北师大版八年级数学下册举一反三系列1.6三角形的证明章末题型过关卷(北师大版)同步练习(学生版+解析)

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第1章 三角形的证明章末题型过关卷【北师大版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022秋·北京西城·八年级统考期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（    ）A．a2=(c−b)(c+b) B．a=1，b=2，c=3C．∠A=∠C D．∠A:∠B:∠C=3:4:52．（3分）（2022春·重庆合川·八年级期末）如图，等边△ABC中，BD是AC边上的高，DE⊥AB交AB于点E，若BE=3，则△ABC的边长为（   ）A．3 B．4 C．5 D．无法确定3．（3分）（2022春·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别相交于点D、E，连接AE，当AB=3，AC=5时，△ABE周长为（    ）A．6 B．7 C．8 D．94．（3分）（2022春·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校期末）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过t秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．请问t有几种情况？（　　）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种5．（3分）（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在一块地中，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为（    ）A．24平方米 B．26平方米 C．28平方米 D．30平方米6．（3分）（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上AD⊥BC于点D，则AD的长为（    ）A．5 B．3 C．5 D．27．（3分）（2022春·广西贵港·八年级统考期末）如图，在三角形ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP.其中结论正确的是（   ）A．①②③ B．①② C．① D．①③8．（3分）（2022春·广东惠州·八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个9．（3分）（2022秋·江苏无锡·九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），点B（2，-3）．在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（   ）个．A．5 B．6 C．7 D．810．（3分）（2022春·全国·八年级期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB=30°，则△PMN周长的最小值是（　　）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）如图，AD是△ABC的中线，若AB=13，BC=10，AD=12，则AC= ___________．12．（3分）（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADB=90°，点E是BD上一点，若AB=CE，∠BCD=2∠DCE=45°，则∠ABC的度数为______．13．（3分）（2022春·福建福州·八年级校考期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且∠ADB=60°，若AD=5，CD=4，则BC的长是______．14．（3分）（2022春·北京·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE=3，CD=4，ED=5，则FG的长为__________．15．（3分）（2022春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，直线L为线段AB的垂直平分线，交AB于M，在直线L上取一点C1，使得MC1＝MB，得到第一个三角形ABC1；在射线MC1上取一点C2，使得C1C2＝BC1；得到第二个三角形△ABC2；在射线MC1上取一点C3，使得C2C3＝BC2，得到第三个三角形△ABC3…依次这样作下去，则第2022个三角形△ABC2022中∠AC2022B的度数为_____．16．（3分）（2022·全国·八年级假期作业）如图，已知，BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD且∠BEC=30度，则∠EAC=______度．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022秋·重庆南川·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的顶点都在小正方形的顶点上．(1)求四边形ABCD的面积；(2)求证：∠ADC=90°．18．（6分）（2022春·广东惠州·八年级校考阶段练习）已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE.求证：∠AFC＝2∠ADC.19．（8分）（2022春·湖南株洲·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M．