初中数学北师大版（2024）八年级上册1 函数同步测试题

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册1 函数同步测试题，共76页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc13391" 【题型1 反比例函数中的动点问题】 PAGEREF _Tc13391 \h 1
\l "_Tc11779" 【题型2 反比例函数与x=a或y=a】 PAGEREF _Tc11779 \h 3
\l "_Tc18270" 【题型3 反比例函数中的存在性问题】 PAGEREF _Tc18270 \h 5
\l "_Tc17748" 【题型4 反比例函数与勾股定理、全等三角形的综合】 PAGEREF _Tc17748 \h 6
\l "_Tc5391" 【题型5 反比例函数与图形变换】 PAGEREF _Tc5391 \h 8
\l "_Tc4600" 【题型6 反比例函数与定值、最值】 PAGEREF _Tc4600 \h 10
\l "_Tc15398" 【题型7 反比例函数的应用】 PAGEREF _Tc15398 \h 12
【题型1 反比例函数中的动点问题】
【例1】（2023春·四川成都·九年级四川省成都市石室联合中学校考期中）如图，已知直线y＝x＋2与双曲线y=kx交于A、B两点，且A点坐标为（a，4）．
（1）求双曲线解析式；
（2）将直线y＝x＋2向下平移两个单位得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP＋PQ的最小值，并求此时的Q点坐标；
（3）若点M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形时，请求出N点坐标．
【变式1-1】（2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=mx图象交于点A−1,3和B3,c，与x轴交于点C．
(1)求一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=mx的解析式；
(2)观察图象，请直接写出使y1>y2的x取值范围；
(3)M是y轴上的一个动点，作MN⊥y轴，交反比例函数图象于点N，当由点O，C，M，N构成的四边形面积为72时，直接写出点N的坐标．
【变式1-2】（2023春·河南周口·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOD的顶点O与坐标原点重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，点D的坐标为(8，6)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)E是x轴正半轴上的动点，过点E作x轴的垂线交线段OA于点M，交双曲线于点P，在E点运动过程中，M点正好是线段EP中点时，求点E的坐标．
【变式1-3】（2023春·四川乐山·九年级统考期末）如图，A1，3，B3，1是反比例函数y=3x的图象上的两点，点P是反比例函数y=3x的图象位于线段AB下方的一动点，过点P作PM⊥x轴于M，交线段AB于Q．设点M横坐标为x，则△OPQ面积的最大值为 ，此时x= ．

【题型2 反比例函数与x=a或y=a】
【例2】（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点A1,0且与y轴平行，直线l2过点B0,2且与x轴平行，直线l1，与直线l2相交于点P，点E为直线l2上一点，反比例函数y=kx(k>0)的图象过点E且与直线l1相交于点F．
（1）若点E与点P重合，求k的值；
（2）连接OE、OF、EF，若△OEF的面积为△PEF的面积的3倍，求点E的坐标；
（3）当k0的图象相交于A、C两点，与x轴交于点D，过点D作DE⊥x轴交反比例函y=kxk>0的图象于点E，连结CE，点B为y轴上一点，满足AB=AC，且BC恰好平行于x轴．若S△DCE=1，则k的值为 ．
【变式2-2】（2023春·浙江舟山·九年级统考期末）已知：一次函数y=ax+b与反比例函数y=kx的图像在第一象限内交于点Am,2，B3,n两点，且m，n满足2m−3n2+n−1=0，直线l经过点A且与y轴平行，点C是直线l上一点，过点C作CD⊥y轴于点D，交反比例函数图像于点E．

(1)求一次函数与反比例函数的函数表达式．
(2)如图1，当点C在点A上方时，连接OC，OA，且OC平分∠AOD，求CDDE的值．
(3)如图2，当点C在点A下方时，点H是DC的中点，点G在x轴上，若四边形ABGH是平行四边形．求出点 G的坐标．
【变式2-3】（2023春·浙江·九年级专题练习）如图1，一次函数y=kx−2k≠0的图像与y轴交于点A，与反比例函数y=−3xx0)的图像上，顶点E在x轴的正半轴上，则点D的坐标为 ，点G的坐标为 ．

【变式4-1】（2023春·河南周口·九年级统考期末）正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上，点C在反比例函数y=2xx>0的图象上，点D在第二象限内，若AO=3BO，则正方形ABCD的边长为（ ）

A．10B．3C．7D．5
【变式4-2】（2023春·浙江衢州·九年级统考期末）【思路点拨】：如图1，点A'是点A关于直线y=x的对称点，分别过点A，A'作y轴，x轴的垂线，垂足为M，N，连结OA，OA'，AA'．可以利用轴对称图形的性质证明△AMO≌△A'NO，从而由点A的坐标可求点A'的坐标．
【应用拓展】：如图2，若点A横坐标为12，且在函数y=1x的图象上．

