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苏科版八年级数学上册专题4.8一元一次方程章末八大题型总结(培优篇)同步练习(学生版+解析)
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这是一份苏科版八年级数学上册专题4.8一元一次方程章末八大题型总结(培优篇)同步练习(学生版+解析)，共28页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32503" 【题型1 一元一次方程的遮挡问题】 PAGEREF _Tc32503 \h 1
\l "_Tc6042" 【题型2 一元一次方程的错解问题】 PAGEREF _Tc6042 \h 1
\l "_Tc7415" 【题型3 根据两个一元一次方程解的关系求值】 PAGEREF _Tc7415 \h 2
\l "_Tc61" 【题型4 判断方程解的情况】 PAGEREF _Tc61 \h 2
\l "_Tc6344" 【题型5 等式的基本性质的运用】 PAGEREF _Tc6344 \h 3
\l "_Tc29381" 【题型6 一元一次方程的解法】 PAGEREF _Tc29381 \h 3
\l "_Tc31201" 【题型7 一元一次方程与图表问题】 PAGEREF _Tc31201 \h 3
\l "_Tc25989" 【题型8 列一元一次方程并求解】 PAGEREF _Tc25989 \h 5
【题型1 一元一次方程的遮挡问题】
【例1】下面是一个被墨水污染过的方程：
2x−12=12x−，答案显示此方程的解是x=-1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ）
A．2B．﹣6C．﹣12D．12
【变式1-1】方程2x+▲=5x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x=2，那么▲处的常数是 ．
【变式1-2】（22·23上·扬州·期末）小方在做作业时，计算：−6×23−●+−23．发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是12，请计算−6×23−12+−23；
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【变式1-3】小磊在解方程321−■−x3=x−13时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为x=23，于是他推算确定被染了的数字“■”应该是 ．
【题型2 一元一次方程的错解问题】
【例2】小乐在解方程5a−x6﹣1＝0（x为未知数）时，误将﹣x看作+x，得方程的解为x＝1，则原方程的解为 ．
【变式2-1】马小虎同学在解关于x的方程1−x=−2x−2a时，误将等号右边的“−2a”看作“+2a”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为x=−5，则原方程正确的解为（ ）
A．x=2B．x=3C．x=4D．x=5
【变式2-2】小明在解方程x−13−x+16=3x−12−1时的步骤如下：
解：2x−1−x+1=33x−1−6……第①步；
2x−2−x+1=9x−3−6……第②步；
2x−x−9x=−3−6+2−1……第③步；
−8x=−8……第④步；
x=1……第⑤步．
(1)以上解方程的过程中，第①步是进行______________，变形的依据是______________；
(2)以上步骤从第_____步（填序号）开始出错，错误的原因是____________；
(3)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程需要注意的事项给其他同学提出一条建议；
(4)请聪明的你写出这题正确的解答过程．
【变式2-3】某同学解关于x的方程2（x+2）=a﹣3（x﹣6）时，由于粗心大意，误将等号右边的“﹣3（x﹣6）”看作“+3（x﹣6）”，其它解题过程均正确，从而解得方程的解为x=11，请求出a的值，并正确地解方程．
【题型3 根据两个一元一次方程解的关系求值】
【例3】已知关于x的方程3x−1−m=m+32①的解比方程2x−3−1=3−x+1②的解大1．
(1)求方程②的解；
(2)求m的值．
【变式3-1】已知方程2−3x+1=0的解与关于x的方程k+x2−3k−2=2x的解互为相反数，求k的值．
【变式3-2】在练习解方程时，作业上有一个方程“2y−13=18y+■”中的■没印清，小华问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与x=3时，代数式5x−1−2x−2−4的值相同”．
(1)求当x=3时，代数式5x−1−2x−2−4的值；
(2)求原方程中■的值．
【变式3-3】已知关于x的方程x−m2=x+m3与x+12=3x−2的解互为倒数，则m的值 ．
【题型4 判断方程解的情况】
【例4】关于x的方程ax+b=0的解得情况如下：当a≠0时，方程有唯一解x=-ba；当a=0，b≠0时，方程无解；当a=0，b=0时，方程有无数解．若关于x的方程mx+23=n3-x有无数解，则m+n的值为（ ）
A．−1B．1
C．2D．以上答案都不对
【变式4-1】若关于x的方程a3x=x2−x−66无解，则a的值为
【变式4-2】已知关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，关于y的方程2+y=（b+1）y无解，判断关于z的方程az=b的解的情况．
【变式4-3】若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（ ）
A．有至少两个不同的解B．有无限多个解
C．只有一个解D．无解
【题型5 等式的基本性质的运用】
【例5】“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式5-1】如果等式ax﹣3x=2+b不论x取什么值时都成立，则a= b= .
【变式5-2】有15个球，其中的14球质量相同，另有1个球轻了一些，如果能用天平称出来，至少 次可以找出这个较轻的球．
【变式5-3】已知实数a、b、c满足a−b=ab=c，下列结论正确的是（ ）
A．a可能为−1B．若a、b、c中有两个数相等，则abc=0
C．若c≠0，则1a−1b=1D．若c=1，则a2+b2=3
【题型6 一元一次方程的解法】
【例6】解方程: x0.7−0.17−；
【变式6-1】解方程：x−34+2x+33=x+56−x−45．
【变式6-2】解方程：（2x2﹣3）（x+4）=x﹣4+2x（x2+4x﹣3）．
【变式6-3】解方程：x3×4+x4×5+x5×6+x6×7=2020
【题型7 一元一次方程与图表问题】
【例7】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将−1，2，−3，4，−5，6，−7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（ ）
A．1或−1B．−1或−4C．−3或−6D．1或−8
【变式7-1】实践与探索，将连续的奇数1，3，5，7……排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）
(1)若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数表示十字框框住5个数字之和：
(2)十字框框住5个数字之和等于295？若能，分别写出十字框住的5个数，若不能，请说明理由．
【变式7-2】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等，例如下图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则a的值是 ．
图（1） 图（2）
【变式7-3】生活与数学
(1)吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是28，那么第一个数是 ；
(2)玛丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则这四个数中最大的数是 ；
(3)莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是 ；
(4)某年的10月份有5个星期日，这5个星期日的和是75，则这个月中最后一天是星期 ；
(5)若干个偶数按每行8个数排成下图：
①图中方框内的9个数的和与中间的数有的关系是 ；
②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是 ；
③托马斯也画了一个斜框，通过计算得到斜框内9个数的和为450，你认为他计算的结果可能吗？说明你的理由．
【题型8 列一元一次方程并求解】
【例8】任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.7为例进行说明：设0.7=x，由0.7=0.7777⋯可知，10x=7.777⋯，所以10x−x=7，解方程，得x=79．于是，得0.7=79，将0.36写成分数的形式是（ ）
A．13B．23C．411D．511
【变式8-1】把75拆成4个数的和，使得第一个数加4，第二个数减4，第三个数乘4，第四个数除以4，得到的结果都相等，拆成这四个数中最大的数是 ．
【变式8-2】已知三个连续奇数的和是51，这三个数分别是 ．
【变式8-3】一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是 6 ， 给这个两位数加上 18 后， 比十位数字大 56 ， 这个两位数是（ ）
A．42B．24C．33D．51
专题4.8 一元一次方程章末八大题型总结（培优篇）
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32503" 【题型1 一元一次方程的遮挡问题】 PAGEREF _Tc32503 \h 1
\l "_Tc6042" 【题型2 一元一次方程的错解问题】 PAGEREF _Tc6042 \h 3
\l "_Tc7415" 【题型3 根据两个一元一次方程解的关系求值】 PAGEREF _Tc7415 \h 5
\l "_Tc61" 【题型4 判断方程解的情况】 PAGEREF _Tc61 \h 8
\l "_Tc6344" 【题型5 等式的基本性质的运用】 PAGEREF _Tc6344 \h 10
\l "_Tc29381" 【题型6 一元一次方程的解法】 PAGEREF _Tc29381 \h 12
\l "_Tc31201" 【题型7 一元一次方程与图表问题】 PAGEREF _Tc31201 \h 13
\l "_Tc25989" 【题型8 列一元一次方程并求解】 PAGEREF _Tc25989 \h 18
【题型1 一元一次方程的遮挡问题】
【例1】下面是一个被墨水污染过的方程：
2x−12=12x−，答案显示此方程的解是x=-1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ）
A．2B．﹣6C．﹣12D．12
【答案】A
【分析】设被墨水覆盖的数是y，将x=-1代入，解含有y的方程即可得到答案.