(1)若∠ABC=70°，求∠BAC的大小．(2)连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，说明理由．20．（8分）（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BM是Rt△ABC的一个外角的平分线，点D在CB的延长线上，连接DM，AM，AD，且DM=AM．(1)若BC=3，求AB的长；(2)求证：△AMD是等边三角形；(3)求BM，BC，BD之间的数量关系．21．（8分）（2022秋·山东东营·七年级校考期末）如图，△ABC是边长是12cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为ts，解答下列问题：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由.(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由.(3)则当t为何值时，△BPQ是直角三角形？22．（8分）（2022春·辽宁大连·八年级期末）△ABC是等边三角形，点D是AC上一点，点E在BC的延长线上，且AD=CE．(1)如图1，当点D是AC的中点时，求证：DB=DE；(2)如图2，当点D是AC上任意一点时，取BD的中点F，连接AF,AE．求∠FAE的度数23．（8分）（2022春·福建福州·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=3．第1章 三角形的证明章末题型过关卷【北师大版】参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（2022秋·北京西城·八年级统考期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定△ABC是直角三角形的是（    ）A．a2=(c−b)(c+b) B．a=1，b=2，c=3C．∠A=∠C D．∠A:∠B:∠C=3:4:5【答案】D【分析】求出a2＋b2＝c2，根据勾股定理即可判断选项A；根据勾股定理的逆定理即可判断选项B；根据直角三角形的判定即可判断选项C；求出最大角∠C的度数，即可判断选项D．【详解】解：A、根据选项a2=(c−b)(c+b)，化简得a2＝c2−b2，即a2＋b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；B、根据选项中a=1，b=2，c=3，可得a2=1,b2=4,c2=9，∴12＋22≠32，即a2+b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；C、根据选项∠A＝∠C，∴△ABC是等腰三角形，不一定是直角三角形，故本选项不符合题意；D、根据选项中∠A：∠B：∠C＝3：4：5，设∠A=3x,∠B=4x,∠C=5x，则由三角形内角和定理∠A＋∠B＋∠C＝180°得3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴最大角∠C＝5×15°＝75°＜90°，∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意；【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．2．（3分）（2022春·重庆合川·八年级期末）如图，等边△ABC中，BD是AC边上的高，DE⊥AB交AB于点E，若BE=3，则△ABC的边长为（   ）A．3 B．4 C．5 D．无法确定【答案】B【分析】设AE=x，则AB=x+3，根据含30度角的直角三角形的性质可得AD=12AB=x+32，AD=2AE，据此建立方程，解方程即可得．【详解】解：设AE=x，∵BE=3，∴AB=AE+BE=x+3，∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，∴∠A=60°,∠ABD=30°,∠ADB=90°，∴AD=12AB=x+32，∵DE⊥AB，∴∠ADE=30°，∴AD=2AE，即x+32=2x，解得x=1，则AB=x+3=1+3=4，即△ABC的边长为4，【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．3．（3分）（2022春·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以A、C为圆心，大于AC长的一半为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别相交于点D、E，连接AE，当AB=3，AC=5时，△ABE周长为（    ）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根据勾股定理计算BC=AC2−AB2=52−32=4，结合作图得MN是AC的垂直平分线，得到AE=EC，结合△ABE周长为AB+AE+BE=AB+BE+EC=AB+BC，代入计算即可．【详解】因为∠B=90°，AB=3，AC=5，所以BC=AC2−AB2=52−32=4，根据题意，得MN是AC的垂直平分线，所以AE=EC，因为△ABE周长为AB+AE+BE=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7，故选B．【点睛】本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线性质及其基本作图，熟练掌握勾股定理是解题的关键．4．