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初中数学北师大版（2024）九年级下册1 圆习题
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这是一份初中数学北师大版（2024）九年级下册1 圆习题，共48页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc23975" 【题型1 圆心角、弧、弦的概念辨析】 PAGEREF _Tc23975 \h 1
\l "_Tc31815" 【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】 PAGEREF _Tc31815 \h 2
\l "_Tc10364" 【题型3 用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】 PAGEREF _Tc10364 \h 4
\l "_Tc32201" 【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】 PAGEREF _Tc32201 \h 5
\l "_Tc22928" 【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】 PAGEREF _Tc22928 \h 6
\l "_Tc14052" 【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】 PAGEREF _Tc14052 \h 7
\l "_Tc478" 【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】 PAGEREF _Tc478 \h 8
\l "_Tc6462" 【题型8 利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】 PAGEREF _Tc6462 \h 9
\l "_Tc18089" 【题型9 利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】 PAGEREF _Tc18089 \h 10
\l "_Tc3701" 【题型10 利用圆心角、弧、弦的关系求最值】 PAGEREF _Tc3701 \h 11
【知识点 弧、弦、角、距的概念】
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
【题型1 圆心角、弧、弦的概念辨析】
【例1】（2023秋·九年级课时练习）如图所示，在⊙O中，AB=CD，则在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．弦相等，圆心到弦的距离相等D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
【变式1-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：
（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．
（2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．
（3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．
（4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．
【变式1-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，点A是CB中点，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°
C．BC=2AC D．∠BAC+12∠AOC=180°
【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】
【例2】（2023秋·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，则∠BCO的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．55°
【变式2-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，A、B、C、D是⊙O上的点，如果AB=CD，∠AOB=70°，那么∠COD= ．
【变式2-2】（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图半径OA，OB，OC将一个圆分成三个大小相同扇形，其中OD是∠AOB的角平分线，∠AOE=13∠AOC，则∠DOE等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【变式2-3】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧DF的中点，若∠EOD=32°，则∠CDA的度数是（ ）
A．37°B．74°C．53°D．63°
【题型3 用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】
【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是BE的中点，点B是CD的中点，若AB=10，BG=2，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【变式3-1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）将半径为5的⊙O如图折叠，折痕AB长为8，C为折叠后AB的中点，则OC长为（ ）
A．2B．3C．1D．2
【变式3-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点C是直径AB的三等分点AC【变式3-3】（2023·江苏苏州·统考二模）如图，在直径为10的⊙O中，两条弦AB，CD分别位于圆心的异侧，AB∥CD，且CD=2AC，若AB=8，则CD的长为 ．
【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】
【例4】（2023秋·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4 cm，则⊙O的周长为 ．
【变式4-1】（2023秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，⊙O的一条弦分圆周长为1：4两部分．试求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数(画出图形并给出解答)．
【变式4-2】（2023秋•西林县期末）如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周长为 9cm ．
【变式4-3】（2023•江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝36，则⊙O的周长为 63π ．
【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】
【例5】（2023秋·九年级单元测试）如图，已知圆内接四边形ABCD中，对角线AD是⊙O的直径，AB=BC=CD=2，E是AD的中点，则△ADE的面积是 ．
【变式5-1】（2023•嘉兴二模）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．S甲表示甲的面积，则S甲＝ 25π2 ．
【变式5-2】（2023秋·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考期中）如图，在O中，AC=CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC的面积．
【变式5-3】（2023•浙江自主招生）如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（ ）
A．2B．3C．3+224D．3+34
【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】
【例6】（2023•浙江九年级课时练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
【变式6-1】（2023秋·九年级课时练习）如图，AB是半圆，O为AB中点，C、D两点在AB上，且AD∥OC，连接BC、BD．若CD＝62°，则AD的度数为何？（ ）
A．56B．58C．60D．62
【变式6-2】（2023秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，求DE⏜的度数．
【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）如图，已知AB为⊙O 的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，且AB=2DE．
(1)若∠E=25°，求∠AOC的度数；
(2)若AC的度数是BD的度数的m倍，则m＝ ．
【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】
【例7】（2023·河北·统考中考真题）如图，点P1~P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是( )
A．abD．a，b大小无法比较
【变式7-1】（2023秋·九年级课时练习）如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB=∠DPB,弧DB=弧BC,试比较线段PC、PD的大小关系.
【变式7-2】（2023春·九年级课时练习）在同圆中，若弧AB和弧CD都是劣弧，且弧AB=2弧CD，那么AB和CD的大小关系是（ ）
A．AB=2CDB．AB>2CDC．AB<2CDD．无法比较它们的大小
【变式7-3】（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d(x)．下列描述正确的是（ ）
A．当x1>x2时，dx1>dx2B．当dx1>dx2时，x1>x2
C．当x1+x2=1时，dx1=dx2D．当x1=2x2时，dx1=2dx2
【题型8 利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】
【例8】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC，D为BAC的中点，DE⊥AB于E，求证：BD2−AD2=AB•AC．
【变式8-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB=CD．求证：CE=BE．
【变式8-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O上依次取点B，A，C使BA=AC，连接AC，AB，BC，取AB的中点D，连接CD，在弦BC右侧取点E，使2CE=AC，且CE∥AB，连接BE．
(1)求证：△DBC≅△ECB．
(2)若AC=8，∠ABC=30°，求BE的长．
【变式8-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C、D是⊙O上的点，AD为直径，AB∥OC．
(1)求证：点C平分BD．
(2)利用无刻度的直尺和圆规做出AB的中点P（保留作图痕迹）．
【题型9 利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】
【例9】（2023·江苏南京·统考一模）如图，已知AB为半圆的直径．求作矩形MNPQ，使得点M，N在AB上，点P，Q在半圆上，且MN=2MQ．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【变式9-1】（2023春·九年级课时练习）如图，在⊙O中，AB＝2AC，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
【变式9-2】（2023•铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，则BC与AC的关系是（ ）
A．BC=12ACB．BC=13ACC．BC=ACD．不能确定
【变式9-3】（2023•长安区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC=3BC，则弦AC与弦BC的关系是（ ）
A．AC＝3BCB．AC=3BCC．AC＝（2+1）BCD．3AC＝BC
【题型10 利用圆心角、弧、弦的关系求最值】
【例10】（2023秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，AB是⊙O的直径，点M，N在⊙O上，且点N是弧BM的中点，P是直径AB上的一个动点，连接PM，PN，已知AB=10，弧BM的度数为40°，则PM+PN的最小值为（ ）
A．10B．53C．52D．5
【变式10-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，OC⊥AB,BD=2CD，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为 ．
【变式10-2】（2023·山东枣庄·九年级学业考试）如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP，NP，则MP+NP的最小值是
专题3.3 弧、弦、圆心角【十大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc23975" 【题型1 圆心角、弧、弦的概念辨析】 PAGEREF _Tc23975 \h 1
\l "_Tc31815" 【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】 PAGEREF _Tc31815 \h 4
\l "_Tc10364" 【题型3 用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】 PAGEREF _Tc10364 \h 7
\l "_Tc32201" 【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】 PAGEREF _Tc32201 \h 12
\l "_Tc22928" 【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】 PAGEREF _Tc22928 \h 15
\l "_Tc14052" 【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】 PAGEREF _Tc14052 \h 19
\l "_Tc478" 【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】 PAGEREF _Tc478 \h 23
\l "_Tc6462" 【题型8 利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】 PAGEREF _Tc6462 \h 26
\l "_Tc18089" 【题型9 利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】 PAGEREF _Tc18089 \h 30
\l "_Tc3701" 【题型10 利用圆心角、弧、弦的关系求最值】 PAGEREF _Tc3701 \h 34
【知识点 弧、弦、角、距的概念】
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
【题型1 圆心角、弧、弦的概念辨析】
【例1】（2023秋·九年级课时练习）如图所示，在⊙O中，AB=CD，则在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【详解】解：∵在⊙O中，AB=CD，
∴AB=CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴ AC=BD，故④正确；
∴AC=BD，故②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确；
