|试卷下载
搜索
    上传资料 赚现金
    北师大版八年级数学下册举一反三系列2.1不等式及不等式的基本性质【十大题型】同步练习(学生版+解析)
    立即下载
    加入资料篮
    北师大版八年级数学下册举一反三系列2.1不等式及不等式的基本性质【十大题型】同步练习(学生版+解析)01
    北师大版八年级数学下册举一反三系列2.1不等式及不等式的基本性质【十大题型】同步练习(学生版+解析)02
    北师大版八年级数学下册举一反三系列2.1不等式及不等式的基本性质【十大题型】同步练习(学生版+解析)03
    还剩23页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    八年级下册第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组2 不等式的基本性质精练

    展开
    这是一份八年级下册第二章 一元一次不等式和一元一次不等式组2 不等式的基本性质精练,共26页。


    TOC \ "1-3" \h \u
    \l "_Tc17123" 【题型1 不等式的概念及意义】 PAGEREF _Tc17123 \h 1
    \l "_Tc11701" 【题型2 取值是否满足不等式】 PAGEREF _Tc11701 \h 2
    \l "_Tc13521" 【题型3 根据实际问题列出不等式】 PAGEREF _Tc13521 \h 2
    \l "_Tc10997" 【题型4 在数轴上表示不等式】 PAGEREF _Tc10997 \h 2
    \l "_Tc16274" 【题型5 利用不等式的性质判断正误】 PAGEREF _Tc16274 \h 3
    \l "_Tc4175" 【题型6 利用不等式性质比较大小】 PAGEREF _Tc4175 \h 4
    \l "_Tc22347" 【题型8 利用不等式性质证明(不)等式】 PAGEREF _Tc22347 \h 5
    \l "_Tc26606" 【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】 PAGEREF _Tc26606 \h 6
    \l "_Tc4524" 【题型10 不等关系的简单应用】 PAGEREF _Tc4524 \h 6
    【知识点1 认识不等式】
    定义:用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”),“≠”连接而成的式子,叫做不等式。用符号这些用来连接的符号统称不等式.
    【题型1 不等式的概念及意义】
    【例1】(2022春•郏县期中)在数学表达式:①﹣3<0;②4x+3y>0;③x=3;④x2+xy+y2;⑤x≠5;⑥x+2>y+3中,不等式有( )
    A.1个B.3个C.4个D.5个
    【变式1-1】(2022春•苍溪县期末)下列式子是不等式的是( )
    A.x+4y=3B.xC.x+yD.x﹣3>0
    【变式1-2】(2022春•平泉市期末)某种牛奶包装盒上表明“净重205g,蛋白质含量≥3%”.则这种牛奶蛋白质的质量是( )
    A.3%以上B.6.15g
    C.6.15g及以上D.不足6.15g
    【变式1-3】(2022春•曲阳县期末)学校组织同学们春游,租用45座和30座两种型号的客车,若租用45座客车x辆,租用30座客车y辆,则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是 .
    【题型2 取值是否满足不等式】
    【例2】(2022春•卧龙区期中)下列数值﹣2、﹣1.5、﹣1、0、1、1.5、2中能使1﹣2x>0成立的个数有 个.
    【变式2-1】(2022春•泸县期末)x=3是下列哪个不等式的解( )
    A.x+2<4B.13x>3C.2x﹣1<3D.3x+2>10
    【变式2-2】(2022春•雁塔区校级期中)下列x的值中,是不等式x>2的解的是( )
    A.﹣2B.0C.2D.3
    【变式2-3】(2022春•夏津县期中)请写出满足下列条件的一个不等式.
    (1)0是这个不等式的一个解: ;
    (2)﹣2,﹣1,0,1都是不等式的解: ;
    (3)0不是这个不等式的解: .