（3分）（2022春·吉林长春·七年级吉林省第二实验学校期末）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝12米，AC＝6米，射线BM⊥AB，垂足为点B，动点E从A点出发以2米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E经过t秒时，由点D、E、B组成的三角形与△BCA全等．请问t有几种情况？（　　）A．1种 B．2种 C．3种 D．4种【答案】D【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果．【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12﹣6＝6米，∴点E的运动时间为6÷2＝3（秒）；②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝6米，∴BE＝6米，∴AE＝12+6＝18米，∴点E的运动时间为18÷2＝9（秒）；③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，∵AB＝12米，∴BE＝12米，∴AE＝12+12＝24米，∴点E的运动时间为24÷2＝12（秒），综上所述t的值为：0，3，9，12．共4中情况．故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，解本题的关键在找到所有符合题意的情况．5．（3分）（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，在一块地中，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为（    ）A．24平方米 B．26平方米 C．28平方米 D．30平方米【答案】D【分析】连接AC，利用勾股定理及其逆定理可以得出三角形ACD和ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．【详解】解：连接AC，∵∠ADC=90°，AD=4，CD=3，∴AC2=AD2+CD2=42+32=25，又∵AC＞0，∴AC=5，又∵BC=12，AB=13，∴AC2+BC2=52+122=169，又∵AB2=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴S四边形ABCD=S△ABC-S△ADC=12×5×12−12×3×4=30-6=24（平方米）．故选：D．【点睛】本题考查的是勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．6．（3分）（2022春·浙江杭州·八年级杭州外国语学校校考期末）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上AD⊥BC于点D，则AD的长为（    ）A．5 B．3 C．5 D．2【答案】D【分析】首先由勾股定理得AB，AC，BC的三边长，从而有AB2+AC2=BC2，得∠BAC=90°，再根据SΔABC=12AC⋅AB=12BC⋅AD，代入计算即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=22+42=25，AC=12+22=5，BC=32+42=5，∵AB2+AC2=25，BC2=25，∴AB2+AC2=BC2，∴∠BAC=90°，∴SΔABC=12AC⋅AB=12BC⋅AD∴5×25=5×AD，∴AD=2，故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的的逆应用，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC=90°是解题的关键．7．（3分）（2022春·广西贵港·八年级统考期末）如图，在三角形ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，则下列结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP.其中结论正确的是（   ）A．①②③ B．①② C．① D．①③【答案】D【分析】根据已知，易证△ARP≌△ASP，所以AS=AR；根据等腰三角形的性质知，∠1=∠2，∠3=∠2，所以∠1=∠3，内错角相等，所以QP∥AR；根据①②的结论，易证③正确．【详解】解：∵PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，∴点P在∠A的平分线上；AQ=PQ，①正确，∵点P在∠BAC的平分线上， ∴∠2=∠3，∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，∴∠ARP=∠ASP又∵AP=AP，∴△ARP≌△ASPAAS．∴AS=AR．②正确，∵点P在∠A的平分线上；∴∠2=∠3．又∵AQ=PQ，∴∠1=∠2．∴∠1=∠3．∴QP∥AR．③正确，∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C．又∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，∴∠BRP=∠CSP．又∵BP=CP，∴△BRP≌△QSPAAS．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．8．（3分）（2022春·广东惠州·八年级期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连结PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（   ）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】A【分析】根据等腰三角形的定义利用作图的方法找出符合条件的点即可．