北师大版八年级数学上册专题2.5二次根式的乘除【十大题型】同步练习(学生版+解析)

这是一份北师大版八年级数学上册专题2.5二次根式的乘除【十大题型】同步练习(学生版+解析)，共28页。


TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14164" 【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】 PAGEREF _Tc14164 \h 1
\l "_Tc32128" 【题型2 二次根式的乘除混合运算】 PAGEREF _Tc32128 \h 2
\l "_Tc9830" 【题型3 把根号外的因数（式）移到根号内】 PAGEREF _Tc9830 \h 3
\l "_Tc14946" 【题型4 判断最简二次根式】 PAGEREF _Tc14946 \h 3
\l "_Tc3989" 【题型5 化为最简二次根式】 PAGEREF _Tc3989 \h 3
\l "_Tc25845" 【题型6 根据最简二次根式的概念求值】 PAGEREF _Tc25845 \h 4
\l "_Tc3223" 【题型7 分母有理化及其应用】 PAGEREF _Tc3223 \h 4
\l "_Tc27227" 【题型8 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc27227 \h 5
\l "_Tc12098" 【题型9 应用二次根式的乘除运算解决实际问题】 PAGEREF _Tc12098 \h 6
\l "_Tc29025" 【题型10 二次根式乘除法中的新情境题】 PAGEREF _Tc29025 \h 6
【知识点1 二次根式的乘除法则】
①二次根式的乘法法则：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；
②积的算术平方根：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；
③二次根式的除法法则：ab=ab(a≥0,b>0)；
④商的算术平方根：ab=ab(a≥0,b>0).
【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】
【例1】（2023·上海闵行·八年级校考期中）如果代数式2m−1m−4=2m−1m−4，那么m的取值范围是_____________
【变式1-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）若(x−2)(3−x)=x−2⋅3−x成立．则x的取值范围为（ ）
A．x≤3B．x≥2C．2【变式1-2】（2023春·山东泰安·八年级统考期中）等式x−3x+1=x−3x+1成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C．D．
【变式1-3】（2023春·辽宁朝阳·八年级统考期中）若等式2x2−x3=x2−x成立，则x的取值范围是______．
【题型2 二次根式的乘除混合运算】
【例2】（2023春·八年级上海市进才实验中学校考期中）计算:
（1）345÷15×23223;
（2）323×(−1815)÷1225;
（3）8a2b÷2ab×ab(a>0,b>0)
【变式2-1】（2023春·福建龙岩·八年级校联考期中）计算
(1)−4318÷28×1354
(2)(6+1)2−3−23+2
【变式2-2】（2023春·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）计算：312x⋅123xy÷−3418x2y3．
【变式2-3】（2023春·黑龙江鸡西·八年级统考期中）（1）计算：2−52+5−2−22
（2）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：
92−12×24+323
=92−12×24+323……第一步
=322−23×26+23×323……第二步
=322−122+62……第三步
=922……第四步
①以上化简步骤中第一步化简的依据是：______；
②第______步开始出现错误，请写出错误的原因______；
③该运算正确结果应是______.
【题型3 把根号外的因数（式）移到根号内】
【例3】（2023春·全国·八年级专题练习）把2−x1x−2的根号外因式移到根号内得____________．
【变式3-1】（2023春·山东·八年级统考期中）若把﹣43根号外的因式移到根号内，得（ ）
A．12B．﹣12C．﹣48D．48
【变式3-2】（2023春·江苏南通·八年级阶段练习）把−a−1a中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
A．−aB．−aC．−−aD．a
【变式3-3】（2023春·河北唐山·八年级校考期末）把下列根号外的因式移到根号内.
(1)a1a;
(2)xyx-y·x2-2xy+y2xy(x>y>0);
(3)ab1a-1b(0【知识点2 最简二次根式】
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【题型4 判断最简二次根式】
【例4】（2023春·山东泰安·八年级统考期中）在二次根式①a2+b2 ②x5 ③x2−xy ④ 27abc中，最简二次根式是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．①④
【变式4-1】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）下列式子中，为最简二次根式的是( )
A．12B．2C．8D．9
【变式4-2】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如果x−3是最简二次根式，则x的值可能是（ ）
A．11B．13C．21D．27
【变式4-3】（2023春·安徽铜陵·八年级统考期末）对于二次根式x2+9，以下说法不正确的是（ ）
A．它是一个无理数B．它是一个正数C．它是最简二次根式D．它有最小值为3
【题型5 化为最简二次根式】
【例5】（2023春·全国·八年级专题练习）下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是( )
A．ab与ab2B．mn与1m+1n
C．m2+n2与m2-n2D．4a3b2与9a3b4
【变式5-1】（2023春·重庆·八年级统考期末）把2015化成最简二次根式的结果是_____．
【变式5-2】（2023春·浙江杭州·八年级期末）设2=a，3=b，用含a,b的代数式表示0.54，结果为________．
【变式5-3】（2023春·八年级单元测试）把下列根式化成最简二次根式．
（1）512
（2）638
（3）50a2b(a>0)
（4）nmmn(n<0)
【题型6 根据最简二次根式的概念求值】
【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）若2m+3和32m−n+1都是最简二次根式，则m+n＝_____．
【变式6-1】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期中）24化简后与最简二次根式5a+1的被开方数相等，则a=_________.