(1)求点A关于直线y=x的对称点A'的坐标．
(2)若点B的坐标为−1,1，点P是直线y=x．上的任意一点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值．
【变式4-3】（2023春·浙江宁波·九年级统考期末）定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形．
(1)矩形______勾股四边形（填“是”或“不是”）．
(2)如图在直角坐标系xOy中，直线y=−x+1与双曲线y=−6x相交于A，B两点，点P−3,0在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点．

①分别求出A、B两点的坐标．
②当四边形APQB是平行四边形时，如图，请证明▱APQB是勾股四边形．
(3)在（2）的条件下，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标．
【题型5 反比例函数与图形变换】
【例5】（2023春·江苏淮安·九年级统考期中）如图，将反比例函数y=5x(x>0)的图象绕坐标原点0，0顺时针旋转45°，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线y=12x与旋转后的图象相交于B，则△OAB的面积为 ．

【变式5-1】（2023春·江苏泰州·九年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长C数值和面积S数值相等，则称这个点为“等值点”．例如：点A(3，6)，因为C=(3+6)×2=18，S=3×6=18，所以A是“等值点”．
(1)若点E为双曲线y=4x (x>0)上任意一点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，求证：点F为“等值点”；
(2)在第一象限内，若一次函数y= − x+b的图象上有两个“等值点”，求b的取值范围．
【变式5-2】（2023春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC=90∘．点A的坐标为1，0，点C的坐标为3，4，M是BC边的中点，函数y=kxx>0 的图象经过点M．
（1）求k的值；
（2）将△ABC绕某个点旋转180∘后得到△DEF（点 A，B，C 的对应点分别为点D，E，F），且 EF在y轴上，点D在函数y=kxx>0的图象上，求直线DF的表达式．
【变式5-3】（2023春·江苏淮安·九年级统考期末）如图1，正方形ABCD的顶点A1,1，点C3,3，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点D．

(1)试说明反比例函数y=kx的图象也经过点B；
(2)如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形MNPQ，边MN在x轴上，反比例函数y=kx的图象分别交正方形MNPQ的边PQ、PN于点E、F．
①求△MEF的面积；
②在x轴上是否存在一点G，使得△GEF是等腰三角形，若存在，直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【题型6 反比例函数与定值、最值】
【例6】（2023·山东济宁·校考二模）如图，直线y=2x+6与反比例函数y=kx(k>0)的图像交于点Am,8，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n(00的解集；
(3)直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
【变式6-1】（2023·河北石家庄·统考一模）如图，已知点A1,4,B7,1，点P在线段AB上，并且点P的横、纵坐标均为整数，经过点P的双曲线为L:y=kx(x>0)．
(1)当点P与点B重合时，求L的表达式；
(2)求线段AB所在直线的函数表达式；
(3)直接写出k的最小值和最大值．
【变式6-2】（2023春·江苏无锡·九年级统考期末）如图，动点M在函数y1=4x（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y平行线，交函数 y2=1x （x＞0）的图像于点B、C，作直线BC，设直线BC的函数表达式为y ＝kx＋b．
(1)若点M的坐标为（1，4）．
①直线BC的函数表达式为______；
②当 yy2的x取值范围；
(3)M是y轴上的一个动点，作MN⊥y轴，交反比例函数图象于点N，当由点O，C，M，N构成的四边形面积为72时，直接写出点N的坐标．
【答案】(1)y1=−x+2，y2=−3x
(2)y1>y2的x取值范围为：x0)的图象绕坐标原点0，0顺时针旋转45°，旋转后的图象与x轴相交于A点，若直线y=12x与旋转后的图象相交于B，则△OAB的面积为 ．

【答案】533
【分析】反比例函数y=5x(x>0)的图象上点E绕点O顺时针方向旋转45°得点A，过点E作EF⊥x轴于F，得出OA=OE=10，作BC⊥x轴于C，设Bx，12x，并且△OBC是由△OKH绕点O顺时针旋转45°得到的，则OH=OC=x，从而H22x，22x，可证出△KGH是等腰直角三角形，得K的坐标，代入y=5x(x>0)从而得出x的值，进而求得BC的长度，利用三角形面积公式解决问题．
【详解】解：设反比例函数y=5x(x>0)的图象上点E绕点O顺时针方向旋转45°得点A，过点E作EF⊥x轴于F，
设Ea，5a，
∵∠EOF=45°，
∴EF=OF，
∴a=5a，
∵a>0，
∴a=5，
∴OA=OE=10，
作BC⊥x轴于C，△OBC是由△OKH绕点O顺时针旋转45°得到的，
∴点K在原反比例函数图象上．
设Bx，12x，
∴OH=OC=x，
∴H22x，22x，
∴过点H作GH⊥x轴于H，KG∥x轴，