【详解】设被墨水覆盖的数是y，则原方程为：2x−12=12x−y，
∵此方程的解是x=-1，
∴将x=-1代入得：−2−12=−12−y ,
∴y=2,
A.
【点睛】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的解.
【变式1-1】方程2x+▲=5x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x=2，那么▲处的常数是 ．
【答案】6
【分析】设被墨水盖住的常数是a，把x=2代入方程2x+a=5x得出4+a=10，再求出方程的解即可．
【详解】解：设被墨水盖住的常数是a，
把x=2代入方程2x+a=5x，
得4+a=10，
解得：a=6，
即▲处的常数是6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
【变式1-2】（22·23上·扬州·期末）小方在做作业时，计算：−6×23−●+−23．发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是12，请计算−6×23−12+−23；
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【答案】(1)−9
(2)3
【分析】（1）将被污染的数字12代入原式，根据有理数的混合运算即可得出答案；
（2）设被污染的数字为x，根据计算结果等于6列出方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：−6×23−12+−23
=(−6)×16−8
=−1−8
=−9；
（2）设被污染的数字为x，
根据题意得：−6×23−x+−23=6，
解得：x=3，
答：被污染的数字是3．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，体现了方程思想，设被污染的数字为x，根据计算结果等于6列出方程是解题的关键．
【变式1-3】小磊在解方程321−■−x3=x−13时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为x=23，于是他推算确定被染了的数字“■”应该是 ．
【答案】3
【分析】设“■”表示的数为a，将一元一次方程的解代入求解即可得出结果．
【详解】解：设“■”表示的数为a，
将x=23代入方程得：
321−a−233=23−13，
解得a=3，
即“■”表示的数为3，
故答案为：3．
【点睛】题目主要考查一元一次方程的解及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键．
【题型2 一元一次方程的错解问题】
【例2】小乐在解方程5a−x6﹣1＝0（x为未知数）时，误将﹣x看作+x，得方程的解为x＝1，则原方程的解为 ．
【答案】-1
【分析】根据题意，方程5a+x6﹣1＝0的解是x=1，可先得出a，然后，代入原方程，解出即可.
【详解】把x＝1代入方程5a+x6﹣1＝0中得：5a+16﹣1＝0，
解得：a＝1，
则原方程为5−x6﹣1＝0，
解得：x＝﹣1，
故答案是：﹣1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，把方程的解代入先求出a的值，然后求解，读懂题意是关键．
【变式2-1】马小虎同学在解关于x的方程1−x=−2x−2a时，误将等号右边的“−2a”看作“+2a”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为x=−5，则原方程正确的解为（ ）
A．x=2B．x=3C．x=4D．x=5
【答案】B
【分析】先将x=−5代入1−x=−2x+2a求出a的值，再解关于x的方程．
【详解】解：由题意知：x=−5是方程1−x=−2x+2a的解，
∴ 1−−5=−2−5+2a，
解得a=1，
∴原方程为1−x=−2x−2，
解得x=3，
故选B．
【点睛】本题考查一元一次方程的解与解一元一次方程，求出a的值是解题的关键．
【变式2-2】小明在解方程x−13−x+16=3x−12−1时的步骤如下：
解：2x−1−x+1=33x−1−6……第①步；
2x−2−x+1=9x−3−6……第②步；
2x−x−9x=−3−6+2−1……第③步；
−8x=−8……第④步；
x=1……第⑤步．
(1)以上解方程的过程中，第①步是进行______________，变形的依据是______________；
(2)以上步骤从第_____步（填序号）开始出错，错误的原因是____________；
(3)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程需要注意的事项给其他同学提出一条建议；
(4)请聪明的你写出这题正确的解答过程．
【答案】(1)去分母；等式性质2
(2)①，第二个分子x+1没有用括号括起来
(3)去分母时，不要漏乘没有分母的项或去分母时，多项式分子要用括号括起来
(4)见解析
【分析】（1）（2）（3）直接根据解一元一次方程的方法作答即可；
（4）先方程两边同时乘以6，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1．
【详解】（1）去分母，等式性质2；
（2）①，第二个分子x+1没有用括号括起来；
（3）去分母时，不要漏乘没有分母的项或去分母时，多项式分子要用括号括起来（答案不唯一）
（4）正确解答如下：去分母，得：2x−1−x+1=33x−1−6
去括号，得：2x−2−x−1=9x−3−6
移项，得：2x−x−9x=−3−6+2+1
合并同类项，得：−8x=−6
系数化为1，得：x=34．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．去括号时，一是注意不要漏乘括号内的项，二是明确括号前的符号；去分母时，一是注意不要漏乘没有分母的项，二是去掉分母后把分子加括号．
【变式2-3】某同学解关于x的方程2（x+2）=a﹣3（x﹣6）时，由于粗心大意，误将等号右边的“﹣3（x﹣6）”看作“+3（x﹣6）”，其它解题过程均正确，从而解得方程的解为x=11，请求出a的值，并正确地解方程．
【答案】x=15．
【分析】根据题意，得到等号右边的“﹣3（x﹣6）”看作“+3（x﹣6）”的方程，解方程得到a 的值，将a的值代入原方程可求得正确的解．
【详解】解：根据题意，将x=11代入2（x+2）=a+3（x﹣6），得：2（11+2）=a+3（11﹣6），
解得a=﹣1，
所以原方程为2x+2=−1−3x−2，
解得：x=15．
【点睛】考查一元一次方程的解, 解一元一次方程，比较基础，得到a的值是解题的关键.