【变式6-2】（2023春·全国·八年级专题练习）若a是正整数，3a+6是最简二次根式，则a的最小值为______.
【变式6-3】（2023·江苏·八年级假期作业）我们把形如ax+b（a，b为有理数，x为最简二次根式）的数叫做x型无理数，如3x+1是x型无理数，则(2+10)2是（ ）
A．2型无理数B．5型无理数C．10型无理数D．20型无理数
【知识点3 分母有理化】
①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母
组成平方差公式；
②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个
二次根式的有理化因式不止一个．
【题型7 分母有理化及其应用】
【例7】（2023春·四川巴中·八年级校联考期中）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如23、23+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：23=2×33×3=233；
23+1=23−13+13−1=23−132−1=3−1．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
23+1还可以用以下方法化简：
23+1=3−13+1 = (3)2−13+1=(3+1)(3−1)3+1 =3﹣1．
请任用其中一种方法化简：
①215−3；②523+7；
【变式7-1】（2023春·甘肃平凉·八年级统考期中）分母有理化: 13+2=_________.
【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）下列各组中互为有理化因式的是（ ）
A．a+b与−b−aB．2−a与a−2
C．2a+3与3−2aD．a与2a
【变式7-3】（2023春·河南开封·八年级统考阶段练习）【阅读材料】
像5+25−2=1、a⋅a=aa≥0、b+1b−1=b−1b≥0两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， 5与5，2+1与2−1，23+35与23−35等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
【解决问题】
（1）填空：7−3的有理化因式为 ；
（2）化简： 12−3−93；
（3）已知正整数a，b满足a2−1−b2=3−22，求a，b的值．
【题型8 比较二次根式的大小】
【例8】（2023·全国·八年级专题练习）比较大小：5−3______7−5．
【变式8-1】（2023·上海·八年级假期作业）若a=2020×2022−2020×2021,b=20232−4×2022,c=20212+1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c>b>aB．c>a>bC．b>a>cD．b>c>a
【变式8-2】（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
（1）比较15−14和14−13的大小．
（2）求y=x+1−x−1+3的最大值．
【变式8-3】（2023·全国·八年级专题练习）先观察解题过程，再解决以下问题：
比较3−2与2−1的大小．
解：(3−2)(3+2)=1，(2−1)(2+1)=1，
3−2=13+2，2−1=12+1又3+2>2+1，3−2<2−1
（1）比较4−3与3−2的大小．
（2）试比较n+1−n与n−n−1的大小．
【题型9 应用二次根式的乘除运算解决实际问题】
【例9】（2023春·八年级课时练习）站在竖直高度ℎm的地方，看见的水平距离是dm，它们近似地符合公式d=8ℎ5.某一登山者登上海拔2000m的山顶，那么他看到的水平距离是________m.
【变式9-1】（2023春·八年级单元测试）站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符号公式为d=8ℎ5，某一登山者从海拔h米处登上海拔2ℎ米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
【变式9-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为ℎ，观测者视线能达到的最远距离为d，则d≈2ℎR，其中R是地球半径，约等于6400km．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度ℎ为0.02km，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求d的值为_____km．
【变式9-3】（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是a、b、c a>b>c>0，若木块对桌面的最大压强为p1，最小压强为p2，则p1p2的值等于______．
【题型10 二次根式乘除法中的新情境题】
【例10】（2023春·八年级课时练习）老师在复习“二次根式”时，在黑板上写出下面的一道题作为练习：
已知7=a，70=b，用含a，b的代数式表示4.9．小豪、小麦两位同学跑上讲台，板书了下面两种解法：
小豪：4.9=4910=49×1010×10=490100=7×7010=7×7010=ab10．
小麦：4.9=49×0.1=70.1．
因为0.1=110=770=770=ab，4.9=70.1=7ab．
老师看罢，提出下面的问题：
(1)两位同学的解法都正确吗？
(2)请你说明理由．
【变式10-1】（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）请阅读材料，并解决实际问题：海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S=pp−ap−bp−c．这个公式称海伦公式．秦九韶（约1202—1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S=14a2b2−a2+b2−c222．它填补了中国数学史上的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式．问题：在△ABC中，AC=5，AB=6，BC=7，用海伦—秦九韶公式求△ABC的面积为____．
【变式10-2】（2023春·福建福州·八年级统考期中）我们知道，二次根式乘除法有如下性质：a⋅b=ab(a≥
专题2.5 二次根式的乘除【十大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc14164" 【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】 PAGEREF _Tc14164 \h 1
