苏科版八年级数学上册专题2.5有理数的乘方【九大题型】同步练习(学生版+解析)

这是一份苏科版八年级数学上册专题2.5有理数的乘方【九大题型】同步练习(学生版+解析)，共34页。

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\l "_Tc25493" 【题型1 乘方的意义】 PAGEREF _Tc25493 \h 1
\l "_Tc1500" 【题型2 乘方运算的符号规律】 PAGEREF _Tc1500 \h 2
\l "_Tc19438" 【题型3 根据乘方运算判断整除问题】 PAGEREF _Tc19438 \h 2
\l "_Tc23544" 【题型4 根据乘方运算解决进制问题】 PAGEREF _Tc23544 \h 3
\l "_Tc2633" 【题型5 根据乘方运算判断末位数字问题】 PAGEREF _Tc2633 \h 4
\l "_Tc5235" 【题型6 含乘方的数字及图形规律问题】 PAGEREF _Tc5235 \h 5
\l "_Tc25939" 【题型7 含乘方的新定义问题】 PAGEREF _Tc25939 \h 6
\l "_Tc22669" 【题型8 应用乘方解决实际问题】 PAGEREF _Tc22669 \h 8
\l "_Tc29052" 【题型9 科学记数法的表示与还原】 PAGEREF _Tc29052 \h 9
【知识点1 有理数乘方的概念】
求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
即有：.
在中，叫做底数， n叫做指数.
【题型1 乘方的意义】
【例1】（2023春·广西来宾·七年级统考期中）（﹣6）4表示的意义是（ ）
A．﹣6×（﹣6）×（﹣6）×（﹣6）B．﹣6+（﹣6）+（﹣6）+（﹣6）
C．﹣6×4D．2×2×2×2
【变式1-1】（2023春·江苏苏州·七年级苏州市工业园区第一中学校考阶段练习）如图，写成幂的形式 ．
2×2×⋅⋅⋅×2m个23+3+⋅⋅⋅+3n个3
【变式1-2】（2022秋·河北邯郸·八年级校考期中）若 k 为正整数，则(k3)4的意义为（ ）
A．4 个k3 相加B．3 个k4 相加C．4 个k3 相乘D．7 个 k 相乘
【变式1-3】（2023春·七年级课时练习）阅读理解：根据乘方的意义，可得：22×23＝（2×2）×（2×2×2）＝25．请你试一试，完成以下题目：
（1）a3•a4＝（a•a•a）•（a•a•a•a）＝ ；
（2）归纳、概括：am•an＝ ；
（3）如果xm＝4，xn＝9，运用以上的结论，计算：xm+n＝ ．
【知识点2 有理数乘方的运算】
（1）正数的任何次幂都是正数；
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
（3）0的任何正整数次幂都是0；
（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
【题型2 乘方运算的符号规律】
【例2】（2023春·湖南娄底·七年级统考期末）计算（-2）11+（-2）10的值是（ ）
A．-2B．（-2）21C．0D．-210
【变式2-1】（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）若x−2+y+32=0，则x+y2020= ．
【变式2-2】（2023春·安徽安庆·七年级统考期中）下列各组数中，数值相等的一组是（ ）
A．32和23B．（﹣6）3和﹣63
C．﹣32和（﹣3）2D．﹣（2×3）2和﹣6×32
【变式2-3】（2023春·江苏南京·七年级统考期末）若x是有理数，则x2＋1一定（ ）
A．大于1B．小于1C．不小于1D．不大于1
【知识点3 含乘方的混合运算】
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
【题型3 根据乘方运算判断整除问题】
【例3】（2023春·重庆北碚·七年级江北中学校考阶段练习）阅读理解题，阅读材料：设正整数a可以写成
a=an1000n+an−11000n−1+⋯+a0，（其中0≤aib，b≠0，则2∗1∗−3∗3= ．
【答案】−27
【分析】根据新定义的运算法则，进行计算即可．
【详解】解：2∗1∗−3∗3=12∗−33
=1∗−27
=−271
=−27；
故答案为：−27．
【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算法则，是解题的关键．
【变式7-2】（2022秋·江苏南京·七年级校考阶段练习）概念学习
规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作−3④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把a÷a÷⋅⋅⋅÷an个a（a≠0）记作aⓝ，读作“a的圈n次方”．
初步探究
（1）直接写出计算结果：2③ = ，−12⑤= ；
（2）关于除方，下列说法错误的是
A．任何非零数的圈2次方都等于1；
B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；
C．3④=4③
D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．
−3的圈4次方＝ ；5的圈5次方＝ ；(−12)的圈6次方＝ ．
（2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________；
（3）算一算：24÷23+−8×2③．
【答案】初步探究（1）12；−8；（2）C；深入思考（1）132，153，24；（2）1an−2；（3）−1．
【分析】理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则计算出（3）的结果．
【详解】初步探究
解：初步探究
（1）2③=2÷2÷2=12，
(−12)⑤=−12÷−12÷−12÷−12÷−12=1÷−12÷−12÷−12=−2÷−12÷−12=−8故答案为：12，−8；
（2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确；
B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，1ⓝ都等于1； 所以选项B正确；
C、3④=3÷3÷3÷3=19，4③=4÷4÷4=14，则3④≠4③； 所以选项C错误；
D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确；
本题选择说法错误的，故选C；
深入思考
（1）(−3)④=−3÷−3÷−3÷−3=1×(13)2=132；
5⑤=5÷5÷5÷5÷5=1×(15)3=153；
(−12)⑥=−12÷−12÷−12÷−12÷−12÷−12
=1×2×2×2×2
=24；
故答案为：132，153，24．
（2）aⓝ=a÷a÷a…÷a=1÷an−2=1an−2．