【题型3 根据两个一元一次方程解的关系求值】
【例3】已知关于x的方程3x−1−m=m+32①的解比方程2x−3−1=3−x+1②的解大1．
(1)求方程②的解；
(2)求m的值．
【答案】(1)x=3
(2)m=5
【分析】（1）先去括号，再移项，然后合并同类项，即可求解；
（2）根据题意可得方程①的解为x=4，再代入方程①，得到关于m的方程，即可求解．
【详解】（1）解：2x−3−1=3−x+1
去括号得：2x−6−1=3−x−1，
移项得：2x+x=3−1+6+1，
合并同类项得：3x=9，
解得：x=3；
（2）解：因为方程①比方程②的解大1，
∴方程①的解为x=4，
把x=4代入方程①得，3×4−1−m=m+32，
解得m=5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程．熟练掌握解解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
【变式3-1】已知方程2−3x+1=0的解与关于x的方程k+x2−3k−2=2x的解互为相反数，求k的值．
【变式3-2】在练习解方程时，作业上有一个方程“2y−13=18y+■”中的■没印清，小华问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与x=3时，代数式5x−1−2x−2−4的值相同”．
(1)求当x=3时，代数式5x−1−2x−2−4的值；
(2)求原方程中■的值．
【答案】(1)4
(2)716
【分析】（1）先把所求代数式去括号，然后合并同类项化简，再把x=3代入求值即可；
（2）根据（1）所求得到y=4，把y=4带入方程中进行求解即可．
【详解】（1）解：5x−1−2x−2−4
=5x−5−2x+4−4
=3x−5，
当x=3时，原式=3×3−5=4；
（2）解：由题意得，方程2y−13=18y+■的解为y=4，
∴2×4−13=18×4+■，
∴■=716．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，一元一次方程的解，正确计算出（1）中代数式的值是解题的关键．
【变式3-3】已知关于x的方程x−m2=x+m3与x+12=3x−2的解互为倒数，则m的值 ．
【答案】−35
【分析】先将x+12=3x−2的解求出，然后将x的倒数求出后代入原方程求出m的值．
【详解】解：∵x+12=3x−2，
∴x=1，
由题意可知：x=1是x−m2=x+m3的解，
∴1−m2=1+m3
解得：m=−35，
故答案为：−35．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，利用同解方程，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有m的方程，从而求出m即可．
【题型4 判断方程解的情况】
【例4】关于x的方程ax+b=0的解得情况如下：当a≠0时，方程有唯一解x=-ba；当a=0，b≠0时，方程无解；当a=0，b=0时，方程有无数解．若关于x的方程mx+23=n3-x有无数解，则m+n的值为（ ）
A．−1B．1
C．2D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】首先把方程化成一般形式，然后根据关于x的方程mx+23=n3−x有无数解，对一次项系数进行讨论求得m、n的值，再相加即可求解．
【详解】解：mx+23=n3−x
m+1x=n−23，
∵关于x的方程mx+23=n3−x有无数解，
∴m+1=0，n-2=0，
解得m=-1，n=2，
∴m+n=-1+2=1．
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确对方程进行化简是关键．
【变式4-1】若关于x的方程a3x=x2−x−66无解，则a的值为
【答案】1
【分析】先去分母可得，(2a−2)x=6，再由x=3a−1即可求解．
【详解】解：原方程去分母得，2ax=3x−x+6，
移项得，2ax−2x=6，
合并同类项得，2(a−1)x=6，
系数化1得，x=3a−1，方程无解，则分母为零，
∴a−1=0，则a=1，
故答案是：1．
【点睛】本题考查的是一次方程无解的知识点，掌握x=ba无解时，满足b≠0，a=0是解题的关键．
【变式4-2】已知关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，关于y的方程2+y=（b+1）y无解，判断关于z的方程az=b的解的情况．
【答案】z=0
【分析】根据题意，化简关于x、y的方程，推断出a、b情况，将条件代入关于z的方程，得出结果．
【详解】关于x的方程4+3ax=2a﹣7可以简化为：x=2a−113a，
∵关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，
∴a≠0，
∵2+y=（b+1）y，
∴2+y=by+y，
∴by=2，
∴y=2b，
∵关于y的方程2+y=（b+1）y无解，
∴b=0，
关于z的方程az=b可以简化为：z=ba，
∵a≠0，b=0，
∴z=0．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的应用，需要一步步化简，综合所给条件，讨论得出结果．
【变式4-3】若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（ ）
A．有至少两个不同的解B．有无限多个解
C．只有一个解D．无解
【答案】A
【分析】首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根据方程有两个解的条件可得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情况．
【详解】解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x
可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n
∵有至少两个不同的解，
∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0，
即m＝﹣6，n＝6，
把m＝﹣6，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m，
∴方程（m+n）x+3＝4x+m无解．
D．
【点睛】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程，关键是根据解的情况判断字母系数的值．
【题型5 等式的基本性质的运用】
【例5】“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．据此解答即可．
【详解】解：由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．
答：“？”处应放〇的个数是3个．
C．
【点睛】找出各图形之间的数量关系，是解题关键．
【变式5-1】如果等式ax﹣3x=2+b不论x取什么值时都成立，则a= b= .
【答案】 3 -2
【详解】分析：先将等式转化为（a﹣3）x=2+b，根据题意，等式成立的条件与x的值无关，则x的系数为0由此可求得a、b的值．
详解：将等式ax﹣3x=2+b转化为（a﹣3）x=2+b，根据题意，等式成立的条件与x的值无关，则a﹣3=0，解得：a=3，此时，2+b=0，解得：b=﹣6．
故答案为3，﹣6．
点睛：本题主要考查了等式的性质，解题的关键是要善于利用题目中的隐含条件：“不论x取何值，等式永远成立” ．
【变式5-2】有15个球，其中的14球质量相同，另有1个球轻了一些，如果能用天平称出来，至少 次可以找出这个较轻的球．
【答案】3
【分析】先把15个球平均分成三组，用一次天平可找出有较轻的球的那组，再把球轻的哪个组的5个球，分成2，2，1三组，把2个的两组放在天平上，若平衡，则剩下的那个是较轻的球；若天平不平衡，可找出球较轻的那个组，再把两个球放天平上，即可找出较轻的球，
【详解】解：先把15个球分成5个一组，共三组，任取两组放在天平上，可找出球轻在哪个组；
再把球轻的哪个组的5个球，分成2，2，1三组，把2个的两组放在天平上，若平衡，则剩下的那个是较轻的球；
若天平不平衡，可找出球较轻的那个组，再把两个球放天平上，即可找出较轻的球，
故至少3次可以找出这个较轻的球．
故答案为：3
【点睛】本题考查了等式的性质，合情推理是解题的关键
【变式5-3】已知实数a、b、c满足a−b=ab=c，下列结论正确的是（ ）
A．a可能为−1B．若a、b、c中有两个数相等，则abc=0
C．若c≠0，则1a−1b=1D．若c=1，则a2+b2=3
【答案】A
【分析】a=−1，a−b=ab=c，则−1−b=−b，等式不成立，故A错误；B分三种情形讨论即可；C由c≠0，a−b=ab=c推出a−b≠0，ab≠0，推出a−bab=1，即1b−1a=1，故错误；D由c=1，a−b=ab=c推出a−b=1，ab=1，则根据完全平方公式可得，a2+b2=3．
【详解】A.∵a=−1，a−b=ab=c，
∴−1−b=−b，等式不成立，故错误；
B.分三种情形讨论：
当a=b时，a−b=0，c=0，则abc=0，成立；
当a=c时，a−b=ab=c，则c−b=c，cb=c，无解，故abc=0不成立；
当b=c时，a−b=ab=c，则a−c=c，ac=c，解得a=1,b=12,c=12，故abc=0不成立，该选项错误；
C.由c≠0，a−b=ab=c推出a−b≠0，ab≠0，推出a−bab=1，即1b−1a=1，故错误；
D ∵c=1，a−b=ab=c，
∴a−b=1，ab=1，
∵a−b2=a2+b2−2ab，
∴12=a2+b2−2×1，
解得：a2+b2=3，故正确；
D．
【点睛】本题考查等式的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于常考题型．
【题型6 一元一次方程的解法】
【例6】解方程: x0.7−0.17−；
【答案】x=1417
【分析】先把小数都处理成整数，再按解一元一次方程的步骤计算即可．
【详解】解：原方程可化为：10x7−17−20x3=1，
去分母，可得：30x−717−20x=21，
去括号，可得：30x−119+140x=21，
移项，可得：30x+140x=21+119，
合并同类项，可得：170x=140，
系数化为1，可得： x=1417．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，一般解方程步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1．
【变式6-1】解方程：x−34+2x+33=x+56−x−45．
【答案】x=8357
【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．
