中）一套餐桌有一张桌子和六把椅子组成．如果1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子．现有15立方米的木料，请你设计一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？【变式3-2】（2023春·广东江门·七年级统考期末）用铁皮材料做罐头盒，每张铁皮可制盒身30个，或制盒底50个，一个盒身与两个盒底配成一套．现有33张铁皮材料，分别用多少张制盒身、盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套？【变式3-3】（2023秋·安徽滁州·七年级校考开学考试）一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．(1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件?每天能生产多少套产品?(2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件．①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表示）②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务?【题型4 年龄问题】【例4】（2023春·全国·七年级专题练习）5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？【变式4-1】（2023春·七年级课时练习）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（ ）A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁【变式4-2】（2023秋·湖南永州·七年级校考开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁．【变式4-3】（2023春·福建泉州·七年级统考期末）南安英都拔拔灯是国家级非物质文化遗产之一，因疫情原因停办了好几年，今年正月又重新举行，吸引了众多的海内外游客参与．其中一位34岁的男子带着他的两个孩子参与了拔拔灯活动，下面是记者与两个孩子的对话：记者：两位小朋友，你们几岁了？这么小就来拔拔灯了．妹妹：我比哥哥少4岁；哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加．恰好等于爸爸的年龄；根据对话内容，请你用方程（组）的知识帮记者求出今年哥哥和妹妹的年龄．【题型5 销售问题】【例5】（2023春·山东泰安·七年级统考期末）2020年1月底，武汉爆发“新冠”疫情，并开始向全国蔓延，出于防疫的需求，医用口罩迅速成为紧俏物资．某药店为解市民的燃眉之急，先后两次采购了A、B两种型号的医用口罩进行销售．已知这两种型号的医用口罩进货情况如表：（1）问A，B两种型号的口罩的进货单价各是多少元？（2）销售中发现B型口罩的销量明显好于A型，药店在计划第三次采购时，决定购进B型口罩的箱数比A型口罩的箱数的2倍还多10箱，在采购总价不超过90000元的情况下，最多能购进多少箱B型口罩？【变式5-1】（2023春·重庆·七年级重庆市育才中学校考期中）向日葵水果店推出甲乙两种礼盒，甲礼盒中有樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，乙礼盒中有樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，已知樱桃每千克30元，甲礼盒每盒100元，乙礼盒每盒98元，当然，顾客也可根据需要自由搭配，小陶用1100元买乙礼盒和自由搭配礼盒(香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克)若干盒，则小陶一共可买礼盒 个．【变式5-2】（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨30%，20%．(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？【变式5-3】（2023秋·全国·七年级统考期末）为了解决农民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，2004年秋季有5000名农民工子女进入主城区中小学学习，预计2005年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女比2004年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样，2005年秋季将新增1160名农民工子女在主城区中小学学习．（1）如果按小学每生每年收“借读费”500元，中学每生每年收“借读费”1000元计算，求2005年新增加的1160名中小学学生共免收多少“借读费”？（2）如果小学每增加40名学生需配备2名教师，中学每增加40名学生需配备3名教师，若按2005年秋季入学后，农民工子女在主城区中小学就读的学生增加的人数计算，一共需要配备多少名中小学教师？【题型6 分配问题】【例6】（2023春·北京海淀·七年级北京育英中学校考期末）为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”.该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？【变式6-1】（2023春·广西桂林·七年级校考期中）某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？【变式6-2】（2023春·浙江·七年级期末）杭州某公司准备安装完成6000辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．（1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车?（2）若公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人a>n，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，求a的值．【变式6-3】（2023春·吉林长春·七年级统考期末）问题解决：糖葫芦一般是用竹签串上山楂．再蘸以冰糖制作而成，现将一些山楂分别串在若干个竹签上，如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签，求竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳：现有m根竹签，n个山楂，若每根竹签串a个山楂，还剩b个山楂，则m、n、a、b满足的等量关系为 （用含m、n、a、b的代数式表示）．【题型7 几何图形问题】【例7】（2023春·江苏苏州·七年级校联考阶段练习）把长都是宽的两倍的1个大长方形纸片和4个相同的小长方形纸片按图①、图②方式摆放，则图②中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为 cm2．【变式7-1】（2023春·江苏常州·七年级统考期末）在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（ ） A．10m2 B．12m2 C．18m2 D．28m2【变式7-2】（2023春·河南新乡·七年级校考阶段练习）如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示. (1)小长方形的长和宽各是多少？(2)求阴影部分的面积.【变式7-3】（2023春·山西·七年级统考期中）小敏通过观察发现，生活中很多产品的包装都是长方体，她从家里找了一个长方体包装盒，将其展开后，得到如图所示的示意图，根据示意图中的数据可得原长方体的体积为 cm3．【题型8 数字问题】【例8】（2023春·河北唐山·七年级统考期中）某两位数，两个数位上的数之和为11．这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数．(1)列一元一次方程求解．(2)如果设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，列二元一次方程组．(3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组．【变式8-1】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值；(2)如图2所示幻方，求a，b的值；(3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整．【变式8-2】（2023秋·辽宁铁岭·七年级统考阶段练习）在《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻图圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等；则图中外圆周上空白圆圈内填 ，内圆周上空白圆圈内填内应填 ．【变式8-3】（2023春·山东潍坊·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”那么，你能回答以下问题吗？(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？(3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！【题型9 古代问题】【例9】（2023秋·安徽滁州·七年级校联考期中）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题．【变式9-1】（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是（ ）尺．A．5 B．8 C．32 D．36【变式9-2】（2023春·江西南昌·七年级统考期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉．下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等水稻3捆，加稻谷6斗，与下等水稻10捆相当．下等水稻5捆，加稻谷1斗，与上等水稻2捆相当．问上等水稻、下等水稻每捆各有稻谷多少斗？【变式9-3】（2023秋·安徽·七年级校联考阶段练习）《九章算术》中有这样一道题，原文如下：今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉．下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉．问：上、下禾实一秉各几何？大意为：今有上禾6束，减损其中之“实”1斗8升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其中之“实”5升，与上禾5束之“实”相当．问上、下禾每1束之实各为多少?（10升为1斗）【题型10 方案问题】【例10】（2023春·湖南株洲·七年级校考期末）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）(1)求A、B两种型号电风扇的销售单价；(2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由．(3)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案．【变式10-1】（2023秋·福建漳州·七年级校考阶段练习）某公司接到240台空调的安装任务．由于时间紧，该公司没有足够的熟练工人，故决定招聘一批新工人．根据以往安装经验可知，1名熟练工人和2名新工人每天一共可以安装8台空调；2名熟练工人和3名新工人每天一共可以安装14台空调．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少台空调？(2)若该公司原有m名熟练工人，现计划招聘n名新工人（m，n均为正整数），为保证刚好用12天完成安装任务，你认为该公司有哪几种招聘方案？【变式10-2】（2023春·湖北荆州·七年级统考期末）荆州作为荆楚文化根脉所在，是楚文化发祥地．首届楚文化节于2023年3月至4月在荆州举办．为更好展现荆州，荆州市特推出A、B两种不同明信片套盒和单张明信片．已知一种A套盒和一种B套盒总价13元，2种A套盒和3种B套盒总价31元；单张明信片1元/张．(3)小李家准备用270元再次购买消毒纸巾和医用口罩，在270元刚好用完的条件下，有哪些购买方案?【变式11-1】（2023春·河南新乡·七年级统考期末）如图，2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm，塑料凳子相同且叠放时均忽略缝隙，则11个塑料凳子叠放在一起时的高度为( ) A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm【变式11-2】（2023秋·甘肃武威·七年级校考开学考试）课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，小丽的5次飞镖总分为 分． 【变式11-3】（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）根据以下素材，完成任务． 第一次第二次A型口罩(箱)2030B型口罩(箱)3040累计采购款(元)5100072000购进的台数购进所需要的费用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周351750元第二周4103000元解决挖掘机的租用和保养问题素材1“迎亚运，共期盼”，为了建设“亚运新城”，现对奥体中心附近的主干道进行改造.施工方考虑到封道区域的限定，计划每小时挖掘土石方1760m3，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表： 型号挖掘土石方量(单位：m3/台⋅时)租金(单位：元/台⋅时)甲型160190乙型240260素材2为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换.现预估保养费用为w元，若购买20根弹簧和15颗钢球，则保养费用w还缺25元；若购买19根弹簧和13颗钢球，则保养费用w还剩15元．问题解决任务1制定租用计划若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量.甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？任务2探究租用方案若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？任务3确定保养费用基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际保养费用为______ 元(用含w的代数式表示)．专题10.2 实际问题与二元一次方程组【十一大题型】【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc30133" 【题型1 行程问题】 PAGEREF _Toc30133 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc21028" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Toc21028 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc27829" 【题型3 配套问题】 PAGEREF _Toc27829 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc27" 【题型4 年龄问题】 PAGEREF _Toc27 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc1165" 【题型5 销售问题】 PAGEREF _Toc1165 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc17272" 【题型6 分配问题】 PAGEREF _Toc17272 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc18781" 【题型7 几何图形问题】 PAGEREF _Toc18781 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc14699" 【题型8 数字问题】 PAGEREF _Toc14699 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc18175" 【题型9 古代问题】 PAGEREF _Toc18175 \h 26 HYPERLINK \l "_Toc7230" 【题型10 方案问题】 PAGEREF _Toc7230 \h 28 HYPERLINK \l "_Toc7421" 【题型11 图表问题】 PAGEREF _Toc7421 \h 33【题型1 行程问题】【例1】（2023春·山东临沂·七年级统考期末）甲、乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑，如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙，求甲、乙两人的平均速度．【答案】甲的速度为9米/秒，乙的速度为7米/秒【分析】设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，根据“如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，依题意，得：25x+25y=400200x−200y=400解得：x=9y=7答：甲的速度为9米/秒，乙的速度为7米/秒．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式1-1】（2023春·江苏连云港·七年级统考期末）我县境内的某段铁路桥长2200m，现有一列高铁列车从桥上通过，测得此列高铁从开始上桥到完全过桥共用30s，整列高铁在桥上的时间是25s，试求此列高铁的车速和车长．【答案】此列高铁的车速为80m/s，车长为200m【分析】设此列高铁的车长为xm，车速为ym/s，利用路程＝速度×时间，结合题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设此列高铁的车长为xm，车速为ym/s，依题意得：30y=2200+x25y=2200−x，解得：x=200y=80，答：此列高铁的车速为80m/s，车长为200m．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式1-2】（2023春·河北廊坊·七年级廊坊市第四中学校考期中）琪琪沿街匀速行走，发现每隔12min从背后驶过一辆7路公交车，每隔6min从迎面驶来一辆7路公交车．假设每辆7路公交车行驶速度相同，而且7路公交车总站每隔固定时间发一辆车．问：（1）7路公交车行驶速度是琪琪行走速度的 倍．（2）7路公交车总站每间隔 min发一辆车．【答案】 3 8【分析】设7路公交车行驶速度x米/分钟，琪琪匀速行走的速度y米/分钟，7路公交车发出时间间隔为t分钟，等量关系式：12分钟公交车行驶的路程− 12分钟琪琪走的路程=两站之间的距离，5分钟公交车行驶的路程+ 5分钟琪琪走的路程=两站之间的距离；据此列出方程组，即可求解．【详解】解：设7路公交车行驶速度x米/分钟，琪琪匀速行走的速度y米/分钟，7路公交车发出时间间隔为t分钟，由题意得12x−12y=xt6x+6y=xt，解得：x=3yt=8，故答案：（1）3（2）8．【点睛】本题主要考查了含参数的二元一次方程组的应用，找出等量关系式是解题的关键．【变式1-3】（2023春·湖南娄底·七年级统考期末）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，则他从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟． (1)小华家离学校多远？(2)小华从家里到学校到达中点的时间与小华从学校到家里到达中点的时间会一样吗？如果不一样，哪种情况所花的时间更多？请通过计算说明理由．【答案】(1)小华家离学校700米(2)小华从学校到家里到达中点的时间比小华从家里到学校到达中点的时间要多一些【分析】（1）设小华从家里到学校的路是一段平路长为x米，小华从家里到学校的下坡路长为y米，根据小华从家里到学校和从学校到家里的时间列二元一次方程组，求出x与y，并求和即可；（2）先求出中点位置与学校和家里的距离，再分别求出所需时间，比较即可得解．