    【题型3 根据实际问题列出不等式】
    【例3】(2022春•川汇区期末)小丽和小华先后进入电梯,当小华进入电梯时,电梯因超重而警示音响起,且这个过程中没有其他人进出,已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起,且小丽、小华的体重分别为40公斤,50公斤,若小丽进入电梯前,电梯内已乘载的重量为x公斤,则所有满足题意的x可用下列不等式表示的是( )
    A.210<x≤260B.210<x≤300C.210<x≤250D.250<x≤260
    【变式3-1】(2022•南京模拟)据深圳气象台“天气预报”报道,今天深圳的最低气温是25℃,最高气温是32℃,则今天气温t(℃)的取值范围是( )
    A.t<32B.t>25C.t=25D.25≤t≤32
    【变式3-2】(2022春•玉田县期末)用不等式表示“a是负数”应表示为 .
    【变式3-3】(2022秋•婺城区校级期末)某种药品的说明书上贴有如图所示的标签,一次服用药品的剂量设为x,则x的取值范围是 .
    【题型4 在数轴上表示不等式】
    【例4】(2022•嘉善县模拟)数轴上所表示的关于x的不等式组的解集为 .
    【变式4-1】(2022春•永丰县期中)不等式x≥a的解集在数轴上表示如图所示,则a= .
    【变式4-2】(2022秋•衢州期中)在数轴上表示下列不等式
    (1)x<﹣1 (2)﹣2<x≤3.
    【变式4-3】(2022•防城港模拟)在数轴上表示﹣2≤x<1正确的是( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    【知识点2 不等式的基本性质】
    性质1:若a<b,b<c,则a<c.这个性质叫做不等式的传递性.
    性质2:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。
    若a>b,则a±c>b±c.
    性质3:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
    不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
    若a>b,c>0,则ac>bc,ac>bc;
    若a>b,c<0,则ac<bc,ac<bc
    【题型5 利用不等式的性质判断正误】
    【例5】(2022春•雁塔区校级期中)如果有理数a<b,那么下列各式中,不一定成立的是( )
    A.3﹣a>3﹣bB.a2<abC.2a<2bD.−a3>−b3
    【变式5-1】(2022•禅城区校级三模)下列结论中,正确的是( )
    A.若a>b,c≠0,则ac>bcB.若ab<0,则a>0,b<0
    C.若a>0,b<0,则ab<0D.若ab>1,则a>b
    【变式5-2】(2022春•大埔县期末)下列结论正确的有 (填序号).
    ①如果a>b,c<d,那么a﹣c>b﹣d;②如果a>b,那么ab>1;③如果a>b,那么1a<1b;④如果ac2<bc2,那么a<b.
    【变式5-3】(2022春•天津期末)判断以下各题的结论是否正确(对的打“√”,错的打“×”).
    (1)若 b﹣3a<0,则b<3a;
    (2)如果﹣5x>20,那么x>﹣4;
    (3)若a>b,则 ac2>bc2;
    (4)若ac2>bc2,则a>b;
    (5)若a>b,则 a(c2+1)>b(c2+1)
    (6)若a>b>0,则1a<1b. .
    【题型6 利用不等式性质比较大小】
    【例6】(2022春•闵行区期中)如果7x<4时,那么7x﹣3 1.(填“>”,“=”,或“<”).
    【变式6-1】(2022春•辉县市期中)若a<b,用“>”或“<”填空
    (1)a﹣4 b﹣4
    (2)a5 b5
    (3)﹣2a ﹣2b.
    【变式6-2】(2022春•饶平县校级期末)要比较两个数a、b的大小,有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决:
    (1)如果a﹣b>0,则a>b;
    (2)如果a﹣b=0,则a=b;
    (3)如果a﹣b<0,则a<b.
    若x=2a2+3b,y=a2+3b﹣1,试比较x、y的大小.
    【变式6-3】(2022春•濉溪县期中)如果a>b,那么a(a﹣b) b(a﹣b)(填“>”或“<”)
    【题型7 利用不等式性质化简不等式】
    【例7】(2022秋•余杭区期中)利用不等式的性质解不等式:﹣5x+5<﹣10.
    【变式7-1】(2022秋•郴州校级月考)把下列不等式化成x>a或x<a的形式.