【详解】解：如图所示：以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3；以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2；以C为圆心，BC为半径画弧，交直线m于点P5与P1两点重合．因此出现等腰三角形的点P的位置有4个．【点睛】此题考查等腰三角形的定义和判定，利用作图找等腰三角形是一种常见的方法．9．（3分）（2022秋·江苏无锡·九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），点B（2，-3）．在坐标轴上找一点C，使得△ABC为直角三角形，这样的点C共有（   ）个．A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【详解】试题解析：（1）∠BAP=90°易得P1（0，2）；（2）∠ABP=90°易得P2（0，-3）；（3）∠BAP=90°；（如图）以AB为直径画⊙O′与x轴，y轴分别交于P3、P4、P5、P6，AB与x轴交于C，过点O′作O′D⊥y轴，在Rt△OO′p3中易知O′D=2，O′p3=52，则P3D=254−4=32，OP3=P3D-OD=32-12=1，则P3（0，1）易知P3D=P5D，则P5（0，-2），连接O′P4，O′P6，易求出P4（2-6，0）P6（2+6，0）综上所述P1（0，2），P2（0，-3），P3（0，1），P4（2-6，0），P5（0，-2），P6（2+6，0）．故选B.考点：1.勾股定理；2.坐标与图形性质．10．（3分）（2022春·全国·八年级期末）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB=30°，则△PMN周长的最小值是（　　）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm【答案】B【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN，求出∠COD=60°，证明△COD是等边三角形，可得CD=OC=OD=OP=5cm，然后根据△PMN周长的最小值为CD的长度得出答案．【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN．∵点P关于OA的对称点为C，∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为D，∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，∴OC=OD=OP=5cm，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，∴△COD是等边三角形，∴CD=OC=OD=OP=5cm，∴△PMN的周长的最小值=PM+MN+PN=CM+MN+DN≥CD=5cm，【点睛】此题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的判定和性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（2022秋·安徽六安·八年级统考期末）如图，AD是△ABC的中线，若AB=13，BC=10，AD=12，则AC= ___________．【答案】13【分析】根据AD是△ABC的中线， BC=10，得到BD=CD=5，从而得到BD2+AD2=AB2，得到∠ADC=∠ADB=90°，利用SAS证明△ADB≌△ADC，得到AB=AC．【详解】因为AD是△ABC的中线， BC=10，所以BD=CD=5．因为BD2+AD2=52+122=169=132=AB2，所以∠ADC=∠ADB=90°，所以AD=AD∠ADC=∠ADBDC=DB，所以△ADB≌△ADC，所以AB=AC=13，故答案为：13．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形全等的判定和性质，三角形的中线对边中点与对边顶点的连线，熟练掌握勾股定理的逆定理，灵活运用三角形全等判定定理是解题的关键．12．（3分）（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ADB=90°，点E是BD上一点，若AB=CE，∠BCD=2∠DCE=45°，则∠ABC的度数为______．【答案】112.5°【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义，可以得到∠ADB=∠EBC=90°，∠BCE=12∠BCD，再根据HL可以判定Rt△ADB≌Rt△EBC，从而可以得到∠ABD=∠ECB=22.5°，然后即可得到∠ABC的度数．【详解】解：∵AD∥BC，∠ADB=90°， ∴∠ADB=∠EBC=90°， ∵∠BCD=2∠DCE=45°， ∴∠BCD=∠BDC=45°，∠BCE=22.5°， ∴BC=BD， 在Rt△ADB和Rt△EBC中，AB=ECDB=BC ，∴Rt△ADB≌Rt△EBCHL， ∴∠ABD=∠ECB=22.5°， ∴∠ABC=∠ABD+∠EBC=112.5°， 故答案为：112.5°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．13．（3分）（2022春·福建福州·八年级校考期末）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，且∠ADB=60°，若AD=5，CD=4，则BC的长是______．【答案】11【分析】过A点作AE⊥BC于E，根据含30度的直角三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质即可求解．