综上分析可知，正确的有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【变式1-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．弦相等，圆心到弦的距离相等D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
【答案】B
【分析】圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系的前提“在同圆和等圆中”，据此逐项判定即可．
【详解】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此选项不符合题意；
B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等，故此选项符合题意；
C、在同圆和等圆中，弦相等，圆心到弦的距离相等，故此选项不符合题意；
D、在同圆和等圆中，圆心到弦的距离相等，则弦相等，故此选项不符合题意；
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系，解题关键是熟练掌握在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对弧、圆心角所对弦、圆心到弦的距离中有一组量相等，则其余各组量也相等．
【变式1-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：
（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．
（2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．
（3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．
（4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．
【答案】 真命题 假命题 真命题 假命题
【分析】根据圆的相关性质分别判断各命题的真假．
【详解】解：对于（1），在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等，原命题为真命题；
对于（2），在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧不一定相等，因为一条弦对应两条弧，原命题为假命题；
对于（3），在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等，原命题为真命题；
对于（4），在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦有可能相等，如圆心角分别为30°和330°所对的两条弧，其所对的弦相等，原命题为假命题．
故答案为：真命题，假命题，真命题，假命题．
【点睛】本题考查了同圆或等圆中圆心角，弧长，弦长的关系，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
【变式1-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，点A是CB中点，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°
C．BC=2AC D．∠BAC+12∠AOC=180°
【答案】B
【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答．
【详解】解：A、∵点A是CB中点，
∴AB=AC，
∴AB=AC，
无法得出AB=OC，故选项A错误；
B、如图：连接BO，
∵AB=AC，
∴∠BOA=∠AOC，
∵BO=AO=CO，
∴∠OAC=∠BAO=∠ACO，
∴∠OAC+∠ACO+∠AOC=∠BAC+∠AOC=180°，故此选项正确；
C、∵AB=AC，AB+AC>BC，
∴BC≠2AC，故选项C错误；
D、无法得出∠BAC+12∠AOC=180°，故选项D错误．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键．
【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】
【例2】（2023秋·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，则∠BCO的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．55°
【答案】B
【分析】首先由AC=AD，∠AOD=70°可得∠AOC=∠AOD=70°，再由OB=OC可得出∠OBC=∠OCB=12∠AOC=35°．
【详解】解：∵在⊙O中，AC=AD，∠AOD=70°
∴∠AOC=∠AOD=70°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=12∠AOC=35°，
【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
【变式2-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，A、B、C、D是⊙O上的点，如果AB=CD，∠AOB=70°，那么∠COD= ．
【答案】70°
【分析】根据圆心角、弧、弦三者的关系可解答．
【详解】解：∵AB=CD，
∴∠COD=∠AOB=70°，
故答案为：70°．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
【变式2-2】（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图半径OA，OB，OC将一个圆分成三个大小相同扇形，其中OD是∠AOB的角平分线，∠AOE=13∠AOC，则∠DOE等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【答案】D
【分析】先根据已知易得AB=BC=AC，从而可得∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，然后根据已知可求出∠AOD=60°，∠AOE=40°，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【详解】解：∵半径OA，OB，OC将一个圆分成三个大小相同扇形，
∴AB=BC=AC，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，
∵OD是∠AOB的角平分线，
∴∠AOD=12∠AOB=60°，
∵∠AOE=13∠AOC，
∴∠AOE=13×120°=40°，
∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=100°，
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧DF的中点，若∠EOD=32°，则∠CDA的度数是（ ）
A．37°B．74°C．53°D．63°
【答案】A
【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得∠DOA=74°，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．
【详解】解：如下图，连接OA，
∵A是劣弧DF的中点，即DA=FA，
∴∠DOA=∠FOA，
∵∠EOD=32°，
∴∠DOA=∠FOA=12(180°−∠EOD)=74°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD=12(180°−∠DOA)=53°，
即∠CDA=53°．
【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
【题型3 用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】
【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是BE的中点，点B是CD的中点，若AB=10，BG=2，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】先根据垂径定理的推论得到AB⊥CD，CD=2CG，再利用勾股定理求出CG=4，进而得到CD=2CG=8，再证明BE=CD，则BE=CD=8．
【详解】解：如图所示，连接OC，
∵点B是CD的中点，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥CD，BC=BD，
∴CD=2CG，
∵AB=10，
∴OC=OB=12AB=5，
∵BG=2，
∴OG=3，
在Rt△COG中，由勾股定理得CG=OC2−OG2=4，
∴CD=2CG=8，
∵点C是BE的中点，
∴BC=EC，
∴BC=EC=BD，
∴BE=CD，
∴BE=CD=8，
故选D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式3-1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）将半径为5的⊙O如图折叠，折痕AB长为8，C为折叠后AB的中点，则OC长为（ ）
A．2B．3C．1D．2
【答案】A
【分析】延长OC交⊙O于点D，交AB于点E，连接OA、OB、AC、BC，根据圆心角、弧、弦、的关系由AC=BC得到AC=BC，可以判断OC是AB的垂直平分线，则AE=BE=4，再利用勾股定理求出OE=3，所以DE=2，然后利用点C和点D关于AB对称得出CE=2，最后计算OE−CE即可得出答案．
【详解】解：延长OC交⊙O于点D，交AB于点E，连接OA、OB、AC、BC，如图，
∵C为折叠后AB的中点，
∴AC=BC，
∴AC=BC，
∵OA=OB，
∴OC是AB的垂直平分线，
∴AE=BE=12AB=4，
在Rt△AOE中，OE=OA2−AE2=52−42=3,
∴DE=OD−OE=5−3=2，
∵ADB沿AB折叠得到ACB，CD⊥AB，
∴点C和点D关于AB对称，
∴CE=DE=2，
∴OC=OE−CE=3−2=1，
故选C
【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．
【变式3-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点C是直径AB的三等分点AC【答案】213
【分析】过D作DE⊥AB于E，求出∠DOB=60°，解直角三角形求出DE、OE的长度，求出CE，再根据勾股定理求出DC即可．
【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
则∠DEC=90°，
∵点C是直径AB的三等分点AC∴AC=4，BC=8，OD=OA=OB=6，
∴CO=2，
∵点D是弧ADB的三等分点BD∴∠DOB=13×180°=60°，
∴∠ODE=30°，
∴OE=12OD=3，
DE=OD2−OE2=62−32=33，
∴CE=OE+CO=3+2=5，
∴DC=DE2+CE2=332+52=213，
故答案为：213．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和直角三角形的性质，能求出∠DOB=60°和半径的长度是解此题的关键．
【变式3-3】（2023·江苏苏州·统考二模）如图，在直径为10的⊙O中，两条弦AB，CD分别位于圆心的异侧，AB∥CD，且CD=2AC，若AB=8，则CD的长为 ．
【答案】45
【分析】过O作OE⊥AB于E，交⊙O于M，反向延长OE交CD于点F，交⊙O于点N，则AE=12AB=4，连接AN,AO,AM，则MN为⊙O的直径．根据平行线的性质得到MN⊥CD推出AN=CD．根据勾股定理即可计算答案．
【详解】解：过O作OE⊥AB于E，交⊙O于M，反向延长OE交CD于点F，交⊙O于点N，如图所示：
则AE=12AB=4，
连接AN,AO,AM，则MN为⊙O的直径，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴CN=12CD，
∵CD=2AC，
∴CN=AC
∴CD=AN
∴AN=CD，
在Rt△AOE中，
OE=OA2−AE2=52−42=3，
∴ME=5−3=2，
在Rt△AEN中，
AN=AE2+EN2=42+(3+5)2=45，
∴CD=AN=45，
故答案为45．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理．正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】
【例4】（2023秋·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4 cm，则⊙O的周长为 ．
【答案】8πcm
【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为DA=4cm；然后由圆的周长公式进行计算．
【详解】解：如图，连接OD、OC．
∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，
∴AD=CD=BC，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．
又OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=4cm，
∴⊙O的周长=2×4π=8π（cm）．
故答案为：8πcm．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定．该题利用“有一内角是60度的等腰三角形为等边三角形”证得△AOD是等边三角形．
【变式4-1】（2023秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，⊙O的一条弦分圆周长为1：4两部分．试求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数(画出图形并给出解答)．
【答案】圆周角∠ACB＝36°或∠ADB＝144°.
【分析】求弦所对的圆周角，要分情况考虑：当圆周角在优弧上或在劣弧上．根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
【详解】如图，
∵弦AB分圆周长为1：4
∴弧AB＝15×360°＝72°
∴圆心角∠AOB＝72°，﹣
圆周角∠ACB＝36°或∠ADB＝144°
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦以及圆周角定理，要特别注意弦所对的圆周角应分两种情况．
【变式4-2】（2023秋•西林县期末）如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周长为 9cm ．
【分析】由OA＝OB，得△OAB为等边三角形进行解答．
【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA＝OB＝AB
∵AB＝3cm，
∴△AOB的周长为3+3+3＝9（cm）．
故答案为：9cm．
【变式4-3】（2023•江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝36，则⊙O的周长为 63π ．
【分析】接AB，AO，DO，根据⊙O的弦AC＝BD求出BC=AD，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠ABD，求出∠ABD＝∠BAC=12（180°﹣∠AEB）＝45°，根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ABD＝90°，解直角三角形求出AO，再求出答案即可．
【解答】解：连接AB，AO，DO，
∵⊙O的弦AC＝BD，
∴ABC=BAD，
∴BC=AD，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABD＝∠BAC=12（180°﹣∠AEB）＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，
即△AOD是等腰直角三角形，
∵AD＝36，AO2+OD2＝AD2，
∴AO＝33，
∴⊙O的周长是2×π×33=63π，
故答案为63π．
【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】
【例5】（2023秋·九年级单元测试）如图，已知圆内接四边形ABCD中，对角线AD是⊙O的直径，AB=BC=CD=2，E是AD的中点，则△ADE的面积是 ．
【答案】4
【分析】四边形ABCD是梯形，连接OB，则OBCD是菱形，即可求得AD的长，而△AED是等腰直角三角形，就可求得△ADE的面积．