【详解】（1）解：设小华从家里到学校的路是一段平路长为x米，小华从家里到学校的下坡路长为y米．由题意得：x60+y80=10x60+y40=15 解得：x=300y=400 ∴x+y=700．答：小华家离学校700米；（2）中点距离小华家和学校的距离为：700÷2=350(米)．小华从家里到学校到达中点所需的时间为：300÷60+350−300÷80=5.625(分钟)；小华从学校到家里到达中点所需的时间为：350÷40=8.75(分钟)；8.75>5.625∴小华从学校到家里到达中点的时间比小华从家里到学校到达中点的时间要多一些．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，根据题意列方程组和列算式是解题的关键．【题型2 工程问题】【例2】（2023春·安徽芜湖·七年级校考期末）自来水厂的供水池有7个进出水口，每天早晨6点开始进出水，且此时水池中有水15%，在每个进出水口是匀速进出的情况下，如果开放3个进口和4个出口，5小时将水池注满；如果开放4个进口和3个出口，2小时将水池注满．若某一天早晨6点时水池中有水24%，又因为水管改造，只能开放3个进口和2个出口，则从早晨6点开始经过 小时水池的水刚好注满．【答案】3817．【分析】设每个进水口每小时进水量为x，每个出水口每小时出水量为y，根据题意，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入1−24%3x−2y中即可求出结论．【详解】设每个进水口每小时进水量为x，每个出水口每小时出水量为y，依题意，得：53x−4y=1−15%24x−3y=1−15%，解得：x=0.17y=0.085，∴1−24%3x−2y=3817．故答案为：3817．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式2-1】（2023春·四川泸州·七年级泸县五中校考期中）制造某种产品，1人用机器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用机器，2人靠手工，每天可制造80件．3人用机器，1人靠手工，每天可制造多少件产品？【答案】3人用机器，1人靠手工，每天可制造100件产品【分析】设利用机器每人每天可制造x件产品，手工每人每天可制造y件产品，根据“1人用机器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用机器，2人靠手工，每天可制造80件”列出二元一次方程组，解方程即可得到答案．【详解】解：设利用机器每人每天可制造x件产品，手工每人每天可制造y件产品，根据题意得，x+3y=602x+2y=80，解得：x=30y=10，∴3人用机器，1人靠手工，每天可制造的产品件数为：3×30+1×10=100（件），答：3人用机器，1人靠手工，每天可制造100件产品．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式2-2】（2023春·湖南常德·七年级统考期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需要6周完成，共需装修费5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．(1)设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意列出关于m、n的二元一次方程组．(2)如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？请说明理由．(3)如果从节约开支的角度考虑，应选哪家公司？请说明理由．【答案】(1)6(m+n)=14m+9n=1(2)甲公司，理由见解析(3)乙公司，理由见解析【分析】（1）利用时间×工作效率=工作量，建立等式，构造方程组即可．（2）比较工作效率的大小，选择工作效率高的公司即可．（3）设设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元，计算两个公司完成工作任务后的总费用，比较大小决定即可．【详解】（1）设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意，得6(m+n)=14m+9n=1．（2）由（1）解得方程组的解为：m=110n=115因为110＞115，即甲公司的效率比乙公司的高，所以从时间上考虑，应选择甲公司．（3）解：设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元，根据题意得：6a+6b=5.24a+9b=4.8解得：a=35b=415甲公司共需35×10=305=6万元，乙公司共需415×15=4万元，因为4万元＜6万元，所以从节约开支上考虑，应选择乙公司．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确找到等量关系，列出方程组是解题的关键．【变式2-3】（2023春·河北邯郸·七年级统考期中）有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成．(1)设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：______．(2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数．【答案】(1)8m+12n=180m+n=20(2)甲、乙两工程队分别绿化荒地120亩，60亩．【分析】（1）设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，再由工作总量为180亩，工作总时间为20天列方程组即可；（2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，再由工作总量为180亩，工作总时间为20天列方程组，再解方程组即可；【详解】（1）解：设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，则8m+12n=180m+n=20，（2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，则x+y=180x8+y12=20 ，整理得：x+y=1803x+2y=480，解得：x=120y=60，答：甲、乙两工程队分别绿化荒地120亩，60亩．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．【题型3 配套问题】【例3】（2023春·全国·七年级期末）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．(1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板___________张（直接填空），需长方形纸板___________张（直接填空）．(2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题）【答案】(1)5；10(2)制作竖式纸盒38个、横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完【分析】（1）根据1个竖式纸盒需要长方形纸板4张，正方形纸板1张，1个横式纸盒需要长方形纸板3张，正方形纸板2张，求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒需要的正方形纸板和长方形纸片的张数即可；（2）设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据制作竖式纸盒和横式纸盒需要的正方形和长方形纸板数列出方程组，解方程即可．【详解】（1）解：需正方形纸板：1+2×2=5（张），长方形纸板：4+3×2=10（张），故答案为：5；10．（2）解：设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据题意得：4x+3y=338x+2y=162，解得：x=38y=62，答：制作竖式纸盒38个、横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据正方形和长方形张数列出方程组．3．（2023秋·山东济南·七年级校考期末）列方程组解应题某校为7年级寄宿学生安排宿舍，每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间住6人，则有一间只住4人，求该年级寄宿的学生人数和宿舍间数？【答案】寄宿生人数为34人，宿舍间数为6间．【分析】设寄宿生人数为x人，宿舍间数为y间，根据学生的人数与房间的数量之间的关系建立方程组求出其解即可．【详解】解：设寄宿生人数为x人，宿舍间数为y间，由题意，得x−5y=4x−6y−1=4，解得：x=34y=6．答：寄宿生人数为34人，宿舍间数为6间．【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据学生的人数与房间的数量之间的关系建立方程组是关键．【变式3-1】（2023春·山东菏泽·七年级统考期中）一套餐桌有一张桌子和六把椅子组成．如果1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子．现有15立方米的木料，请你设计一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？【答案】用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌．【分析】根据题意找出等量关系：1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子和总共15立方米的木料，设出未知量列方程组计算即可．【详解】解：设用x立方米的木料做桌子，用y立方米的木料做椅子，根据题意，得x+y=156×(10x)=15y，解这个方程组，得x=3y=12，经检验，方程组的解符合题意．所以用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌．【点睛】此题考查二元一次方程的应用，难度一般，找准等量关系是关键．【变式3-2】（2023春·广东江门·七年级统考期末）用铁皮材料做罐头盒，每张铁皮可制盒身30个，或制盒底50个，一个盒身与两个盒底配成一套．现有33张铁皮材料，分别用多少张制盒身、盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套？【答案】用15张制盒身，用18张制盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套【分析】设用x张制盒身，用y张制盒底，根据题中等量关系列出x、y的方程组，然后解方程组可求解．【详解】解：设用x张制盒身，用y张制盒底，根据题意，得x+y=332×30x=50y，解得x=15y=18，答：用15张制盒身，用18张制盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系并正确列出方程组是解答的关键．【变式3-3】（2023秋·安徽滁州·七年级校考开学考试）一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．(1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件?每天能生产多少套产品?(2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件．①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表示）②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务?【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品(2)①x=−25m+24；②至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务【分析】（1）设工厂每天安排x名工人生产A型零件，则工厂每天安排(60−x)名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可；（2）①根据“x名熟练工人和m名新工人生产的A型零件等于1200套产品的A型零件总数”可列方程，进行整理即可；②设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排(60−n)名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可．【详解】（1）解：设工厂每天安排a名工人生产A型零件，则工厂每天安排(60−a)名工人生产B型零件，由题意得：6a4=3(60−a)3，解得a=24，6a4=6×244=36（套）所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品．（2）①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，则安排(60−x)名熟练工人生产B型零件，由题意得，3×(6x+4m)=4×3(60−x)，整理得x=−25m+24；②设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排(60−n)名熟练工人生产B型零件，由题意得20(6n+4m)4=120020×3(60−n)3=1200，解得m=60n=0，所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．【题型4 年龄问题】【例4】（2023春·全国·七年级专题练习）5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可．【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则x−5=15(y−5)x+15=2(y+15)+6解得x=35y=7答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解．【变式4-1】（2023春·七年级课时练习）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（ ）A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁【答案】C【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可．【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁，但实际上101−63=38（岁），说明十年前妹妹没出生，则妹妹今年的年龄为10−(40−38)=8（岁），我的年龄为6+8=14（岁），设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，由题意得：x+y+8+14=101y=x+1，解得：x=39y=40，即爸爸今年的年龄为40岁，故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式4-2】（2023秋·湖南永州·七年级校考开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁．【答案】 28 21【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大x−y岁，然后根据题意列出方程组求解即可．【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大x−y岁，由题意得：x2=y−x−yx+x−y=2y−7，解得：x=28y=21，即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁，故答案为：28，21．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键．【变式4-3】（2023春·福建泉州·七年级统考期末）南安英都拔拔灯是国家级非物质文化遗产之一，因疫情原因停办了好几年，今年正月又重新举行，吸引了众多的海内外游客参与．其中一位34岁的男子带着他的两个孩子参与了拔拔灯活动，下面是记者与两个孩子的对话：记者：两位小朋友，你们几岁了？这么小就来拔拔灯了．妹妹：我比哥哥少4岁；哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加．恰好等于爸爸的年龄；根据对话内容，请你用方程（组）的知识帮记者求出今年哥哥和妹妹的年龄．【答案】今年妹妹6岁，哥哥10岁．【分析】设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据题意得：x+4=y3(x+2)+(y+2)=34+2，解得：x=6y=10，答：今年妹妹6岁，哥哥10岁．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．【题型5 销售问题】【例5】（2023春·山东泰安·七年级统考期末）2020年1月底，武汉爆发“新冠”疫情，并开始向全国蔓延，出于防疫的需求，医用口罩迅速成为紧俏物资．某药店为解市民的燃眉之急，先后两次采购了A、B两种型号的医用口罩进行销售．已知这两种型号的医用口罩进货情况如表：（1）问A，B两种型号的口罩的进货单价各是多少元？（2）销售中发现B型口罩的销量明显好于A型，药店在计划第三次采购时，决定购进B型口罩的箱数比A型口罩的箱数的2倍还多10箱，在采购总价不超过90000元的情况下，最多能购进多少箱B型口罩？【答案】（1）A种型号的口罩的进货单价是1200元，B种型号的口罩的进货单价是900元；（2）最多能购进64箱B型口罩．【分析】（1）设A种型号的口罩的进货单价是x元，B种型号的口罩的进货单价是y元，根据题意列出关于x和y的二元一次方程组，进而求出A，B两型口罩的进货单价．（2）设购进m箱A型口罩，购进(2m+10)箱B型口罩，列出不等式1200m+900(2m+10)≤90000求解即可．【详解】（1）设A种型号的口罩的进货单价是x元，B种型号的口罩的进货单价是y元，根据题意可得：20x+30y=5100030x+40y=72000，解得：x=1200y=900．答：A种型号的口罩的进货单价是1200元，B种型号的口罩的进货单价是900元．（2）设购进m箱A型口罩，购进(2m+10)箱B型口罩，由题意可得：1200m+900(2m+10)≤90000；解得：m≤27，又∵m为正整数∴m的最大值为27．此时2m+10=64．答：最多能购进64箱B型口罩．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；在求解的过程中二元一次方程组可用加减消元法和代入消元法两种消元的方法，而一元一次不等式的解集求出以后，还要根据题意对于未知数进行正确的取值．【变式5-1】（2023春·重庆·七年级重庆市育才中学校考期中）向日葵水果店推出甲乙两种礼盒，甲礼盒中有樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，乙礼盒中有樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，已知樱桃每千克30元，甲礼盒每盒100元，乙礼盒每盒98元，当然，顾客也可根据需要自由搭配，小陶用1100元买乙礼盒和自由搭配礼盒(香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克)若干盒，则小陶一共可买礼盒 个．【答案】10【分析】设枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元，列出方程组，得到自由搭配礼盒每盒138元，设乙礼盒m个，自由搭配礼盒n个，得到98m+138n=1100，根据m，n为非负整数，得到m，n的值即可．【详解】解：设枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元，则30+0.5x+y=100①30+0.5x+a=98②，由①+②得：x+y+a=138，即自由搭配礼盒每盒138元，设乙礼盒m个，自由搭配礼盒n个，则98m+138n=1100，∵m，n为非负整数，当且仅当m=7，n=3时，等式成立，∴一共可以买礼盒7+3=10（个），故答案为：10．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，确定自由搭配礼盒每盒138元．