【详解】解：过A点作AE⊥BC于E，∵∠ADB=60°，∴∠DAE=30°，∵AD=5，∴DE=12AD=2.5，∴CE=DE+CD=2.5+3=5.5，在等腰△ABC中，AB=AC，∴BC=2CE=11．故答案为：11．【点睛】此题考查了含30度的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握含30度的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．14．（3分）（2022春·北京·八年级校联考期末）如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G、F，若BE=3，CD=4，ED=5，则FG的长为__________．【答案】2【分析】利用角平分线以及平行线的性质，得到∠ABG=∠EGB和∠DCF=∠DFC，利用等边对等角得到BE=EG，CD=DF，最后通过边与边之间的关系即可求解．【详解】解：如下图所示：∵BG、CF分别是∠ABC与∠ACB的角平分线∴∠ABG=∠CBG，∠BCF=∠DCF ∵ED∥BC∴∠EGB=∠CBG，∠DFC=∠BCF ∴∠ABG=∠EGB，∠DCF=∠DFC ∴BE=EG=3，CD=DF=4 ∴FG=EG+DF−ED=2 故答案为：2．【点睛】本题主要是考查了等角对等边以及角平分线和平行的性质，熟练根据角平分线和平行线的性质，得到相等角，这是解决该题的关键．15．（3分）（2022春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考阶段练习）如图，直线L为线段AB的垂直平分线，交AB于M，在直线L上取一点C1，使得MC1＝MB，得到第一个三角形ABC1；在射线MC1上取一点C2，使得C1C2＝BC1；得到第二个三角形△ABC2；在射线MC1上取一点C3，使得C2C3＝BC2，得到第三个三角形△ABC3…依次这样作下去，则第2022个三角形△ABC2022中∠AC2022B的度数为_____．【答案】90°22021【分析】根据线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质、三角形内角和定理进行解答即可．【详解】∵直线L为线段AB的垂直平分线，∠AMC1=∠BMC1=90°，C1A＝C1B，C2A＝C2B，C3A＝C3B，…∵C1C2＝BC1，MC1=MB，∴C1C2＝BC1＝AC1，∠ABC1=∠BAC1=45°，即∠AC1B=90°，∴∠C1C2A＝∠C1AC2＝12∠AC1M，∠C1C2B＝∠C1BC2＝12∠BC1M，∴∠AC2B＝12∠AC1B，同理，∴∠AC3B＝12 ∠AC2B＝12×12 ∠AC1B，∴∠AC4B＝12 ∠AC3B＝12×12×12 ∠AC1B，∴∠AC5B＝12 ∠AC4B＝12×12×12×12 ∠AC1B，…∴∠AC2022B＝122021 ∠AC1B＝90°22021；故答案为：90°22021【点睛】本题考查图形类规律探究，涉及线段的垂直平分线，等腰三角形、三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定和性质，得出角之间的变化规律是正确解答的前提．16．（3分）（2022·全国·八年级假期作业）如图，已知，BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD且∠BEC=30度，则∠EAC=______度．【答案】60【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC，根据角平分线的定义可得∠EBC=12∠ABC，∠ECD=12∠ACD，然后整理得到∠BEC=12∠BAC，过点E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延长线于H，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得EF=EG=EH，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AE平分∠CAH，然后列式计算即可得解．【详解】解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠ECD=∠BEC+∠EBC，∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，∴∠EBC=12∠ABC，∠ECD=12∠ACD，∴∠BEC+∠EBC=12（∠BAC+∠ABC），∴∠BEC=12∠BAC，∵∠BEC=30°，∴∠BAC=60°，过点E作EF⊥BD于F，作EG⊥AC于G，作EH⊥BA交BA的延长线于H，∵BE、CE分别平分∠ABC和∠ACD，∴EF=EH，EF=EG，∴EF=EG=EH，∴AE平分∠CAH，∴∠EAC=12（180°−∠BAC）=12（180°−60°）=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，熟记各性质并作辅助线是解题的关键．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（2022秋·重庆南川·八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长都为1，四边形ABCD的顶点都在小正方形的顶点上．(1)求四边形ABCD的面积；(2)求证：∠ADC=90°．【答案】(1)12.5(2)见解析【分析】（1）根据题意和图形，可知四边形ABCD的面积=△ADC的面积+△ABC的面积，然后代入数据计算即可；（2）根据勾股定理可以求得AD、DC的长，再根据勾股定理的逆定理即可求解．