    (1)2x+5>3;
    (2)﹣6(x﹣1)<0.
    【变式7-2】(2022秋•余杭区期中)试依据不等式的基本性质,把下列不等式化为x>a或x<a的形式(a为常数).
    (1)13x>−23x﹣2(2)12x≤12(6﹣x)
    【变式7-3】(2022秋•湖州期中)根据不等式的性质把下列不等式化成x>a或x<a的形式.
    (1)x+7>9
    (2)6x<5x﹣3
    (3)15x<25.
    【题型8 利用不等式性质证明(不)等式】
    【例8】(2022春•西城区校级期中)阅读下列材料,解决问题:
    【问题背景】
    小明在学习完不等式的性质之后,思考:
    “如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢?”
    在老师的启发下,小明首先把问题转化为以下的形式:
    ①已知:a>b,c<0.
    求证:ac<bc.
    ②已知:a>b,c<0.
    求证:ac<bc.
    【问题探究】
    (1)针对①小明给出如下推理过程,请认真阅读,并填写依据:
    ∵c<0,即c是一个负数
    ∴c的相反数是正数,即﹣c>0
    ∵a>b
    ∴a•(﹣c)>b•(﹣c)(依据: )
    即﹣ac>﹣bc
    不等式的两端同时加(ac+bc)可得:
    ﹣ac+(ac+bc)>﹣bc+(ac+bc)(依据: )
    合并同类项可得:bc>ac
    即:ac<bc得证.
    (2)参考(1)的结论或证明方法,完成②的证明.
    【变式8-1】(2022春•武侯区期末)求证:如果a>b,e>f,c>0,那么f﹣ac<e﹣bc.
    【变式8-2】(2022春•江西期末)已知:b<c,1<a<b+c<a+1,求证:b<a.
    【变式8-3】(2022春•夏津县期中)已知实数a,b,c满足:a+b+c=0,c>0,3a+2b+c>0.
    求证:(1)a>c;
    (2)﹣2<ba<−1.
    【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】
    【例9】(2022春•龙凤区期中)已知实数x,y,z满足x+y=3,x﹣z=6.若x≥﹣2y,则x+y+z的最大值为( )
    A.3B.4C.5D.6
    【变式9-1】(2022春•郫都区校级期中)若x<y,且(6﹣a)x>(6﹣a)y,则a的取值范围是 .
    【变式9-2】(2022•天门校级自主招生)已知正数a、b、c满足a2+c2=16,b2+c2=25,则k=a2+b2的取值范围为 .
    【变式9-3】(2022春•朝阳区校级期中)已知a,b,c为整数,且a+b=2006,c﹣a=2005,若a<b,求a+b+c的最大值.
    【题型10 不等关系的简单应用】
    【例10】(2022春•饶平县校级期末)有一个两位数,个位上的数字为a,十位上的数字为b,如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调,得到的两位数大于原来的两位数,那么a与b哪个大?
    【变式10-1】(2022春•巩义市期末)如图所示,A,B,C,D四人在公园玩跷跷板,根据图中的情况,这四人体重从小到大排列的顺序为( )
    A.D<B<A<CB.B<D<C<AC.B<A<D<CD.B<C<D<A
    【变式10-2】(2022春•兰山区期末)根据等式和不等式的基本性质,我们可以得到比较两数大小的方法:若a﹣b>0,则a>b;若a﹣b=0,则a=b;若a﹣b<0,则a<b.反之也成立.这种方法就是求差法比较大小.请运用这种方法解决下面这个问题:制作某产品有两种用料方案,方案一:用4块A型钢板,8块B型钢板;方案二:用3块A型钢板,9块B型钢板.每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小.方案一总面积记为S1,方案二总面积记为S2,则S1 S2(填“>,<或=”).