【变式5-2】（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨30%，20%．(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元(2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有4种购进方案：①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台【分析】（1）根据等量关系式：第一次购买10台A型台灯的费用+第一次购买20台B型台灯的费用=3000元，第二次购买15台A型台灯的费用+第二次购买10台B型台灯的费用=4500元，列出方程组，接可求解；（2）①根据等量关系式：第一次的10台A型台灯的利润+第一次的20台B型台灯的利润=2800元，第二次的15台A型台灯的利润+第二次购买10台B型台灯的利润=1000元，列出方程组，接可求解；②设再购进A型台灯a台，B型台灯b台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润+ b台B型台灯售出获得利润=1000元，列方程即可求解．【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元，由题意得：10x+20y=3000151+30%x+101+20%y=4500，解得：x=200y=50，答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元．（2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元，由题意得：10m−200+20n−50=280015m−2001+30%+10n−501+20%=1800，解得，m=340n=120，答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②第二次购进的A型台灯的价格为：2001+30%=260（元），B型台灯的价格为：501+20%=60（元），设购进A型台灯a台，B型台灯b台，由题意得：340−260a+120−60b=1000，整理得：4a+3b=50，∴b=50−4a3=13−a+2−a3∵a、b为自然数，∴a=2b=14或a=5b=10或a=8b=6或a=11b=2，∴有4种购进方案：①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解题的关键．【变式5-3】（2023秋·全国·七年级统考期末）为了解决农民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，2004年秋季有5000名农民工子女进入主城区中小学学习，预计2005年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女比2004年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样，2005年秋季将新增1160名农民工子女在主城区中小学学习．（1）如果按小学每生每年收“借读费”500元，中学每生每年收“借读费”1000元计算，求2005年新增加的1160名中小学学生共免收多少“借读费”？（2）如果小学每增加40名学生需配备2名教师，中学每增加40名学生需配备3名教师，若按2005年秋季入学后，农民工子女在主城区中小学就读的学生增加的人数计算，一共需要配备多少名中小学教师？【答案】(1)820000元；(2)480人.【详解】本题考查的是方程组的应用（1）根据题意可知本题的等量关系有，2005年进入小学学习的人数=（1+20%）×2004年进入小学学习的人数，2005年进入中学学习的人数=（1+30%）×2004进入中学学习的人数．2005年进入中小学学习的总人数=5000+1160．依此列方程组再求解．（2）先算出秋季入学后，在小学就读的学生人数及在中学就读的学生人数，再根据师生比例即得结果．（1）设2004年秋季在主城区小学学习的农民工子女有x人，在主城区中学学习的农民工子女有人，由题意可得：解得 {x=3400y=1600∴，30%y=30%×1600=480∴500×680＋1000×480＝820000（元）＝82（万元）答：共免收82万元（20000元）“借读费”.（2）2005年秋季入学后，在小学就读的学生有（名），在中学就读的学生 有（名）.∴（名）答：一共需要配备360名中小学教师.【题型6 分配问题】【例6】（2023春·北京海淀·七年级北京育英中学校考期末）为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”.该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？【答案】生产奥运会标志2000套，生产奥运会吉祥物2400套【分析】设生产奥运会标志x套，生产奥运会吉祥物y套．两个等量关系为：4×奥运会标志套数+5×奥运会吉祥物套数=20000；3×奥运会标志套数+10×奥运会吉祥物套数=30000．再列方程求解即可．【详解】解：设生产奥运会标志x套，生产奥运会吉祥物y套．根据题意得4x+5y=20000①3x+10y=30000② ①×2−②得5x=10000．∴x=2000．把x=2000代入①得5y=12000．∴y=2400．答：该厂能生产奥运会标志2000套，生产奥运会吉祥物2400套．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：4×奥运会标志套数+5×奥运会吉祥物套数=20000；3×奥运会标志套数+10×奥运会吉祥物套数=30000，列出方程组，再求解．本题需注意应根据用的原料种类分类判断得到等量关系．【变式6-1】（2023春·广西桂林·七年级校考期中）某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？【答案】（1）每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；（2）40名【分析】（1）设每名熟练工每月可以按装x辆电动汽车，每名新工人每月可以按装y辆电动汽车，根据“1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划，根据工作总量＝工作效率×人数结合计划一个月生产200辆，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，依题意，得：x+2y=82x+3y=14，解得：x=4y=2．答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．（2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划，依题意，得：4×30+2m＝200，解得：m＝40．答：还需要招聘40名新工人才能完成一个月的生产计划．【点睛】本题考查的是用二元一次方程组解决问题中的工程问题，理解题意，找准数量关系列出方程组是解答关键.【变式6-2】（2023春·浙江·七年级期末）杭州某公司准备安装完成6000辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．（1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车?（2）若公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人a>n，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，求a的值．【答案】（1）每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车；（2）a的值为16或14或12．【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据“1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设抽调a名熟练工人，由工作总量＝工作效率×工作时间，即可得出关于n，a的二元一次方程，再根据n，a均为正整数且n＜a，即可求出n的值．【详解】解：（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意得：x+2y=282x=3y，解得：x=12y=8．答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．（2）根据题意得：30×（8n+12a）＝6000，整理得：n＝25﹣32a，∵n，a均为正整数，且n＜a，∴n=1a=16，n=4a=14，n=7a=12．∴a的值为16或14或12．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．【变式6-3】（2023春·吉林长春·七年级统考期末）问题解决：糖葫芦一般是用竹签串上山楂．再蘸以冰糖制作而成，现将一些山楂分别串在若干个竹签上，如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签，求竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳：现有m根竹签，n个山楂，若每根竹签串a个山楂，还剩b个山楂，则m、n、a、b满足的等量关系为 （用含m、n、a、b的代数式表示）．【答案】竹签有15根，山楂有63个；am+b＝n．【分析】设竹签有x根，山楂有y个，根据“如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出竹签及山楂的数量；利用山楂的个数＝每根竹签串的山楂个数×竹签数量+剩余山楂的数量，即可找出m、n、a、b之间的等量关系．【详解】问题解决：设竹签有x根，山楂有y个，依题意得：4x+3=y7(x−6)=y，解得：x=15y=63．答：竹签有15根，山楂有63个．∵山楂的个数＝每根竹签串的山楂个数×竹签数量+剩余山楂的数量∴am+b＝n．故答案为：am+b＝n．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．【题型7 几何图形问题】【例7】（2023春·江苏苏州·七年级校联考阶段练习）把长都是宽的两倍的1个大长方形纸片和4个相同的小长方形纸片按图①、图②方式摆放，则图②中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为 cm2．【答案】24【分析】根据题意中的等量关系大长方形的长+2倍小长方形的长=12，大长方形的长-2倍小长方形的长=4列出方程组进行求解.【详解】解：设大长方形长为x,小长方形长为y.根据题意，得{x+2y=12,x−2y=4,解得{x=8,y=2,∴大长方形的宽为4，小长方形的宽为1.4×8−1×2×4=24.所以被覆盖部分的面积为24【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．【变式7-1】（2023春·江苏常州·七年级统考期末）在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（ ） A．10m2 B．12m2 C．18m2 D．28m2【答案】D【分析】设小长方形花圃的长为xm，宽为ym，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案．【详解】解：设小长方形花圃的长为xm，宽为ym，根据题意可得：2x+y=18x+2y=15，解得：x=7y=4，∴ xy=7×4=28m2，∴一个小长方形花圃的面积为：28m2，故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式7-2】（2023春·河南新乡·七年级校考阶段练习）如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示. (1)小长方形的长和宽各是多少？(2)求阴影部分的面积.【答案】(1)小长方形的长为10cm，宽为3cm；(2)67cm2．【分析】（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形即可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，（2）根据阴影部分的面积=大长方形的面积−6个小长方形的面积，即可求出结论．【详解】（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图形可知：x+3y=19x+y=2y+7，解得：x=10y=3，答：小长方形的长为10cm，宽为3cm；（2）由（1）得：小长方形的长为10cm，宽为3cm，∴长方形ABCD的宽为13cm，则阴影部分的面积=大长方形的面积−6个小长方形的面积，=13×19−6×3×10，=67(cm2)，答：阴影部分的面积为67cm2．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．【变式7-3】（2023春·山西·七年级统考期中）小敏通过观察发现，生活中很多产品的包装都是长方体，她从家里找了一个长方体包装盒，将其展开后，得到如图所示的示意图，根据示意图中的数据可得原长方体的体积为 cm3．【答案】192【分析】根据图形分析得到长方体的长是8cm，设宽是xcm，高是ycm，列方程组求解即可得到宽和高，再根据长方体体积公式计算体积.【详解】设长方体的宽是xcm，高是ycm，由题意得2×8+x+y=26x+2y=14，解得x=6y=4，∴长方体的体积是8×6×4=192（cm3），故答案为：192.【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确观察图形理解长、宽、高之间的数量关系是解题的关键.【题型8 数字问题】【例8】（2023春·河北唐山·七年级统考期中）某两位数，两个数位上的数之和为11．这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数．(1)列一元一次方程求解．(2)如果设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，列二元一次方程组．(3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组．【答案】(1)原两位数为38(2)x+y=1110x+y+45=10y+x(3)（1）中求得的结果满足（2）中的方程组【分析】（1）设原两位数的个位数字为m，则十位数字为11−m，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意，列出方程组即可求解；（3）结合（1），可知：x=3，y=8，进而即可求解．【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为m，则十位数字为11−m，依题意，得：10×11−m+m+45=10m+11−m，解得：m=8，∴11−m=3．答：原两位数为38；（2）设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，依题意，得：x+y=1110x+y+45=10y+x；（3）结合（1）可知，x=3，y=8，∴x+y=11，10x+y+45=83=10y+x，∴（1）中求得的结果满足（2）中的方程组．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键．【变式8-1】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值；(2)如图2所示幻方，求a，b的值；(3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整．【答案】(1)x=5(2)a=4b=3(3)一共有3种填法；填写见解析【分析】（1）根据题意列出关于x的方程，解方程即可；（2）根据题意列出关于a、b的方程组，解方程组即可；（3）根据题意列出关于m、n的二元一次方程，求出整数解即可．【详解】（1）解：根据题意得：9+x+1=x+3+1+2x−4，解得：x=5；（2）解：根据题意得：12+2a+1+3b−3=12+7+2a4b−2+2a+1+2a=12+7+2a，解得：a=4b=3；（3）解：根据题意得：13+12+11=13+2m+2+3n，即2m+3n=21，∵m，n为正整数，∴m=3n=5，m=6n=3，m=9n=1，∴共有3种填法； 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据表格列出方程或方程组．【变式8-2】（2023秋·辽宁铁岭·七年级统考阶段练习）在《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻图圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等；则图中外圆周上空白圆圈内填 ，内圆周上空白圆圈内填内应填 ．【答案】 −1 −7【分析】设外圆空白数字为x,内圆空白数据为y,根据题意可列出关于x、y的方程组求解即可．【详解】解：设外圆空白数字为x，内圆空白数据为y，根据题意得：−3+9−5+x=6−1+2+y；x+y+9−1=−5+2+6−3；整理得：x−y=6x+y=−8，解得：x=−1y=−7．故答案为−1,−7．【点睛】本题考查了有理数的加法运算、二元一次方程组等知识点，根据题意列出一元二次方程组是解答本题的关键．【变式8-3】（2023春·山东潍坊·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”那么，你能回答以下问题吗？(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？(3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5(2)第一次他们拼成的两位数为45(3)第二次拼成的两位数是54【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y．第一次拼成的两位数为10x+y，第二次拼成的两位数为10y+x．根据题意得：x+y=9①10y+x−9=10x+y②，由②，得：y−x=1③，①+③得：y=5．把y=5代入①得：x=4，∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，所以第一次他们拼成的两位数为45．（3）解：根据（1）得，x，y的位置调换，所以十位数字是5，个位数字是，所以第二次拼成的两位数是54．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．【题型9 古代问题】【例9】（2023秋·安徽滁州·七年级校联考期中）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题．【答案】雀、燕每一只各重219斤、338斤【分析】设雀、燕每1只各重x斤、y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可．【详解】解：设雀、燕每1只各重x斤、y斤．根据题意，得4x+y=5y+x5x+6y=1整理，得3x−4y=05x+6y=1解得x=219y=338答：雀、燕每1只各重219斤、338斤．【点睛】考查二元一次方程组得应用，解题的关键是分析题意，找出题中的等量关系．【变式9-1】（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是（ ）尺．A．5 B．8 C．32 D．36【答案】B【分析】设绳长为x尺，井深为y尺，根据等量关系“把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺”列出方程组求解即可．【详解】解：设绳长是x尺，井深是y尺，由题意可得：13x−y=414x−y=1，解得：x=36y=8．所以井深是8尺．故选B．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用．要读懂题目的意思、根据题目给出的条件、找出合适的等量关系列出方程（组）是解题关键．【变式9-2】（2023春·江西南昌·七年级统考期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉．下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等水稻3捆，加稻谷6斗，与下等水稻10捆相当．下等水稻5捆，加稻谷1斗，与上等水稻2捆相当．问上等水稻、下等水稻每捆各有稻谷多少斗？