(1)解：S四边形ABCD=5×5−12×2×1−12×2×4−12×3×3−12×2×3=25−1−4−4.5−3=12.5；故四边形ABCD的面积是12.5；(2)解：在△ADC中，如图：由勾股定理，则∵AD2=5，DC2=20，AC2=25 ∴ AC2=AD2+DC2   ∴△ADC是直角三角形∴∠ADC＝90°；【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．（6分）（2022春·广东惠州·八年级校考阶段练习）已知：如图，AB∥CD，∠ABD＝90°，∠AED＝90°，BD＝DE.求证：∠AFC＝2∠ADC.【答案】证明见解析【分析】根据HL证明Rt△ABD≌Rt△AED，得出∠BAD＝∠EAD再由AB∥CD可推出∠EAD＝∠ADC，最后根据外角的性质即可得出结论.【详解】证明：在Rt△ABD与Rt△AED中，{AD=ADBD=DE，∴Rt△ABD≌Rt△AED（HL），∴∠BAD＝∠EAD，∵AB∥CD，∴∠BAD＝∠ADC，∴∠EAD＝∠ADC，∵∠AFC＝∠EAD+∠ADC，∴∠AFC＝2∠ADC.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．19．（8分）（2022春·湖南株洲·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M．(1)若∠ABC=70°，求∠BAC的大小．(2)连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长；②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小，若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值，若不存在，说明理由．【答案】(1)40°(2)① BC=6cm，②当P点和M点重合时，PB+CP最小且最小值为8cm【分析】（1）根据等边对等角以及三角形的内角和定理即可求解；（2）①根据垂直平分线的性质有AM=BM，即根据△MBC的周长可以求出AC+BC，问题得解；②根据垂直平分线的性质可知当P与M点重合时，PB+CP有最小值，最小值为AC，问题得解．【详解】（1）∵AB=AC，∠ABC=70°，∴∠ABC=∠ACB=70°，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，∴∠BAC=40°；（2）①∵MN垂直平分线段AB， ∴AM=BM，∵△MBC的周长是14cm，∴MC+BM+BC=14，∴MC+AM+BC=14，AC+BC=14，∵AB=AC，AB=8cm，∴BC=14−AC=14−AB=14−8=6cm；②存在，即P与M点重合时，PB+CP有最小值，即：P与M点重合时，∵MN垂直平分线段AB，∴AP=BP，∴PB+CP=PA+CP，∵点P与M点重合，∴A、P、C三点共线，∴PB+CP=PA+CP=AC，∴根据两点直线线段最短，可知此时PB+CP有最小值，最小值为AC，∵AB=8cm，AB=AC，∴PB+CP最小值为8cm，即：当P点和M点重合时，PB+CP最小且最小值为8cm．【点睛】本题考查已知等腰三角形性质，垂直平分线的性质，两点之间线段最短以及三角形内角和定理等知识，灵活运用垂直平分线的性质是解题的关键．20．（8分）（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BM是Rt△ABC的一个外角的平分线，点D在CB的延长线上，连接DM，AM，AD，且DM=AM．(1)若BC=3，求AB的长；(2)求证：△AMD是等边三角形；(3)求BM，BC，BD之间的数量关系．【答案】(1)6；(2)见解析；(3)BM=2BC+BD．【分析】（1）利用含30°的直角三角形的性质即可得到答案；（2）过点M作MN⊥BD，垂足为N，作MG⊥AB，垂足为G，根据角平分线的性质定理得MN=MG与∠GMN=60°，再证明Rt△AMG≌Rt△DMN，∠AMG=∠DMN，得∠AMD=60°，根据等边三角形的判定即可得证；（3）延长BC至点Q，使得QC=BC，连接AQ，则QB=2BC，AQ=AB，然后判定△ABQ是等边三角形，再证明△QAD≌△BAM，得QD=BM，从而得到结论：BM=2BC+BD．【详解】（1）解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°∴∠ACB=30°在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，∴AB=2BC=6；（2）证明：如图，过点M作MN⊥BD，垂足为N，作MG⊥AB，垂足为G，∵BM平分∠ABD，∠ABC=60°，∴MN=MG，∠ABM=∠MBD=60°，∴∠BMG=∠BMN=30°，∴∠GMN=60°，在Rt△AMG和Rt△DMN中，AM=DMMG=MN，∴Rt△AMG≌Rt△DMNHL，∴∠AMG=∠DMN，∴∠AMD=∠AMG+∠GMD=∠DMN+∠GMD=∠GMN=60°，∵AM=MD∴△AMD是等边三角形；（3）解：延长BC至点Q，使得QC=BC，连接AQ，则QB=2BC，AQ=AB∵∠ABC=60°∴△ABQ是等边三角形，∴∠BAQ=60°∵由（2）知：△AMD是等边三角形，∴∠MAD=60°，AD=AM∴∠BAQ=∠MAD=60°∴∠BAQ+∠BAD=∠MAD+∠BAD即∠QAD=∠BAM在△QAD和△BAM中AQ=AB∠QAD=∠BAMAD=AM，∴△QAD≌△BAM(SAS)，∴QD=BM∵QD=QB+BD∴BM=2BC+BD．【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质、适当添加辅助线是解答此题的关键．21．