【详解】解：连接EO，
∵AB=BC=CD=2，
∴∠AOB=180÷3=60°，
∴△AOB是等边三角形，
那么OA=AB=2，那么AD=2OA=4．
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∴EO⊥AD，
∵EO=2，
∴△ADE的面积=12×4×2=4．
故答案为4
【点睛】本题用到的知识点为：弦相等，那么所对的圆心角也相等．
【变式5-1】（2023•嘉兴二模）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．S甲表示甲的面积，则S甲＝ 25π2 ．
【分析】由题意得到AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，求得S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，根据三角形的面积公式得到S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，于是得到结论．
【解答】解：如图，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
∴S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，
∵S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，
∴S甲＝S乙=12S圆=25π2，
故答案为：25π2．
【变式5-2】（2023秋·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考期中）如图，在O中，AC=CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）3
【分析】（1）连接OC，由AC=BC，可得∠AOC=∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，由角平分线定理可得CD=CE；
（2）由∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC，可得∠AOC=60°，又∠CDO=90°，得∠OCD=30°，可得OD=12OC=1，由勾股定理可得CD=3，可得S△CDO=12OD⋅CD=32；同理可得S△CBO=32，进而求出S四边形CDOE=S△CDO+S△CEO=3．
【详解】（1）证明：连接OC．
∵AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC．
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD=CE．
（2）解：∵∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC=60°．
∵∠CDO=90°，
∴∠OCD=30°，
∵OC=OA=2，
∴OD=12OC=1．
∴CD=OC2−OD2=3，
∴S△CDO=12OD⋅CD=32，
同理可得S△CBO=32，
∴S四边形CDOE=S△CDO+S△CEO=3．
【点睛】本题主要考查了圆心角与弧的关系，角平分线的性质，勾股定理以及面积计算，熟练掌握圆中的相关定理是解题的关键．
【变式5-3】（2023•浙江自主招生）如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（ ）
A．2B．3C．3+224D．3+34
【分析】连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，由AB＝OA＝OB＝1，得到∠AOB＝60°，弧AB的度数＝60°，而AB＝BC＝CD，得弧ABD的度数＝3×60°＝180°，所以AD为⊙O的直径，∠CFA＝60°；再由AN＝AF＝OE，则AD平分NF，EF过O点，弧FD＝弧FA，得到△FAD为等腰直角三角形，可得FA=22AD=2，在Rt△AGF中，GF=12AF=22，AG=3GF=62，在Rt△AGC中，CG＝AG=62，最后利用三角形的面积公式即可求出△ACF面积．
【解答】解：连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，连OE交⊙O于N，连AN，如图，
∵AB＝OA＝OB＝1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴弧AB的度数＝60°，
又∵AB＝BC＝CD，
∴弧AB＝弧BC＝弧CD，
∴弧ABD的度数＝3×60°＝180°，
∴AD为⊙O的直径，∠CFA＝60°，
∵AN＝AF＝OE=2，∴AD平分NF，∴EF过O点，
∴弧FD＝弧FA，
∴△FAD为等腰直角三角形，
∴∠FCA＝∠FDA＝45°，FA=22AD=2，
在Rt△AGF中，GF=12AF=22，AG=3GF=62，
在Rt△AGC中，CG＝AG=62，
∴S△ACF=12CF•AG=12×（22+62）×62=3+34．
故选：D．
【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】
【例6】（2023•浙江九年级课时练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
【分析】直接利用翻折变换的性质得出∠BOD＝30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．
【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，
由题意可得：EO=12BO，AB∥DC，
可得∠EBO＝30°，
故∠BOD＝30°，
则∠BOC＝150°，
故BC的度数是150°．
【变式6-1】（2023秋·九年级课时练习）如图，AB是半圆，O为AB中点，C、D两点在AB上，且AD∥OC，连接BC、BD．若CD＝62°，则AD的度数为何？（ ）
A．56B．58C．60D．62
【答案】D
【分析】以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，利用AD∥OC，证得∠1＝∠2，得到AM＝DC＝62°，根据弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°计算得出结果．
【详解】解：以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，
∵AD∥OC，
∴∠1＝∠2，
∴AM＝DC＝62°，
∴AD的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°，
【点睛】此题考查两直线平行内错角相等，圆周角定理，正确作出图形利用半圆的度数求解是解题的关键．
【变式6-2】（2023秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，求DE⏜的度数．
【答案】50°
【分析】连接CD，先根据三角形内角和计算出∠B=70°，再根据等腰三角形的性质由CB=CD得到∴∠B=∠BDC=70°，然后再利用三角形内角和计算出∠BCD=40°，再根据直角的性质求出∠DCE=50°，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解．
【详解】解：如下图，连接CD，
∵∠C=90°，∠A=20°，
∴∠B=90°−20°=70°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠BDC=70°，
∴∠BCD=180°−70°−70°=40°，
∴∠DCE=90°−40°=50°，
∴DE的度数为50°．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是掌握：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）如图，已知AB为⊙O 的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，且AB=2DE．
(1)若∠E=25°，求∠AOC的度数；
(2)若AC的度数是BD的度数的m倍，则m＝ ．
【答案】(1)75°
(2)3
【分析】（1）根据AB=2OD得到OD=DE，根据等腰三角形底角相等得∠ODB=∠DEB=25°，再根据三角形的外角定理得到∠ODC，从而得到∠OCD=50°，再通过三角形外角定理即可得到∠AOC的度数．
（2）根据圆弧度数比等于对应的圆心角之比即可得到答案．
【详解】（1）解：如下图所示，连接OD，
由题意得AB=2OD，
∵AB=2DE，
∴OD=DE，
∴∠ODB=∠DEB=25°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠ODC=∠ODE+∠DEO=50°,
∴∠OCD=50°，
∵∠AOC=∠OCE+∠CEO=50°+25°=75°,
∴∠AOC=75°；
（2）解：∵AC对应的圆心角∠AOC=75°，BD对应的圆心角∠BOD=25°，
∴m=∠AOC∠BOD=75°25°=3．
【点睛】本题考查圆的性质和三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识和三角形外角定理．
【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】
【例7】（2023·河北·统考中考真题）如图，点P1~P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是( )
A．abD．a，b大小无法比较
【答案】D
【分析】连接P1P2,P2P3，依题意得P1P2=P2P3=P3P4=P6P7，P4P6=P1P7，△P1P3P7的周长为a=P1P3+P1P7+P3P7，四边形P3P4P6P7的周长为b=P3P4+P4P6+P6P7+P3P7，故b−a=P1P2+P2P3−P1P3，根据△P1P2P3的三边关系即可得解．
【详解】连接P1P2,P2P3，
∵点P1~P8是⊙O的八等分点，即P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=P5P6=P6P7=P7P8=P8P1
∴P1P2=P2P3=P3P4=P6P7，P4P6=P4P5+P5P6=P7P8+P8P1=P1P7
∴P4P6=P1P7
又∵△P1P3P7的周长为a=P1P3+P1P7+P3P7，
四边形P3P4P6P7的周长为b=P3P4+P4P6+P6P7+P3P7，
∴b−a=P3P4+P4P6+P6P7+P3P7−P1P3+P1P7+P3P7 =P1P2+P1P7+P2P3+P3P7−P1P3+P1P7+P3P7
=P1P2+P2P3−P1P3
在△P1P2P3中有P1P2+P2P3>P1P3
∴b−a=P1P2+P2P3−P1P3>0
故选A．
【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．
【变式7-1】（2023秋·九年级课时练习）如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB=∠DPB,弧DB=弧BC,试比较线段PC、PD的大小关系.
【答案】见解析
【分析】连接OC、OD，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等得∠BOC=∠BOD，即可根据SAS证得△OPC≌△OPD，则PC=PD可以证得．
【详解】PC=PD.
连接OC、OD,
则∵BC=BD,
∴∠BOC=∠BOD,
又OP=OP,OC=OD,
∴△OPC≌△OPD,
∴PC=PD.
【点睛】考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质，证明∠BOC=∠BOD是解题的关键.
【变式7-2】（2023春·九年级课时练习）在同圆中，若弧AB和弧CD都是劣弧，且弧AB=2弧CD，那么AB和CD的大小关系是（ ）
A．AB=2CDB．AB>2CDC．AB<2CDD．无法比较它们的大小
【答案】A
【分析】作AB的中点E，连接AE、BE，则AE=BE，根据题意，得出AE=BE=CD，再根据在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，得出AE=BE=CD，再根据三角形的三边关系，得出AE+BE>AB，再根据等量代换，即可得出结果．
【详解】解：如图，作AB的中点E，连接AE、BE，则AE=BE，
∵AB=2CD，
∴AE=BE=CD，
∴AE=BE=CD，
在△ABE中，
∵AE+BE>AB，
∴AB<2CD，故选项C正确．
故选：C
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、三角形的三边关系及应用，解本题的关键在充分利用数形结合思想．
【变式7-3】（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d(x)．下列描述正确的是（ ）
A．当x1>x2时，dx1>dx2B．当dx1>dx2时，x1>x2
C．当x1+x2=1时，dx1=dx2D．当x1=2x2时，dx1=2dx2
【答案】A
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解．
【详解】解：A、当x1>x2时，dx1可能大于dx2，故本选项不符合题意；
B、当dx1>dx2时，x1可能大于x2，故本选项不符合题意；
C、当x1+x2=1时，dx1=dx2，故本选项符合题意；
D、当x1=2x2时，dx1不一定等于2dx2，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．
【题型8 利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】
【例8】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC，D为BAC的中点，DE⊥AB于E，求证：BD2−AD2=AB•AC．
【答案】见解析
【分析】在BA上截取BF=CA，连接DF，DC，由D为BAC的中点，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到DB=DC，易得△DBF≌△DCA，得到AE=EF，于是有BF=BE−EF=BE−AE=CA，因此BD2−AD2=BE2−AE2=(BE+AE)(BE−AE)=AB·AC．
【详解】证明：在BA上截取BF=CA，连接DF，DC，如图，
∵D为BAC的中点，
∴DB=DC，∠DBF=∠ACD，
在△DBF,△DCA中，
DB=DC∠DBF=∠DCABF=CA，
∴△DBF≌△DCA(SAS)，
∴DF=DA，
∵DE⊥AB，
∴AE=EF，
∴BF=BE−EF=BE−AE=CA，
在Rt△BDE,Rt△ADE中，BD2=BE2+DE2，AD2=AE2+DE2，
∴BD2−AD2=BE2−AE2=(BE+AE)(BE−AE)=AB·AC，即BD2−AD2=AB•AC．
【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理．
【变式8-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB=CD．求证：CE=BE．
【答案】见解析
【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．
【详解】证明：∵AB=CD，
∴AB=CD，
∴AB−BC=CD−BC，
即AC=BD，
∴∠B=∠C，
∴BE=CE；
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明．
【变式8-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O上依次取点B，A，C使BA=AC，连接AC，AB，BC，取AB的中点D，连接CD，在弦BC右侧取点E，使2CE=AC，且CE∥AB，连接BE．
(1)求证：△DBC≅△ECB．
(2)若AC=8，∠ABC=30°，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)47
【分析】（1）根据SAS即可证明△DBC≅△ECB；
（2）作DH⊥AC于点H，求出DC=47，再根据△DBC≅△ECB得DE=CD,从而可得结论．
【详解】（1）∵BA=AC，
∴BA=CA，
∵2CE=AC，
∴BA=2CE，
∵D为AB的中点，
∴BA=2BD，
∴BD=CE，
∵CE∥AB，
∴∠DBC=∠ECB，
∵BC=BC，
∴△DBC≅△ECB
（2）作DH⊥AC于点H，
∵BA=CA，
∴∠ACB=∠ABC=30°，∠DAH=∠ACB+∠ABC=60°.