【答案】上等水稻每捆有稻谷8斗，下等水稻每捆有稻谷3斗【分析】设上等水稻每捆有稻谷x斗，下等水稻每捆有稻谷y斗，根据题意“上等水稻3捆，加稻谷6斗，与下等水稻10捆相当．下等水稻5捆，加稻谷1斗，与上等水稻2捆相当”，列出二元一次方程并求解即可．【详解】.解：设上等水稻每捆有稻谷x斗，下等水稻每捆有稻谷y斗，根据题意可得3x+6=10y5y+1=2x，解得x=8y=3．答：上等水稻每捆有稻谷8斗，下等水稻每捆有稻谷3斗．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．【变式9-3】（2023秋·安徽·七年级校联考阶段练习）《九章算术》中有这样一道题，原文如下：今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉．下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉．问：上、下禾实一秉各几何？大意为：今有上禾6束，减损其中之“实”1斗8升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其中之“实”5升，与上禾5束之“实”相当．问上、下禾每1束之实各为多少?（10升为1斗）【答案】上、下禾每1束之实分别为8升和3升【分析】分析题意，设上、下禾每1束之实各为x，y升，根据相等关系列出二元一次方程组求解.【详解】解：设上、下禾每1束之实各为x，y升，根据题意可列方程组：6x−18=10y15y−5=5x ，解得：x=8y=3 答：上、下禾每1束之实分别为8升和3升．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找到题中的2个相等关系是解题的关键.【题型10 方案问题】【例10】（2023春·湖南株洲·七年级校考期末）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）(1)求A、B两种型号电风扇的销售单价；(2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由．(3)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案．【答案】(1)A种型号电风扇的销售单价为250元，B种型号电风扇的销售单价为200元(2)不能，理由见解析(3)见解析【分析】（1）设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元，根据近2周的销售情况表格中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）不能实现利润为1200元的目标，设销售m台A种型号电风扇，n台B种型号电风扇，利用总利润=每台的销售利润×销售数量，结合销售完A、B两种型号的电风扇共25台且共获得1200元利润，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，结合m，n需为正整数，即可得出不能实现利润为1200元的目标；（3）设购买a台A种型号电风扇，b台B种型号电风扇，利用总价=单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各购买方案．【详解】（1）解：设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元，依题意得：3x+5y=17504x+10y=3000，解得：x=250y=200．答：A种型号电风扇的销售单价为250元，B种型号电风扇的销售单价为200元．（2）不能实现利润为1200元的目标，理由如下：设销售m台A种型号电风扇，n台B种型号电风扇，依题意得：m+n=25(250−200)m+(200−170)n=1200，解得：m=452n=52，又∵m，n均为正整数，∴ m=452n=52不符合题意，舍去，即不能实现利润为1200元的目标．（3）设购买a台A种型号电风扇，b台B种型号电风扇，依题意得：250a+200b=4000，∴b=20−54a，又∵a，b均为正整数，∴ a=4b=15或a=8b=10或a=12b=5，∴该公司共有3种购买方案，方案1：购买4台A种型号电风扇，15台B种型号电风扇；方案2：购买8台A种型号电风扇，10台B种型号电风扇；方案3：购买12台A种型号电风扇，5台B种型号电风扇．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．【变式10-1】（2023秋·福建漳州·七年级校考阶段练习）某公司接到240台空调的安装任务．由于时间紧，该公司没有足够的熟练工人，故决定招聘一批新工人．根据以往安装经验可知，1名熟练工人和2名新工人每天一共可以安装8台空调；2名熟练工人和3名新工人每天一共可以安装14台空调．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少台空调？(2)若该公司原有m名熟练工人，现计划招聘n名新工人（m，n均为正整数），为保证刚好用12天完成安装任务，你认为该公司有哪几种招聘方案？【答案】(1)1名熟练工人1天可以安装4台空调，1名新工人1天可以安装2台空调(2)m=1，n=8或m=2，n=6或m=3，n=4或m=4，n=2【分析】（1）设1名熟练工人1天可以安装x台空调，1名新工人1天可以安装y台空调，由题意列出方程组，即可求解；（2）由题意列出方程，即可求解．【详解】（1）解：设1名熟练工人1天可以安装x台空调，1名新工人1天可以安装y台空调，由题意可得：x+2y=82x+3y=14，解得：x=4y=2，故1名熟练工人1天可以安装4台空调，1名新工人1天可以安装2台空调．（2）解：由题意可得：124m+2n=240，∴2m+n=10，∵m，n为正整数，∴m=1，n=8或m=2，n=6或m=3，n=4或m=4，n=2；故有四种方案，分别为m=1，n=8或m=2，n=6或m=3，n=4或m=4，n=2．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．【变式10-2】（2023春·湖北荆州·七年级统考期末）荆州作为荆楚文化根脉所在，是楚文化发祥地．首届楚文化节于2023年3月至4月在荆州举办．为更好展现荆州，荆州市特推出A、B两种不同明信片套盒和单张明信片．已知一种A套盒和一种B套盒总价13元，2种A套盒和3种B套盒总价31元；单张明信片1元/张．(1)请求出A、B两种套盒的单价各是多少元？(2)某顾客计划用200元购买这三种商品共127件，如果资金刚好全部用完，问有几种购买方案？【答案】(1)A套盒单价为8元，B套盒单价为5元(2)两种【分析】（1）设A套盒单价为x元，B套盒单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设购A套盒a件，B套盒b件，则单张明信片127−a−b件，则8a+5b+127−a−b=200，可得b=73−7a4，再根据a、b为正整数，即可作答．【详解】（1）设A套盒单价为x元，B套盒单价为y元，则x+y=132x+3y=31，解得x=8y=5，∴A套盒单价为8元，B套盒单价为5元；（2）设购A套盒a件，B套盒b件，则单张明信片127−a−b件，则8a+5b+127−a−b=200，∴b=73−7a4，∵a、b为正整数，∴a=3b=13或a=7b=6，∴共两种方案．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及求解二元一次方程的正整数解的知识，明确题意列出二元一次方程组以及二元一次方程，是解答本题的关键．【变式10-3】（2023春·广东广州·七年级执信中学校考期中）杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进A、B两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表：(1)该超市在3月份购进A、B两种大米共70袋，进货款恰好为1800元．①求这两种大米各购进多少袋；②据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为900元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元．(2)超市决定在4月份销售A、B两种大米共盈利100元（A，B两种品种都有购进），请你帮助设计一下进货方案，并写出来．【答案】(1)①购进A种大米30袋，B种大米40袋；②600元(2)方案一：购进A种大米1袋，B种大米6袋；方案二：购进A种大米4袋，B种大米4袋；方案三：购进A种大米7袋，B种大米2袋【分析】（1）①：设购进A种大米a袋，B种大米b袋，根据题意，列出方程组，即可求解；②设购进A种大米m袋，B种大米n袋，根据“两种大米的销售总额为900元，”可得2m+3n=60，即可求解；（2）设购进A种大米m袋，B种大米n袋，根据“销售A、B两种大米共盈利100元”得到关于x，y的方程，再根据x，y均为正整数，即可求解．【详解】（1）解①：设购进A种大米a袋，B种大米b袋，根据题意得：a+b=7020a+30b=1800，解得：a=30b=40答：购进A种大米30袋，B种大米40袋； ②设购进A种大米m袋，B种大米n袋，根据题意得：30m+45n=900，即2m+3n=60，∴超市3月份已售出大米的进货款为20m+30n=102m+3n=10×60=600元；（2）解：设购进A种大米x袋，B种大米y袋，根据题意得：30x+45y−20x+30y=100，整理得：2x+3y=20，即y=20−2x3，∴20−2x是3的倍数，∵x，y均为正整数，∴x=1,y=6或x=4,y=4或x=7,y=2，∴方案一：购进A种大米1袋，B种大米6袋；方案二：购进A种大米4袋，B种大米4袋；方案三：购进A种大米7袋，B种大米2袋．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．【题型11 图表问题】【例11】（2023春·浙江嘉兴·七年级校联考阶段练习）流感期间，小李家购买防护用品的收据如表，有部分数据因污染无法识别，根据表格，解决下列问题：(1)小李家此次购买的酒精喷剂和医用口罩各多少件?(2)小李家计划再次购买消毒水和酒精喷剂共15件，且总价刚好490元，则消毒水购买多少件?(3)小李家准备用270元再次购买消毒纸巾和医用口罩，在270元刚好用完的条件下，有哪些购买方案?【答案】(1)酒精喷剂2件，医用口罩4件(2)2件(3)一共有3种方案：①购买消毒纸巾1件，医用口罩5件；②购买消毒纸巾6件，医用口罩3件；③购买消毒纸巾11件，医用口罩1件【分析】（1）设小李家此次购买的酒精喷剂x件，医用口罩y件，根据总价=单价×数量，结合表格中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）由表格内数据可知消毒水每件50（元），设买消毒水m件，则酒精喷剂15−m件，根据总价=单价×数量，结合总价为490元，即可得出关于m的一元一次方程，求出结果即可；（3）设购买消毒纸巾a件，医用口罩b件，根据总价=单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为整数即可得出购买方案．【详解】（1）解：设小李家此次购买的酒精喷剂x件，医用口罩y件，根据题意得：1+2+x+5+y=14190+100+30x+20×5+50y=650，解得：x=2y=4，答：小李家此次购买的酒精喷剂2件，医用口罩4件；（2）由表格内数据可知消毒水每件100÷2=50（元），设购买消毒水m件，则酒精喷剂15−m件，∴50m+15−m×30=490，解得：m=2，答：消毒水购买2件；（3）设购买消毒纸巾a件，医用口罩b件，∴20a+50b=270，整理得：b=27−2a5，∵a，b都是非负整数，∴a=1，b=5或a=6，b=3或a=11，b=1，∴一共有3种方案：①购买消毒纸巾1件，医用口罩5件；②购买消毒纸巾6件，医用口罩3件；③购买消毒纸巾11件，医用口罩1件．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．【变式11-1】（2023春·河南新乡·七年级统考期末）如图，2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm，塑料凳子相同且叠放时均忽略缝隙，则11个塑料凳子叠放在一起时的高度为( ) A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm【答案】D【分析】设1支塑料凳子的高度为xcm，每叠放1支塑料凳子高度增加ycm，根据2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm，列出二元一次方程组，解之求出x、y的值，即可解决问题．【详解】解：设1支塑料凳子的高度为xcm,每叠放1支塑料凳子高度增加ycm，依题意得：x+y=60x+3y=80解得：x=50y=10∴x+10y=50+10×10=150，即11支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为150cm．故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式11-2】（2023秋·甘肃武威·七年级校考开学考试）课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，小丽的5次飞镖总分为 分． 【答案】37【分析】设A区每镖得x分，B区每镖得y分，根据题意，得3x+2y=39x+4y=43，再计算4x+y得值即可．乙型挖据机；任务3：(w−95)【分析】(任务1)设租用甲型挖掘机x台，乙型挖掘机y台，根据“租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；(任务2)设租用甲型挖掘机m台，乙型挖掘机n台，根据租用的两种挖掘机恰好完成每小时的挖掘量，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租用方案；(任务3)求出各租用方案所需租金，比较后可得出租金最少的租用方案，设弹簧的单价为a元，钢球的单价为b元，根据“购买20根弹簧和15颗钢球，保养费用w还缺25元；购买19根弹簧和13颗钢球，保养费用w还剩15元”，可得出关于a，b的二元一次方程组(此处将w看成常数)，解之可得出a+2b=40，将其代入17a+9b=(19a+13b)−2a−4b=(w−15)−2(a+2b)中，即可求出结论．【详解】解：(任务1)设租用甲型挖掘机x台，乙型挖掘机y台，根据题意得：x+y=8160x+240y=1760，解得：x=2y=6．答：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台；(任务2)设租用甲型挖掘机m台，乙型挖掘机n台，根据题意得：160m+240n=1760，∴m=11−32n. 又∵m，n均为正整数，∴m=8n=2或m=5n=4或m=2n=6，∴共有3种租用方案，方案1：租用8台甲型挖掘机，2台乙型挖据机；方案2：租用5台甲型挖掘机，4台乙型挖据机；方案3：租用2台甲型挖掘机，6台乙型挖据机；(任务3)当m=8，n=2时，所需租金为190×8+260×2=2040(元)；当m=5，n=4时，所需租金为190×5+260×4=1990(元)；当m=2，n=6时，所需租金为190×2+260×6=1940(元)．∵1940<1990<2040，∴租用2台甲型挖掘机，6台乙型挖掘机时租金最少．所需弹簧数量为2×(2+6)+1=17(根)，所需钢球数量为1×(2+6)+1=9(颗)．设弹簧的单价为a元，钢球的单价为b元，根据题意得：w=20a+15b−25w=19a+13b+15，∴20a+15b−25=19a+13b+15，∴a+2b=40，17a+9b=(19a+13b)−2a−4b=(w−15)−2(a+2b)=w−15−2×40=(w−95)(元)．∴实际保养费用为(w−95)元．故答案为：(w−95)．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组(或二元一次方程)是解题的关键． 第一次第二次A型口罩(箱)2030B型口罩(箱)3040累计采购款(元)5100072000购进的台数购进所需要的费用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周351750元第二周4103000元类型进价（元/袋）售价（元/袋）A种大米2030B种大米3045商品名单价（元）数量（件）金额（元）温度计1901190消毒水 2100酒棈喷剂30 消毒纸巾205 医用口罩50 合计14650
专题10.2 实际问题与二元一次方程组【十一大题型】【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc30133" 【题型1 行程问题】 PAGEREF _Toc30133 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc21028" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Toc21028 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc27829" 【题型3 配套问题】 PAGEREF _Toc27829 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc27" 【题型4 年龄问题】 PAGEREF _Toc27 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc1165" 【题型5 销售问题】 PAGEREF _Toc1165 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc17272" 【题型6 分配问题】 PAGEREF _Toc17272 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc18781" 【题型7 几何图形问题】 PAGEREF _Toc18781 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc14699" 【题型8 数字问题】 PAGEREF _Toc14699 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc18175" 【题型9 古代问题】 PAGEREF _Toc18175 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc7230" 【题型10 方案问题】 PAGEREF _Toc7230 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc7421" 【题型11 图表问题】 PAGEREF _Toc7421 \h 11【题型1 行程问题】【例1】（2023春·山东临沂·七年级统考期末）甲、乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑，如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙，求甲、乙两人的平均速度．【变式1-1】（2023春·江苏连云港·七年级统考期末）我县境内的某段铁路桥长2200m，现有一列高铁列车从桥上通过，测得此列高铁从开始上桥到完全过桥共用30s，整列高铁在桥上的时间是25s，试求此列高铁的车速和车长．【变式1-2】（2023春·河北廊坊·七年级廊坊市第四中学校考期中）琪琪沿街匀速行走，发现每隔12min从背后驶过一辆7路公交车，每隔6min从迎面驶来一辆7路公交车．假设每辆7路公交车行驶速度相同，而且7路公交车总站每隔固定时间发一辆车．问：（1）7路公交车行驶速度是琪琪行走速度的 倍．（2）7路公交车总站每间隔 min发一辆车．【变式1-3】（2023春·湖南娄底·七年级统考期末）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，则他从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟． (1)小华家离学校多远？(2)小华从家里到学校到达中点的时间与小华从学校到家里到达中点的时间会一样吗？如果不一样，哪种情况所花的时间更多？请通过计算说明理由．【题型2 工程问题】【例2】（2023春·安徽芜湖·七年级校考期末）自来水厂的供水池有7个进出水口，每天早晨6点开始进出水，且此时水池中有水15%，在每个进出水口是匀速进出的情况下，如果开放3个进口和4个出口，5小时将水池注满；如果开放4个进口和3个出口，2小时将水池注满．若某一天早晨6点时水池中有水24%，又因为水管改造，只能开放3个进口和2个出口，则从早晨6点开始经过 小时水池的水刚好注满．