    【变式10-3】(2022•苏州自主招生)5名学生身高两两不同,把他们按从高到低排列,设前三名的平均
    专题2.1 不等式及不等式的基本性质【十大题型】
    【北师大版】
    TOC \ "1-3" \h \u
    \l "_Tc17123" 【题型1 不等式的概念及意义】 PAGEREF _Tc17123 \h 1
    \l "_Tc11701" 【题型2 取值是否满足不等式】 PAGEREF _Tc11701 \h 3
    \l "_Tc13521" 【题型3 根据实际问题列出不等式】 PAGEREF _Tc13521 \h 4
    \l "_Tc10997" 【题型4 在数轴上表示不等式】 PAGEREF _Tc10997 \h 6
    \l "_Tc16274" 【题型5 利用不等式的性质判断正误】 PAGEREF _Tc16274 \h 8
    \l "_Tc4175" 【题型6 利用不等式性质比较大小】 PAGEREF _Tc4175 \h 10
    \l "_Tc22347" 【题型8 利用不等式性质证明(不)等式】 PAGEREF _Tc22347 \h 14
    \l "_Tc26606" 【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】 PAGEREF _Tc26606 \h 17
    \l "_Tc4524" 【题型10 不等关系的简单应用】 PAGEREF _Tc4524 \h 19
    【知识点1 认识不等式】
    定义:用符号“<”(或“≤”),“>”(或“≥”),“≠”连接而成的式子,叫做不等式。用符号这些用来连接的符号统称不等式.
    【题型1 不等式的概念及意义】
    【例1】(2022春•郏县期中)在数学表达式:①﹣3<0;②4x+3y>0;③x=3;④x2+xy+y2;⑤x≠5;⑥x+2>y+3中,不等式有( )
    A.1个B.3个C.4个D.5个
    【分析】主要依据不等式的定义──用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来解答.
    【详解】解:因为除③x=3;④x2+xy+y2;之外,式子①﹣3<0;②4x+3y>0;⑤x≠5;⑥x+2>y+3中都含不等号,都是不等式,共4个.
    【点睛】本题考查不等式的识别,一般地,用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式.解答此类题关键是要识别常见不等号:>,<,≤,≥,≠.
    【变式1-1】(2022春•苍溪县期末)下列式子是不等式的是( )
    A.x+4y=3B.xC.x+yD.x﹣3>0
    【分析】根据不等式的定义逐个判断即可.
    【详解】解:A、x+4y=3是等式,不是不等式,故此选项不符合题意;
    B、x,没有不等号,不是不等式,故此选项不符合题意;
    C、x+y,没有不等号,不是不等式,故此选项不符合题意;
    D、x﹣3>0是不等式,故此选项符合题意.
    故选:D.
    【点睛】本题考查了不等式的定义,注意:用不等号表示不等关系的式子,叫不等式,不等号有:>,<,≤,≥,≠等.
    【变式1-2】(2022春•平泉市期末)某种牛奶包装盒上表明“净重205g,蛋白质含量≥3%”.则这种牛奶蛋白质的质量是( )
    A.3%以上B.6.15g
    C.6.15g及以上D.不足6.15g
    【分析】根据蛋白质含量大于或等于3%判断即可.
    【详解】解:∵205×3%=6.15(g),蛋白质含量≥3%,
    ∴这种牛奶蛋白质的质量是6.15g及以上,
    【点睛】本题考查了不等式的定义,掌握≥表示大于或等于是解题的关键.
    【变式1-3】(2022春•曲阳县期末)学校组织同学们春游,租用45座和30座两种型号的客车,若租用45座客车x辆,租用30座客车y辆,则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是 租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人 .
    【分析】主要依据不等式的定义:用“>”、“≥”、“<”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断.
    【详解】解:不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人.
    故答案为:租用x辆45座的客车和y辆30座的客车总的载客量不少于500人.
    【点睛】本题考查不等式的识别,一般地,用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式.解答此类题关键是要识别常见不等号:>、<、≤、≥、≠.
    【题型2 取值是否满足不等式】
    【例2】(2022春•卧龙区期中)下列数值﹣2、﹣1.5、﹣1、0、1、1.5、2中能使1﹣2x>0成立的个数有 4 个.
    【分析】解得不等式后根据x的取值范围确定个数即可.