∵BA=CA=8，
∴DA=4，HA=2，HC=HA+AC=10，HD=23，
在Rt△DHC中，DC=DH2+HC2=232+102=47
∵△DBC≅△ECB，
∴BE=CD=47．
【点睛】本题主要考查了圆的有关概念，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
【变式8-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C、D是⊙O上的点，AD为直径，AB∥OC．
(1)求证：点C平分BD．
(2)利用无刻度的直尺和圆规做出AB的中点P（保留作图痕迹）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接OB，因为AB∥OC，得到∠DOC=∠OAB，∠COB=∠OBA，又因为半径相等，则∠OAB=∠OBA，即可证明点C平分BD；
（2）分别以A、B为圆心，大于12AB为半径，画弧交于一点，连接该点与圆心交AB于一点即为AB的中点P．
【详解】（1）证明：如图，连接OB，
∵OC∥AB，
∴∠DOC=∠OAB，∠COB=∠OBA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠DOC=∠COB，
∴点C平分BD；
（2）解：如图所示：点P为所求：
【点睛】本题主要考查圆的基本性质以及基本作图等知识内容，正确掌握基本作图的方法是解题的关键．
【题型9 利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】
【例9】（2023·江苏南京·统考一模）如图，已知AB为半圆的直径．求作矩形MNPQ，使得点M，N在AB上，点P，Q在半圆上，且MN=2MQ．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【答案】见解析
【分析】根据题意，先找到圆心O，过点O作OC⊥AB交⊙O于点C，然后在OC的两侧分别作正方形，则MN=2MQ，矩形MNPQ即为所求．
【详解】解：如图所示，
①过点O作OC⊥AB交⊙O于点C，
②作∠AOC,∠BOC的角平分线，交⊙O于点Q,P，
③作QM,PN垂直于AB，垂足分别为M,N，
则矩形MNPQ即为所求．
理由如下，∵OQ是∠AOC的角平分线，OD⊥AB，
∴∠AOQ=∠QOD=45°，
又MQ⊥AO
则△QMO是等腰直角三角形，四边形QMOD是矩形，
∴QM=MO，则四边形QMOD是正方形，同理可得DONP是正方形，
又MO=OD=ON
∴MN=2MQ．
【点睛】本题考查了作垂线，作角平分线，正方形的性质，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题的关键．
【变式9-1】（2023春·九年级课时练习）如图，在⊙O中，AB＝2AC，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
【答案】=
【分析】过点O作OF⊥AB于点E，交⊙O于点F，根据
【详解】解：如图，过点O作OF⊥AB于点E，交⊙O于点F，
∴AF=BF，AE=12AB
∵ AB=2AC
∴∠AOF=∠AOC
∵AD⊥OC，AE⊥OE
∴AD=AE=12AB
即AB=2AD
故答案为：=
【点睛】本题考查了垂径定理，角平分线的判定定理，等弧所对的圆心角相等，掌握垂径定理是解题的关键．
【变式9-2】（2023•铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，则BC与AC的关系是（ ）
A．BC=12ACB．BC=13ACC．BC=ACD．不能确定
【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=12OE，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=12BC，求得∠COB＝60°，得到∠AOC＝120°，于是得到结论．
【解答】解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，
∵把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，
∴OD=12OE，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴OD∥BC，
∵OA＝OB，
∴OD=12BC，
∴BC＝OE＝OB＝OC，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴BC=12AC，
【变式9-3】（2023•长安区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC=3BC，则弦AC与弦BC的关系是（ ）
A．AC＝3BCB．AC=3BCC．AC＝（2+1）BCD．3AC＝BC
【分析】如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，证明△CDB是等腰直角三角形，且AD＝BD，设CD＝CB＝x，则AD＝BD=2x，计算AC和BC的比可得结论．
【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC=3BC，
∴∠AOC＝135°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝22.5°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝22.5°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
设CD＝CB＝x，则AD＝BD=2x，
∴BCAC=xx+2x=12+1，
∴AC＝（2+1）BC．
【题型10 利用圆心角、弧、弦的关系求最值】
【例10】（2023秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，AB是⊙O的直径，点M，N在⊙O上，且点N是弧BM的中点，P是直径AB上的一个动点，连接PM，PN，已知AB=10，弧BM的度数为40°，则PM+PN的最小值为（ ）
A．10B．53C．52D．5
【答案】D
【分析】，作点N关于AB的对称点C，连接MC,OC，当P点在MC上时，PM+PN=PM+PC=MC，即PM+PN取得最小值，进而根据圆心角与弧的关系可得△OMC是等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图所示，作点N关于AB的对称点C，连接MC,OC，当P点在MC上时，PM+PN=PM+PC=MC，即PM+PN取得最小值
∵BM的度数为40°，点N是弧BM的中点，
∴MC的度数为40°+12×40°=60°，
又OM=OC，
∴△OMC是等边三角形，
∵AB=10
∴MC=OM=5，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，熟练掌握是解题的关键．
【变式10-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，OC⊥AB,BD=2CD，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为 ．
【答案】43
【分析】依题意，作点D关于OC的对称点为D1，连接BD1，BD1长即为BP+DP最小值；过点D1作D1Q⊥AB，构造RtΔQD1B和RtΔQOD1进行对应线段求解；
【详解】作点D关于OC的对称点为D1，连接BD1，OD1；过点D1作D1Q⊥AB；
由题知，OC⊥AB，BD=2CD，∴BC=3CD，可得CD对应的圆心角∠COD=30°；
又点D关于OC的对称点为D1，
∴∠COD1=30°，∠AOD1=60°，∴BD1长为BP+DP的最小值
在RtΔQOD1中，OD1=4，∴OQ=2，D1Q=23；
在RtΔQD1B中，BQ=OQ+OB=6，D1Q=23，∴BD1=62+(23)2=43；
故填：43；
【点睛】本题综合性考查圆的对称性及“将军饮马问题”的求解，关键在于熟练使用辅助线进行对应的直角三角形构造进行计算；
【变式10-2】（2023·山东枣庄·九年级学业考试）如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP，NP，则MP+NP的最小值是 cm．
【答案】52
【分析】试题分析：作N关于AB的对称点N'，连接M N'交AB于点P，则点P即为所求的点，再根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点可求出∠MO N'的值，再由勾股定理即可求出M N'的长．
【详解】作N关于AB的对称点N'，连接M N'交AB于点P，则点P即为所求的点，
∵M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，
∴∠MOB= 180°3 =60°，∠BO N' = 180°6 =30°，
∴∠MO N' =90°，
∵AB=10，
∴OM=O N' =5，
∴M N' = OM2+ON'2=52+52=52，
即MP+NP的最小值是52 .
故答案为：52．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式10-3】（2023春·九年级课时练习）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB=2，则CE+DE长的最小值为 ．
【答案】22
【分析】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接OD′，利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E'时，CE+DE长最小，此时的最小值为CD'的长度．
【详解】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′，
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc23975" 【题型1 圆心角、弧、弦的概念辨析】 PAGEREF _Tc23975 \h 1
\l "_Tc31815" 【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】 PAGEREF _Tc31815 \h 2
\l "_Tc10364" 【题型3 用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】 PAGEREF _Tc10364 \h 4
\l "_Tc32201" 【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】 PAGEREF _Tc32201 \h 5
\l "_Tc22928" 【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】 PAGEREF _Tc22928 \h 6
\l "_Tc14052" 【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】 PAGEREF _Tc14052 \h 7
\l "_Tc478" 【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】 PAGEREF _Tc478 \h 8
\l "_Tc6462" 【题型8 利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】 PAGEREF _Tc6462 \h 9
\l "_Tc18089" 【题型9 利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】 PAGEREF _Tc18089 \h 10
\l "_Tc3701" 【题型10 利用圆心角、弧、弦的关系求最值】 PAGEREF _Tc3701 \h 11
【知识点 弧、弦、角、距的概念】
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
【题型1 圆心角、弧、弦的概念辨析】
【例1】（2023秋·九年级课时练习）如图所示，在⊙O中，AB=CD，则在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．弦相等，圆心到弦的距离相等D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
【变式1-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：
（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．
（2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．
（3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．
（4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．
【变式1-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，点A是CB中点，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°
C．BC=2AC D．∠BAC+12∠AOC=180°
【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】
【例2】（2023秋·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，则∠BCO的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．55°
【变式2-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，A、B、C、D是⊙O上的点，如果AB=CD，∠AOB=70°，那么∠COD= ．
【变式2-2】（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图半径OA，OB，OC将一个圆分成三个大小相同扇形，其中OD是∠AOB的角平分线，∠AOE=13∠AOC，则∠DOE等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【变式2-3】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧DF的中点，若∠EOD=32°，则∠CDA的度数是（ ）
A．37°B．74°C．53°D．63°
【题型3 用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】
【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是BE的中点，点B是CD的中点，若AB=10，BG=2，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【变式3-1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）将半径为5的⊙O如图折叠，折痕AB长为8，C为折叠后AB的中点，则OC长为（ ）
A．2B．3C．1D．2
【变式3-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点C是直径AB的三等分点AC
【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】
【例4】（2023秋·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4 cm，则⊙O的周长为 ．
【变式4-1】（2023秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，⊙O的一条弦分圆周长为1：4两部分．试求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数(画出图形并给出解答)．
【变式4-2】（2023秋•西林县期末）如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周长为 9cm ．
【变式4-3】（2023•江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝36，则⊙O的周长为 63π ．
【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】
【例5】（2023秋·九年级单元测试）如图，已知圆内接四边形ABCD中，对角线AD是⊙O的直径，AB=BC=CD=2，E是AD的中点，则△ADE的面积是 ．
【变式5-1】（2023•嘉兴二模）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．S甲表示甲的面积，则S甲＝ 25π2 ．
【变式5-2】（2023秋·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考期中）如图，在O中，AC=CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC的面积．
【变式5-3】（2023•浙江自主招生）如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（ ）
A．2B．3C．3+224D．3+34
【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】
【例6】（2023•浙江九年级课时练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
【变式6-1】（2023秋·九年级课时练习）如图，AB是半圆，O为AB中点，C、D两点在AB上，且AD∥OC，连接BC、BD．若CD＝62°，则AD的度数为何？（ ）
A．56B．58C．60D．62
【变式6-2】（2023秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，求DE⏜的度数．
【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）如图，已知AB为⊙O 的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，且AB=2DE．
(1)若∠E=25°，求∠AOC的度数；
(2)若AC的度数是BD的度数的m倍，则m＝ ．
【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】
【例7】（2023·河北·统考中考真题）如图，点P1~P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是( )
A．a
【变式7-1】（2023秋·九年级课时练习）如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB=∠DPB,弧DB=弧BC,试比较线段PC、PD的大小关系.