\l "_Tc32128" 【题型2 二次根式的乘除混合运算】 PAGEREF _Tc32128 \h 3
\l "_Tc9830" 【题型3 把根号外的因数（式）移到根号内】 PAGEREF _Tc9830 \h 6
\l "_Tc14946" 【题型4 判断最简二次根式】 PAGEREF _Tc14946 \h 8
\l "_Tc3989" 【题型5 化为最简二次根式】 PAGEREF _Tc3989 \h 9
\l "_Tc25845" 【题型6 根据最简二次根式的概念求值】 PAGEREF _Tc25845 \h 11
\l "_Tc3223" 【题型7 分母有理化及其应用】 PAGEREF _Tc3223 \h 13
\l "_Tc27227" 【题型8 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc27227 \h 15
\l "_Tc12098" 【题型9 应用二次根式的乘除运算解决实际问题】 PAGEREF _Tc12098 \h 17
\l "_Tc29025" 【题型10 二次根式乘除法中的新情境题】 PAGEREF _Tc29025 \h 19
【知识点1 二次根式的乘除法则】
①二次根式的乘法法则：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；
②积的算术平方根：a∙b=a∙b(a≥0,b≥0)；
③二次根式的除法法则：ab=ab(a≥0,b>0)；
④商的算术平方根：ab=ab(a≥0,b>0).
【题型1 二次根式乘除法法则成立的条件】
【例1】（2023·上海闵行·八年级校考期中）如果代数式2m−1m−4=2m−1m−4，那么m的取值范围是_____________
【答案】m＞4.
【分析】根据二次根式除法法则和分式有意义的条件，列出不等式组即可解答.
【详解】∵2m−1m−4=2m−1m−4成立，
∴2m-1≥0，m-4＞0，
解得：m＞4，
故答案为m＞4.
【点睛】此题考查二次根式的乘除法，解题关键在于掌握运算法则.
【变式1-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·八年级乌鲁木齐市第六十八中学校考期末）若(x−2)(3−x)=x−2⋅3−x成立．则x的取值范围为（ ）
A．x≤3B．x≥2C．2【答案】D
【分析】根据二次根式的意义得到x-2≥0，3-x≥0，从而求出x的范围．
【详解】解：∵(x−2)(3−x)=x−2⋅3−x，
∴x-2≥0，3-x≥0，
∴x≥2，x≤3，
∴2≤x≤3，
故选D．
【点睛】本题主要考查对二次根式的定义，二次根式的乘法等知识点的理解和掌握，能根据法则得出x-2≥0和3-x≥0是解此题的关键．
【变式1-2】（2023春·山东泰安·八年级统考期中）等式x−3x+1=x−3x+1成立的x的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．
【详解】由题意可知：x−3≥0x+1>0 ,
解得：x⩾3,
【点睛】考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件.
【变式1-3】（2023春·辽宁朝阳·八年级统考期中）若等式2x2−x3=x2−x成立，则x的取值范围是______．
【答案】0⩽x⩽2．
【分析】根据二次根式的性质和绝对值法则列不等式即可求出答案．
【详解】解：∵2x2−x3=x2(2−x)=|x|2−x，2x2−x3=x2−x
∴|x|2−x=x2−x，即|x|=x，
∴x⩾02−x⩾0，
解得：0⩽x⩽2；
故答案为：0⩽x⩽2．
【点睛】本题考查二次根式的性质，绝对值法则，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件和绝对值的法则列不等式．
【题型2 二次根式的乘除混合运算】
【例2】（2023春·八年级上海市进才实验中学校考期中）计算:
（1）345÷15×23223;
（2）323×(−1815)÷1225;
（3）8a2b÷2ab×ab(a>0,b>0)
【答案】（1）206；（2）−154；（3）4abb
【分析】（1）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（2）根据二次根式乘除法法则计算即可；
（3）根据二次根式乘除法法则计算即可．
【详解】（1）原式=3×23×45÷15×83
=2×100×6=206；
（2）原式3×(−18)×223×15×52=−34×5=−154；
（3）原式=4a2bab⋅ab=4a2b=4abb．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，主要考查学生的化简能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
【变式2-1】（2023春·福建龙岩·八年级校联考期中）计算
(1)−4318÷28×1354
(2)(6+1)2−3−23+2
【答案】(1)−66
(2)6+26
【分析】（1）先计算括号里的乘法运算，相除化简即可得到结果；
（2）运用完全平方公式、平方差公式化简，计算即可得到结果．
【详解】（1）解原式＝−42÷(42×6)
＝−42÷83
＝−66；
（2）解原式=7 +26−(3−2)
=7+26−1
=6+26
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式、平方差公式等相关知识，解题关键是熟练掌握运算法则．
【变式2-2】（2023春·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）计算：312x⋅123xy÷−3418x2y3．
【答案】−22y
【分析】根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可．
【详解】解：312x⋅123xy÷−3418x2y3
=32÷(−34)12x×3xy÷18x2y3
=32×(−43)12x×3xy×x2y318
=−22y2，
根据12x与3xy得：x>0，y>0，
∴原式=−22y
【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握二次根式的乘除运算法则是关键，最后二次根式要化成最简二次根式．
【变式2-3】（2023春·黑龙江鸡西·八年级统考期中）（1）计算：2−52+5−2−22
（2）下面是王鑫同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的问题：
92−12×24+323
=92−12×24+323……第一步
=322−23×26+23×323……第二步
=322−122+62……第三步
=922……第四步
①以上化简步骤中第一步化简的依据是：______；
②第______步开始出现错误，请写出错误的原因______；
③该运算正确结果应是______.