【变式2-1】（2023春·四川泸州·七年级泸县五中校考期中）制造某种产品，1人用机器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用机器，2人靠手工，每天可制造80件．3人用机器，1人靠手工，每天可制造多少件产品？【变式2-2】（2023春·湖南常德·七年级统考期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需要6周完成，共需装修费5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．(1)设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意列出关于m、n的二元一次方程组．(2)如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？请说明理由．(3)如果从节约开支的角度考虑，应选哪家公司？请说明理由．【变式2-3】（2023春·河北邯郸·七年级统考期中）有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成．(1)设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：______．(2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数．【题型3 配套问题】【例3】（2023春·全国·七年级期末）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．(1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板___________张（直接填空），需长方形纸板___________张（直接填空）．(2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题）3．（2023秋·山东济南·七年级校考期末）列方程组解应题某校为7年级寄宿学生安排宿舍，每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间住6人，则有一间只住4人，求该年级寄宿的学生人数和宿舍间数？【变式3-1】（2023春·山东菏泽·七年级统考期中）一套餐桌有一张桌子和六把椅子组成．如果1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子．现有15立方米的木料，请你设计一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？【变式3-2】（2023春·广东江门·七年级统考期末）用铁皮材料做罐头盒，每张铁皮可制盒身30个，或制盒底50个，一个盒身与两个盒底配成一套．现有33张铁皮材料，分别用多少张制盒身、盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套？【变式3-3】（2023秋·安徽滁州·七年级校考开学考试）一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．(1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件?每天能生产多少套产品?(2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件．①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表示）②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务?【题型4 年龄问题】【例4】（2023春·全国·七年级专题练习）5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？【变式4-1】（2023春·七年级课时练习）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（ ）A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁【变式4-2】（2023秋·湖南永州·七年级校考开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁．【变式4-3】（2023春·福建泉州·七年级统考期末）南安英都拔拔灯是国家级非物质文化遗产之一，因疫情原因停办了好几年，今年正月又重新举行，吸引了众多的海内外游客参与．其中一位34岁的男子带着他的两个孩子参与了拔拔灯活动，下面是记者与两个孩子的对话：记者：两位小朋友，你们几岁了？这么小就来拔拔灯了．妹妹：我比哥哥少4岁；哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加．恰好等于爸爸的年龄；根据对话内容，请你用方程（组）的知识帮记者求出今年哥哥和妹妹的年龄．【题型5 销售问题】【例5】（2023春·山东泰安·七年级统考期末）2020年1月底，武汉爆发“新冠”疫情，并开始向全国蔓延，出于防疫的需求，医用口罩迅速成为紧俏物资．某药店为解市民的燃眉之急，先后两次采购了A、B两种型号的医用口罩进行销售．已知这两种型号的医用口罩进货情况如表：（1）问A，B两种型号的口罩的进货单价各是多少元？（2）销售中发现B型口罩的销量明显好于A型，药店在计划第三次采购时，决定购进B型口罩的箱数比A型口罩的箱数的2倍还多10箱，在采购总价不超过90000元的情况下，最多能购进多少箱B型口罩？【变式5-1】（2023春·重庆·七年级重庆市育才中学校考期中）向日葵水果店推出甲乙两种礼盒，甲礼盒中有樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，乙礼盒中有樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，已知樱桃每千克30元，甲礼盒每盒100元，乙礼盒每盒98元，当然，顾客也可根据需要自由搭配，小陶用1100元买乙礼盒和自由搭配礼盒(香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克)若干盒，则小陶一共可买礼盒 个．【变式5-2】（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨30%，20%．(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？【变式5-3】（2023秋·全国·七年级统考期末）为了解决农民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，2004年秋季有5000名农民工子女进入主城区中小学学习，预计2005年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女比2004年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样，2005年秋季将新增1160名农民工子女在主城区中小学学习．（1）如果按小学每生每年收“借读费”500元，中学每生每年收“借读费”1000元计算，求2005年新增加的1160名中小学学生共免收多少“借读费”？（2）如果小学每增加40名学生需配备2名教师，中学每增加40名学生需配备3名教师，若按2005年秋季入学后，农民工子女在主城区中小学就读的学生增加的人数计算，一共需要配备多少名中小学教师？【题型6 分配问题】【例6】（2023春·北京海淀·七年级北京育英中学校考期末）为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”.该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？【变式6-1】（2023春·广西桂林·七年级校考期中）某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？【变式6-2】（2023春·浙江·七年级期末）杭州某公司准备安装完成6000辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．（1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车?（2）若公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人a>n，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，求a的值．【变式6-3】（2023春·吉林长春·七年级统考期末）问题解决：糖葫芦一般是用竹签串上山楂．再蘸以冰糖制作而成，现将一些山楂分别串在若干个竹签上，如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签，求竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳：现有m根竹签，n个山楂，若每根竹签串a个山楂，还剩b个山楂，则m、n、a、b满足的等量关系为 （用含m、n、a、b的代数式表示）．【题型7 几何图形问题】【例7】（2023春·江苏苏州·七年级校联考阶段练习）把长都是宽的两倍的1个大长方形纸片和4个相同的小长方形纸片按图①、图②方式摆放，则图②中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为 cm2．【变式7-1】（2023春·江苏常州·七年级统考期末）在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（ ） A．10m2 B．12m2 C．18m2 D．28m2【变式7-2】（2023春·河南新乡·七年级校考阶段练习）如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示. (1)小长方形的长和宽各是多少？(2)求阴影部分的面积.【变式7-3】（2023春·山西·七年级统考期中）小敏通过观察发现，生活中很多产品的包装都是长方体，她从家里找了一个长方体包装盒，将其展开后，得到如图所示的示意图，根据示意图中的数据可得原长方体的体积为 cm3．【题型8 数字问题】【例8】（2023春·河北唐山·七年级统考期中）某两位数，两个数位上的数之和为11．这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数．(1)列一元一次方程求解．(2)如果设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，列二元一次方程组．(3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组．【变式8-1】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值；(2)如图2所示幻方，求a，b的值；(3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整．【变式8-2】（2023秋·辽宁铁岭·七年级统考阶段练习）在《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻图圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等；则图中外圆周上空白圆圈内填 ，内圆周上空白圆圈内填内应填 ．【变式8-3】（2023春·山东潍坊·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”那么，你能回答以下问题吗？(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？(3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！【题型9 古代问题】【例9】（2023秋·安徽滁州·七年级校联考期中）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题．【变式9-1】（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是（ ）尺．A．5 B．8 C．32 D．36【变式9-2】（2023春·江西南昌·七年级统考期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉．下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等水稻3捆，加稻谷6斗，与下等水稻10捆相当．下等水稻5捆，加稻谷1斗，与上等水稻2捆相当．问上等水稻、下等水稻每捆各有稻谷多少斗？【变式9-3】（2023秋·安徽·七年级校联考阶段练习）《九章算术》中有这样一道题，原文如下：今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉．下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉．问：上、下禾实一秉各几何？大意为：今有上禾6束，减损其中之“实”1斗8升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其中之“实”5升，与上禾5束之“实”相当．问上、下禾每1束之实各为多少?（10升为1斗）【题型10 方案问题】【例10】（2023春·湖南株洲·七年级校考期末）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）(1)求A、B两种型号电风扇的销售单价；(2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由．(3)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案．【变式10-1】（2023秋·福建漳州·七年级校考阶段练习）某公司接到240台空调的安装任务．由于时间紧，该公司没有足够的熟练工人，故决定招聘一批新工人．根据以往安装经验可知，1名熟练工人和2名新工人每天一共可以安装8台空调；2名熟练工人和3名新工人每天一共可以安装14台空调．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少台空调？(2)若该公司原有m名熟练工人，现计划招聘n名新工人（m，n均为正整数），为保证刚好用12天完成安装任务，你认为该公司有哪几种招聘方案？【变式10-2】（2023春·湖北荆州·七年级统考期末）荆州作为荆楚文化根脉所在，是楚文化发祥地．首届楚文化节于2023年3月至4月在荆州举办．为更好展现荆州，荆州市特推出A、B两种不同明信片套盒和单张明信片．已知一种A套盒和一种B套盒总价13元，2种A套盒和3种B套盒总价31元；单张明信片1元/张．(3)小李家准备用270元再次购买消毒纸巾和医用口罩，在270元刚好用完的条件下，有哪些购买方案?【变式11-1】（2023春·河南新乡·七年级统考期末）如图，2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm，塑料凳子相同且叠放时均忽略缝隙，则11个塑料凳子叠放在一起时的高度为( ) A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm【变式11-2】（2023秋·甘肃武威·七年级校考开学考试）课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，小丽的5次飞镖总分为 分． 【变式11-3】（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）根据以下素材，完成任务． 第一次第二次A型口罩(箱)2030B型口罩(箱)3040累计采购款(元)5100072000购进的台数购进所需要的费用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周351750元第二周4103000元解决挖掘机的租用和保养问题素材1“迎亚运，共期盼”，为了建设“亚运新城”，现对奥体中心附近的主干道进行改造.施工方考虑到封道区域的限定，计划每小时挖掘土石方1760m3，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，租赁公司提供的挖掘机有关信息如下表： 型号挖掘土石方量(单位：m3/台⋅时)租金(单位：元/台⋅时)甲型160190乙型240260素材2为使得挖掘机正常运行，应注重对自锁机构的维修与保养，对失去定位效能的弹簧、钢球应及时更换.现预估保养费用为w元，若购买20根弹簧和15颗钢球，则保养费用w还缺25元；若购买19根弹簧和13颗钢球，则保养费用w还剩15元．问题解决任务1制定租用计划若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量.甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？任务2探究租用方案若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？任务3确定保养费用基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际保养费用为______ 元(用含w的代数式表示)．专题10.2 实际问题与二元一次方程组【十一大题型】【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc30133" 【题型1 行程问题】 PAGEREF _Toc30133 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc21028" 【题型2 工程问题】 PAGEREF _Toc21028 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc27829" 【题型3 配套问题】 PAGEREF _Toc27829 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc27" 【题型4 年龄问题】 PAGEREF _Toc27 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc1165" 【题型5 销售问题】 PAGEREF _Toc1165 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc17272" 【题型6 分配问题】 PAGEREF _Toc17272 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc18781" 【题型7 几何图形问题】 PAGEREF _Toc18781 \h 20 HYPERLINK \l "_Toc14699" 【题型8 数字问题】 PAGEREF _Toc14699 \h 22 HYPERLINK \l "_Toc18175" 【题型9 古代问题】 PAGEREF _Toc18175 \h 26 HYPERLINK \l "_Toc7230" 【题型10 方案问题】 PAGEREF _Toc7230 \h 28 HYPERLINK \l "_Toc7421" 【题型11 图表问题】 PAGEREF _Toc7421 \h 33【题型1 行程问题】【例1】（2023春·山东临沂·七年级统考期末）甲、乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑，如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙，求甲、乙两人的平均速度．【答案】甲的速度为9米/秒，乙的速度为7米/秒【分析】设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，根据“如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，依题意，得：25x+25y=400200x−200y=400解得：x=9y=7答：甲的速度为9米/秒，乙的速度为7米/秒．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式1-1】（2023春·江苏连云港·七年级统考期末）我县境内的某段铁路桥长2200m，现有一列高铁列车从桥上通过，测得此列高铁从开始上桥到完全过桥共用30s，整列高铁在桥上的时间是25s，试求此列高铁的车速和车长．