【变式7-2】（2023春·九年级课时练习）在同圆中，若弧AB和弧CD都是劣弧，且弧AB=2弧CD，那么AB和CD的大小关系是（ ）
A．AB=2CDB．AB>2CDC．AB<2CDD．无法比较它们的大小
【变式7-3】（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d(x)．下列描述正确的是（ ）
A．当x1>x2时，dx1>dx2B．当dx1>dx2时，x1>x2
C．当x1+x2=1时，dx1=dx2D．当x1=2x2时，dx1=2dx2
【题型8 利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】
【例8】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC，D为BAC的中点，DE⊥AB于E，求证：BD2−AD2=AB•AC．
【变式8-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB=CD．求证：CE=BE．
【变式8-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O上依次取点B，A，C使BA=AC，连接AC，AB，BC，取AB的中点D，连接CD，在弦BC右侧取点E，使2CE=AC，且CE∥AB，连接BE．
(1)求证：△DBC≅△ECB．
(2)若AC=8，∠ABC=30°，求BE的长．
【变式8-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C、D是⊙O上的点，AD为直径，AB∥OC．
(1)求证：点C平分BD．
(2)利用无刻度的直尺和圆规做出AB的中点P（保留作图痕迹）．
【题型9 利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】
【例9】（2023·江苏南京·统考一模）如图，已知AB为半圆的直径．求作矩形MNPQ，使得点M，N在AB上，点P，Q在半圆上，且MN=2MQ．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【变式9-1】（2023春·九年级课时练习）如图，在⊙O中，AB＝2AC，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
【变式9-2】（2023•铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，则BC与AC的关系是（ ）
A．BC=12ACB．BC=13ACC．BC=ACD．不能确定
【变式9-3】（2023•长安区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC=3BC，则弦AC与弦BC的关系是（ ）
A．AC＝3BCB．AC=3BCC．AC＝（2+1）BCD．3AC＝BC
【题型10 利用圆心角、弧、弦的关系求最值】
【例10】（2023秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，AB是⊙O的直径，点M，N在⊙O上，且点N是弧BM的中点，P是直径AB上的一个动点，连接PM，PN，已知AB=10，弧BM的度数为40°，则PM+PN的最小值为（ ）
A．10B．53C．52D．5
【变式10-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，OC⊥AB,BD=2CD，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为 ．
【变式10-2】（2023·山东枣庄·九年级学业考试）如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP，NP，则MP+NP的最小值是
专题3.3 弧、弦、圆心角【十大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc23975" 【题型1 圆心角、弧、弦的概念辨析】 PAGEREF _Tc23975 \h 1
\l "_Tc31815" 【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】 PAGEREF _Tc31815 \h 4
\l "_Tc10364" 【题型3 用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】 PAGEREF _Tc10364 \h 7
\l "_Tc32201" 【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】 PAGEREF _Tc32201 \h 12
\l "_Tc22928" 【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】 PAGEREF _Tc22928 \h 15
\l "_Tc14052" 【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】 PAGEREF _Tc14052 \h 19
\l "_Tc478" 【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】 PAGEREF _Tc478 \h 23
\l "_Tc6462" 【题型8 利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】 PAGEREF _Tc6462 \h 26
\l "_Tc18089" 【题型9 利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】 PAGEREF _Tc18089 \h 30
\l "_Tc3701" 【题型10 利用圆心角、弧、弦的关系求最值】 PAGEREF _Tc3701 \h 34
【知识点 弧、弦、角、距的概念】
（1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
（3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系
三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合．
【题型1 圆心角、弧、弦的概念辨析】
【例1】（2023秋·九年级课时练习）如图所示，在⊙O中，AB=CD，则在①AB=CD；②AC=BD；③∠AOC=∠BOD；④AC=BD中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】利用同圆或等圆中弧，弦以及所对的圆心角之间的关系逐项分析即可．
【详解】解：∵在⊙O中，AB=CD，
∴AB=CD，故①正确；
∵BC为公共弧，
∴ AC=BD，故④正确；
∴AC=BD，故②正确；
∴∠AOC=∠BOD，故③正确；
综上分析可知，正确的有4个．
故选：D．
【点睛】本题考查了弧，弦、圆心角之间的关系：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等以及推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
【变式1-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．相等的圆心角所对的弧相等B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．弦相等，圆心到弦的距离相等D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
【答案】B
【分析】圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系的前提“在同圆和等圆中”，据此逐项判定即可．
【详解】解：A、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故此选项不符合题意；
B、在同圆中，等弧所对的圆心角相等，故此选项符合题意；
C、在同圆和等圆中，弦相等，圆心到弦的距离相等，故此选项不符合题意；
D、在同圆和等圆中，圆心到弦的距离相等，则弦相等，故此选项不符合题意；
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦、圆心到弦的距离的关系，解题关键是熟练掌握在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对弧、圆心角所对弦、圆心到弦的距离中有一组量相等，则其余各组量也相等．
【变式1-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）判断下列命题是真命题还是假命题（写在横线上）：
（1）在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等．
（2）在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等．
（3）在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等．
（4）在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦也不相等．
【答案】 真命题 假命题 真命题 假命题
【分析】根据圆的相关性质分别判断各命题的真假．
【详解】解：对于（1），在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧也相等，原命题为真命题；
对于（2），在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧不一定相等，因为一条弦对应两条弧，原命题为假命题；
对于（3），在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦的弦心距也相等，原命题为真命题；
对于（4），在等圆中，如果弧不相等，那么它们所对的弦有可能相等，如圆心角分别为30°和330°所对的两条弧，其所对的弦相等，原命题为假命题．
故答案为：真命题，假命题，真命题，假命题．
【点睛】本题考查了同圆或等圆中圆心角，弧长，弦长的关系，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
【变式1-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，点A是CB中点，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=OC B．∠BAC+∠AOC=180°
C．BC=2AC D．∠BAC+12∠AOC=180°
【答案】B
【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答．
【详解】解：A、∵点A是CB中点，
∴AB=AC，
∴AB=AC，
无法得出AB=OC，故选项A错误；
B、如图：连接BO，
∵AB=AC，
∴∠BOA=∠AOC，
∵BO=AO=CO，
∴∠OAC=∠BAO=∠ACO，
∴∠OAC+∠ACO+∠AOC=∠BAC+∠AOC=180°，故此选项正确；
C、∵AB=AC，AB+AC>BC，
∴BC≠2AC，故选项C错误；
D、无法得出∠BAC+12∠AOC=180°，故选项D错误．
【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键．
【题型2 利用圆心角、弧、弦的关系求角度】
【例2】（2023秋·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=AD，∠AOD=70°，则∠BCO的度数是（ ）
A．30°B．35°C．40°D．55°
【答案】B
【分析】首先由AC=AD，∠AOD=70°可得∠AOC=∠AOD=70°，再由OB=OC可得出∠OBC=∠OCB=12∠AOC=35°．