【答案】（1）−7+42；（2）①商的算术平方根，等于算术平方根的商或ab=ab（a≥b，b>0）；②二，括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；③−3322.
【分析】（1）根据平方差公式，完全平方公式化简计算即可．
（2）①根据二次根式的性质：ab=ab（a≥b，b>0），即可得到答案；
②括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号．
③根据二次根式的性质和运算法则，正确运算即可．
【详解】（1）2−52+5−2−22=4−5−4−42+2=−1−6+42=−7+42；
（2）①化简步骤中第一化简的依据为ab=ab（a≥b，b>0），
故答案为：ab=ab（a≥b，b>0）；
②第二步开始出现错误，错误的原因为：括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；
故答案为：二，括号前是负号，去掉括号后第二项没有变号；
③92−12×24+323
=92−12×24+323
=322−23×26−23×323
=322−122−62
=−3322.
该运算正确结果应是−3322.
故答案为：−3322.
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和性质，熟练掌握二次根式运算的法则是解题的关键．
【题型3 把根号外的因数（式）移到根号内】
【例3】（2023春·全国·八年级专题练习）把2−x1x−2的根号外因式移到根号内得____________．
【答案】−x−2
【分析】根据二次根式被开方数是非负数且分式分母不为零，将根号外的因式转化成正数形式，然后进行计算，化简求值即可．
【详解】解：∵ 1x−2>0，
∴x−2>0；
2−x1x−2
=−(x−2)1x−2
=−(x−2)21x−2
=−(x−2)(x−2)x−2
=−x−2
故答案为：−x−2
【点睛】本题考查二次根式的性质和二次根式计算，灵活运用二次根式的性质是解题关键．
【变式3-1】（2023春·山东·八年级统考期中）若把﹣43根号外的因式移到根号内，得（ ）
A．12B．﹣12C．﹣48D．48
【答案】A
【分析】把4写成16的形式，利用二次根式的乘法法则即可得到．
【详解】解：﹣43 ＝﹣16×3＝﹣48
【点睛】本题考查了二次根式的乘法法则，以及二次根式的化简，解题的关键是避免出现符号错误的问题．
【变式3-2】（2023春·江苏南通·八年级阶段练习）把−a−1a中根号外面的因式移到根号内的结果是（ ）
A．−aB．−aC．−−aD．a
【答案】D
【详解】试题分析：因为−a−1a有意义，所以a＜0，所以−a−1a=−a−aa2=−a−a|a|=−a−a−a=−a，故选A．
考点：二次根式的化简．
【变式3-3】（2023春·河北唐山·八年级校考期末）把下列根号外的因式移到根号内.
(1)a1a;
(2)xyx-y·x2-2xy+y2xy(x>y>0);
(3)ab1a-1b(0【答案】（1）a;（2）xy;（3）ab2-a2b.
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件可知a>0，利用二次根式的乘法法则化简；
（2）(3)利用二次根式的乘法法则求解即可．
【详解】(1) ∵1a>0,∴a>0,a=a2,∴a1a=a2·1a=a2·1a=a;
(2) ∵x>y>0,∴x-y>0,xy>0,即xyx-y>0.
∴xyx-y=xyx-y2,
∴xyx-y·x2-2xy+y2xy=xyx-y2·x2-2xy+y2xy=xyx-y2·x2-2xy+y2xy=(xy)2(x-y)2·(x-y)2xy=xy;
(3) ∵00, b-a＞0,∴ab=(ab)2,
∴ab1a-1b=(ab)2·1a-1b=(ab)21a-1b=(ab)2b−aab=ab2-a2b.