【答案】此列高铁的车速为80m/s，车长为200m【分析】设此列高铁的车长为xm，车速为ym/s，利用路程＝速度×时间，结合题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设此列高铁的车长为xm，车速为ym/s，依题意得：30y=2200+x25y=2200−x，解得：x=200y=80，答：此列高铁的车速为80m/s，车长为200m．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式1-2】（2023春·河北廊坊·七年级廊坊市第四中学校考期中）琪琪沿街匀速行走，发现每隔12min从背后驶过一辆7路公交车，每隔6min从迎面驶来一辆7路公交车．假设每辆7路公交车行驶速度相同，而且7路公交车总站每隔固定时间发一辆车．问：（1）7路公交车行驶速度是琪琪行走速度的 倍．（2）7路公交车总站每间隔 min发一辆车．【答案】 3 8【分析】设7路公交车行驶速度x米/分钟，琪琪匀速行走的速度y米/分钟，7路公交车发出时间间隔为t分钟，等量关系式：12分钟公交车行驶的路程− 12分钟琪琪走的路程=两站之间的距离，5分钟公交车行驶的路程+ 5分钟琪琪走的路程=两站之间的距离；据此列出方程组，即可求解．【详解】解：设7路公交车行驶速度x米/分钟，琪琪匀速行走的速度y米/分钟，7路公交车发出时间间隔为t分钟，由题意得12x−12y=xt6x+6y=xt，解得：x=3yt=8，故答案：（1）3（2）8．【点睛】本题主要考查了含参数的二元一次方程组的应用，找出等量关系式是解题的关键．【变式1-3】（2023春·湖南娄底·七年级统考期末）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路．假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，则他从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟． (1)小华家离学校多远？(2)小华从家里到学校到达中点的时间与小华从学校到家里到达中点的时间会一样吗？如果不一样，哪种情况所花的时间更多？请通过计算说明理由．【答案】(1)小华家离学校700米(2)小华从学校到家里到达中点的时间比小华从家里到学校到达中点的时间要多一些【分析】（1）设小华从家里到学校的路是一段平路长为x米，小华从家里到学校的下坡路长为y米，根据小华从家里到学校和从学校到家里的时间列二元一次方程组，求出x与y，并求和即可；（2）先求出中点位置与学校和家里的距离，再分别求出所需时间，比较即可得解．【详解】（1）解：设小华从家里到学校的路是一段平路长为x米，小华从家里到学校的下坡路长为y米．由题意得：x60+y80=10x60+y40=15 解得：x=300y=400 ∴x+y=700．答：小华家离学校700米；（2）中点距离小华家和学校的距离为：700÷2=350(米)．小华从家里到学校到达中点所需的时间为：300÷60+350−300÷80=5.625(分钟)；小华从学校到家里到达中点所需的时间为：350÷40=8.75(分钟)；8.75>5.625∴小华从学校到家里到达中点的时间比小华从家里到学校到达中点的时间要多一些．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，有理数的混合运算的应用，根据题意列方程组和列算式是解题的关键．【题型2 工程问题】【例2】（2023春·安徽芜湖·七年级校考期末）自来水厂的供水池有7个进出水口，每天早晨6点开始进出水，且此时水池中有水15%，在每个进出水口是匀速进出的情况下，如果开放3个进口和4个出口，5小时将水池注满；如果开放4个进口和3个出口，2小时将水池注满．若某一天早晨6点时水池中有水24%，又因为水管改造，只能开放3个进口和2个出口，则从早晨6点开始经过 小时水池的水刚好注满．【答案】3817．【分析】设每个进水口每小时进水量为x，每个出水口每小时出水量为y，根据题意，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入1−24%3x−2y中即可求出结论．【详解】设每个进水口每小时进水量为x，每个出水口每小时出水量为y，依题意，得：53x−4y=1−15%24x−3y=1−15%，解得：x=0.17y=0.085，∴1−24%3x−2y=3817．故答案为：3817．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式2-1】（2023春·四川泸州·七年级泸县五中校考期中）制造某种产品，1人用机器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用机器，2人靠手工，每天可制造80件．3人用机器，1人靠手工，每天可制造多少件产品？【答案】3人用机器，1人靠手工，每天可制造100件产品【分析】设利用机器每人每天可制造x件产品，手工每人每天可制造y件产品，根据“1人用机器，3人靠手工，每天可制造60件；2人用机器，2人靠手工，每天可制造80件”列出二元一次方程组，解方程即可得到答案．【详解】解：设利用机器每人每天可制造x件产品，手工每人每天可制造y件产品，根据题意得，x+3y=602x+2y=80，解得：x=30y=10，∴3人用机器，1人靠手工，每天可制造的产品件数为：3×30+1×10=100（件），答：3人用机器，1人靠手工，每天可制造100件产品．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式2-2】（2023春·湖南常德·七年级统考期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需要6周完成，共需装修费5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成．(1)设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意列出关于m、n的二元一次方程组．(2)如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？请说明理由．(3)如果从节约开支的角度考虑，应选哪家公司？请说明理由．【答案】(1)6(m+n)=14m+9n=1(2)甲公司，理由见解析(3)乙公司，理由见解析【分析】（1）利用时间×工作效率=工作量，建立等式，构造方程组即可．（2）比较工作效率的大小，选择工作效率高的公司即可．（3）设设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元，计算两个公司完成工作任务后的总费用，比较大小决定即可．【详解】（1）设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意，得6(m+n)=14m+9n=1．（2）由（1）解得方程组的解为：m=110n=115因为110＞115，即甲公司的效率比乙公司的高，所以从时间上考虑，应选择甲公司．（3）解：设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元，根据题意得：6a+6b=5.24a+9b=4.8解得：a=35b=415甲公司共需35×10=305=6万元，乙公司共需415×15=4万元，因为4万元＜6万元，所以从节约开支上考虑，应选择乙公司．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确找到等量关系，列出方程组是解题的关键．【变式2-3】（2023春·河北邯郸·七年级统考期中）有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成．(1)设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：______．(2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数．【答案】(1)8m+12n=180m+n=20(2)甲、乙两工程队分别绿化荒地120亩，60亩．【分析】（1）设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，再由工作总量为180亩，工作总时间为20天列方程组即可；（2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，再由工作总量为180亩，工作总时间为20天列方程组，再解方程组即可；【详解】（1）解：设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，则8m+12n=180m+n=20，（2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，则x+y=180x8+y12=20 ，整理得：x+y=1803x+2y=480，解得：x=120y=60，答：甲、乙两工程队分别绿化荒地120亩，60亩．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．【题型3 配套问题】【例3】（2023春·全国·七年级期末）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图①所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种上面无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．(1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需正方形纸板___________张（直接填空），需长方形纸板___________张（直接填空）．(2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？（要求列二元一次方程组解决此问题）【答案】(1)5；10(2)制作竖式纸盒38个、横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完【分析】（1）根据1个竖式纸盒需要长方形纸板4张，正方形纸板1张，1个横式纸盒需要长方形纸板3张，正方形纸板2张，求出做1个竖式纸盒和2个横式纸盒需要的正方形纸板和长方形纸片的张数即可；（2）设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据制作竖式纸盒和横式纸盒需要的正方形和长方形纸板数列出方程组，解方程即可．【详解】（1）解：需正方形纸板：1+2×2=5（张），长方形纸板：4+3×2=10（张），故答案为：5；10．（2）解：设制作竖式纸盒x个、横式纸盒y个，根据题意得：4x+3y=338x+2y=162，解得：x=38y=62，答：制作竖式纸盒38个、横式纸盒62个，恰好能将购进的纸板全部用完．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据正方形和长方形张数列出方程组．3．（2023秋·山东济南·七年级校考期末）列方程组解应题某校为7年级寄宿学生安排宿舍，每间宿舍住5人，则有4人住不下；若每间住6人，则有一间只住4人，求该年级寄宿的学生人数和宿舍间数？【答案】寄宿生人数为34人，宿舍间数为6间．【分析】设寄宿生人数为x人，宿舍间数为y间，根据学生的人数与房间的数量之间的关系建立方程组求出其解即可．【详解】解：设寄宿生人数为x人，宿舍间数为y间，由题意，得x−5y=4x−6y−1=4，解得：x=34y=6．答：寄宿生人数为34人，宿舍间数为6间．【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据学生的人数与房间的数量之间的关系建立方程组是关键．【变式3-1】（2023春·山东菏泽·七年级统考期中）一套餐桌有一张桌子和六把椅子组成．如果1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子．现有15立方米的木料，请你设计一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？【答案】用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌．【分析】根据题意找出等量关系：1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子和总共15立方米的木料，设出未知量列方程组计算即可．【详解】解：设用x立方米的木料做桌子，用y立方米的木料做椅子，根据题意，得x+y=156×(10x)=15y，解这个方程组，得x=3y=12，经检验，方程组的解符合题意．所以用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌．【点睛】此题考查二元一次方程的应用，难度一般，找准等量关系是关键．【变式3-2】（2023春·广东江门·七年级统考期末）用铁皮材料做罐头盒，每张铁皮可制盒身30个，或制盒底50个，一个盒身与两个盒底配成一套．现有33张铁皮材料，分别用多少张制盒身、盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套？【答案】用15张制盒身，用18张制盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套【分析】设用x张制盒身，用y张制盒底，根据题中等量关系列出x、y的方程组，然后解方程组可求解．【详解】解：设用x张制盒身，用y张制盒底，根据题意，得x+y=332×30x=50y，解得x=15y=18，答：用15张制盒身，用18张制盒底，才能保证既恰好用完铁皮材料，又使盒身和盒底正好配套．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系并正确列出方程组是解答的关键．【变式3-3】（2023秋·安徽滁州·七年级校考开学考试）一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．(1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件?每天能生产多少套产品?(2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件．①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表示）②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务?【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品(2)①x=−25m+24；②至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务【分析】（1）设工厂每天安排x名工人生产A型零件，则工厂每天安排(60−x)名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可；（2）①根据“x名熟练工人和m名新工人生产的A型零件等于1200套产品的A型零件总数”可列方程，进行整理即可；②设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排(60−n)名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可．【详解】（1）解：设工厂每天安排a名工人生产A型零件，则工厂每天安排(60−a)名工人生产B型零件，由题意得：6a4=3(60−a)3，解得a=24，6a4=6×244=36（套）所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品．（2）①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，则安排(60−x)名熟练工人生产B型零件，由题意得，3×(6x+4m)=4×3(60−x)，整理得x=−25m+24；②设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排(60−n)名熟练工人生产B型零件，由题意得20(6n+4m)4=120020×3(60−n)3=1200，解得m=60n=0，所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务．【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．【题型4 年龄问题】【例4】（2023春·全国·七年级专题练习）5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁．那么现在这对母女的年龄分别是多少？【答案】母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁【分析】设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，然后根据5年前母亲的年龄是女儿年龄的15倍，15年后，母亲的年龄比女儿年龄的2倍多6岁，列出方程组求解即可．【详解】解：设母亲现在年龄x岁，女儿现在y岁，则x−5=15(y−5)x+15=2(y+15)+6解得x=35y=7答：母亲现在年龄35岁，女儿现在7岁．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键在于正确理解题意列出方程求解．【变式4-1】（2023春·七年级课时练习）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（ ）A．38岁 B．39岁 C．40岁 D．41岁【答案】C【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可．【详解】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁，但实际上101−63=38（岁），说明十年前妹妹没出生，则妹妹今年的年龄为10−(40−38)=8（岁），我的年龄为6+8=14（岁），设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，由题意得：x+y+8+14=101y=x+1，解得：x=39y=40，即爸爸今年的年龄为40岁，故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式4-2】（2023秋·湖南永州·七年级校考开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁， 乙的年龄为 岁．【答案】 28 21【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大x−y岁，然后根据题意列出方程组求解即可．【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大x−y岁，由题意得：x2=y−x−yx+x−y=2y−7，解得：x=28y=21，即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁，故答案为：28，21．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键．【变式4-3】（2023春·福建泉州·七年级统考期末）南安英都拔拔灯是国家级非物质文化遗产之一，因疫情原因停办了好几年，今年正月又重新举行，吸引了众多的海内外游客参与．其中一位34岁的男子带着他的两个孩子参与了拔拔灯活动，下面是记者与两个孩子的对话：记者：两位小朋友，你们几岁了？这么小就来拔拔灯了．妹妹：我比哥哥少4岁；哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加．恰好等于爸爸的年龄；根据对话内容，请你用方程（组）的知识帮记者求出今年哥哥和妹妹的年龄．【答案】今年妹妹6岁，哥哥10岁．【分析】设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据题意得：x+4=y3(x+2)+(y+2)=34+2，解得：x=6y=10，答：今年妹妹6岁，哥哥10岁．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．【题型5 销售问题】【例5】（2023春·山东泰安·七年级统考期末）2020年1月底，武汉爆发“新冠”疫情，并开始向全国蔓延，出于防疫的需求，医用口罩迅速成为紧俏物资．某药店为解市民的燃眉之急，先后两次采购了A、B两种型号的医用口罩进行销售．已知这两种型号的医用口罩进货情况如表：（1）问A，B两种型号的口罩的进货单价各是多少元？（2）销售中发现B型口罩的销量明显好于A型，药店在计划第三次采购时，决定购进B型口罩的箱数比A型口罩的箱数的2倍还多10箱，在采购总价不超过90000元的情况下，最多能购进多少箱B型口罩？