初中数学北师大版（2024）九年级下册1 二次函数课堂检测

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级下册1 二次函数课堂检测，共77页。

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\l "_Tc32716" 【题型1 利用二次函数求最大利润】 PAGEREF _Tc32716 \h 1
\l "_Tc3106" 【题型2 利用二次函数求最优方案】 PAGEREF _Tc3106 \h 2
\l "_Tc23931" 【题型3 利用二次函数求最大面积】 PAGEREF _Tc23931 \h 4
\l "_Tc6865" 【题型4 利用二次函数求最小周长】 PAGEREF _Tc6865 \h 5
\l "_Tc20830" 【题型5 利用二次函数解决拱桥问题】 PAGEREF _Tc20830 \h 6
\l "_Tc6655" 【题型6 利用二次函数解决隧道问题】 PAGEREF _Tc6655 \h 8
\l "_Tc4978" 【题型7 利用二次函数解决图形运动问题】 PAGEREF _Tc4978 \h 10
\l "_Tc9347" 【题型8 利用二次函数解决运动员空中跳跃轨迹问题】 PAGEREF _Tc9347 \h 12
\l "_Tc21184" 【题型9 利用二次函数解决球类运行的轨迹问题】 PAGEREF _Tc21184 \h 15
\l "_Tc22187" 【题型10 利用二次函数解决喷头喷出的球的轨迹问题】 PAGEREF _Tc22187 \h 17
【题型1 利用二次函数求最大利润】
【例1】（2023春·广东茂名·九年级校考开学考试）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．
(1)当x>4时，若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
(2)当00，当70≤x≤80时该企业获得的最大利润为2450元，求a的值．
【题型2 利用二次函数求最优方案】
【例2】（2023春·湖南郴州·九年级统考期末）2022年秋天，某地发生旱情，为抗旱保丰收，当地政府制定农户投资购买抗旱设备的补贴方法：购买A型设备，政府补贴金额（y1：万元）与投资的金额（x：万元）的函数对应关系为：y1=kx(k≠0)，当x=5时y1=4；购买B型设备，政府补贴金额（y2：万元）与投资的金额（x：万元）的函数对应关系为y2=ax2+bx(a≠0)，当x=2时，y2=2.6，x=4时y2=3.2．
(1)分别求出y1,y2的函数表达式；
(2)有一农户投资10万元同时购买A型和B型两种设备，获得的政府补贴为y万元．请你设计一个能获得最大补贴的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴．
【变式2-1】（2023春·辽宁大连·九年级统考期末）某班计划购买A，B两种花苗，根据市场调查整理出表：
(1)求A，B两种花苗的单价；
(2)经过班级学生商讨，决定购买A，B两种花苗12盆（A，B两种花苗都必须有），同时得到了优惠方式：购买几盆A种花，A种花苗每盆就降价几元．请设计花费最少的购买方案．
【变式2-2】（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级期末）2011年长江中下游地区发生了特大旱情．为抗旱保丰收，某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系．
(1)分别求y1和y2的函数解析式；
(2)有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额．
【变式2-3】（2023春·江苏淮安·九年级统考期末）某公司经销甲、乙两种产品，经调研发现如下规律：
①销售甲产品所获利润y （万元）与销售x （万件）的关系为y=0.6x ；
②销售乙产品所获利润y （万元）与销售x （万件）的关系为y=ax2+bx；当x＝1时y＝1.3；当x＝2时，y＝2.4.
（1）求销售乙产品所获利润y（万元）与销售x（万件）的函数关系式；
（2）该公司计划购进甲、乙两种产品共20万件，要想使销售总利润最大，应如何安排经销方案？总利润最大为多少？
【题型3 利用二次函数求最大面积】
【例3】（2023春·广东广州·九年级广州市第八十九中学校考期中）如图，一块矩形区域ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为18米（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD的面积最大时AB的长．