【点睛】本题考查了二次根式的化简，正确确定a、b和x的范围是关键．
【知识点2 最简二次根式】
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【题型4 判断最简二次根式】
【例4】（2023春·山东泰安·八年级统考期中）在二次根式①a2+b2 ②x5 ③x2−xy ④ 27abc中，最简二次根式是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．①④
【答案】A
【分析】判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【详解】①a2+b2是最简二次根式；
②x5=5x5，被开方数含分母，不是最简二次根式；
③x2−xy是最简二次根式；
④27abc= 33abc，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式．
①③是最简二次根式．
故选C．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【变式4-1】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）下列式子中，为最简二次根式的是( )
A．12B．2C．8D．9
【答案】B
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，判断即可．
【详解】解：A.原式=22，故A不符合题意．
B.2是最简二次根式，故B符合题意．
C.原式=22，故C不符合题意．
D.原式=3，故D不符合题意．
【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式，本题属于基础题型．
【变式4-2】（2023春·广东汕头·八年级统考期末）如果x−3是最简二次根式，则x的值可能是（ ）
A．11B．13C．21D．27
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方式非负，列出不等式得到解集后，再由最简二次根式定义代值逐项验证即可得到答案．
【详解】解：∵ x−3是二次根式，
∴x−3≥0，解得x≥3，
A、当x=11时，x−3=8=22，确定8不是最简二次根式，该选项不符合题意；
B、当x=13时，x−3=10，确定10是最简二次根式，该选项符合题意；
C、当x=21时，x−3=18=32，确定18不是最简二次根式，该选项不符合题意；
D、当x=27时，x−3=24=26，确定24不是最简二次根式，该选项不符合题意；
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件及最简二次根式定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解决问题的关键．
【变式4-3】（2023春·安徽铜陵·八年级统考期末）对于二次根式x2+9，以下说法不正确的是（ ）
A．它是一个无理数B．它是一个正数C．它是最简二次根式D．它有最小值为3
【答案】D
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
【详解】x2+9是一个非负数，是最简二次根式，最小值是3，
当时x=0，x2+9是有理数，故A错误；
故选A.
【点睛】考查了最简二次根式，利用最简二次根式的性质是解题关键．
【题型5 化为最简二次根式】
【例5】（2023春·全国·八年级专题练习）下列各组二次根式化成最简二次根式后的被开方数完全相同的是( )
A．ab与ab2B．mn与1m+1n
C．m2+n2与m2-n2D．4a3b2与9a3b4
【答案】D
【分析】利用二次根式的性质将选项中的二次根式化成最简二次根式然后比较被开方数即可．
【详解】解：A、ab2=ba，被开方数不相同；
B、1m+1n=m2n+mn2mn，被开方数不相同；
C、m2+n2与m2−n2均不能进行化简，被开方数不相同；
D、4a3b2=2aba，9a3b4=3ab2a，被开方数相同．
故选D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，将选项中的二次根式化成最简二次根式是解决此题的关键．
【变式5-1】（2023春·重庆·八年级统考期末）把2015化成最简二次根式的结果是_____．
【答案】233
【分析】根据二次根式的除法法则可得2015=2015，先把被开方数化简，再把开方数的分子分母乘以3，然后再开方即可．
【详解】2015＝2015=43=129=233．
故答案为：233
【点睛】本题考查了二次根式的性质和最简二次根式，关键是理解最简二次根式的定义和能化成最简二次根式，最简二次根式定义满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有能开的尽方的因式或因数．
【变式5-2】（2023春·浙江杭州·八年级期末）设2=a，3=b，用含a,b的代数式表示0.54，结果为________．
【答案】3ab10
【分析】将0.54化简后，代入a，b即可．
【详解】解：0.54=54100=5410=6×910=3610=32×310，
∵2=a，3=b，
∴0.54=3ab10
故答案为：3ab10．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法法则的应用，解题的关键是将0.54化简变形，本题属于中等题型．
【变式5-3】（2023春·八年级单元测试）把下列根式化成最简二次根式．
（1）512
（2）638
（3）50a2b(a>0)
（4）nmmn(n<0)
【答案】（1）103；（2）362；（3）5a2b；（4）−1mmn．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（3）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（4）直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：（1）512=5×23=103；
（2）638=6×616=6×64=362；
（3）50a2b(a>0)
=5a2b；
（4）nmmn(n<0)
=nm×mnn2
=−1mmn．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键，二次根式开出来的数一定为非负数．
【题型6 根据最简二次根式的概念求值】
【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）若2m+3和32m−n+1都是最简二次根式，则m+n＝_____．
【答案】﹣6．
【分析】由于二次根式都是最简二次根式，因此被开方数的幂指数均为1，由此可得出关于m、n的方程组，可求出m、n的值．
【详解】由题意可得：m+3=12m−n+1=1
解得：m=−2n=−4
∴m+n＝﹣6
故答案：﹣6．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，当已知一个二次根式是最简二次根式时，那么被开方数（或因式）的幂指数必为1．
【变式6-1】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期中）24化简后与最简二次根式5a+1的被开方数相等，则a=_________.