【答案】（1）A种型号的口罩的进货单价是1200元，B种型号的口罩的进货单价是900元；（2）最多能购进64箱B型口罩．【分析】（1）设A种型号的口罩的进货单价是x元，B种型号的口罩的进货单价是y元，根据题意列出关于x和y的二元一次方程组，进而求出A，B两型口罩的进货单价．（2）设购进m箱A型口罩，购进(2m+10)箱B型口罩，列出不等式1200m+900(2m+10)≤90000求解即可．【详解】（1）设A种型号的口罩的进货单价是x元，B种型号的口罩的进货单价是y元，根据题意可得：20x+30y=5100030x+40y=72000，解得：x=1200y=900．答：A种型号的口罩的进货单价是1200元，B种型号的口罩的进货单价是900元．（2）设购进m箱A型口罩，购进(2m+10)箱B型口罩，由题意可得：1200m+900(2m+10)≤90000；解得：m≤27，又∵m为正整数∴m的最大值为27．此时2m+10=64．答：最多能购进64箱B型口罩．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用；在求解的过程中二元一次方程组可用加减消元法和代入消元法两种消元的方法，而一元一次不等式的解集求出以后，还要根据题意对于未知数进行正确的取值．【变式5-1】（2023春·重庆·七年级重庆市育才中学校考期中）向日葵水果店推出甲乙两种礼盒，甲礼盒中有樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，乙礼盒中有樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，已知樱桃每千克30元，甲礼盒每盒100元，乙礼盒每盒98元，当然，顾客也可根据需要自由搭配，小陶用1100元买乙礼盒和自由搭配礼盒(香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克)若干盒，则小陶一共可买礼盒 个．【答案】10【分析】设枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元，列出方程组，得到自由搭配礼盒每盒138元，设乙礼盒m个，自由搭配礼盒n个，得到98m+138n=1100，根据m，n为非负整数，得到m，n的值即可．【详解】解：设枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元，则30+0.5x+y=100①30+0.5x+a=98②，由①+②得：x+y+a=138，即自由搭配礼盒每盒138元，设乙礼盒m个，自由搭配礼盒n个，则98m+138n=1100，∵m，n为非负整数，当且仅当m=7，n=3时，等式成立，∴一共可以买礼盒7+3=10（个），故答案为：10．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，确定自由搭配礼盒每盒138元．【变式5-2】（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨30%，20%．(1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？(2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元．①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为1000元，求有哪几种购进方案？【答案】(1)第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元(2)①A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②有4种购进方案：①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台【分析】（1）根据等量关系式：第一次购买10台A型台灯的费用+第一次购买20台B型台灯的费用=3000元，第二次购买15台A型台灯的费用+第二次购买10台B型台灯的费用=4500元，列出方程组，接可求解；（2）①根据等量关系式：第一次的10台A型台灯的利润+第一次的20台B型台灯的利润=2800元，第二次的15台A型台灯的利润+第二次购买10台B型台灯的利润=1000元，列出方程组，接可求解；②设再购进A型台灯a台，B型台灯b台，由按第二次购买的价格购买，a台A型台灯售出获得利润+ b台B型台灯售出获得利润=1000元，列方程即可求解．【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元，由题意得：10x+20y=3000151+30%x+101+20%y=4500，解得：x=200y=50，答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元．（2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元，由题意得：10m−200+20n−50=280015m−2001+30%+10n−501+20%=1800，解得，m=340n=120，答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；②第二次购进的A型台灯的价格为：2001+30%=260（元），B型台灯的价格为：501+20%=60（元），设购进A型台灯a台，B型台灯b台，由题意得：340−260a+120−60b=1000，整理得：4a+3b=50，∴b=50−4a3=13−a+2−a3∵a、b为自然数，∴a=2b=14或a=5b=10或a=8b=6或a=11b=2，∴有4种购进方案：①购进A型台灯2台，B型台灯14台；②购进A型台灯5台，B型台灯10台；③购进A型台灯8台，B型台灯6台；④购进A型台灯11台，B型台灯2台．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系式，正确列出方程（组）是解题的关键．【变式5-3】（2023秋·全国·七年级统考期末）为了解决农民工子女入学难的问题，我市建立了一套进城农民工子女就学的保障机制，其中一项就是免交“借读费”．据统计，2004年秋季有5000名农民工子女进入主城区中小学学习，预计2005年秋季进入主城区中小学学习的农民工子女比2004年有所增加，其中小学增加20%，中学增加30%，这样，2005年秋季将新增1160名农民工子女在主城区中小学学习．（1）如果按小学每生每年收“借读费”500元，中学每生每年收“借读费”1000元计算，求2005年新增加的1160名中小学学生共免收多少“借读费”？（2）如果小学每增加40名学生需配备2名教师，中学每增加40名学生需配备3名教师，若按2005年秋季入学后，农民工子女在主城区中小学就读的学生增加的人数计算，一共需要配备多少名中小学教师？【答案】(1)820000元；(2)480人.【详解】本题考查的是方程组的应用（1）根据题意可知本题的等量关系有，2005年进入小学学习的人数=（1+20%）×2004年进入小学学习的人数，2005年进入中学学习的人数=（1+30%）×2004进入中学学习的人数．2005年进入中小学学习的总人数=5000+1160．依此列方程组再求解．（2）先算出秋季入学后，在小学就读的学生人数及在中学就读的学生人数，再根据师生比例即得结果．（1）设2004年秋季在主城区小学学习的农民工子女有x人，在主城区中学学习的农民工子女有人，由题意可得：解得 {x=3400y=1600∴，30%y=30%×1600=480∴500×680＋1000×480＝820000（元）＝82（万元）答：共免收82万元（20000元）“借读费”.（2）2005年秋季入学后，在小学就读的学生有（名），在中学就读的学生 有（名）.∴（名）答：一共需要配备360名中小学教师.【题型6 分配问题】【例6】（2023春·北京海淀·七年级北京育英中学校考期末）为迎接2008年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”.该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？【答案】生产奥运会标志2000套，生产奥运会吉祥物2400套【分析】设生产奥运会标志x套，生产奥运会吉祥物y套．两个等量关系为：4×奥运会标志套数+5×奥运会吉祥物套数=20000；3×奥运会标志套数+10×奥运会吉祥物套数=30000．再列方程求解即可．【详解】解：设生产奥运会标志x套，生产奥运会吉祥物y套．根据题意得4x+5y=20000①3x+10y=30000② ①×2−②得5x=10000．∴x=2000．把x=2000代入①得5y=12000．∴y=2400．答：该厂能生产奥运会标志2000套，生产奥运会吉祥物2400套．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：4×奥运会标志套数+5×奥运会吉祥物套数=20000；3×奥运会标志套数+10×奥运会吉祥物套数=30000，列出方程组，再求解．本题需注意应根据用的原料种类分类判断得到等量关系．【变式6-1】（2023春·广西桂林·七年级校考期中）某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？【答案】（1）每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车；（2）40名【分析】（1）设每名熟练工每月可以按装x辆电动汽车，每名新工人每月可以按装y辆电动汽车，根据“1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划，根据工作总量＝工作效率×人数结合计划一个月生产200辆，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车，依题意，得：x+2y=82x+3y=14，解得：x=4y=2．答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．（2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划，依题意，得：4×30+2m＝200，解得：m＝40．答：还需要招聘40名新工人才能完成一个月的生产计划．【点睛】本题考查的是用二元一次方程组解决问题中的工程问题，理解题意，找准数量关系列出方程组是解答关键.【变式6-2】（2023春·浙江·七年级期末）杭州某公司准备安装完成6000辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多．（1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车?（2）若公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人a>n，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，求a的值．【答案】（1）每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车；（2）a的值为16或14或12．【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据“1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设抽调a名熟练工人，由工作总量＝工作效率×工作时间，即可得出关于n，a的二元一次方程，再根据n，a均为正整数且n＜a，即可求出n的值．【详解】解：（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意得：x+2y=282x=3y，解得：x=12y=8．答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车．（2）根据题意得：30×（8n+12a）＝6000，整理得：n＝25﹣32a，∵n，a均为正整数，且n＜a，∴n=1a=16，n=4a=14，n=7a=12．∴a的值为16或14或12．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．【变式6-3】（2023春·吉林长春·七年级统考期末）问题解决：糖葫芦一般是用竹签串上山楂．再蘸以冰糖制作而成，现将一些山楂分别串在若干个竹签上，如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签，求竹签有多少根？山楂有多少个？反思归纳：现有m根竹签，n个山楂，若每根竹签串a个山楂，还剩b个山楂，则m、n、a、b满足的等量关系为 （用含m、n、a、b的代数式表示）．【答案】竹签有15根，山楂有63个；am+b＝n．【分析】设竹签有x根，山楂有y个，根据“如果每根竹签串4个山楂，还剩余3个山楂；如果每根竹签串7个山楂，还剩余6根竹签”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出竹签及山楂的数量；利用山楂的个数＝每根竹签串的山楂个数×竹签数量+剩余山楂的数量，即可找出m、n、a、b之间的等量关系．【详解】问题解决：设竹签有x根，山楂有y个，依题意得：4x+3=y7(x−6)=y，解得：x=15y=63．答：竹签有15根，山楂有63个．∵山楂的个数＝每根竹签串的山楂个数×竹签数量+剩余山楂的数量∴am+b＝n．故答案为：am+b＝n．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．【题型7 几何图形问题】【例7】（2023春·江苏苏州·七年级校联考阶段练习）把长都是宽的两倍的1个大长方形纸片和4个相同的小长方形纸片按图①、图②方式摆放，则图②中的大长方形纸片未被4个小长方形纸片覆盖部分的面积为 cm2．【答案】24【分析】根据题意中的等量关系大长方形的长+2倍小长方形的长=12，大长方形的长-2倍小长方形的长=4列出方程组进行求解.【详解】解：设大长方形长为x,小长方形长为y.根据题意，得{x+2y=12,x−2y=4,解得{x=8,y=2,∴大长方形的宽为4，小长方形的宽为1.4×8−1×2×4=24.所以被覆盖部分的面积为24【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．【变式7-1】（2023春·江苏常州·七年级统考期末）在长为18m，宽为15m的长方形空地上，沿平行于长方形各边的方向分别割出三个大小完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，则其中一个小长方形花圃的面积为（ ） A．10m2 B．12m2 C．18m2 D．28m2【答案】D【分析】设小长方形花圃的长为xm，宽为ym，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案．【详解】解：设小长方形花圃的长为xm，宽为ym，根据题意可得：2x+y=18x+2y=15，解得：x=7y=4，∴ xy=7×4=28m2，∴一个小长方形花圃的面积为：28m2，故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式7-2】（2023春·河南新乡·七年级校考阶段练习）如图，在长方形ABCD中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示. (1)小长方形的长和宽各是多少？(2)求阴影部分的面积.【答案】(1)小长方形的长为10cm，宽为3cm；(2)67cm2．【分析】（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形即可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，（2）根据阴影部分的面积=大长方形的面积−6个小长方形的面积，即可求出结论．【详解】（1）设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据图形可知：x+3y=19x+y=2y+7，解得：x=10y=3，答：小长方形的长为10cm，宽为3cm；（2）由（1）得：小长方形的长为10cm，宽为3cm，∴长方形ABCD的宽为13cm，则阴影部分的面积=大长方形的面积−6个小长方形的面积，=13×19−6×3×10，=67(cm2)，答：阴影部分的面积为67cm2．【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于x、y的二元一次方程组是解题的关键．【变式7-3】（2023春·山西·七年级统考期中）小敏通过观察发现，生活中很多产品的包装都是长方体，她从家里找了一个长方体包装盒，将其展开后，得到如图所示的示意图，根据示意图中的数据可得原长方体的体积为 cm3．【答案】192【分析】根据图形分析得到长方体的长是8cm，设宽是xcm，高是ycm，列方程组求解即可得到宽和高，再根据长方体体积公式计算体积.【详解】设长方体的宽是xcm，高是ycm，由题意得2×8+x+y=26x+2y=14，解得x=6y=4，∴长方体的体积是8×6×4=192（cm3），故答案为：192.【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确观察图形理解长、宽、高之间的数量关系是解题的关键.【题型8 数字问题】【例8】（2023春·河北唐山·七年级统考期中）某两位数，两个数位上的数之和为11．这个两位数加上45，得到的两位数恰好等于原两位数的两个数字交换位置所表示的数，求原两位数．(1)列一元一次方程求解．(2)如果设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，列二元一次方程组．(3)检验（1）中求得的结果是否满足（2）中的方程组．【答案】(1)原两位数为38(2)x+y=1110x+y+45=10y+x(3)（1）中求得的结果满足（2）中的方程组【分析】（1）设原两位数的个位数字为m，则十位数字为11−m，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；（2）设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意，列出方程组即可求解；（3）结合（1），可知：x=3，y=8，进而即可求解．【详解】（1）解：设原两位数的个位数字为m，则十位数字为11−m，依题意，得：10×11−m+m+45=10m+11−m，解得：m=8，∴11−m=3．答：原两位数为38；（2）设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，依题意，得：x+y=1110x+y+45=10y+x；（3）结合（1）可知，x=3，y=8，∴x+y=11，10x+y+45=83=10y+x，∴（1）中求得的结果满足（2）中的方程组．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，根据题意列出方程（组）是解题的关键．【变式8-1】（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考期末）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．三阶幻方的填写规则是将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等． (1)如图1所示幻方，求x的值；(2)如图2所示幻方，求a，b的值；(3)如图3所示幻方，若m，n为正整数，直接写出一共有多少种填法，并把其中一种幻方填写完整．【答案】(1)x=5(2)a=4b=3(3)一共有3种填法；填写见解析【分析】（1）根据题意列出关于x的方程，解方程即可；（2）根据题意列出关于a、b的方程组，解方程组即可；（3）根据题意列出关于m、n的二元一次方程，求出整数解即可．【详解】（1）解：根据题意得：9+x+1=x+3+1+2x−4，解得：x=5；（2）解：根据题意得：12+2a+1+3b−3=12+7+2a4b−2+2a+1+2a=12+7+2a，解得：a=4b=3；（3）解：根据题意得：13+12+11=13+2m+2+3n，即2m+3n=21，∵m，n为正整数，∴m=3n=5，m=6n=3，m=9n=1，∴共有3种填法； 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据表格列出方程或方程组．【变式8-2】（2023秋·辽宁铁岭·七年级统考阶段练习）在《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻图圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等；则图中外圆周上空白圆圈内填 ，内圆周上空白圆圈内填内应填 ．