    【详解】解:解1﹣2x>0,
    解得:x<12,
    满足x<12的有﹣2、﹣1.5、﹣1、0共4个,
    故答案为:4.
    【点睛】本题考查了不等式的解集的知识,解答时也可以将x的值代入看能否满足不等式,满足可以,否则不可以.
    【变式2-1】(2022春•泸县期末)x=3是下列哪个不等式的解( )
    A.x+2<4B.13x>3C.2x﹣1<3D.3x+2>10
    【分析】根据解不等式的方法,可得不等式的解集,根据不等式的解集,可得答案.
    【详解】解:A、x<2,故A不是不等式的解;
    B、x>9,故B 不是不等式的解;
    C、x<2,故C不是不等式的解;
    D、x>83,故D是不等式的解.
    故选:D.
    【点睛】本题考查了不等式的解集,先解不等式,再选出答案.
    【变式2-2】(2022春•雁塔区校级期中)下列x的值中,是不等式x>2的解的是( )
    A.﹣2B.0C.2D.3
    【分析】根据不等式解集的定义即可得出结论.
    【详解】解:∵不等式x>2的解集是所有大于2的数,
    ∴3是不等式的解.
    故选:D.
    【点睛】本题考查的是不等式的解集,熟知使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解是解答此题的关键.
    【变式2-3】(2022春•夏津县期中)请写出满足下列条件的一个不等式.
    (1)0是这个不等式的一个解: x<1 ;
    (2)﹣2,﹣1,0,1都是不等式的解: x<2 ;
    (3)0不是这个不等式的解: x<0 .
    【分析】根据不等式的解集,即可解答.
    【详解】解:(1)x<1,(答案不唯一)
    (2)x<2,(答案不唯一)
    (3)x<0,(答案不唯一)
    故答案为:(1)x<1,(2)x<2,(3)x<0.
    【点睛】本题考查了不等式的解集,解决本题的关键是熟记不等式的解集.
    【题型3 根据实际问题列出不等式】
    【例3】(2022春•川汇区期末)小丽和小华先后进入电梯,当小华进入电梯时,电梯因超重而警示音响起,且这个过程中没有其他人进出,已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起,且小丽、小华的体重分别为40公斤,50公斤,若小丽进入电梯前,电梯内已乘载的重量为x公斤,则所有满足题意的x可用下列不等式表示的是( )
    A.210<x≤260B.210<x≤300C.210<x≤250D.250<x≤260
    【分析】由题意可得,小丽的重量为40公斤,且进入电梯后,警示音没有响起,小华的重量为50公斤.且进入电梯后,警示音响起,分别列出不等式即可求解.
    【详解】解:由题意可知:
    当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起,小丽进入电梯前,电梯内已乘载的重量为x公斤,
    由图可知:
    小丽的重量为40公斤,且进入电梯后,警示音没有响起,
    所以此时电梯乘载的重量x+40≤300,解得x≤260,
    因为小华的重量为50公斤.且进入电梯后,警示音响起,
    所以此时电梯乘载的重量x+40+50>300,解得x>210,
    因此210<x≤260.
    【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用,解决本题的关键是根据题意找到不等关系.
    【变式3-1】(2022•南京模拟)据深圳气象台“天气预报”报道,今天深圳的最低气温是25℃,最高气温是32℃,则今天气温t(℃)的取值范围是( )
    A.t<32B.t>25C.t=25D.25≤t≤32
    【分析】根据今天的最低气温是25℃可得:t≥25,根据最高气温是32℃可得:t≤32,再找出t的公共解集即可.
    【详解】解:根据今天的最低气温是25℃可得:t≥25,
    根据最高气温是32℃可得:t≤32,
    则气温范围是:25≤t≤32,
    故选:D.
    【点睛】此题主要考查了由实际问题列不等式,关键是抓住关键词“不足”,“不少于”,“不大于”,“不超过”等这些词语出现的地方.所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目.
    【变式3-2】(2022春•玉田县期末)用不等式表示“a是负数”应表示为 a<0 .
    【分析】根据题意可得,负数小于0,由此列出不等式即可.