【详解】解：∵在⊙O中，AC=AD，∠AOD=70°
∴∠AOC=∠AOD=70°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=12∠AOC=35°，
【点睛】此题考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，掌握数形结合思想的应用是解题的关键．
【变式2-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，A、B、C、D是⊙O上的点，如果AB=CD，∠AOB=70°，那么∠COD= ．
【答案】70°
【分析】根据圆心角、弧、弦三者的关系可解答．
【详解】解：∵AB=CD，
∴∠COD=∠AOB=70°，
故答案为：70°．
【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦三者的关系，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．
【变式2-2】（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图半径OA，OB，OC将一个圆分成三个大小相同扇形，其中OD是∠AOB的角平分线，∠AOE=13∠AOC，则∠DOE等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．130°
【答案】D
【分析】先根据已知易得AB=BC=AC，从而可得∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，然后根据已知可求出∠AOD=60°，∠AOE=40°，从而利用角的和差关系，进行计算即可解答．
【详解】解：∵半径OA，OB，OC将一个圆分成三个大小相同扇形，
∴AB=BC=AC，
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，
∵OD是∠AOB的角平分线，
∴∠AOD=12∠AOB=60°，
∵∠AOE=13∠AOC，
∴∠AOE=13×120°=40°，
∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=100°，
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键．
【变式2-3】（2023春·内蒙古巴彦淖尔·九年级校考期中）如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧DF的中点，若∠EOD=32°，则∠CDA的度数是（ ）
A．37°B．74°C．53°D．63°
【答案】A
【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得∠DOA=74°，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．
【详解】解：如下图，连接OA，
∵A是劣弧DF的中点，即DA=FA，
∴∠DOA=∠FOA，
∵∠EOD=32°，
∴∠DOA=∠FOA=12(180°−∠EOD)=74°，
∵OD=OA，
∴∠ODA=∠OAD=12(180°−∠DOA)=53°，
即∠CDA=53°．
【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
【题型3 用圆心角、弧、弦的关系求线段长度】
【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB是⊙O的直径，CD、BE是⊙O的两条弦，CD交AB于点G，点C是BE的中点，点B是CD的中点，若AB=10，BG=2，则BE的长为（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】先根据垂径定理的推论得到AB⊥CD，CD=2CG，再利用勾股定理求出CG=4，进而得到CD=2CG=8，再证明BE=CD，则BE=CD=8．
【详解】解：如图所示，连接OC，
∵点B是CD的中点，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥CD，BC=BD，
∴CD=2CG，
∵AB=10，
∴OC=OB=12AB=5，
∵BG=2，
∴OG=3，
在Rt△COG中，由勾股定理得CG=OC2−OG2=4，
∴CD=2CG=8，
∵点C是BE的中点，
∴BC=EC，
∴BC=EC=BD，
∴BE=CD，
∴BE=CD=8，
故选D．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，勾股定理，弧与弦之间的关系，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【变式3-1】（2023秋·江苏·九年级专题练习）将半径为5的⊙O如图折叠，折痕AB长为8，C为折叠后AB的中点，则OC长为（ ）
A．2B．3C．1D．2
【答案】A
【分析】延长OC交⊙O于点D，交AB于点E，连接OA、OB、AC、BC，根据圆心角、弧、弦、的关系由AC=BC得到AC=BC，可以判断OC是AB的垂直平分线，则AE=BE=4，再利用勾股定理求出OE=3，所以DE=2，然后利用点C和点D关于AB对称得出CE=2，最后计算OE−CE即可得出答案．
【详解】解：延长OC交⊙O于点D，交AB于点E，连接OA、OB、AC、BC，如图，
∵C为折叠后AB的中点，
∴AC=BC，
∴AC=BC，
∵OA=OB，
∴OC是AB的垂直平分线，
∴AE=BE=12AB=4，
在Rt△AOE中，OE=OA2−AE2=52−42=3,
∴DE=OD−OE=5−3=2，
∵ADB沿AB折叠得到ACB，CD⊥AB，
∴点C和点D关于AB对称，
∴CE=DE=2，
∴OC=OE−CE=3−2=1，
故选C
【点睛】本题主要考查了图形的折叠变换，圆的对称性，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握圆的对称性及折叠前后的对应关系．
【变式3-2】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点C是直径AB的三等分点AC
【分析】过D作DE⊥AB于E，求出∠DOB=60°，解直角三角形求出DE、OE的长度，求出CE，再根据勾股定理求出DC即可．
【详解】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
则∠DEC=90°，
∵点C是直径AB的三等分点AC
∴CO=2，
∵点D是弧ADB的三等分点BD
∴∠ODE=30°，
∴OE=12OD=3，
DE=OD2−OE2=62−32=33，
∴CE=OE+CO=3+2=5，
∴DC=DE2+CE2=332+52=213，
故答案为：213．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和直角三角形的性质，能求出∠DOB=60°和半径的长度是解此题的关键．
【变式3-3】（2023·江苏苏州·统考二模）如图，在直径为10的⊙O中，两条弦AB，CD分别位于圆心的异侧，AB∥CD，且CD=2AC，若AB=8，则CD的长为 ．
【答案】45
【分析】过O作OE⊥AB于E，交⊙O于M，反向延长OE交CD于点F，交⊙O于点N，则AE=12AB=4，连接AN,AO,AM，则MN为⊙O的直径．根据平行线的性质得到MN⊥CD推出AN=CD．根据勾股定理即可计算答案．
【详解】解：过O作OE⊥AB于E，交⊙O于M，反向延长OE交CD于点F，交⊙O于点N，如图所示：
则AE=12AB=4，
连接AN,AO,AM，则MN为⊙O的直径，
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD，
∴CN=12CD，
∵CD=2AC，
∴CN=AC
∴CD=AN
∴AN=CD，
在Rt△AOE中，
OE=OA2−AE2=52−42=3，
∴ME=5−3=2，
在Rt△AEN中，
AN=AE2+EN2=42+(3+5)2=45，
∴CD=AN=45，
故答案为45．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理．正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【题型4 利用圆心角、弧、弦的关系求周长】
【例4】（2023秋·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4 cm，则⊙O的周长为 ．
【答案】8πcm
【分析】如图，连接OD、OC．根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD是等边三角形，则⊙O的半径长为DA=4cm；然后由圆的周长公式进行计算．
【详解】解：如图，连接OD、OC．
∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，
∴AD=CD=BC，
∴∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°．
又OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴OA=AD=4cm，
∴⊙O的周长=2×4π=8π（cm）．
故答案为：8πcm．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定．该题利用“有一内角是60度的等腰三角形为等边三角形”证得△AOD是等边三角形．
【变式4-1】（2023秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，⊙O的一条弦分圆周长为1：4两部分．试求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数(画出图形并给出解答)．
【答案】圆周角∠ACB＝36°或∠ADB＝144°.
【分析】求弦所对的圆周角，要分情况考虑：当圆周角在优弧上或在劣弧上．根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求解．
【详解】如图，
∵弦AB分圆周长为1：4
∴弧AB＝15×360°＝72°
∴圆心角∠AOB＝72°，﹣
圆周角∠ACB＝36°或∠ADB＝144°
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦以及圆周角定理，要特别注意弦所对的圆周角应分两种情况．
【变式4-2】（2023秋•西林县期末）如图，在⊙O中，∠AOB＝60°，弦AB＝3cm，那么△AOB的周长为 9cm ．
【分析】由OA＝OB，得△OAB为等边三角形进行解答．
【解答】解：∵OA＝OB，∠AOB＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA＝OB＝AB
∵AB＝3cm，
∴△AOB的周长为3+3+3＝9（cm）．
故答案为：9cm．
【变式4-3】（2023•江北区校级开学）如图，⊙O的弦AC＝BD，且AC⊥BD于E，连接AD，若AD＝36，则⊙O的周长为 63π ．
【分析】接AB，AO，DO，根据⊙O的弦AC＝BD求出BC=AD，根据圆周角定理求出∠BAC＝∠ABD，求出∠ABD＝∠BAC=12（180°﹣∠AEB）＝45°，根据圆周角定理求出∠AOD＝2∠ABD＝90°，解直角三角形求出AO，再求出答案即可．
【解答】解：连接AB，AO，DO，
∵⊙O的弦AC＝BD，
∴ABC=BAD，
∴BC=AD，
∴∠BAC＝∠ABD，
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABD＝∠BAC=12（180°﹣∠AEB）＝45°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝90°，
即△AOD是等腰直角三角形，
∵AD＝36，AO2+OD2＝AD2，
∴AO＝33，
∴⊙O的周长是2×π×33=63π，
故答案为63π．
【题型5 利用圆心角、弧、弦的关系求面积】