【详解】方程两边分别通分后相加，得3x−3+42x+312=5x+5−6x−430．
化简，得11x+312=−x+4930，
去分母得：3011x+3=12−x+49，
去括号得：330x+90=−12x+588，
移项合并得：342x=498
解得：x=8357．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．
【变式6-2】解方程：（2x2﹣3）（x+4）=x﹣4+2x（x2+4x﹣3）．
【答案】x=4
【分析】方程两边去括号后，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：去括号得：2x3+8x2﹣3x﹣12=x﹣4+2x3+8x2﹣6x，
移项合并得：2x=8，
系数化为1得：x=4．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解一元一次方程，解题关键是熟练运用整式运算法则进行化简方程，准确地解一元一次方程．
【变式6-3】解方程：x3×4+x4×5+x5×6+x6×7=2020
【答案】x=10605
【分析】先裂项化简，再通分，然后系数化为1即可．
【详解】x3×4+x4×5+x5×6+x6×7=2020
裂项，得
x3−x4+x4−x5+x5−x6+x6−x7=2020
化简，得
x3−x7=2020
通分，得
421x=2020
系数化为1，得
x=10605
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
【题型7 一元一次方程与图表问题】
【例7】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将−1，2，−3，4，−5，6，−7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（ ）
A．1或−1B．−1或−4C．−3或−6D．1或−8
【答案】B
【分析】根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2，再由已经填写的数，确定a=−1或a=2，从而求出d的值，即可求解．
【详解】解：如图，
∵−1+2−3+4−5+6−7+8=4，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，
∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2，
∴−7+6+8+b=2，
∴b=−5，
∵6+4+b+c=2，
∴6+4−5+c=2，解得c=−3，
∵a+c+4+d=2，
∴a+d=2−c−4=1
∴a+d=1，
∴a=−1或a=2，
当a=−1时，d=2，此时a+b=−1−5=−6,
当a=2时，d=−1，此时a+b=2−5=−3,
即a+b的值为−3或−6，
C．
【点睛】此题考查了有理数加法和一元一次方程的应用，熟练掌握有理数加法法则，能够根据所给条件推出a，d的可能取值是解题的关键．
【变式7-1】实践与探索，将连续的奇数1，3，5，7……排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）
(1)若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数表示十字框框住5个数字之和：
(2)十字框框住5个数字之和等于295？若能，分别写出十字框住的5个数，若不能，请说明理由．
【变式7-2】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等，例如下图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则a的值是 ．
图（1） 图（2）
【答案】9
【分析】设a下方的数为m，右上角的数为n，则第二横行三个数的和为11+m+15，由第一竖列三个数的和为39，可知每一横行、每一竖列、每条对角线上的3个数之和均等于39，于是列方程得11+m+15=39，求得m=13，再由对角线三个数的和列方程得n+13+12=39，求得n=14，由第一行三个数的和列方程得16+a+14=39，解方程求出a的值即得到问题的答案．
【详解】设a下方的数为m，右上角的数为n，
∵16+11+12=39，
∴每一横行、每一竖列、每条对角线上的3个数之和均等于39，
根据题意得11+m+15=39，
解得m=13，
∴n+13+12=39，
解得n=14，
∴16+a+14=39，
解得a=9，
故答案为：9．
【点睛】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示第二横行三个数的和并且求出a下方的数是解题的关键．
【变式7-3】生活与数学
(1)吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是28，那么第一个数是 ；
(2)玛丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则这四个数中最大的数是 ；
(3)莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是 ；
(4)某年的10月份有5个星期日，这5个星期日的和是75，则这个月中最后一天是星期 ；
(5)若干个偶数按每行8个数排成下图：
①图中方框内的9个数的和与中间的数有的关系是 ；
②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是 ；
③托马斯也画了一个斜框，通过计算得到斜框内9个数的和为450，你认为他计算的结果可能吗？说明你的理由．
【答案】(1)3
(2)14
(3)10
(4)二
(5)① 9倍；②40；③不可能
【分析】（1）先根据日历上的数据规律，设第一个数是x,其他的数为x+1，x+7，x+8，然后列一元一次方程求解即可；
（2）根据日历上的数据规律，设第一个数是a,其他的数为a+1，a+6，a+7，然后列一元一次方程求解即可；
（3）根据日历上的数据规律，设中间的数是b,根据5个数的和是50列方程求解即可；
（4）根据日历上的数据规律，设最后一个星期日是m,则其他的星期日为m−7，m−14，m−21，m−28，再列一元一次方程求解即可；
（5）①通过计算可以得出结论；②根据①的规律，设中间的数是n,列方程求解即可；③根据①的规律，设中间的数是t,列方程求解即可．
【详解】（1）解：设第一个数是x,其他的数为x+1，x+7，x+8，
则x+x+1+x+7+x+8=28，解得x=3．
故答案为：3．
（2）解：设第一个数是a,其他的数为a+1，a+6，a+7，
则a+a+1+a+6+a+7=42，解得a=7，
则a+1=8，a+6=13，a+7=14．
故答案为：14．
（3）解：设中间的数是b,则b+1+b−1+b+7+b−7=50，解得b=10．
故答案为：10．
（4）解：设最后一个星期日是m,则其他的星期日为m−7，m−14，m−21，m−28，
则m+m−7+m−14+m−21+m−28=75，解得m=29，
∴这个月中最后一天是星期二．
故答案为：二．
（5）解：①2+4+6+18+20+22+34+36+38=180=9×20，
故答案为：9个数的和是中间的数的9倍；
②根据规律可知，和是中间的数的9倍，
设中间的数是n,
则9n=360，解得n=40，
故答案为：40；
③不可能，理由如下：
设中间的数是t,
则9t=450，解得t=50，
∵50是最左边第1列上的数，
∴不可能存在．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用和数字变化的规律，关键找出规律、列方程是解答本题的关键．
【题型8 列一元一次方程并求解】
【例8】任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.7为例进行说明：设0.7=x，由0.7=0.7777⋯可知，10x=7.777⋯，所以10x−x=7，解方程，得x=79．于是，得0.7=79，将0.36写成分数的形式是（ ）
A．13B．23C．411D．511
【答案】B
【分析】根据题意可得，设x=0.36，则100x−x=36，求解即可．
【详解】解：设x=0.36，由题意可得100x−x=36
解得x=411，即0.36=411
C
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出一元一次方程．
【变式8-1】把75拆成4个数的和，使得第一个数加4，第二个数减4，第三个数乘4，第四个数除以4，得到的结果都相等，拆成这四个数中最大的数是 ．
【答案】48
【分析】设相等的数为x，依次表示出拆成的4个数，根据4个数的和为75列方程即可求得相等的数，进而求得拆成的4个数，从而可判断最大的数．
【详解】解：设相等的数为x，则拆成的4个数为：(x−4)，(x＋4)，4x，x4，
由题意得：(x−4)+(x+4)+4x+ x4 =75，
解得：x=12，
则x−4=8，x＋4=16，4x=48，x4=3，
故最大的数是48．
故答案为：48．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，用相等的数去表示拆成的4个数是解决本题的突破点，难度一般．
【变式8-2】已知三个连续奇数的和是51，这三个数分别是 ．
【答案】15 、 17 、 19
【分析】此题可利用“三个连续奇数的和是51”作为相等关系列方程求解；
【详解】设最小的奇数为x，
则x+x+2+x+4=51
解得：x=15
故这三个数分别为：15，17，19；
故答案为：15，17，19
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程，再求解；此题中要熟悉连续奇数的表示方法，相邻的两个连续奇数相差2．
【变式8-3】一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是 6 ， 给这个两位数加上 18 后， 比十位数字大 56 ， 这个两位数是（ ）
A．42B．24C．33D．51
【答案】A
【分析】设这个两位数的十位数字是 x， 则个位数字是6−x，根据题意列出一元一次方程，进行求解即可．
【详解】解：设这个两位数的十位数字是 x， 则个位数字是6−x，
由题意得10x+6−x+18−x=56，
解得： x=4，6−x=6−4=2．
∴这个两位数是 42．
故选A．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意，正确的列出一元一次方程，是解题的关键．4
9
2
16
a
3
5
7
11
15
8
1
6
12
4
9
2
16
a
3
5
7
11
15
8
1
6
12
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32503" 【题型1 一元一次方程的遮挡问题】 PAGEREF _Tc32503 \h 1