（8分）（2022秋·山东东营·七年级校考期末）如图，△ABC是边长是12cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为ts，解答下列问题：(1)当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由.(2)在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由.(3)则当t为何值时，△BPQ是直角三角形？【答案】(1)PQ与AB垂直，见解析(2)能，4(3)t=2.4秒或t=6秒【分析】（1）根据题意求出AP的长度，则可知点P为AB的中点，根据等边三角形的性质即可得出答案；（2）若△BPQ是等边三角形，则BP=PQ=BQ，列出相应方程求解即可；（3）分两种情况进行讨论：当∠BQP=90°时；当∠BPQ=90°时．（1）当点Q到达点C时，PQ与AB垂直，理由如下：∵AB=AC=BC=12cm，∴当点Q到达点C时，可得AP=6cm，∴点P为AB的中点，∴PQ⊥AB；（2）假设在点P与点Q的运动过程中，△BPQ能成为等边三角形，∴BP=PQ=BQ，∴12-t=2t，解得t=4，∴当t=4时，△BPQ是等边三角形；（3）根据题意得AP=t，BQ=2t，∴BP=12-t，当∠BQP=90°时，∵∠PBQ=60°，∵∠BPQ=30°，∴BQ=12BP，即2t=12(12-t)，解得t=2.4秒；当∠BPQ=90°时，同理可得12-t=12×2t，解得t=6秒，∴当t=2.4秒或t=6秒，△BPQ是直角三角形．【点睛】本题考查了三角形综合题，考查了含30°的直角三角形，等边三角形的性质，几何动点问题，读懂题意，根据题意列出相应的方程是解本题的关键．22．（8分）（2022春·辽宁大连·八年级期末）△ABC是等边三角形，点D是AC上一点，点E在BC的延长线上，且AD=CE．(1)如图1，当点D是AC的中点时，求证：DB=DE；(2)如图2，当点D是AC上任意一点时，取BD的中点F，连接AF,AE．求∠FAE的度数【答案】(1)见解析(2)60°【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=∠A=60°，再由“三线合一”的性质及角平分线得出∠DBE=∠DEB，再由等角对等边即可证明；（2）延长AF至G，使AF=FG，连BG，根据全等三角形的判定得出△AFD≌△GFBSAS，△ABG≌△ACESAS，再由其性质结合图形找出各角之间的关系即可得出结果．【详解】（1）证明：在等边△ABC中，AB=BC=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，∵D是AC的中点，∴AD=CD，BD平分∠ABC，∵AD=CE，∴CD=CE，∴∠DEC=∠CDE=12∠ACB=30°，∠DBC=∠ABD=12∠ABC=30°，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE．（2）如图所示，延长AF至G，使AF=FG，连BG，∵F为BD的中点，∴BF=DF，在△AFD和△GFB中，FD=BF∠DFA=∠BFGFA=FG，∴△AFD≌△GFBSAS，∴AD=BG，∠ADF=∠GBF，∴BG∥AC．∴∠GBC=∠ACB=60°， ∠ABG=∠ABC+∠GBC=120°，∠ACE=180°−∠ACB=120°，∴∠ABG=∠ACE又∵AD=CE，∴BG=CE在△ABG和△ACE中，AB=AC∠ABG=∠ACEBG=CE，∴△ABG≌△ACESAS，∴∠BAG=∠CAE，∴∠FAE=∠FAD+∠DAE=∠FAD+∠BAF=∠BAC=60°．【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键．23．（8分）（2022春·福建福州·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=3．(1)求AB的长；(2)点D在CB的延长线上，点M在∠ABD的平分线上，连接DM，AM，AD，且DM=AM．①求证：△ADM是等边三角形；②BM−BD的值是否为定值，如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)6(2)①见解析；②6【分析】（1）首先求出∠BAC=30°，根据含30度角的直角三角形的性质即可得出AB=2BC=6；（2）①作MF⊥AB于点F，MG⊥CB交CB的延长线于点G，首先得出MG=MF，再证明Rt△MGD≌Rt△MFA(HL)，推出∠MDG=∠MAF，进而得出∠AMD=180°−∠ABD=60°，即可得出结论；②在BM上截取BE=BD，连接DE，先证明△BDE是等边三角形，再由△ADM是等边三角形，证明△MDE≌△ADB(SAS)，得出ME=AB=6，进而得出BM−BD=BM−BE=ME=6．【详解】（1）解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=3，∴∠BAC=30°，∴AB=2BC=6，∴AB的长是6．（2）①证明：如图1，作MF⊥AB于点F，MG⊥CB交CB的延长线于点G，∴∠G=∠MFA=90°，∵点M在∠ABD的平分线上，∠ABD=180°﹣∠ABC=120°，∴MG=MF，∠MBD=∠MBA=12∠ABD=60°，在Rt△MGD和Rt△MFA中，DM=AMMG=MF ，∴Rt△MGD≌Rt△MFA(HL)，∴∠MDG=∠MAF，∴∠MDB+∠MAF=∠MDB+∠MDG=180°，∴∠AMD=180°−∠ABD=60°，∴△ADM是等边三角形．②解：BM−BD的值为定值，如图2，在BM上截取BE=BD，连接DE，∵∠EBD=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=DB，∠BDE=60°，∵△ADM是等边三角形，∴DM=DA，∠ADM=60°，∴∠MDE=∠ADB=60°﹣∠ADE，