故答案为：1an−2．
（3）24÷23+−8×2③
=24÷8+(−8)×12
=3−4
=−1．
【点睛】本题考查了新运算，幂的运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义．
【变式7-3】（2022秋·全国·七年级专题练习）请认真阅读下面材料，并解答下列问题．
如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：lgaN＝b．例如：
①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：lg24＝2；
②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：lg416＝2.
（1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：
①62＝36；
②43＝64；
（2）将下列对数式改为指数式：
①lg525＝2；
②lg327＝3；
（3）计算：lg232
【答案】（1）①lg636＝2；②lg464＝3；（2）①52＝25；②33＝27；（3）5
【分析】（1）根据题意可以把指数式写成对数式；
（2）根据题意可以把对数式写成指数式；
（3）根据题目中提供的信息可以计算出式子的结果．
【详解】解：（1）①62＝36；
对数式记作：lg636＝2；
②43＝64；
对数式记作：lg464＝3；
（2）①lg525＝2；
指数式为52＝25，
②lg327＝3；
指数式为33＝27；
（3）∵25＝32，
lg232＝5.
【点睛】本题考查了对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．
【题型8 应用乘方解决实际问题】
【例8】（2022秋·江苏南京·七年级统考期中）下列情景描述的结果与25相符的是 （填写所有正确选项的序号）
①把一张报纸沿同一方向连续对折5次得到的后折痕条数；
②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，连续拉扣5次得到的面条根数
③细胞分裂时，由1个分裂成2个，由2个分裂成4个，以此类推，一个这样的细胞分裂5次形成的细胞个数．
【答案】②③/③②
【分析】根据题干叙述分别计算找出对折的次数与折痕的条数，拉扣的次数和面条的根数，分裂的次数和细胞个数的规律，判断是否符合规律即可．
【详解】①把一张报纸沿同一方向对折，对折一次有1条折痕，对折两次是3条折痕，以此类推，对折5次后有1+2+4+8+16=31条折痕，不符合题意．
②把一团和好的面，揉搓成一根长条后，拉扣一次时有两根面条，两次有4根面条，以此类推，拉扣5次有25根面条，符合题意．
③由题意可得，一个这样的细胞分裂5次形成细胞个数为25个，符合题意．
故答案为②③．
【点睛】本题主要考查幂的应用，清楚理解幂的含义是解决本题的关键．
【变式8-1】（2022秋·浙江·七年级期中）小王在wrd文档中设计好一张A4规格的表格根据要求，这种规格的表格需要设计1000张，小王欲使用“复制一粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本wrd文档中“粘贴”）的办法满足要求．请问：小王需要使用“复制一粘贴”的次数至少为（ ）
A．9次B．10次C．11次D．12次
【答案】B
【分析】根据题意得出第一次复制得2张，第二次复制最多得2×2=22=4张，第三次复制最多得2×2×2=23=8张，即可得出规律，第九次复制最多得29=512张，第十次复制最多得210=1024张，问题得解．
【详解】解：由题意得第一次复制得2张，
第二次复制最多得2×2=22=4张，
第三次复制最多得2×2×2=23=8张，
第四次复制最多得2×2×2×2=24=16张，
……，
第九次复制最多得29=512张，
第十次复制最多得210=1024张，
1024＞1000，
所以至少需要10次．
B
【点睛】本题考查了乘方的应用，根据题意得到乘方运算规律，并正确进行计算是解题关键．
【变式8-2】（2022秋·四川成都·七年级四川省成都市七中育才学校校考期中）《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完，若按此方式截一根长为1的木棍，第4天截取后木棍剩余的长度是 ．
【答案】116
【分析】根据题意依次每一天剩余木棍的长度，即可求得第4天截取后木棍剩余的长度．
【详解】解：第一天截取后剩：1×1−12=12（米）；
第二天截取后剩：12×1−12=122（米）；
第三天截取后剩：122×1−12=123（米）；
第四天截取后剩：123×1−12=124=116（米）；
故答案为：116．
【点睛】本题考查了有理数乘方，掌握有理数乘方的意义及性质，理解题意写出算式是解题关键．
【变式8-3】（2023春·安徽亳州·七年级校考期中）细菌繁殖时，一个细菌分裂成两个，一个细菌在分裂n次后，数量变为2n个，有一种细菌分裂速度很快，它每12min分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么60min后，盘子里有多少个细菌？2h后细菌的个数是1h后的多少倍?
【答案】60min后，盘子里有32000个细菌，2h后细菌的个数是1h后的32倍
【分析】先求出60min，细菌分裂的次数，再根据一个细菌在分裂n次后，数量变为2n个，用细菌的数量乘以2n，即可得到总数，同理求出2h后细菌的个数，两数相除即可得出结果．
【详解】解：60÷12=5次，
∴60min后，盘子里有细菌：1000×25=32000（个）；
2h=120min,120÷12=10（次），
∴2h后，盘子里有1000×210个细菌；
1000×210÷1000×25=25=32，
答：60min后，盘子里有32000个细菌，2h后细菌的个数是1h后的32倍．
【点睛】本题考查有理数的乘方的实际应用．解题的关键是理解题意，算出细菌分裂的次数．
【知识点4 科学记数法的表示】
科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．（科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．）
规律方法总结：
①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．
②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．
【题型9 科学记数法的表示与还原】
【例9】（2023春·山西太原·七年级统考期末）根据国家统计局发布的数据，2022年全国夏粮总产量约14700万吨，比去年增加143.4万吨，我国夏粮生产连续两年实现增长．数据14700万吨用科学记数法表示为（ ）

A．1.47×104吨B．0.147×105吨C．1.47×108吨D．1.47×109吨
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|