∴△KGH是等腰直角三角形，
∵KH=BC=12x，
∴KG=GH=24x，
∴K22x−24x，22x+24x，即K24x，324x，
∴ 24x⋅324x=5，
解得x=2303或x=−2303（舍)，
∴ 12x=303，
∴BC=303，
∴S△AOB=12×10×303=533．
故答案为：533．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得B点的坐标是解题的关键．
【变式5-1】（2023春·江苏泰州·九年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若两垂线与坐标轴围成矩形的周长C数值和面积S数值相等，则称这个点为“等值点”．例如：点A(3，6)，因为C=(3+6)×2=18，S=3×6=18，所以A是“等值点”．
(1)若点E为双曲线y=4x (x>0)上任意一点，将点E向右平移2个单位，再向上平移2个单位得到点F，求证：点F为“等值点”；
(2)在第一象限内，若一次函数y= − x+b的图象上有两个“等值点”，求b的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)b>8
【分析】（1）依题意，点E的坐标为：(t，4t )，则点F(t+2，4t+2 )，进而根据坐标得出C,S即可求解；
（2）根据题意，得出x2−bx+2b=0，根据一元二次方程根与系数的关系式得出x1+x2=b>0，进而根据一元二次方程根的判别式大于0，即可求解．
【详解】（1）证明：点E的坐标为：(t，4t )，则点F(t+2，4t+2 )，
则C=2(t+2+ 4t +2)=2t+ 8t +8，
S=(t+2)×( 4t +2)=2t+ 8t +8，
∴C=S，
∴点F为“等值点”；
（2）解：由题意得：C=2(x+y)=2b，S=xy=−x2+bx，
∵C=S，则−x2+bx=2b，
即x2−bx+2b=0，
∵图象在第一象限内有两个“等值点”，且x1+x2=b>0，
∴Δ=b2−8b>0，
∴b>8
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC=90∘．点A的坐标为1，0，点C的坐标为3，4，M是BC边的中点，函数y=kxx>0 的图象经过点M．
（1）求k的值；
（2）将△ABC绕某个点旋转180∘后得到△DEF（点 A，B，C 的对应点分别为点D，E，F），且 EF在y轴上，点D在函数y=kxx>0的图象上，求直线DF的表达式．
【答案】（1）6；（2）y=2x-1．
【分析】（1）根据直角三角形的性质和坐标与图形的特点求得点M的坐标，将其代入反比例函数解析式求得k的值；
（2）根据旋转的性质推知：△DEF≅△ABC，故其对应边、角相等：DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°，由函数图象上点的坐标特征得到：D2,3，E0,3.结合EF=BC=4得到F0,−1，利用待定系数法求得结果.
【详解】（1）∵Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC=90°，点C的坐标为（3，4），
∴点B的坐标为（3，0），CB=4．
∵M是BC边的中点，
∴点M的坐标为（3，2）．
∵函数y=kxx>0的图像进过点M,
∴k=3×2=6．
（2）∵△ABC绕某个点旋转180°后得到△DEF，
∴△DEF≌△ABC．
∴DE=AB，EF=BC，∠DEF=∠ABC=90°．
∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∴AB=2．
∴DE=2．
∵EF在y轴上，
∴点D的横坐标为2．
∵点D在函数y=6x的图象上，
当x=2时，y=3．
∴点D的坐标为（2，3）．
∴点E的坐标为（0，3）．
∵EF=BC=4，
∴点F的坐标为（0，-1）．
设直线DF的表达式为y=ax+b，将点D，F的坐标代入，
得3=2a+b−1=b 解得a=2b=−1 .
∴直线DF的表达式为y=2x-1．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质.解题时，注意函数思想和数形结合数学思想的应用.
【变式5-3】（2023春·江苏淮安·九年级统考期末）如图1，正方形ABCD的顶点A1,1，点C3,3，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点D．

(1)试说明反比例函数y=kx的图象也经过点B；
(2)如图2，正方形ABCD向下平移得到正方形MNPQ，边MN在x轴上，反比例函数y=kx的图象分别交正方形MNPQ的边PQ、PN于点E、F．
①求△MEF的面积；
②在x轴上是否存在一点G，使得△GEF是等腰三角形，若存在，直接写出点G的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)①74；②存在，(32,0)或(54,0)
【分析】（1）将点D的坐标代入反比例函数表达式求得k值，再验证点B即可；
（2）①S△MEF=S正方形MNPQ−S△QME−S△PEF−S△MNF，即可求解；
②分EF=EG、EF=GF、EG=GF三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）解：（1）∵点A1,1，点C3,3，四边形ABCD是正方形，
∴点D1,3，B3,1，
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：k=3，
∴反比例函数表达式为：y=3x，
当x=3时，得y=1，
∴反比例函数y=kx的图象也经过点B；
（2）解：2①平移后点M、N、P、Q的坐标分别为：1,0、3,0，3,2、1,2，
则平移后点F横坐标为3，则点F3,1，
同理点E32,2，
∴S△MEF=S正方形MNPQ−S△QME−S△PEF−S△MNF=2×2−12×2×12−12×2×1−12×32×1=74；