【答案】5
【分析】本题先将24化简为最简二次根式，继而利用题干信息“被开方数相同”列方程求解．
【详解】24=26，其中被开方数为6；5a+1的被开方数为a+1 ，
故有：a+1=6，则a=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查最简二次根式的化简以及对二次根式概念的理解，需注意化简原则为被开方数不含分母,也不含能开的尽方的因数或因式．
【变式6-2】（2023春·全国·八年级专题练习）若a是正整数，3a+6是最简二次根式，则a的最小值为______.
【答案】3
【分析】直接利用最简二次根式的定义进行分析即可得.
【详解】∵a是正整数，3a+6是最简二次根式，
∴3a+6=3a+2，
∵a为1时，3a+2=3，a为2时，3a+2=23，均不是最简二次根式，
a为3时，3a+2=15，此时是最简二次根式，
∴a最小为3，
故答案为：3.
【点睛】本题考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题的关键.
【变式6-3】（2023·江苏·八年级假期作业）我们把形如ax+b（a，b为有理数，x为最简二次根式）的数叫做x型无理数，如3x+1是x型无理数，则(2+10)2是（ ）
A．2型无理数B．5型无理数C．10型无理数D．20型无理数
【答案】B
【分析】先利用完全平方公式计算，再化简得到原式=12+45，然后利用新定义对各选项进行判断．
【详解】解：(2+10)2=2+22×10+10=12+45，
所以(2+10)2是5型无理数，
【点睛】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考查了无理数．
【知识点3 分母有理化】
①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母
组成平方差公式；
②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个
二次根式的有理化因式不止一个．
【题型7 分母有理化及其应用】
【例7】（2023春·四川巴中·八年级校联考期中）阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如23、23+1这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：23=2×33×3=233；
23+1=23−13+13−1=23−132−1=3−1．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
23+1还可以用以下方法化简：
23+1=3−13+1 = (3)2−13+1=(3+1)(3−1)3+1 =3﹣1．
请任用其中一种方法化简：
①215−3；②523+7；
【答案】①15+33 ；
②23−7.
【分析】（1）根据题意分子分母同时乘以15+3进行分母有理化即可；
（2）根据题意分子分母同时乘以23−7进行分母有理化即可.
【详解】解：①215−3 =2（15+3）（15−3)(15+3) =2（15+3）（15）2−32=15+33；
②523+7=5（23−7)(23+7）（23−7) =5（23−7)(23)2−(7)2 =23−7 .
【点睛】分母有理化是本题的考点，能够运用平方差公式把分母中的根号去掉是解题的关键.
【变式7-1】（2023春·甘肃平凉·八年级统考期中）分母有理化: 13+2=_________.
【答案】2−3
【分析】3+2的有理化因式为：3−2，故将分子分母同时乘3−2，然后化简即可.
【详解】13−23+23−2=3−23−4=2−3
故答案为2−3
【点睛】此题考查的是分母有理化，找出分母的有理化因式是解决此题的关键.
【变式7-2】（2023春·八年级单元测试）下列各组中互为有理化因式的是（ ）
A．a+b与−b−aB．2−a与a−2
C．2a+3与3−2aD．a与2a
【答案】A
【分析】根据有理化因式的定义判断即可.
【详解】A. a+b −b−a=−a+b2,不符合题意;
B. 2−a a−2=−a−22,不符合题意;
C. 2a+3 3−2a=2a2−32=2a2−3 ,符合题意;
D. a·2a=2a,不符合题意;
故选C.
【点睛】本题考查有理化因式得定义,关键在于掌握定义化简判断.