\l "_Tc6042" 【题型2 一元一次方程的错解问题】 PAGEREF _Tc6042 \h 1
\l "_Tc7415" 【题型3 根据两个一元一次方程解的关系求值】 PAGEREF _Tc7415 \h 2
\l "_Tc61" 【题型4 判断方程解的情况】 PAGEREF _Tc61 \h 2
\l "_Tc6344" 【题型5 等式的基本性质的运用】 PAGEREF _Tc6344 \h 3
\l "_Tc29381" 【题型6 一元一次方程的解法】 PAGEREF _Tc29381 \h 3
\l "_Tc31201" 【题型7 一元一次方程与图表问题】 PAGEREF _Tc31201 \h 3
\l "_Tc25989" 【题型8 列一元一次方程并求解】 PAGEREF _Tc25989 \h 5
【题型1 一元一次方程的遮挡问题】
【例1】下面是一个被墨水污染过的方程：
2x−12=12x−，答案显示此方程的解是x=-1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ）
A．2B．﹣6C．﹣12D．12
【变式1-1】方程2x+▲=5x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x=2，那么▲处的常数是 ．
【变式1-2】（22·23上·扬州·期末）小方在做作业时，计算：−6×23−●+−23．发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是12，请计算−6×23−12+−23；
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【变式1-3】小磊在解方程321−■−x3=x−13时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为x=23，于是他推算确定被染了的数字“■”应该是 ．
【题型2 一元一次方程的错解问题】
【例2】小乐在解方程5a−x6﹣1＝0（x为未知数）时，误将﹣x看作+x，得方程的解为x＝1，则原方程的解为 ．
【变式2-1】马小虎同学在解关于x的方程1−x=−2x−2a时，误将等号右边的“−2a”看作“+2a”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为x=−5，则原方程正确的解为（ ）
A．x=2B．x=3C．x=4D．x=5
【变式2-2】小明在解方程x−13−x+16=3x−12−1时的步骤如下：
解：2x−1−x+1=33x−1−6……第①步；
2x−2−x+1=9x−3−6……第②步；
2x−x−9x=−3−6+2−1……第③步；
−8x=−8……第④步；
x=1……第⑤步．
(1)以上解方程的过程中，第①步是进行______________，变形的依据是______________；
(2)以上步骤从第_____步（填序号）开始出错，错误的原因是____________；
(3)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程需要注意的事项给其他同学提出一条建议；
(4)请聪明的你写出这题正确的解答过程．
【变式2-3】某同学解关于x的方程2（x+2）=a﹣3（x﹣6）时，由于粗心大意，误将等号右边的“﹣3（x﹣6）”看作“+3（x﹣6）”，其它解题过程均正确，从而解得方程的解为x=11，请求出a的值，并正确地解方程．
【题型3 根据两个一元一次方程解的关系求值】
【例3】已知关于x的方程3x−1−m=m+32①的解比方程2x−3−1=3−x+1②的解大1．
(1)求方程②的解；
(2)求m的值．
【变式3-1】已知方程2−3x+1=0的解与关于x的方程k+x2−3k−2=2x的解互为相反数，求k的值．
【变式3-2】在练习解方程时，作业上有一个方程“2y−13=18y+■”中的■没印清，小华问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与x=3时，代数式5x−1−2x−2−4的值相同”．
(1)求当x=3时，代数式5x−1−2x−2−4的值；
(2)求原方程中■的值．
【变式3-3】已知关于x的方程x−m2=x+m3与x+12=3x−2的解互为倒数，则m的值 ．
【题型4 判断方程解的情况】
【例4】关于x的方程ax+b=0的解得情况如下：当a≠0时，方程有唯一解x=-ba；当a=0，b≠0时，方程无解；当a=0，b=0时，方程有无数解．若关于x的方程mx+23=n3-x有无数解，则m+n的值为（ ）
A．−1B．1
C．2D．以上答案都不对
【变式4-1】若关于x的方程a3x=x2−x−66无解，则a的值为
【变式4-2】已知关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，关于y的方程2+y=（b+1）y无解，判断关于z的方程az=b的解的情况．
【变式4-3】若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（ ）
A．有至少两个不同的解B．有无限多个解
C．只有一个解D．无解
【题型5 等式的基本性质的运用】
【例5】“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式5-1】如果等式ax﹣3x=2+b不论x取什么值时都成立，则a= b= .
【变式5-2】有15个球，其中的14球质量相同，另有1个球轻了一些，如果能用天平称出来，至少 次可以找出这个较轻的球．
【变式5-3】已知实数a、b、c满足a−b=ab=c，下列结论正确的是（ ）
A．a可能为−1B．若a、b、c中有两个数相等，则abc=0
C．若c≠0，则1a−1b=1D．若c=1，则a2+b2=3
【题型6 一元一次方程的解法】
【例6】解方程: x0.7−0.17−；
【变式6-1】解方程：x−34+2x+33=x+56−x−45．
【变式6-2】解方程：（2x2﹣3）（x+4）=x﹣4+2x（x2+4x﹣3）．
【变式6-3】解方程：x3×4+x4×5+x5×6+x6×7=2020
【题型7 一元一次方程与图表问题】
【例7】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将−1，2，−3，4，−5，6，−7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（ ）
A．1或−1B．−1或−4C．−3或−6D．1或−8
【变式7-1】实践与探索，将连续的奇数1，3，5，7……排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）
(1)若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数表示十字框框住5个数字之和：
(2)十字框框住5个数字之和等于295？若能，分别写出十字框住的5个数，若不能，请说明理由．
【变式7-2】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等，例如下图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则a的值是 ．
图（1） 图（2）
【变式7-3】生活与数学
(1)吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是28，那么第一个数是 ；
(2)玛丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则这四个数中最大的数是 ；
(3)莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是 ；
(4)某年的10月份有5个星期日，这5个星期日的和是75，则这个月中最后一天是星期 ；
(5)若干个偶数按每行8个数排成下图：
①图中方框内的9个数的和与中间的数有的关系是 ；
②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是 ；
③托马斯也画了一个斜框，通过计算得到斜框内9个数的和为450，你认为他计算的结果可能吗？说明你的理由．
【题型8 列一元一次方程并求解】
【例8】任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.7为例进行说明：设0.7=x，由0.7=0.7777⋯可知，10x=7.777⋯，所以10x−x=7，解方程，得x=79．于是，得0.7=79，将0.36写成分数的形式是（ ）
A．13B．23C．411D．511
【变式8-1】把75拆成4个数的和，使得第一个数加4，第二个数减4，第三个数乘4，第四个数除以4，得到的结果都相等，拆成这四个数中最大的数是 ．
【变式8-2】已知三个连续奇数的和是51，这三个数分别是 ．
【变式8-3】一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是 6 ， 给这个两位数加上 18 后， 比十位数字大 56 ， 这个两位数是（ ）
A．42B．24C．33D．51
专题4.8 一元一次方程章末八大题型总结（培优篇）
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc32503" 【题型1 一元一次方程的遮挡问题】 PAGEREF _Tc32503 \h 1
\l "_Tc6042" 【题型2 一元一次方程的错解问题】 PAGEREF _Tc6042 \h 3
\l "_Tc7415" 【题型3 根据两个一元一次方程解的关系求值】 PAGEREF _Tc7415 \h 5
\l "_Tc61" 【题型4 判断方程解的情况】 PAGEREF _Tc61 \h 8
\l "_Tc6344" 【题型5 等式的基本性质的运用】 PAGEREF _Tc6344 \h 10
\l "_Tc29381" 【题型6 一元一次方程的解法】 PAGEREF _Tc29381 \h 12
\l "_Tc31201" 【题型7 一元一次方程与图表问题】 PAGEREF _Tc31201 \h 13
\l "_Tc25989" 【题型8 列一元一次方程并求解】 PAGEREF _Tc25989 \h 18
【题型1 一元一次方程的遮挡问题】
【例1】下面是一个被墨水污染过的方程：
2x−12=12x−，答案显示此方程的解是x=-1，被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（ ）
A．2B．﹣6C．﹣12D．12
【答案】A
【分析】设被墨水覆盖的数是y，将x=-1代入，解含有y的方程即可得到答案.
【详解】设被墨水覆盖的数是y，则原方程为：2x−12=12x−y，
∵此方程的解是x=-1，
∴将x=-1代入得：−2−12=−12−y ,
∴y=2,
A.
【点睛】此题考查解一元一次方程，一元一次方程的解.