②点F、E的坐标分别为：3,1、32,2，
设点Gm,0，
则EF2=(3−32)2+(2−1)2=134，FG2=(m−3)2+1，GE2=(m−32)2+4，
当EF=EG时，即134=(m−3)2+1，
解得：m=92或32，
当m=92时，点E、F、G三点共线，故舍去，
∴m=32，
当EF=GE时，同理可得：方程无实数根，舍去，
当EG=GF时，同理可得：m=54，
故点G的坐标为：32,0或54,0，使得△GEF是等腰三角形．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到勾股定理的运用、等腰三角形的性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏．
【题型6 反比例函数与定值、最值】
【例6】（2023·山东济宁·校考二模）如图，直线y=2x+6与反比例函数y=kx(k>0)的图像交于点Am,8，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n(00的解集；
(3)直线y=n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
【答案】(1)y=8x
(2)x>1
(3)n=3,254
【分析】（1）先把点A的坐标代入一次函数解析式求出m的值即可得到点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k，即可确定反比例函数解析式；
（2）只需要找到当x>0时，一次函数图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围即可解答；
（3）先求出M8n，n，Nn−62，n，进而得到MN=8n−n−62，再根据三角形面积公式得到S△BMN=−14n−32+254，利用二次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：∵直线y=2x+6经过点A1，m，
∴m=2×1+6=8，
∴A1，8，
∵反比例函数经过点A1，8，
∴8=k1，
∴k=8，
∴反比例函数的解析式为y=8x．
（2）解：由函数图像可知，当x>1时一次函数y=2x+6的图像在反比例函数图像的上方，
∴当x>1时，2x+6>kx，即2x+6−kx>0
∴不等式2x+6−kx>0的解集为x>1．
（3）解：由题意，点M，N的坐标为M8n，n，Nn−62，n，
∵00，
∴0.0001x+3600x⩾2×0.0001x×3600 x=1.2，
∴当0.0001x=3600x时，即x=6000时，0.0001x+3600x有最小值为1.2，
∴y的最小值为6.2元，
答：当x为6000时，该设备每生产一个零件的运营成本最低，最低是6.2元；
（2）∵直线y=−43x−4与坐标轴分别交于点A、B，
∴点A(−3,0)，点B(0,−4)，
设点M(x,12 x)，
∴C(x,0)，点D(0,12 x)，
∴CA=x+3，DB=12 x+4，
∵四边形ABCD面积=12×AC×BD=12×(x+3)(12 x+4)=2(x+9x)+12，
∵x>0，
∴x+9x⩾2x×9x=6，
∴当x=9x时，即当x=3时，x+9x有最小值为6，
∴四边形ABCD面积的最小值为24，
故答案为：24．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了完全平方公式，一次函数的性质，反比例函数的性质等知识，解决本题的关键是理解并运用阅读材料内容．
【题型7 反比例函数的应用】
【例7】（2023春·江苏苏州·九年级统考期末）学校举行数学文化竞赛．图中的四个点分别描述了八（1）、八（2）、八（3）、八（4）四个班级竞赛成绩的优秀率y（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数x的情况，其中描述八（2）、八（4）两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则成绩优秀人数最多的是（ ）

A．八（1）班B．八（2）班C．八（3）班D．八（4）班
【答案】D
【分析】设反比例函数表达式为y=kx(k>0)，过八（1）点，八（3）点作y轴的平行线交反比例函数于A，B，设八（1）点为(x1，y1)，八（2）点为(x2，y2)，八（3）点为(x3，y3)，八（4）点为(x4，y4)，点A为(x1，y1')，点B为x3，y3')，然后比较x1y1，x2y2，x3y3，x4y4与k的大小即可得出答案．
【详解】解：设反比例函数的表达式为y=kx(k>0)，
过八（1）点，八（3）点作y轴的平行线交反比例函数于A，B，

设八（1）点为(x1，y1)，八（2）点(x2，y2)，八（3）点为(x3，y3)，八（4）点(x4，y4)，点A为(x1，y1')，点B为(x3，y3')，
由图象可知：y1>y1'，y3