数学九年级上册1.3 一元二次方程的根与系数的关系综合训练题

这是一份数学九年级上册1.3 一元二次方程的根与系数的关系综合训练题，共36页。

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\l "_Tc30997" 【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc30997 \h 1
\l "_Tc4230" 【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc4230 \h 2
\l "_Tc15250" 【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】 PAGEREF _Tc15250 \h 2
\l "_Tc2754" 【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】 PAGEREF _Tc2754 \h 3
\l "_Tc32484" 【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】 PAGEREF _Tc32484 \h 3
\l "_Tc17755" 【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 PAGEREF _Tc17755 \h 3
\l "_Tc29072" 【题型7 根的判别式与三角形的综合】 PAGEREF _Tc29072 \h 4
\l "_Tc30097" 【题型8 根的判别式与四边形的综合】 PAGEREF _Tc30097 \h 5
\l "_Tc31073" 【题型9 关于根的判别式的多结论问题】 PAGEREF _Tc31073 \h 5
\l "_Tc359" 【题型10 关于根的判别式的新定义问题】 PAGEREF _Tc359 \h 6
【知识点 一元二次方程根的判别式】
一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．
①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2−4ackbB．若ka>kb，则0＜a＜1
C．若0＜a＜1，则kab，关于x的方程2x∗x−1=t+3恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是 ．
【变式10-1】（2023春·四川雅安·九年级统考期末）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b=ab2−ab，例如3☆2=3×22−3×2=6，则方程2☆x=−12的根的情况为（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【变式10-2】（2023春·安徽马鞍山·九年级校考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a=b−cB．a=bC．b=cD．a=c
【变式10-3】（2023春·河北沧州·九年级统考期中）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有m，p※q，n=mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：2，3※4，5=2×5+3×4=22．若关于x的方程x2+1，x※5−2k，k=0：有两个实数根，则k的取值范围是 ．
专题1.3 根的判别式【十大题型】
【苏科版】
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\l "_Tc30997" 【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc30997 \h 1
\l "_Tc4230" 【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc4230 \h 3
\l "_Tc15250" 【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】 PAGEREF _Tc15250 \h 5
\l "_Tc2754" 【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】 PAGEREF _Tc2754 \h 8
\l "_Tc32484" 【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】 PAGEREF _Tc32484 \h 10
\l "_Tc17755" 【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 PAGEREF _Tc17755 \h 13
\l "_Tc29072" 【题型7 根的判别式与三角形的综合】 PAGEREF _Tc29072 \h 16
\l "_Tc30097" 【题型8 根的判别式与四边形的综合】 PAGEREF _Tc30097 \h 20
\l "_Tc31073" 【题型9 关于根的判别式的多结论问题】 PAGEREF _Tc31073 \h 23
\l "_Tc359" 【题型10 关于根的判别式的新定义问题】 PAGEREF _Tc359 \h 27
【知识点 一元二次方程根的判别式】
一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．
①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2−4ac0，
∴方程有两个不相等实数根，故选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ25，
∴25−4t0，
解得：c1，
∴此方程有两个不相等的实数根，故①说法正确；
②∵b=a，
∴当a=t+1时，一定有b=t+1，故②说法错误；
③∵aa>1是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．且b=a，
∴b也是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．故③说法正确；
④此方程有两个不相等的实数根，故④说法错误；
所以，正确的结论是①③，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的意义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握运用根的判别式判断根的情况是解答本题的关键．
【变式9-2】（2023春·浙江杭州·九年级校考期中）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）①若b2−4ac=0，则ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c；③若ax2+bx+c+2=0与方程x+2x−3=0的解相同，则4a−2b+c=−2，以上说法正确的是 ．
【答案】①③/③①
【分析】根据根的判别式判断①；根据一元二次方程ax2+bx+c=k (k为常数)最多有两个解判断②；将方程x+2x−3=0的解代入ax2+bx+c+2=0即可判断③．
【详解】解：①∵Δ=b2−4ac=0
∴方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根．
∴①正确：
②∵一元二次方程ax2+bx+c=k(k为常数)最多有两个解，
∴②错误；
③方程x+2x−3=0的解为x1=−2，x2=3，
将x=−2代入ax2+bx+c+2=0得a⋅(−2)2+b⋅(−2)+c+2=0，
∴4a−2b+c=−2，
∴③正确．
综上，正确的有①③，
故答案为：①③．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ4a2，
所以4a2−4b2x−1时，即x>−1，时，有x−12−2xx−1=t+3，
即：x2=−t−2x>−1，
要使关于x的方程2x∗x−1=t+3恰好有三个不相等的实数根，则x2=−t−2x>−1和2x2+2x−t−3=0x≤−1都必须有解，
∴−t−2≥02t+7≥0，
∴−72≤t≤−2，
（1）当−t−2=0时，即t=−2时，方程x2=−t−2x>−1只有一个根x=0，
∵当t=−2时，2t+7=3，
∴−1+32>0，−1−32