【例5】（2023秋·九年级单元测试）如图，已知圆内接四边形ABCD中，对角线AD是⊙O的直径，AB=BC=CD=2，E是AD的中点，则△ADE的面积是 ．
【答案】4
【分析】四边形ABCD是梯形，连接OB，则OBCD是菱形，即可求得AD的长，而△AED是等腰直角三角形，就可求得△ADE的面积．
【详解】解：连接EO，
∵AB=BC=CD=2，
∴∠AOB=180÷3=60°，
∴△AOB是等边三角形，
那么OA=AB=2，那么AD=2OA=4．
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∴EO⊥AD，
∵EO=2，
∴△ADE的面积=12×4×2=4．
故答案为4
【点睛】本题用到的知识点为：弦相等，那么所对的圆心角也相等．
【变式5-1】（2023•嘉兴二模）如图所示，在10×10的正方形网格中有一半径为5的圆，一条折线将它分成甲、乙两部分．S甲表示甲的面积，则S甲＝ 25π2 ．
【分析】由题意得到AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，求得S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，根据三角形的面积公式得到S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，于是得到结论．
【解答】解：如图，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，
∴S弓形AD＝S弓形BC，S弓形AB＝S弓形CD，
∵S△ABE+S△DEF＝S△BEF+S△CDF，
∴S甲＝S乙=12S圆=25π2，
故答案为：25π2．
【变式5-2】（2023秋·江苏苏州·九年级苏州草桥中学校考期中）如图，在O中，AC=CB，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四边形DOEC的面积．
【答案】（1）详见解析；（2）3
【分析】（1）连接OC，由AC=BC，可得∠AOC=∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，由角平分线定理可得CD=CE；
（2）由∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC，可得∠AOC=60°，又∠CDO=90°，得∠OCD=30°，可得OD=12OC=1，由勾股定理可得CD=3，可得S△CDO=12OD⋅CD=32；同理可得S△CBO=32，进而求出S四边形CDOE=S△CDO+S△CEO=3．
【详解】（1）证明：连接OC．
∵AC=BC，
∴∠AOC=∠BOC．
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴CD=CE．
（2）解：∵∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC=60°．
∵∠CDO=90°，
∴∠OCD=30°，
∵OC=OA=2，
∴OD=12OC=1．
∴CD=OC2−OD2=3，
∴S△CDO=12OD⋅CD=32，
同理可得S△CBO=32，
∴S四边形CDOE=S△CDO+S△CEO=3．
【点睛】本题主要考查了圆心角与弧的关系，角平分线的性质，勾股定理以及面积计算，熟练掌握圆中的相关定理是解题的关键．
【变式5-3】（2023•浙江自主招生）如图，在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB＝BC＝CD，分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．则△ACF面积是（ ）
A．2B．3C．3+224D．3+34
【分析】连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，由AB＝OA＝OB＝1，得到∠AOB＝60°，弧AB的度数＝60°，而AB＝BC＝CD，得弧ABD的度数＝3×60°＝180°，所以AD为⊙O的直径，∠CFA＝60°；再由AN＝AF＝OE，则AD平分NF，EF过O点，弧FD＝弧FA，得到△FAD为等腰直角三角形，可得FA=22AD=2，在Rt△AGF中，GF=12AF=22，AG=3GF=62，在Rt△AGC中，CG＝AG=62，最后利用三角形的面积公式即可求出△ACF面积．
【解答】解：连OA，OB，AD，DF，过A作AG⊥CF于G点，连OE交⊙O于N，连AN，如图，
∵AB＝OA＝OB＝1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴弧AB的度数＝60°，
又∵AB＝BC＝CD，
∴弧AB＝弧BC＝弧CD，
∴弧ABD的度数＝3×60°＝180°，
∴AD为⊙O的直径，∠CFA＝60°，
∵AN＝AF＝OE=2，∴AD平分NF，∴EF过O点，
∴弧FD＝弧FA，
∴△FAD为等腰直角三角形，
∴∠FCA＝∠FDA＝45°，FA=22AD=2，
在Rt△AGF中，GF=12AF=22，AG=3GF=62，
在Rt△AGC中，CG＝AG=62，
∴S△ACF=12CF•AG=12×（22+62）×62=3+34．
故选：D．
【题型6 利用圆心角、弧、弦的关系求弧的度数】
【例6】（2023•浙江九年级课时练习）把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则BC的度数是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
【分析】直接利用翻折变换的性质得出∠BOD＝30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．
【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，
由题意可得：EO=12BO，AB∥DC，
可得∠EBO＝30°，
故∠BOD＝30°，
则∠BOC＝150°，
故BC的度数是150°．
【变式6-1】（2023秋·九年级课时练习）如图，AB是半圆，O为AB中点，C、D两点在AB上，且AD∥OC，连接BC、BD．若CD＝62°，则AD的度数为何？（ ）
A．56B．58C．60D．62
【答案】D
【分析】以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，利用AD∥OC，证得∠1＝∠2，得到AM＝DC＝62°，根据弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°计算得出结果．
【详解】解：以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，
∵AD∥OC，
∴∠1＝∠2，
∴AM＝DC＝62°，
∴AD的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°，
【点睛】此题考查两直线平行内错角相等，圆周角定理，正确作出图形利用半圆的度数求解是解题的关键．
【变式6-2】（2023秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=20°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，求DE⏜的度数．
【答案】50°
【分析】连接CD，先根据三角形内角和计算出∠B=70°，再根据等腰三角形的性质由CB=CD得到∴∠B=∠BDC=70°，然后再利用三角形内角和计算出∠BCD=40°，再根据直角的性质求出∠DCE=50°，最后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数求解．
【详解】解：如下图，连接CD，
∵∠C=90°，∠A=20°，
∴∠B=90°−20°=70°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠BDC=70°，
∴∠BCD=180°−70°−70°=40°，
∴∠DCE=90°−40°=50°，
∴DE的度数为50°．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是掌握：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
【变式6-3】（2023春·九年级单元测试）如图，已知AB为⊙O 的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，且AB=2DE．
(1)若∠E=25°，求∠AOC的度数；
(2)若AC的度数是BD的度数的m倍，则m＝ ．
【答案】(1)75°
(2)3
【分析】（1）根据AB=2OD得到OD=DE，根据等腰三角形底角相等得∠ODB=∠DEB=25°，再根据三角形的外角定理得到∠ODC，从而得到∠OCD=50°，再通过三角形外角定理即可得到∠AOC的度数．
（2）根据圆弧度数比等于对应的圆心角之比即可得到答案．
【详解】（1）解：如下图所示，连接OD，
由题意得AB=2OD，
∵AB=2DE，
∴OD=DE，
∴∠ODB=∠DEB=25°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠ODC=∠ODE+∠DEO=50°,
∴∠OCD=50°，
∵∠AOC=∠OCE+∠CEO=50°+25°=75°,
∴∠AOC=75°；
（2）解：∵AC对应的圆心角∠AOC=75°，BD对应的圆心角∠BOD=25°，
∴m=∠AOC∠BOD=75°25°=3．
【点睛】本题考查圆的性质和三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握圆的相关知识和三角形外角定理．
【题型7 利用圆心角、弧、弦的关系比较大小】
【例7】（2023·河北·统考中考真题）如图，点P1~P8是⊙O的八等分点．若△P1P3P7，四边形P3P4P6P7的周长分别为a，b，则下列正确的是( )
A．a
【答案】D
【分析】连接P1P2,P2P3，依题意得P1P2=P2P3=P3P4=P6P7，P4P6=P1P7，△P1P3P7的周长为a=P1P3+P1P7+P3P7，四边形P3P4P6P7的周长为b=P3P4+P4P6+P6P7+P3P7，故b−a=P1P2+P2P3−P1P3，根据△P1P2P3的三边关系即可得解．
【详解】连接P1P2,P2P3，
∵点P1~P8是⊙O的八等分点，即P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=P5P6=P6P7=P7P8=P8P1
∴P1P2=P2P3=P3P4=P6P7，P4P6=P4P5+P5P6=P7P8+P8P1=P1P7
∴P4P6=P1P7
又∵△P1P3P7的周长为a=P1P3+P1P7+P3P7，
四边形P3P4P6P7的周长为b=P3P4+P4P6+P6P7+P3P7，
∴b−a=P3P4+P4P6+P6P7+P3P7−P1P3+P1P7+P3P7 =P1P2+P1P7+P2P3+P3P7−P1P3+P1P7+P3P7
=P1P2+P2P3−P1P3
在△P1P2P3中有P1P2+P2P3>P1P3
∴b−a=P1P2+P2P3−P1P3>0
故选A．
【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．
【变式7-1】（2023秋·九年级课时练习）如图,AB是⊙O的直径,P是AB上一点,C、D分别是圆上的点,且∠CPB=∠DPB,弧DB=弧BC,试比较线段PC、PD的大小关系.
【答案】见解析
【分析】连接OC、OD，根据同圆中相等的弧所对的圆心角相等得∠BOC=∠BOD，即可根据SAS证得△OPC≌△OPD，则PC=PD可以证得．
【详解】PC=PD.
连接OC、OD,
则∵BC=BD,
∴∠BOC=∠BOD,
又OP=OP,OC=OD,
∴△OPC≌△OPD,
∴PC=PD.
【点睛】考查圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定与性质，证明∠BOC=∠BOD是解题的关键.