【变式7-3】（2023春·河南开封·八年级统考阶段练习）【阅读材料】
像5+25−2=1、a⋅a=aa≥0、b+1b−1=b−1b≥0两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如， 5与5，2+1与2−1，23+35与23−35等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
【解决问题】
（1）填空：7−3的有理化因式为 ；
（2）化简： 12−3−93；
（3）已知正整数a，b满足a2−1−b2=3−22，求a，b的值．
【答案】（1）7+3；（2）2−23；（3）a=3，b=10
【分析】（1）根据题意，理解有理化因式的概念，即可求解；
（2）对式子分别进行有理化，然后运算求解即可；
（3）对式子分别进行有理化，对应系数相等，列二元一次方程组，即可求解．
【详解】解：（1）根据有理化因式的概念可得：7−3的有理化因式为7+3；
（2）12−3−93=2+3−33=2−23
（3）对a2−1−b2=3−22进行有理化得：
(2+1)a−22b=3−22，即(a−12b)2+a=3−22
可得：a−12b=−2a=3，解得b=10a=3
所以，a=3，b=10
【点睛】此题考查了二次根式的分母有理化，理解题意掌握二次根式分母有理化的方法是解题的关键．
【题型8 比较二次根式的大小】
【例8】（2023·全国·八年级专题练习）比较大小：5−3______7−5．
【答案】＞
【分析】先求出5−3与7−5的倒数，然后进行大小比较．
【详解】∵15−3=5+32
17−5=7+52
而7+5＞5+3，
∴5−3＞7−5．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了实数大小比较：利用平方法或倒数法进行比较大小．
【变式8-1】（2023·上海·八年级假期作业）若a=2020×2022−2020×2021,b=20232−4×2022,c=20212+1，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．c>b>aB．c>a>bC．b>a>cD．b>c>a
【答案】D
【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论．
【详解】解：∵a=2020×2022−2020×2021=2020×2022−2021=2020，
∴a2=20202，
∵b=20232−4×2022，c=20212−1，
∴b2=20232−4×2022=2022+12−4×2022=2022−12=20212，
c2=20212+1，
∵20202<20212<20212+1，即c2>b2>a2，
∵a、b、c都是大于0的实数，
∴c>b>a，
【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键．
【变式8-2】（2023春·全国·八年级专题练习）计算：
（1）比较15−14和14−13的大小．
（2）求y=x+1−x−1+3的最大值．
【答案】（1）15−14<14−13；（2）2+3
【分析】（1）分子有理化，将15−14即15−141分子分母同时乘以15+14将15−14转化为115+14，同理将14−13转化为114+13，比较15+14与14+13的大小即可．
（2）分子有理化，将x+1−x−1即x+1−x−11分子分母同时乘以x+1+x−1转化为2x+1+x−1，当x=1时，分母x+1+x−1有最小值2即2x+1+x−1有最大值2，故y的最大值为2+3．
【详解】（1）15−14=115+14，
14−13=114+13，
而15>13，
∴15+14>14+13，
∴15−14<14−13．
（2）∵x+1≥0，x−1≥0，
∴x≥1，
∵y=x+1−x−1+3 =2x+1+x−1+3，
当x=1时，分母x+1+x−1有最小值2，
∴y=2x+1+x−1+3有最大值是2+3．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件以及分子有理化在二次根式中的应用，此类问题掌握分子、分母有理化的方法是解题关键．
【变式8-3】（2023·全国·八年级专题练习）先观察解题过程，再解决以下问题：
比较3−2与2−1的大小．
解：(3−2)(3+2)=1，(2−1)(2+1)=1，
3−2=13+2，2−1=12+1又3+2>2+1，3−2<2−1
（1）比较4−3与3−2的大小．
（2）试比较n+1−n与n−n−1的大小．
【答案】（1）4−3＜3−2；（2）n+1−n＜n−n−1
【分析】（1）根据示例中的方法，把4−3与3−2化为分子是1的数，再比较大小即可；
（2）根据示例中的方法，把n+1−n与n−n−1化为分子是1的式子，再比较大小即可．
【详解】（1）∵(4−3)(4+3)=1，(3−2)(3+2)=1，
∴4−3=14+3，3−2=13+2，
又∵4+3>3+2，
∴14+3＜13+2，即：4−3＜3−2；
（2）∵(n+1−n)(n+1+n)=1，(n−n−1)(n+n−1)=1，
∴n+1−n=1n+1+n，n−n−1=1n+n−1，
又∵n+1+n＞n+n−1，
∴1n+1+n＜1n+n−1，即：n+1−n＜n−n−1．
【点睛】本题主要考查了实数的大小比较，掌握二次根式的运算法则，把二次根式化为分子为1的数或式子，是解题的关键．
【题型9 应用二次根式的乘除运算解决实际问题】
【例9】（2023春·八年级课时练习）站在竖直高度ℎm的地方，看见的水平距离是dm，它们近似地符合公式d=8ℎ5.某一登山者登上海拔2000m的山顶，那么他看到的水平距离是________m.
【答案】160
【分析】把h=2000代入公式d=8ℎ5进行即可.
【详解】解：把h=2000代入公式d=8ℎ5得
d=820005=8400=8×20=160
所以答案是：160.
【点睛】本题考查了二次根式的计算.熟练掌握二次根式的性质是运算的关键.