【答案】 −1 −7【分析】设外圆空白数字为x,内圆空白数据为y,根据题意可列出关于x、y的方程组求解即可．【详解】解：设外圆空白数字为x，内圆空白数据为y，根据题意得：−3+9−5+x=6−1+2+y；x+y+9−1=−5+2+6−3；整理得：x−y=6x+y=−8，解得：x=−1y=−7．故答案为−1,−7．【点睛】本题考查了有理数的加法运算、二元一次方程组等知识点，根据题意列出一元二次方程组是解答本题的关键．【变式8-3】（2023春·山东潍坊·七年级校考阶段练习）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数，小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9．”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好也比原来的两位数大9．”那么，你能回答以下问题吗？(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是几？(2)第一次，他们拼出的两位数是多少？(3)第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！【答案】(1)他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5(2)第一次他们拼成的两位数为45(3)第二次拼成的两位数是54【详解】（1）解：设他们取出的两个数字分别为x、y．第一次拼成的两位数为10x+y，第二次拼成的两位数为10y+x．根据题意得：x+y=9①10y+x−9=10x+y②，由②，得：y−x=1③，①+③得：y=5．把y=5代入①得：x=4，∴他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5．（2）解：根据（1）得：十位数字是4，个位数字是5，所以第一次他们拼成的两位数为45．（3）解：根据（1）得，x，y的位置调换，所以十位数字是5，个位数字是，所以第二次拼成的两位数是54．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键．【题型9 古代问题】【例9】（2023秋·安徽滁州·七年级校联考期中）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．《九章算术》中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每1只各重多少斤？”请列方程组解答上面的问题．【答案】雀、燕每一只各重219斤、338斤【分析】设雀、燕每1只各重x斤、y斤，根据等量关系：今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕重量为1斤，列出方程组求解即可．【详解】解：设雀、燕每1只各重x斤、y斤．根据题意，得4x+y=5y+x5x+6y=1整理，得3x−4y=05x+6y=1解得x=219y=338答：雀、燕每1只各重219斤、338斤．【点睛】考查二元一次方程组得应用，解题的关键是分析题意，找出题中的等量关系．【变式9-1】（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺，若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺，井深几尺？则该问题的井深是（ ）尺．A．5 B．8 C．32 D．36【答案】B【分析】设绳长为x尺，井深为y尺，根据等量关系“把绳三折来量，井外余绳四尺，把绳四折来量，井外余绳一尺”列出方程组求解即可．【详解】解：设绳长是x尺，井深是y尺，由题意可得：13x−y=414x−y=1，解得：x=36y=8．所以井深是8尺．故选B．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用．要读懂题目的意思、根据题目给出的条件、找出合适的等量关系列出方程（组）是解题关键．【变式9-2】（2023春·江西南昌·七年级统考期末）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉．下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等水稻3捆，加稻谷6斗，与下等水稻10捆相当．下等水稻5捆，加稻谷1斗，与上等水稻2捆相当．问上等水稻、下等水稻每捆各有稻谷多少斗？【答案】上等水稻每捆有稻谷8斗，下等水稻每捆有稻谷3斗【分析】设上等水稻每捆有稻谷x斗，下等水稻每捆有稻谷y斗，根据题意“上等水稻3捆，加稻谷6斗，与下等水稻10捆相当．下等水稻5捆，加稻谷1斗，与上等水稻2捆相当”，列出二元一次方程并求解即可．【详解】.解：设上等水稻每捆有稻谷x斗，下等水稻每捆有稻谷y斗，根据题意可得3x+6=10y5y+1=2x，解得x=8y=3．答：上等水稻每捆有稻谷8斗，下等水稻每捆有稻谷3斗．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．【变式9-3】（2023秋·安徽·七年级校联考阶段练习）《九章算术》中有这样一道题，原文如下：今有上禾六秉，损实一斗八升，当下禾一十秉．下禾十五秉，损实五升，当上禾五秉．问：上、下禾实一秉各几何？大意为：今有上禾6束，减损其中之“实”1斗8升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其中之“实”5升，与上禾5束之“实”相当．问上、下禾每1束之实各为多少?（10升为1斗）【答案】上、下禾每1束之实分别为8升和3升【分析】分析题意，设上、下禾每1束之实各为x，y升，根据相等关系列出二元一次方程组求解.【详解】解：设上、下禾每1束之实各为x，y升，根据题意可列方程组：6x−18=10y15y−5=5x ，解得：x=8y=3 答：上、下禾每1束之实分别为8升和3升．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找到题中的2个相等关系是解题的关键.【题型10 方案问题】【例10】（2023春·湖南株洲·七年级校考期末）某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）(1)求A、B两种型号电风扇的销售单价；(2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由．(3)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案．【答案】(1)A种型号电风扇的销售单价为250元，B种型号电风扇的销售单价为200元(2)不能，理由见解析(3)见解析【分析】（1）设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元，根据近2周的销售情况表格中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）不能实现利润为1200元的目标，设销售m台A种型号电风扇，n台B种型号电风扇，利用总利润=每台的销售利润×销售数量，结合销售完A、B两种型号的电风扇共25台且共获得1200元利润，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，结合m，n需为正整数，即可得出不能实现利润为1200元的目标；（3）设购买a台A种型号电风扇，b台B种型号电风扇，利用总价=单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各购买方案．【详解】（1）解：设A种型号电风扇的销售单价为x元，B种型号电风扇的销售单价为y元，依题意得：3x+5y=17504x+10y=3000，解得：x=250y=200．答：A种型号电风扇的销售单价为250元，B种型号电风扇的销售单价为200元．（2）不能实现利润为1200元的目标，理由如下：设销售m台A种型号电风扇，n台B种型号电风扇，依题意得：m+n=25(250−200)m+(200−170)n=1200，解得：m=452n=52，又∵m，n均为正整数，∴ m=452n=52不符合题意，舍去，即不能实现利润为1200元的目标．（3）设购买a台A种型号电风扇，b台B种型号电风扇，依题意得：250a+200b=4000，∴b=20−54a，又∵a，b均为正整数，∴ a=4b=15或a=8b=10或a=12b=5，∴该公司共有3种购买方案，方案1：购买4台A种型号电风扇，15台B种型号电风扇；方案2：购买8台A种型号电风扇，10台B种型号电风扇；方案3：购买12台A种型号电风扇，5台B种型号电风扇．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．【变式10-1】（2023秋·福建漳州·七年级校考阶段练习）某公司接到240台空调的安装任务．由于时间紧，该公司没有足够的熟练工人，故决定招聘一批新工人．根据以往安装经验可知，1名熟练工人和2名新工人每天一共可以安装8台空调；2名熟练工人和3名新工人每天一共可以安装14台空调．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少台空调？(2)若该公司原有m名熟练工人，现计划招聘n名新工人（m，n均为正整数），为保证刚好用12天完成安装任务，你认为该公司有哪几种招聘方案？【答案】(1)1名熟练工人1天可以安装4台空调，1名新工人1天可以安装2台空调(2)m=1，n=8或m=2，n=6或m=3，n=4或m=4，n=2【分析】（1）设1名熟练工人1天可以安装x台空调，1名新工人1天可以安装y台空调，由题意列出方程组，即可求解；（2）由题意列出方程，即可求解．【详解】（1）解：设1名熟练工人1天可以安装x台空调，1名新工人1天可以安装y台空调，由题意可得：x+2y=82x+3y=14，解得：x=4y=2，故1名熟练工人1天可以安装4台空调，1名新工人1天可以安装2台空调．（2）解：由题意可得：124m+2n=240，∴2m+n=10，∵m，n为正整数，∴m=1，n=8或m=2，n=6或m=3，n=4或m=4，n=2；故有四种方案，分别为m=1，n=8或m=2，n=6或m=3，n=4或m=4，n=2．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，找到正确的数量关系是解题的关键．【变式10-2】（2023春·湖北荆州·七年级统考期末）荆州作为荆楚文化根脉所在，是楚文化发祥地．首届楚文化节于2023年3月至4月在荆州举办．为更好展现荆州，荆州市特推出A、B两种不同明信片套盒和单张明信片．已知一种A套盒和一种B套盒总价13元，2种A套盒和3种B套盒总价31元；单张明信片1元/张．(1)请求出A、B两种套盒的单价各是多少元？(2)某顾客计划用200元购买这三种商品共127件，如果资金刚好全部用完，问有几种购买方案？【答案】(1)A套盒单价为8元，B套盒单价为5元(2)两种【分析】（1）设A套盒单价为x元，B套盒单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；（2）设购A套盒a件，B套盒b件，则单张明信片127−a−b件，则8a+5b+127−a−b=200，可得b=73−7a4，再根据a、b为正整数，即可作答．【详解】（1）设A套盒单价为x元，B套盒单价为y元，则x+y=132x+3y=31，解得x=8y=5，∴A套盒单价为8元，B套盒单价为5元；（2）设购A套盒a件，B套盒b件，则单张明信片127−a−b件，则8a+5b+127−a−b=200，∴b=73−7a4，∵a、b为正整数，∴a=3b=13或a=7b=6，∴共两种方案．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及求解二元一次方程的正整数解的知识，明确题意列出二元一次方程组以及二元一次方程，是解答本题的关键．【变式10-3】（2023春·广东广州·七年级执信中学校考期中）杂交水稻的发展对解决世界粮食不足问题有着重大的贡献，某超市购进A、B两种大米销售，其中两种大米的进价、售价如下表：(1)该超市在3月份购进A、B两种大米共70袋，进货款恰好为1800元．①求这两种大米各购进多少袋；②据3月份的销售统计，两种大米的销售总额为900元，求该超市3月份已售出大米的进货款为多少元．(2)超市决定在4月份销售A、B两种大米共盈利100元（A，B两种品种都有购进），请你帮助设计一下进货方案，并写出来．【答案】(1)①购进A种大米30袋，B种大米40袋；②600元(2)方案一：购进A种大米1袋，B种大米6袋；方案二：购进A种大米4袋，B种大米4袋；方案三：购进A种大米7袋，B种大米2袋【分析】（1）①：设购进A种大米a袋，B种大米b袋，根据题意，列出方程组，即可求解；②设购进A种大米m袋，B种大米n袋，根据“两种大米的销售总额为900元，”可得2m+3n=60，即可求解；（2）设购进A种大米m袋，B种大米n袋，根据“销售A、B两种大米共盈利100元”得到关于x，y的方程，再根据x，y均为正整数，即可求解．【详解】（1）解①：设购进A种大米a袋，B种大米b袋，根据题意得：a+b=7020a+30b=1800，解得：a=30b=40答：购进A种大米30袋，B种大米40袋； ②设购进A种大米m袋，B种大米n袋，根据题意得：30m+45n=900，即2m+3n=60，∴超市3月份已售出大米的进货款为20m+30n=102m+3n=10×60=600元；（2）解：设购进A种大米x袋，B种大米y袋，根据题意得：30x+45y−20x+30y=100，整理得：2x+3y=20，即y=20−2x3，∴20−2x是3的倍数，∵x，y均为正整数，∴x=1,y=6或x=4,y=4或x=7,y=2，∴方案一：购进A种大米1袋，B种大米6袋；方案二：购进A种大米4袋，B种大米4袋；方案三：购进A种大米7袋，B种大米2袋．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．【题型11 图表问题】【例11】（2023春·浙江嘉兴·七年级校联考阶段练习）流感期间，小李家购买防护用品的收据如表，有部分数据因污染无法识别，根据表格，解决下列问题：(1)小李家此次购买的酒精喷剂和医用口罩各多少件?(2)小李家计划再次购买消毒水和酒精喷剂共15件，且总价刚好490元，则消毒水购买多少件?(3)小李家准备用270元再次购买消毒纸巾和医用口罩，在270元刚好用完的条件下，有哪些购买方案?【答案】(1)酒精喷剂2件，医用口罩4件(2)2件(3)一共有3种方案：①购买消毒纸巾1件，医用口罩5件；②购买消毒纸巾6件，医用口罩3件；③购买消毒纸巾11件，医用口罩1件【分析】（1）设小李家此次购买的酒精喷剂x件，医用口罩y件，根据总价=单价×数量，结合表格中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）由表格内数据可知消毒水每件50（元），设买消毒水m件，则酒精喷剂15−m件，根据总价=单价×数量，结合总价为490元，即可得出关于m的一元一次方程，求出结果即可；（3）设购买消毒纸巾a件，医用口罩b件，根据总价=单价×数量，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为整数即可得出购买方案．【详解】（1）解：设小李家此次购买的酒精喷剂x件，医用口罩y件，根据题意得：1+2+x+5+y=14190+100+30x+20×5+50y=650，解得：x=2y=4，答：小李家此次购买的酒精喷剂2件，医用口罩4件；（2）由表格内数据可知消毒水每件100÷2=50（元），设购买消毒水m件，则酒精喷剂15−m件，∴50m+15−m×30=490，解得：m=2，答：消毒水购买2件；（3）设购买消毒纸巾a件，医用口罩b件，∴20a+50b=270，整理得：b=27−2a5，∵a，b都是非负整数，∴a=1，b=5或a=6，b=3或a=11，b=1，∴一共有3种方案：①购买消毒纸巾1件，医用口罩5件；②购买消毒纸巾6件，医用口罩3件；③购买消毒纸巾11件，医用口罩1件．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．【变式11-1】（2023春·河南新乡·七年级统考期末）如图，2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm，塑料凳子相同且叠放时均忽略缝隙，则11个塑料凳子叠放在一起时的高度为( ) A．120cm B．130cm C．140cm D．150cm【答案】D【分析】设1支塑料凳子的高度为xcm，每叠放1支塑料凳子高度增加ycm，根据2个塑料凳子叠放在一起的高度为60cm，4个塑料凳子叠放在一起的高度为80cm，列出二元一次方程组，解之求出x、y的值，即可解决问题．【详解】解：设1支塑料凳子的高度为xcm,每叠放1支塑料凳子高度增加ycm，依题意得：x+y=60x+3y=80解得：x=50y=10∴x+10y=50+10×10=150，即11支塑料凳子整齐地叠放在一起的高度为150cm．故选：D．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．【变式11-2】（2023秋·甘肃武威·七年级校考开学考试）课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，飞镖盘上A区域所得分值和B区域所得分值不同，每人投5次飞镖，其落点如图所示，已知小杰和小明的5次飞镖总分分别为39分和43分，小丽的5次飞镖总分为 分． 【答案】37【分析】设A区每镖得x分，B区每镖得y分，根据题意，得3x+2y=39x+4y=43，再计算4x+y得值即可．乙型挖据机；任务3：(w−95)【分析】(任务1)设租用甲型挖掘机x台，乙型挖掘机y台，根据“租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；(任务2)设租用甲型挖掘机m台，乙型挖掘机n台，根据租用的两种挖掘机恰好完成每小时的挖掘量，可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各租用方案；(任务3)求出各租用方案所需租金，比较后可得出租金最少的租用方案，设弹簧的单价为a元，钢球的单价为b元，根据“购买20根弹簧和15颗钢球，保养费用w还缺25元；购买19根弹簧和13颗钢球，保养费用w还剩15元”，可得出关于a，b的二元一次方程组(此处将w看成常数)，解之可得出a+2b=40，将其代入17a+9b=(19a+13b)−2a−4b=(w−15)−2(a+2b)中，即可求出结论．【详解】解：(任务1)设租用甲型挖掘机x台，乙型挖掘机y台，根据题意得：x+y=8160x+240y=1760，解得：x=2y=6．答：租用甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台；(任务2)设租用甲型挖掘机m台，乙型挖掘机n台，根据题意得：160m+240n=1760，∴m=11−32n. 又∵m，n均为正整数，∴m=8n=2或m=5n=4或m=2n=6，∴共有3种租用方案，方案1：租用8台甲型挖掘机，2台乙型挖据机；方案2：租用5台甲型挖掘机，4台乙型挖据机；方案3：租用2台甲型挖掘机，6台乙型挖据机；(任务3)当m=8，n=2时，所需租金为190×8+260×2=2040(元)；当m=5，n=4时，所需租金为190×5+260×4=1990(元)；当m=2，n=6时，所需租金为190×2+260×6=1940(元)．∵1940<1990<2040，∴租用2台甲型挖掘机，6台乙型挖掘机时租金最少．所需弹簧数量为2×(2+6)+1=17(根)，所需钢球数量为1×(2+6)+1=9(颗)．设弹簧的单价为a元，钢球的单价为b元，根据题意得：w=20a+15b−25w=19a+13b+15，∴20a+15b−25=19a+13b+15，∴a+2b=40，17a+9b=(19a+13b)−2a−4b=(w−15)−2(a+2b)=w−15−2×40=(w−95)(元)．∴实际保养费用为(w−95)元．故答案为：(w−95)．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组(或二元一次方程)是解题的关键． 第一次第二次A型口罩(箱)2030B型口罩(箱)3040累计采购款(元)5100072000购进的台数购进所需要的费用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周351750元第二周4103000元类型进价（元/袋）售价（元/袋）A种大米2030B种大米3045商品名单价（元）数量（件）金额（元）温度计1901190消毒水 2100酒棈喷剂30 消毒纸巾205 医用口罩50 合计14650
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