【变式1-1】方程2x+▲=5x，▲处是被墨水盖住的常数，已知方程的解是x=2，那么▲处的常数是 ．
【答案】6
【分析】设被墨水盖住的常数是a，把x=2代入方程2x+a=5x得出4+a=10，再求出方程的解即可．
【详解】解：设被墨水盖住的常数是a，
把x=2代入方程2x+a=5x，
得4+a=10，
解得：a=6，
即▲处的常数是6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
【变式1-2】（22·23上·扬州·期末）小方在做作业时，计算：−6×23−●+−23．发现题中有一个数字被墨水污染了．
(1)如果被污染的数字是12，请计算−6×23−12+−23；
(2)如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【答案】(1)−9
(2)3
【分析】（1）将被污染的数字12代入原式，根据有理数的混合运算即可得出答案；
（2）设被污染的数字为x，根据计算结果等于6列出方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：−6×23−12+−23
=(−6)×16−8
=−1−8
=−9；
（2）设被污染的数字为x，
根据题意得：−6×23−x+−23=6，
解得：x=3，
答：被污染的数字是3．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，一元一次方程的应用，体现了方程思想，设被污染的数字为x，根据计算结果等于6列出方程是解题的关键．
【变式1-3】小磊在解方程321−■−x3=x−13时，墨水把其中一个数字染成了“■”，他翻阅了答案知道这个方程的解为x=23，于是他推算确定被染了的数字“■”应该是 ．
【答案】3
【分析】设“■”表示的数为a，将一元一次方程的解代入求解即可得出结果．
【详解】解：设“■”表示的数为a，
将x=23代入方程得：
321−a−233=23−13，
解得a=3，
即“■”表示的数为3，
故答案为：3．
【点睛】题目主要考查一元一次方程的解及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题关键．
【题型2 一元一次方程的错解问题】
【例2】小乐在解方程5a−x6﹣1＝0（x为未知数）时，误将﹣x看作+x，得方程的解为x＝1，则原方程的解为 ．
【答案】-1
【分析】根据题意，方程5a+x6﹣1＝0的解是x=1，可先得出a，然后，代入原方程，解出即可.
【详解】把x＝1代入方程5a+x6﹣1＝0中得：5a+16﹣1＝0，
解得：a＝1，
则原方程为5−x6﹣1＝0，
解得：x＝﹣1，
故答案是：﹣1．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，把方程的解代入先求出a的值，然后求解，读懂题意是关键．
【变式2-1】马小虎同学在解关于x的方程1−x=−2x−2a时，误将等号右边的“−2a”看作“+2a”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为x=−5，则原方程正确的解为（ ）
A．x=2B．x=3C．x=4D．x=5
【答案】B
【分析】先将x=−5代入1−x=−2x+2a求出a的值，再解关于x的方程．
【详解】解：由题意知：x=−5是方程1−x=−2x+2a的解，
∴ 1−−5=−2−5+2a，
解得a=1，
∴原方程为1−x=−2x−2，
解得x=3，
故选B．
【点睛】本题考查一元一次方程的解与解一元一次方程，求出a的值是解题的关键．
【变式2-2】小明在解方程x−13−x+16=3x−12−1时的步骤如下：
解：2x−1−x+1=33x−1−6……第①步；
2x−2−x+1=9x−3−6……第②步；
2x−x−9x=−3−6+2−1……第③步；
−8x=−8……第④步；
x=1……第⑤步．
(1)以上解方程的过程中，第①步是进行______________，变形的依据是______________；
(2)以上步骤从第_____步（填序号）开始出错，错误的原因是____________；
(3)请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程需要注意的事项给其他同学提出一条建议；
(4)请聪明的你写出这题正确的解答过程．
【答案】(1)去分母；等式性质2
(2)①，第二个分子x+1没有用括号括起来
(3)去分母时，不要漏乘没有分母的项或去分母时，多项式分子要用括号括起来
(4)见解析
【分析】（1）（2）（3）直接根据解一元一次方程的方法作答即可；
（4）先方程两边同时乘以6，再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1．
【详解】（1）去分母，等式性质2；
（2）①，第二个分子x+1没有用括号括起来；
（3）去分母时，不要漏乘没有分母的项或去分母时，多项式分子要用括号括起来（答案不唯一）
（4）正确解答如下：去分母，得：2x−1−x+1=33x−1−6
去括号，得：2x−2−x−1=9x−3−6
移项，得：2x−x−9x=−3−6+2+1
合并同类项，得：−8x=−6
系数化为1，得：x=34．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解答本题的关键．去括号时，一是注意不要漏乘括号内的项，二是明确括号前的符号；去分母时，一是注意不要漏乘没有分母的项，二是去掉分母后把分子加括号．
【变式2-3】某同学解关于x的方程2（x+2）=a﹣3（x﹣6）时，由于粗心大意，误将等号右边的“﹣3（x﹣6）”看作“+3（x﹣6）”，其它解题过程均正确，从而解得方程的解为x=11，请求出a的值，并正确地解方程．
【答案】x=15．
【分析】根据题意，得到等号右边的“﹣3（x﹣6）”看作“+3（x﹣6）”的方程，解方程得到a 的值，将a的值代入原方程可求得正确的解．
【详解】解：根据题意，将x=11代入2（x+2）=a+3（x﹣6），得：2（11+2）=a+3（11﹣6），
解得a=﹣1，
所以原方程为2x+2=−1−3x−2，
解得：x=15．
【点睛】考查一元一次方程的解, 解一元一次方程，比较基础，得到a的值是解题的关键.
【题型3 根据两个一元一次方程解的关系求值】
【例3】已知关于x的方程3x−1−m=m+32①的解比方程2x−3−1=3−x+1②的解大1．
(1)求方程②的解；
(2)求m的值．
【答案】(1)x=3
(2)m=5
【分析】（1）先去括号，再移项，然后合并同类项，即可求解；
（2）根据题意可得方程①的解为x=4，再代入方程①，得到关于m的方程，即可求解．
【详解】（1）解：2x−3−1=3−x+1
去括号得：2x−6−1=3−x−1，
移项得：2x+x=3−1+6+1，
合并同类项得：3x=9，
解得：x=3；
（2）解：因为方程①比方程②的解大1，
∴方程①的解为x=4，
把x=4代入方程①得，3×4−1−m=m+32，
解得m=5．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程．熟练掌握解解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
【变式3-1】已知方程2−3x+1=0的解与关于x的方程k+x2−3k−2=2x的解互为相反数，求k的值．
【变式3-2】在练习解方程时，作业上有一个方程“2y−13=18y+■”中的■没印清，小华问老师，老师只是说：“■是一个有理数，该方程的解与x=3时，代数式5x−1−2x−2−4的值相同”．
(1)求当x=3时，代数式5x−1−2x−2−4的值；
(2)求原方程中■的值．
【答案】(1)4
(2)716
【分析】（1）先把所求代数式去括号，然后合并同类项化简，再把x=3代入求值即可；
（2）根据（1）所求得到y=4，把y=4带入方程中进行求解即可．
【详解】（1）解：5x−1−2x−2−4
=5x−5−2x+4−4
=3x−5，
当x=3时，原式=3×3−5=4；
（2）解：由题意得，方程2y−13=18y+■的解为y=4，
∴2×4−13=18×4+■，
∴■=716．
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，一元一次方程的解，正确计算出（1）中代数式的值是解题的关键．
【变式3-3】已知关于x的方程x−m2=x+m3与x+12=3x−2的解互为倒数，则m的值 ．
【答案】−35
【分析】先将x+12=3x−2的解求出，然后将x的倒数求出后代入原方程求出m的值．
【详解】解：∵x+12=3x−2，
∴x=1，
由题意可知：x=1是x−m2=x+m3的解，
∴1−m2=1+m3
解得：m=−35，
故答案为：−35．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程的解，利用同解方程，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有m的方程，从而求出m即可．
【题型4 判断方程解的情况】
【例4】关于x的方程ax+b=0的解得情况如下：当a≠0时，方程有唯一解x=-ba；当a=0，b≠0时，方程无解；当a=0，b=0时，方程有无数解．若关于x的方程mx+23=n3-x有无数解，则m+n的值为（ ）