【变式7-2】（2023春·九年级课时练习）在同圆中，若弧AB和弧CD都是劣弧，且弧AB=2弧CD，那么AB和CD的大小关系是（ ）
A．AB=2CDB．AB>2CDC．AB<2CDD．无法比较它们的大小
【答案】A
【分析】作AB的中点E，连接AE、BE，则AE=BE，根据题意，得出AE=BE=CD，再根据在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，得出AE=BE=CD，再根据三角形的三边关系，得出AE+BE>AB，再根据等量代换，即可得出结果．
【详解】解：如图，作AB的中点E，连接AE、BE，则AE=BE，
∵AB=2CD，
∴AE=BE=CD，
∴AE=BE=CD，
在△ABE中，
∵AE+BE>AB，
∴AB<2CD，故选项C正确．
故选：C
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系、三角形的三边关系及应用，解本题的关键在充分利用数形结合思想．
【变式7-3】（2023秋·浙江杭州·九年级统考期末）计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比，下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
当任务完成的百分比为x时，线段MN的长度记为d(x)．下列描述正确的是（ ）
A．当x1>x2时，dx1>dx2B．当dx1>dx2时，x1>x2
C．当x1+x2=1时，dx1=dx2D．当x1=2x2时，dx1=2dx2
【答案】A
【分析】根据弧、弦、圆心角的关系，即可求解．
【详解】解：A、当x1>x2时，dx1可能大于dx2，故本选项不符合题意；
B、当dx1>dx2时，x1可能大于x2，故本选项不符合题意；
C、当x1+x2=1时，dx1=dx2，故本选项符合题意；
D、当x1=2x2时，dx1不一定等于2dx2，故本选项不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键．
【题型8 利用圆心角、弧、弦的关系进行证明】
【例8】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，已知圆内接△ABC中，AB>AC，D为BAC的中点，DE⊥AB于E，求证：BD2−AD2=AB•AC．
【答案】见解析
【分析】在BA上截取BF=CA，连接DF，DC，由D为BAC的中点，根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到DB=DC，易得△DBF≌△DCA，得到AE=EF，于是有BF=BE−EF=BE−AE=CA，因此BD2−AD2=BE2−AE2=(BE+AE)(BE−AE)=AB·AC．
【详解】证明：在BA上截取BF=CA，连接DF，DC，如图，
∵D为BAC的中点，
∴DB=DC，∠DBF=∠ACD，
在△DBF,△DCA中，
DB=DC∠DBF=∠DCABF=CA，
∴△DBF≌△DCA(SAS)，
∴DF=DA，
∵DE⊥AB，
∴AE=EF，
∴BF=BE−EF=BE−AE=CA，
在Rt△BDE,Rt△ADE中，BD2=BE2+DE2，AD2=AE2+DE2，
∴BD2−AD2=BE2−AE2=(BE+AE)(BE−AE)=AB·AC，即BD2−AD2=AB•AC．
【点睛】本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理．
【变式8-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点E，且AB=CD．求证：CE=BE．
【答案】见解析
【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．
【详解】证明：∵AB=CD，
∴AB=CD，
∴AB−BC=CD−BC，
即AC=BD，
∴∠B=∠C，
∴BE=CE；
【点睛】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，解题的关键是掌握所学的知识进行证明．
【变式8-2】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在⊙O上依次取点B，A，C使BA=AC，连接AC，AB，BC，取AB的中点D，连接CD，在弦BC右侧取点E，使2CE=AC，且CE∥AB，连接BE．
(1)求证：△DBC≅△ECB．
(2)若AC=8，∠ABC=30°，求BE的长．
【答案】(1)见解析
(2)47
【分析】（1）根据SAS即可证明△DBC≅△ECB；
（2）作DH⊥AC于点H，求出DC=47，再根据△DBC≅△ECB得DE=CD,从而可得结论．
【详解】（1）∵BA=AC，
∴BA=CA，
∵2CE=AC，
∴BA=2CE，
∵D为AB的中点，
∴BA=2BD，
∴BD=CE，
∵CE∥AB，
∴∠DBC=∠ECB，
∵BC=BC，
∴△DBC≅△ECB
（2）作DH⊥AC于点H，
∵BA=CA，
∴∠ACB=∠ABC=30°，∠DAH=∠ACB+∠ABC=60°.
∵BA=CA=8，
∴DA=4，HA=2，HC=HA+AC=10，HD=23，
在Rt△DHC中，DC=DH2+HC2=232+102=47
∵△DBC≅△ECB，
∴BE=CD=47．
【点睛】本题主要考查了圆的有关概念，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．
【变式8-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，点A、B、C、D是⊙O上的点，AD为直径，AB∥OC．
(1)求证：点C平分BD．
(2)利用无刻度的直尺和圆规做出AB的中点P（保留作图痕迹）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接OB，因为AB∥OC，得到∠DOC=∠OAB，∠COB=∠OBA，又因为半径相等，则∠OAB=∠OBA，即可证明点C平分BD；
（2）分别以A、B为圆心，大于12AB为半径，画弧交于一点，连接该点与圆心交AB于一点即为AB的中点P．
【详解】（1）证明：如图，连接OB，
∵OC∥AB，
∴∠DOC=∠OAB，∠COB=∠OBA，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠DOC=∠COB，
∴点C平分BD；
（2）解：如图所示：点P为所求：
【点睛】本题主要考查圆的基本性质以及基本作图等知识内容，正确掌握基本作图的方法是解题的关键．
【题型9 利用圆心角、弧、弦的关系确定线段间的倍数关系】
【例9】（2023·江苏南京·统考一模）如图，已知AB为半圆的直径．求作矩形MNPQ，使得点M，N在AB上，点P，Q在半圆上，且MN=2MQ．要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【答案】见解析
【分析】根据题意，先找到圆心O，过点O作OC⊥AB交⊙O于点C，然后在OC的两侧分别作正方形，则MN=2MQ，矩形MNPQ即为所求．
【详解】解：如图所示，
①过点O作OC⊥AB交⊙O于点C，
②作∠AOC,∠BOC的角平分线，交⊙O于点Q,P，
③作QM,PN垂直于AB，垂足分别为M,N，
则矩形MNPQ即为所求．
理由如下，∵OQ是∠AOC的角平分线，OD⊥AB，
∴∠AOQ=∠QOD=45°，
又MQ⊥AO
则△QMO是等腰直角三角形，四边形QMOD是矩形，
∴QM=MO，则四边形QMOD是正方形，同理可得DONP是正方形，
又MO=OD=ON
∴MN=2MQ．
【点睛】本题考查了作垂线，作角平分线，正方形的性质，熟练掌握弧与圆心角的关系是解题的关键．
【变式9-1】（2023春·九年级课时练习）如图，在⊙O中，AB＝2AC，AD⊥OC于点D，比较大小AB 2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．
【答案】=
【分析】过点O作OF⊥AB于点E，交⊙O于点F，根据
【详解】解：如图，过点O作OF⊥AB于点E，交⊙O于点F，
∴AF=BF，AE=12AB
∵ AB=2AC
∴∠AOF=∠AOC
∵AD⊥OC，AE⊥OE
∴AD=AE=12AB
即AB=2AD
故答案为：=
【点睛】本题考查了垂径定理，角平分线的判定定理，等弧所对的圆心角相等，掌握垂径定理是解题的关键．
【变式9-2】（2023•铁岭模拟）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，则BC与AC的关系是（ ）
A．BC=12ACB．BC=13ACC．BC=ACD．不能确定
【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=12OE，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=12BC，求得∠COB＝60°，得到∠AOC＝120°，于是得到结论．
【解答】解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，
∵把半圆沿弦AC折叠，AC恰好经过点O，
∴OD=12OE，
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴OD∥BC，
∵OA＝OB，
∴OD=12BC，
∴BC＝OE＝OB＝OC，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴BC=12AC，
【变式9-3】（2023•长安区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC=3BC，则弦AC与弦BC的关系是（ ）
A．AC＝3BCB．AC=3BCC．AC＝（2+1）BCD．3AC＝BC
【分析】如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，证明△CDB是等腰直角三角形，且AD＝BD，设CD＝CB＝x，则AD＝BD=2x，计算AC和BC的比可得结论．
【解答】解：如图，过点O作OD⊥AB，交AC于D，连接BD，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC=3BC，
∴∠AOC＝135°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO＝22.5°，
∵OD是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠A＝∠ABD＝22.5°，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°，
设CD＝CB＝x，则AD＝BD=2x，
∴BCAC=xx+2x=12+1，
∴AC＝（2+1）BC．
【题型10 利用圆心角、弧、弦的关系求最值】
【例10】（2023秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，AB是⊙O的直径，点M，N在⊙O上，且点N是弧BM的中点，P是直径AB上的一个动点，连接PM，PN，已知AB=10，弧BM的度数为40°，则PM+PN的最小值为（ ）
A．10B．53C．52D．5
【答案】D
【分析】，作点N关于AB的对称点C，连接MC,OC，当P点在MC上时，PM+PN=PM+PC=MC，即PM+PN取得最小值，进而根据圆心角与弧的关系可得△OMC是等边三角形，即可求解．
【详解】解：如图所示，作点N关于AB的对称点C，连接MC,OC，当P点在MC上时，PM+PN=PM+PC=MC，即PM+PN取得最小值
∵BM的度数为40°，点N是弧BM的中点，
∴MC的度数为40°+12×40°=60°，
又OM=OC，
∴△OMC是等边三角形，
∵AB=10
∴MC=OM=5，
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定，熟练掌握是解题的关键．
【变式10-1】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，AB是半圆O的直径，半圆的半径为4，点C，D在半圆上，OC⊥AB,BD=2CD，点P是OC上的一个动点，则BP+DP的最小值为 ．
【答案】43
【分析】依题意，作点D关于OC的对称点为D1，连接BD1，BD1长即为BP+DP最小值；过点D1作D1Q⊥AB，构造RtΔQD1B和RtΔQOD1进行对应线段求解；
【详解】作点D关于OC的对称点为D1，连接BD1，OD1；过点D1作D1Q⊥AB；
由题知，OC⊥AB，BD=2CD，∴BC=3CD，可得CD对应的圆心角∠COD=30°；
又点D关于OC的对称点为D1，
∴∠COD1=30°，∠AOD1=60°，∴BD1长为BP+DP的最小值
在RtΔQOD1中，OD1=4，∴OQ=2，D1Q=23；
在RtΔQD1B中，BQ=OQ+OB=6，D1Q=23，∴BD1=62+(23)2=43；
故填：43；
【点睛】本题综合性考查圆的对称性及“将军饮马问题”的求解，关键在于熟练使用辅助线进行对应的直角三角形构造进行计算；
【变式10-2】（2023·山东枣庄·九年级学业考试）如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP，NP，则MP+NP的最小值是 cm．
【答案】52
【分析】试题分析：作N关于AB的对称点N'，连接M N'交AB于点P，则点P即为所求的点，再根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点可求出∠MO N'的值，再由勾股定理即可求出M N'的长．
【详解】作N关于AB的对称点N'，连接M N'交AB于点P，则点P即为所求的点，
∵M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，
∴∠MOB= 180°3 =60°，∠BO N' = 180°6 =30°，
∴∠MO N' =90°，
∵AB=10，
∴OM=O N' =5，
∴M N' = OM2+ON'2=52+52=52，
即MP+NP的最小值是52 .
故答案为：52．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式10-3】（2023春·九年级课时练习）如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点，若OB=2，则CE+DE长的最小值为 ．
【答案】22
【分析】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接OD′，利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E'时，CE+DE长最小，此时的最小值为CD'的长度．
【详解】如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D=CD′，
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