【变式9-1】（2023春·八年级单元测试）站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符号公式为d=8ℎ5，某一登山者从海拔h米处登上海拔2ℎ米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？
【答案】2
【分析】由题意知d和h的关系式，则由海拔h米处登上海拔2ℎ米高的山顶，那么他看到的水平线的距离之比可以得到．
【详解】解：登山者看到的原水平线的距离为d1=8ℎ5，现在的水平线的距离为d2=82ℎ5，d2d1=82ℎ58ℎ5=2，即他看到的水平线的距离是原来的2倍．
【变式9-2】（2023春·浙江·八年级专题练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为ℎ，观测者视线能达到的最远距离为d，则d≈2ℎR，其中R是地球半径，约等于6400km．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度ℎ为0.02km，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求d的值为_____km．
【答案】16
【分析】根据d≈2ℎR，R≈6400km，ℎ=0.02km，由此即求解．
【详解】解：根据题意得，d≈2ℎR，R≈6400km，ℎ=0.02km，
∴d≈2ℎR=2×6400×0.02=80×0.2=16(km)，
故答案是：16．
【点睛】本题主要考查的是代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键．
【变式9-3】（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是a、b、c a>b>c>0，若木块对桌面的最大压强为p1，最小压强为p2，则p1p2的值等于______．
【答案】acc
【分析】先分别求解最大压强与最小压强，再列式计算即可．
【详解】解：如图，a>b>c，
∴a>b>c
∴ab>bc，
∵最大压强是前面向下放置，
∴p1=Fbc，
∵最小压强是面积最大的面向下，
∴p2=Fab，
∴p1p2=Fbc×abF=ac=acc；
故答案为：acc．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算的实际应用，属于跨学科的题，熟记公式与二次根式的除法运算是解本题的关键．
【题型10 二次根式乘除法中的新情境题】
【例10】（2023春·八年级课时练习）老师在复习“二次根式”时，在黑板上写出下面的一道题作为练习：
已知7=a，70=b，用含a，b的代数式表示4.9．小豪、小麦两位同学跑上讲台，板书了下面两种解法：
小豪：4.9=4910=49×1010×10=490100=7×7010=7×7010=ab10．
小麦：4.9=49×0.1=70.1．
因为0.1=110=770=770=ab，4.9=70.1=7ab．
老师看罢，提出下面的问题：
(1)两位同学的解法都正确吗？
(2)请你说明理由．
【答案】(1)都正确
(2)见解析
【分析】（1）仔细阅读两同学的解题过程，然后判断；
（2）证明两人所得结果可以互相转换即可．
(1)
解：都正确．
(2)
解：理由如下：
观察两位同学的解答过程可知，均符合二次根式运算法则，所得结果可以互相转换，
ab10=7×7010=7×7010×70=7×770=7ab．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，灵活运用二次根式运算法则是解题的关键．
【变式10-1】（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）请阅读材料，并解决实际问题：海伦—秦九韶公式：海伦（约公元50年），古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作《度量》一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么这个三角形的面积S=pp−ap−bp−c．这个公式称海伦公式．秦九韶（约1202—1261），我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式S=14a2b2−a2+b2−c222．它填补了中国数学史上的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦—秦九韶公式．问题：在△ABC中，AC=5，AB=6，BC=7，用海伦—秦九韶公式求△ABC的面积为____．
【答案】66
【分析】先求出AC+AB+BC2的值，再将各值代入公式进行计算即可得．
【详解】∵在△ABC中，AC=5，AB=6，BC=7，
∴AC+AB+BC2=5+6+72=9，
∴△ABC的面积为9×9−5×9−6×9−7=66，
故答案为：66．
【点睛】本题考查了二次根式的几何应用，正确理解海伦—秦九韶公式是解题关键．
【变式10-2】（2023春·福建福州·八年级统考期中）我们知道，二次根式乘除法有如下性质：a⋅b=ab(a≥0,b≥0)，ab=ab(a≥0,b>0)，那么二次根式加法是否具有类似性质呢？请同学们根据下列问题开启探索之旅：
(1)举些例子比较a+b与a+b(a≥0,b≥0)的大小，并提出猜想；(至少举3例，举例要全面哦)
(2)利用学过的知识证明你的猜想．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据题意列举出三个具体数据的实例进行计算得出结论；
（2）利用两个非负数平方的大小，来比较这两个非负数的大小的方法进行证明即可．
【详解】（1）例如：①1+2=1+2，而1+2=3，
∴1+2>1+2；
②0+5=5，而0+5=5，
∴0+5=0+5；
③5+2≈3.65，而5+2=7，2<7<3，
∴5+2>5+2；
……
∴a+b≥a+b；
（2）∵(a+b)2=a+b+2ab，(a+b)2=a+b，而2ab≥0，
∴a+b≥a+b．
【点睛】本题考查二次根式的乘除法，掌握二次根式乘除法的计算方法是正确解答的前提．
【变式10-3】（2023春·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：
在学习完实数的相关运算之后，小明同学提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方的积存在有什么样的关系？小明用自己的方法进行了验证：