A．−1B．1
C．2D．以上答案都不对
【答案】B
【分析】首先把方程化成一般形式，然后根据关于x的方程mx+23=n3−x有无数解，对一次项系数进行讨论求得m、n的值，再相加即可求解．
【详解】解：mx+23=n3−x
m+1x=n−23，
∵关于x的方程mx+23=n3−x有无数解，
∴m+1=0，n-2=0，
解得m=-1，n=2，
∴m+n=-1+2=1．
故选B．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确对方程进行化简是关键．
【变式4-1】若关于x的方程a3x=x2−x−66无解，则a的值为
【答案】1
【分析】先去分母可得，(2a−2)x=6，再由x=3a−1即可求解．
【详解】解：原方程去分母得，2ax=3x−x+6，
移项得，2ax−2x=6，
合并同类项得，2(a−1)x=6，
系数化1得，x=3a−1，方程无解，则分母为零，
∴a−1=0，则a=1，
故答案是：1．
【点睛】本题考查的是一次方程无解的知识点，掌握x=ba无解时，满足b≠0，a=0是解题的关键．
【变式4-2】已知关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，关于y的方程2+y=（b+1）y无解，判断关于z的方程az=b的解的情况．
【答案】z=0
【分析】根据题意，化简关于x、y的方程，推断出a、b情况，将条件代入关于z的方程，得出结果．
【详解】关于x的方程4+3ax=2a﹣7可以简化为：x=2a−113a，
∵关于x的方程4+3ax=2a﹣7有唯一解，
∴a≠0，
∵2+y=（b+1）y，
∴2+y=by+y，
∴by=2，
∴y=2b，
∵关于y的方程2+y=（b+1）y无解，
∴b=0，
关于z的方程az=b可以简化为：z=ba，
∵a≠0，b=0，
∴z=0．
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的应用，需要一步步化简，综合所给条件，讨论得出结果．
【变式4-3】若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（ ）
A．有至少两个不同的解B．有无限多个解
C．只有一个解D．无解
【答案】A
【分析】首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根据方程有两个解的条件可得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情况．
【详解】解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x
可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n
∵有至少两个不同的解，
∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0，
即m＝﹣6，n＝6，
把m＝﹣6，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m，
∴方程（m+n）x+3＝4x+m无解．
D．
【点睛】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程，关键是根据解的情况判断字母系数的值．
【题型5 等式的基本性质的运用】
【例5】“△〇□”分别表示三种不同的物体，如图所示，前两架天平保持了平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放〇的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．据此解答即可．
【详解】解：由〇+〇＝△+□，△＝□+〇，可知△+□＝□+□+〇，〇+〇＝□+□+〇，〇＝□+□，所以△+△＝□+□+〇+〇＝〇+〇+〇．
答：“？”处应放〇的个数是3个．
C．
【点睛】找出各图形之间的数量关系，是解题关键．
【变式5-1】如果等式ax﹣3x=2+b不论x取什么值时都成立，则a= b= .
【答案】 3 -2
【详解】分析：先将等式转化为（a﹣3）x=2+b，根据题意，等式成立的条件与x的值无关，则x的系数为0由此可求得a、b的值．
详解：将等式ax﹣3x=2+b转化为（a﹣3）x=2+b，根据题意，等式成立的条件与x的值无关，则a﹣3=0，解得：a=3，此时，2+b=0，解得：b=﹣6．
故答案为3，﹣6．
点睛：本题主要考查了等式的性质，解题的关键是要善于利用题目中的隐含条件：“不论x取何值，等式永远成立” ．
【变式5-2】有15个球，其中的14球质量相同，另有1个球轻了一些，如果能用天平称出来，至少 次可以找出这个较轻的球．
【答案】3
【分析】先把15个球平均分成三组，用一次天平可找出有较轻的球的那组，再把球轻的哪个组的5个球，分成2，2，1三组，把2个的两组放在天平上，若平衡，则剩下的那个是较轻的球；若天平不平衡，可找出球较轻的那个组，再把两个球放天平上，即可找出较轻的球，
【详解】解：先把15个球分成5个一组，共三组，任取两组放在天平上，可找出球轻在哪个组；
再把球轻的哪个组的5个球，分成2，2，1三组，把2个的两组放在天平上，若平衡，则剩下的那个是较轻的球；
若天平不平衡，可找出球较轻的那个组，再把两个球放天平上，即可找出较轻的球，
故至少3次可以找出这个较轻的球．
故答案为：3
【点睛】本题考查了等式的性质，合情推理是解题的关键
【变式5-3】已知实数a、b、c满足a−b=ab=c，下列结论正确的是（ ）
A．a可能为−1B．若a、b、c中有两个数相等，则abc=0
C．若c≠0，则1a−1b=1D．若c=1，则a2+b2=3
【答案】A
【分析】a=−1，a−b=ab=c，则−1−b=−b，等式不成立，故A错误；B分三种情形讨论即可；C由c≠0，a−b=ab=c推出a−b≠0，ab≠0，推出a−bab=1，即1b−1a=1，故错误；D由c=1，a−b=ab=c推出a−b=1，ab=1，则根据完全平方公式可得，a2+b2=3．
【详解】A.∵a=−1，a−b=ab=c，
∴−1−b=−b，等式不成立，故错误；
B.分三种情形讨论：
当a=b时，a−b=0，c=0，则abc=0，成立；
当a=c时，a−b=ab=c，则c−b=c，cb=c，无解，故abc=0不成立；
当b=c时，a−b=ab=c，则a−c=c，ac=c，解得a=1,b=12,c=12，故abc=0不成立，该选项错误；
C.由c≠0，a−b=ab=c推出a−b≠0，ab≠0，推出a−bab=1，即1b−1a=1，故错误；
D ∵c=1，a−b=ab=c，
∴a−b=1，ab=1，
∵a−b2=a2+b2−2ab，
∴12=a2+b2−2×1，
解得：a2+b2=3，故正确；
D．
【点睛】本题考查等式的性质、一元一次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于常考题型．
【题型6 一元一次方程的解法】
【例6】解方程: x0.7−0.17−；
【答案】x=1417
【分析】先把小数都处理成整数，再按解一元一次方程的步骤计算即可．
【详解】解：原方程可化为：10x7−17−20x3=1，
去分母，可得：30x−717−20x=21，
去括号，可得：30x−119+140x=21，
移项，可得：30x+140x=21+119，
合并同类项，可得：170x=140，
系数化为1，可得： x=1417．
【点睛】本题考查一元一次方程的解法，一般解方程步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1．
【变式6-1】解方程：x−34+2x+33=x+56−x−45．
【答案】x=8357
【分析】把方程左右两边分别通分后再去分母，即可求解．
【详解】方程两边分别通分后相加，得3x−3+42x+312=5x+5−6x−430．
化简，得11x+312=−x+4930，
去分母得：3011x+3=12−x+49，
去括号得：330x+90=−12x+588，
移项合并得：342x=498
解得：x=8357．
【点睛】本题考查了解一元一次方程，本题若直接去分母，则两边应同乘各分母的最小公倍数420，运算量大容易出错，但是把方程左右两边分别通分后再去分母，会给解方程带来方便．
【变式6-2】解方程：（2x2﹣3）（x+4）=x﹣4+2x（x2+4x﹣3）．
【答案】x=4
【分析】方程两边去括号后，移项合并，将x系数化为1，即可求出解．
【详解】解：去括号得：2x3+8x2﹣3x﹣12=x﹣4+2x3+8x2﹣6x，
移项合并得：2x=8，
系数化为1得：x=4．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解一元一次方程，解题关键是熟练运用整式运算法则进行化简方程，准确地解一元一次方程．
【变式6-3】解方程：x3×4+x4×5+x5×6+x6×7=2020
【答案】x=10605
【分析】先裂项化简，再通分，然后系数化为1即可．
【详解】x3×4+x4×5+x5×6+x6×7=2020
裂项，得
x3−x4+x4−x5+x5−x6+x6−x7=2020
化简，得