    【详解】解:根据题意,得a<0.
    故答案为:a<0.
    【点睛】本题考查列不等式,所考查的知识点是:负数小于0.
    【变式3-3】(2022秋•婺城区校级期末)某种药品的说明书上贴有如图所示的标签,一次服用药品的剂量设为x,则x的取值范围是 7.5≤x≤40 .
    【分析】若每天服用3次,则所需剂量为10﹣40mg之间,若每天服用4次,则所需剂量为7.5﹣30mg之间,所以,一次服用这种药的剂量为7.5﹣40mg之间.
    【详解】解:若每天服用3次,则所需剂量为10﹣40mg之间,
    若每天服用4次,则所需剂量为7.5﹣30mg之间,
    所以,一次服用这种药的剂量为7.5﹣40mg之间,
    所以7.5≤x≤40.
    故答案为:7.5≤x≤40.
    【点睛】本题考查了不等式的意义、有理数的除法运算.解题的关键是理解题意的能力,首先明白每天要服用的药量,然后根据分几次服用,可求出最小药量和最大药量.
    【题型4 在数轴上表示不等式】
    【例4】(2022•嘉善县模拟)数轴上所表示的关于x的不等式组的解集为 ﹣1≤x<2 .
    【分析】数轴的某一段上面,表示解集的线的条数,与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.实心圆点包括该点,空心圆圈不包括该点,>向右<向左.两个不等式的公共部分就是不等式组的解集.
    【详解】解:由图示可看出,从﹣1出发向右画出的折线且表示﹣1的点是实心圆,表示x≥﹣1;
    从2出发向左画出的折线且表示2的点是空心圆,表示x<2,不等式组的解集是指它们的公共部分.
    所以这个不等式组的解集是:﹣1≤x<2.
    故答案为:﹣1≤x<2.
    【点睛】此题主要考查不等式组的解法及在数轴上表示不等式组的解集.不等式组的解集在数轴上表示的方法:把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
    【变式4-1】(2022春•永丰县期中)不等式x≥a的解集在数轴上表示如图所示,则a= 2 .
    【分析】根据数轴上表示的解集确定出a的值即可.
    【详解】解:根据数轴上的解集得:a=2,
    故答案为:2
    【点睛】此题考查了在数轴上表示不等式的解集,把每个不等式的解集在数轴上表示出来(>,≥向右画;<,≤向左画),数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示;“<”,“>”要用空心圆点表示.
    【变式4-2】(2022秋•衢州期中)在数轴上表示下列不等式
    (1)x<﹣1
    (2)﹣2<x≤3.
    【分析】(1)根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示.
    (2)根据不等式的解集在数轴上表示方法可画出图示.
    【详解】解:(1)将x<﹣1表示在数轴上如下:
    (2)将不等式组﹣2<x≤3表示在数轴上如下:
    【点睛】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集,不等式的解集在数轴上表示出来的方法:“>”空心圆点向右画折线,“≥”实心圆点向右画折线,“<”空心圆点向左画折线,“≤”实心圆点向左画折线.
    【变式4-3】(2022•防城港模拟)在数轴上表示﹣2≤x<1正确的是( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    【分析】根据﹣2是实心点,方向向右,1是空心点,方向向左画出图形即可得到答案.
    【详解】解:﹣2是实心点,方向向右,1是空心点,方向向左,如图所示:
    故选:D.
    【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式的解集,用数轴表示不等式的解集时,掌握“两定”:一是定界点,一般在数轴上只标出原点和界点即可.定边界点时要注意,点是实心还是空心,若边界点含于解集为实心点,不含于解集即为空心点;二是定方向,定方向的原则是:“小于向左,大于向右”是解题的关键.
    【知识点2 不等式的基本性质】
    性质1:若a<b,b<c,则a<c.这个性质叫做不等式的传递性.
    性质2:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。
    若a>b,则a±c>b±c.