【变式3-1】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，AG、AH为固定墙且∠GAH=135°，现利用固定墙和总长为40米的竹篱笆修建一个四边形ABCD的储料场，其中AD∥BC，∠C=90°．已知固定墙AG长为12米，BC边上的一扇门宽为2米．
(1)当CD长为18米时，求此时储料场的面积；
(2)怎样修建才能使储料场的面积最大．
【变式3-2】（2023春·湖北武汉·九年级校联考期中）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40 m，宽20 m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10 m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
(1)设育苗区的边长为x m，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____m2，花卉B的种植面积是______m2，花卉C的种植面积是_______m2．
(2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
(3)若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2 ，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．
【变式3-3】（2023春·陕西西安·九年级统考期中）问题探究：
（1）如图1，已知线段AB＝2，AC＝4，连接BC，则三角形ABC面积最大值是 ；
（2）如图2，矩形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，且AC＋BD＝16，求矩形ABCD面积最大值；
问题解决：
（3）如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于点O，且∠AOB＝120°．若AC＋BD＝10，则四边形ABCD的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【题型4 利用二次函数求最小周长】
【例4】（2023春·九年级课时练习）甲船从A处起以15nmile/h的速度向正北方向航行，这时乙船从A的正东方向20nmile的B处起以20nmile/h的速度向西航行，多长时间后，两船的距离最小？最小距离是多少？
【变式4-1】（2023春·河北石家庄·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，以直线x=1为对称轴的抛物线y=−x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标是3,0．
(1)点A的坐标为______；
(2)求抛物线的解析式；
(3)如图2，设抛物线的顶点为D，若将抛物线向下平移，使平移后的抛物线经过原点O，且与x轴的另一个交点为E，若在y轴上存在一点F，连接DE，DF，EF，使得△DEF的周长最小，求F点的坐标．
【变式4-2】（2023春·江西赣州·九年级校考期中）学以致用：问题1：怎样用长为12cm的铁丝围成一个面积最大的矩形？
小学时我们就知道结论：围成正方形时面积最大，即围成边长为3cm的正方形时面积最大为9cm2．请用你所学的二次函数的知识解释原因．
思考验证：问题2：怎样用铁丝围一个面积为9m2且周长最小的矩形？
小明猜测：围成正方形时周长最小．
为了说明其中的道理，小明翻阅书籍，找到下面的材料：
结论：在a+b⩾2ab(a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b⩾2p，当且仅当a=b时，a+b有最小值2p．
a+b⩾2ab (a,b均为正实数）的证明过程：
对于任意正实数a、b，∵ (a−b)2⩾0,∴ a−2ab+b⩾0,
∴ a+b⩾2ab，当且仅当a=b时，等号成立．
解决问题：
（1）若x>0，则x+4x⩾ （当且仅当x= 时取“=” )；
（2）运用上述结论证明小明对问题2的猜测；
（3）当x>−1时，求y=x2+3x+1的最小值．
【变式4-3】（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）如图，二次函数y=x2﹣4x的图象与x轴、直线y=x的一个交点分别为点A、B，CD是线段OB上的一动线段，且CD=2，过点C、D的两直线都平行于y轴，与抛物线相交于点F、E，连接EF．
（1）点A的坐标为 ，线段OB的长= ；
（2）设点C的横坐标为m．
①当四边形CDEF是平行四边形时，求m的值；
②连接AC、AD，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值．
【题型5 利用二次函数解决拱桥问题】
【例5】（2023春·吉林长春·九年级统考期末）某抛物线形拱桥的截面图如图所示．某数学小组对这座拱桥很感兴趣，他们利用测量工具测出水面的宽AB为8米．AB上的点E到点A的距离AE=1米，点E到拱桥顶面的垂直距离EF=74米．他们以点A为坐标原点，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
(1)求该抛物线所对应的函数表达式．
(2)求拱桥顶面离水面AB的最大高度．
(3)现有一游船（截面为矩形）宽度为4米，船顶到水面的高度为2米．要求游船从拱桥下面正中间通过时，船顶到拱桥顶面的距离应大于0.5米．请通过计算说明该游船是否能安全通过．
【变式5-1】（2023春·河南商丘·九年级统考期中）如图，是一个抛物线形拱桥的截面图，在正常水位时，水位线AB与拱桥最高点的距离为9m，水面宽AB=30m．
(1)请你建立合适的平面直角坐标系xOy，并根据建立的平面直角坐标系求出该抛物线的解析式．
(2)已知一艘船（可近似看成长方体）在此航行时露出水面的高度为4m，若这艘船的宽度为18m，当水位线比正常水位线高出1m时，这艘船能否从该抛物线形拱桥下方顺利通过，请说明理由．
【变式5-2】（2023春·山东青岛·九年级统考期末）如图1，是一座抛物线型拱桥侧面示意图，水面宽AB与桥长CD均为12m，在距离D点3m的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．如图2，桥面上方有3根高度均为5m的支柱CG、OH、DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为2m，下面结论正确的是 (填写正确结论序号)．
①图1抛物线型拱桥的函数表达式y=−16x2．
②图2右边钢缆抛物线的函数表达式y=13(x−3)2+2．
③图2左边钢缆抛物线的函数表达式y=13(x+3)2+2．
④图2在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，彩带长度的最小值是3m．
【变式5-3】（2023春·安徽阜阳·九年级统考期末）某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系（以AB中点为原点，抛物线对称轴所在直线为y轴）中，拱桥高度OC=5m，跨度AB=20m．
(1)求抛物线的解析式．
(2)拱桥下，有一加固桥身的“脚手架”矩形EFGH（H，G分别在抛物线的左右侧上），已知搭建“脚手架”EFGH的三边所用钢材长度为18.4m（EF在地面上，无需使用钢材），求“脚手架”打桩点E与拱桥端点A的距离．
(3)已知公园要进行改造，在原位置上将拱桥ACB改造为圆弧AC'B，跨度AB不变，且（2）中“脚手架”矩形EFGH仍然适用（E，F打桩位置不变，H，G依然在拱桥上），求改造后拱桥的高度OC'（结果精确到0.1m，参考数据：170.56≈13.06）．
【题型6 利用二次函数解决隧道问题】
【例6】（2023·北京海淀·九年级期末）如图1是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和BC与路面AB垂直，隧道内侧宽AB=8米，为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离AE，点E到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF=y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
(1)根据上述数据，直接写出隧道顶面到路面AB的最大距离为___________米，并求出满足的函数关系式y=ax−ℎ2+ka0，求解可知15≤x