x3−x7=2020
通分，得
421x=2020
系数化为1，得
x=10605
【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键．
【题型7 一元一次方程与图表问题】
【例7】同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将−1，2，−3，4，−5，6，−7，8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则a+b的值为（ ）
A．1或−1B．−1或−4C．−3或−6D．1或−8
【答案】B
【分析】根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2，再由已经填写的数，确定a=−1或a=2，从而求出d的值，即可求解．
【详解】解：如图，
∵−1+2−3+4−5+6−7+8=4，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，
∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为2，
∴−7+6+8+b=2，
∴b=−5，
∵6+4+b+c=2，
∴6+4−5+c=2，解得c=−3，
∵a+c+4+d=2，
∴a+d=2−c−4=1
∴a+d=1，
∴a=−1或a=2，
当a=−1时，d=2，此时a+b=−1−5=−6,
当a=2时，d=−1，此时a+b=2−5=−3,
即a+b的值为−3或−6，
C．
【点睛】此题考查了有理数加法和一元一次方程的应用，熟练掌握有理数加法法则，能够根据所给条件推出a，d的可能取值是解题的关键．
【变式7-1】实践与探索，将连续的奇数1，3，5，7……排列成如下的数表，用十字框框出5个数（如图）
(1)若将十字框上下左右平移，但一定要框住数列中的5个数，若设中间的数为a，用a的代数表示十字框框住5个数字之和：
(2)十字框框住5个数字之和等于295？若能，分别写出十字框住的5个数，若不能，请说明理由．
【变式7-2】幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及每条对角线上的3个数之和均相等，例如下图（1）就是一个幻方，图（2）是一个未完成的幻方，则a的值是 ．
图（1） 图（2）
【答案】9
【分析】设a下方的数为m，右上角的数为n，则第二横行三个数的和为11+m+15，由第一竖列三个数的和为39，可知每一横行、每一竖列、每条对角线上的3个数之和均等于39，于是列方程得11+m+15=39，求得m=13，再由对角线三个数的和列方程得n+13+12=39，求得n=14，由第一行三个数的和列方程得16+a+14=39，解方程求出a的值即得到问题的答案．
【详解】设a下方的数为m，右上角的数为n，
∵16+11+12=39，
∴每一横行、每一竖列、每条对角线上的3个数之和均等于39，
根据题意得11+m+15=39，
解得m=13，
∴n+13+12=39，
解得n=14，
∴16+a+14=39，
解得a=9，
故答案为：9．
【点睛】此题重点考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，正确地用代数式表示第二横行三个数的和并且求出a下方的数是解题的关键．
【变式7-3】生活与数学
(1)吉姆同学在某月的日历上圈出2×2个数，正方形的方框内的四个数的和是28，那么第一个数是 ；
(2)玛丽也在上面的日历上圈出2×2个数，斜框内的四个数的和是42，则这四个数中最大的数是 ；
(3)莉莉也在日历上圈出5个数，呈十字框形，它们的和是50，则中间的数是 ；
(4)某年的10月份有5个星期日，这5个星期日的和是75，则这个月中最后一天是星期 ；
(5)若干个偶数按每行8个数排成下图：
①图中方框内的9个数的和与中间的数有的关系是 ；
②汤姆所画的斜框内9个数的和为360，则斜框的中间一个数是 ；
③托马斯也画了一个斜框，通过计算得到斜框内9个数的和为450，你认为他计算的结果可能吗？说明你的理由．
【答案】(1)3
(2)14
(3)10
(4)二
(5)① 9倍；②40；③不可能
【分析】（1）先根据日历上的数据规律，设第一个数是x,其他的数为x+1，x+7，x+8，然后列一元一次方程求解即可；
（2）根据日历上的数据规律，设第一个数是a,其他的数为a+1，a+6，a+7，然后列一元一次方程求解即可；
（3）根据日历上的数据规律，设中间的数是b,根据5个数的和是50列方程求解即可；
（4）根据日历上的数据规律，设最后一个星期日是m,则其他的星期日为m−7，m−14，m−21，m−28，再列一元一次方程求解即可；
（5）①通过计算可以得出结论；②根据①的规律，设中间的数是n,列方程求解即可；③根据①的规律，设中间的数是t,列方程求解即可．
【详解】（1）解：设第一个数是x,其他的数为x+1，x+7，x+8，
则x+x+1+x+7+x+8=28，解得x=3．
故答案为：3．
（2）解：设第一个数是a,其他的数为a+1，a+6，a+7，
则a+a+1+a+6+a+7=42，解得a=7，
则a+1=8，a+6=13，a+7=14．
故答案为：14．
（3）解：设中间的数是b,则b+1+b−1+b+7+b−7=50，解得b=10．
故答案为：10．
（4）解：设最后一个星期日是m,则其他的星期日为m−7，m−14，m−21，m−28，
则m+m−7+m−14+m−21+m−28=75，解得m=29，
∴这个月中最后一天是星期二．
故答案为：二．
（5）解：①2+4+6+18+20+22+34+36+38=180=9×20，
故答案为：9个数的和是中间的数的9倍；
②根据规律可知，和是中间的数的9倍，
设中间的数是n,
则9n=360，解得n=40，
故答案为：40；
③不可能，理由如下：
设中间的数是t,
则9t=450，解得t=50，
∵50是最左边第1列上的数，
∴不可能存在．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用和数字变化的规律，关键找出规律、列方程是解答本题的关键．
【题型8 列一元一次方程并求解】
【例8】任何一个无限循环小数都可以写成分数的形式，应该怎样写呢？我们以无限循环小数0.7为例进行说明：设0.7=x，由0.7=0.7777⋯可知，10x=7.777⋯，所以10x−x=7，解方程，得x=79．于是，得0.7=79，将0.36写成分数的形式是（ ）
A．13B．23C．411D．511
【答案】B
【分析】根据题意可得，设x=0.36，则100x−x=36，求解即可．
【详解】解：设x=0.36，由题意可得100x−x=36
解得x=411，即0.36=411
C
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确列出一元一次方程．
【变式8-1】把75拆成4个数的和，使得第一个数加4，第二个数减4，第三个数乘4，第四个数除以4，得到的结果都相等，拆成这四个数中最大的数是 ．
【答案】48
【分析】设相等的数为x，依次表示出拆成的4个数，根据4个数的和为75列方程即可求得相等的数，进而求得拆成的4个数，从而可判断最大的数．
【详解】解：设相等的数为x，则拆成的4个数为：(x−4)，(x＋4)，4x，x4，
由题意得：(x−4)+(x+4)+4x+ x4 =75，
解得：x=12，
则x−4=8，x＋4=16，4x=48，x4=3，
故最大的数是48．
故答案为：48．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，用相等的数去表示拆成的4个数是解决本题的突破点，难度一般．
【变式8-2】已知三个连续奇数的和是51，这三个数分别是 ．
【答案】15 、 17 、 19
【分析】此题可利用“三个连续奇数的和是51”作为相等关系列方程求解；
【详解】设最小的奇数为x，
则x+x+2+x+4=51
解得：x=15
故这三个数分别为：15，17，19；
故答案为：15，17，19
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程，再求解；此题中要熟悉连续奇数的表示方法，相邻的两个连续奇数相差2．
【变式8-3】一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是 6 ， 给这个两位数加上 18 后， 比十位数字大 56 ， 这个两位数是（ ）
A．42B．24C．33D．51
【答案】A
【分析】设这个两位数的十位数字是 x， 则个位数字是6−x，根据题意列出一元一次方程，进行求解即可．
【详解】解：设这个两位数的十位数字是 x， 则个位数字是6−x，
由题意得10x+6−x+18−x=56，
解得： x=4，6−x=6−4=2．
∴这个两位数是 42．
故选A．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意，正确的列出一元一次方程，是解题的关键．4
9
2
16
a
3
5
7
11
15
8
1
6
12
4
9
2
16
a
3
5
7
11
15
8
1
6
12
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