    性质3:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。
    不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。
    若a>b,c>0,则ac>bc,ac>bc;
    若a>b,c<0,则ac<bc,ac<bc
    【题型5 利用不等式的性质判断正误】
    【例5】(2022春•雁塔区校级期中)如果有理数a<b,那么下列各式中,不一定成立的是( )
    A.3﹣a>3﹣bB.a2<abC.2a<2bD.−a3>−b3
    【分析】根据不等式的性质,逐项判断即可.
    【详解】解:∵a<b,
    ∴﹣a>﹣b,
    ∴3﹣a>3﹣b,
    ∴选项A不符合题意;
    ∵a<b,
    ∴a2<ab(a>0),a2>ab(a<0),或a2=ab(a=0),
    ∴选项B符合题意;
    ∵a<b,
    ∴2a<2b,
    ∴选项C不符合题意;
    ∵a<b,
    ∴−a3>−b3,
    ∴选项D不符合题意.
    【点睛】此题主要考查了不等式的性质:(1)不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;(2)不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变;(3)不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变.
    【变式5-1】(2022•禅城区校级三模)下列结论中,正确的是( )
    A.若a>b,c≠0,则ac>bcB.若ab<0,则a>0,b<0
    C.若a>0,b<0,则ab<0D.若ab>1,则a>b
    【分析】根据不等式的基本性质判断A,D选项;根据有理数的乘法法则判断B,C选项.
    【详解】解:A选项,当c<0时不成立,故该选项不符合题意;
    B选项,也可能是a<0,b>0,故该选项不符合题意;
    C选项,若a>0,b<0,则ab<0,故该选项符合题意;
    D选项,当b<0时不成立,故该选项不符合题意;
    【点睛】本题考查了不等式的性质,掌握不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变是解题的关键.
    【变式5-2】(2022春•大埔县期末)下列结论正确的有 ①④ (填序号).
    ①如果a>b,c<d,那么a﹣c>b﹣d;②如果a>b,那么ab>1;③如果a>b,那么1a<1b;④如果ac2<bc2,那么a<b.
    【分析】根据不等式的性质:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变;不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.可得答案.
    【详解】解:①∵c<d,
    ∴﹣c>﹣d,
    ∵a>b,
    ∴a﹣c>b﹣d,
    故①正确.
    ②当b<0时,ab<1,
    故②错.
    ③若a=2,b=﹣1,满足a>b,但1a>1b,
    故③错.
    ④∵ac2<bc2,
    ∴c2>0,
    ∴a<b,
    故④正确.
    故答案为:①④.
    【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质.注意:在不等式两边同乘以(或除以)同一个数时,不仅要考虑这个数不等于0,而且必须先确定这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向必须改变.
    【变式5-3】(2022春•天津期末)判断以下各题的结论是否正确(对的打“√”,错的打“×”).
    (1)若 b﹣3a<0,则b<3a; √
    (2)如果﹣5x>20,那么x>﹣4; ×
    (3)若a>b,则 ac2>bc2; ×
    (4)若ac2>bc2,则a>b; √
    (5)若a>b,则 a(c2+1)>b(c2+1). √
    (6)若a>b>0,则1a<1b. √ .
    【分析】利用不等式的性质逐个判断即可.
    【详解】解:(1)若由b﹣3a<0,移项即可得到b<3a,故正确;
    (2)如果﹣5x>20,两边同除以﹣5不等号方向改变,故错误;
    (3)若a>b,当c=0时则 ac2>bc2错误,故错误;
    (4)由ac2>bc2得c2>0,故正确;
    (5)若a>b,根据c2+1,则 a(c2+1)>b(c2+1)正确.
    (6)若a>b>0,如a=2,b=1,则1a<1b正确.
    故答案为:√、×、×、√、√、√.
    【点睛】本题考查了不等式的性质,两边同乘以或除以一个不为零的负数,不等号方向改变.
    【题型6 利用不等式性质比较大小】
    【例6】(2022春•闵行区期中)如果7x<4时,那么7x﹣3 < 1.(填“>”,“=”,或“<”).
    【分析】直接根据不等式的基本性质即可得出结论.
    【详解】解:∵7x<4,
    ∴7x﹣3<4﹣3,即7x﹣3<1.
    故答案为:<.
    【点睛】本题考查的是不等式的性质,熟知不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变是解答此题的关键.
    【变式6-1】(2022春•辉县市期中)若a<b,用“>”或“<”填空
    (1)a﹣4 < b﹣4
    (2)a5 < b5
    (3)﹣2a > ﹣2b.
    【分析】(1)根据不等式的基本性质,两边同时﹣4,不等号的方向不变即可解答:
    (2)根据不等式的基本性质,两边同时除以5,不等号的方向不变解答即可:
    (3)根据不等式的基本性质,两边同时乘以﹣2,不等号的方向改变即可解答.
    【详解】解:(1)根据不等式的基本性质1可得:a﹣4<b﹣4;
    (2)根据不等式的基本性质2可得:a5<b5;
    (3)根据不等式的基本性质3可得:﹣2a>﹣2b,
    故答案为<,<,>.
    【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质.不等式的基本性质:(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
    【变式6-2】(2022春•饶平县校级期末)要比较两个数a、b的大小,有时可以通过比较a﹣b与0的大小来解决:
    (1)如果a﹣b>0,则a>b;
    (2)如果a﹣b=0,则a=b;
    (3)如果a﹣b<0,则a<b.
    若x=2a2+3b,y=a2+3b﹣1,试比较x、y的大小.
    【分析】利用作差法可比较x、y的大小.
    【详解】解:由于x﹣y=2a2+3b﹣(a2+3b﹣1)=a2+1>0,即x﹣y>0.
    所以x>y.
    【点睛】本题考查了不等式的性质.(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变;
    (2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
    (3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
    【变式6-3】(2022春•濉溪县期中)如果a>b,那么a(a﹣b) > b(a﹣b)(填“>”或“<”)
    【分析】根据不等式的性质进行解答.
    【详解】解:∵a>b,
    ∴a﹣b>0,
    ∴a(a﹣b)>b(a﹣b).
    故答案是:>.
    【点睛】此题考查了不等式的性质,掌握不等式的基本性质是本题的关键,不等式的基本性质是:
    (1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
    (2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
    (3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
    【题型7 利用不等式性质化简不等式】
    【例7】(2022秋•余杭区期中)利用不等式的性质解不等式:﹣5x+5<﹣10.
    【分析】利用不等式的基本性质,将两边不等式同时减去5,不等号的方向不变.利用不等式的基本性质,将两边不等式同时除以﹣5,不等号的方向改变.
    【详解】解:根据不等式的性质1,在不等式的两边同时减去5,得﹣5x<﹣15,
    根据不等式的性质3,在不等式﹣5x<﹣15的两边同时除以﹣5,得x>3.
    【点睛】本题考查了不等式的性质:
    (1)不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变;
    (2)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变;
    (3)不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.
    【变式7-1】(2022秋•郴州校级月考)把下列不等式化成x>a或x<a的形式.
    (1)2x+5>3;
    (2)﹣6(x﹣1)<0.
    【分析】(1)根据移项、合并同类项,系数化为1,可得答案;
    (2)根据去括号、移项、系数化为1,可得答案.
    【详解】解:(1)移项,得
    2x>3﹣5,
    合并同类项,得
    2x>﹣2,
    系数化为1,得
    x>﹣1;
    (2)去括号,得,
    ﹣6x+6<0,
    移项,得
    ﹣6x<﹣6,
    系数化为1,得
    x>1.
    【点睛】本题考查了不等式的性质,利用了解不等式的一般步骤,不等式的两边都除以同一负数,不等号的方向改变.
    【变式7-2】(2022秋•余杭区期中)试依据不等式的基本性质,把下列不等式化为x>a或x<a的形式(a为常数).
    (1)13x>−23x﹣2(2)12x≤12(6﹣x)
    【分析】根据不等式的基本性质不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变;不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变作答.
    【详解】解:(1)利用不等式的基本性质1,在不等式的两边都加上23x,得13x+23x>−23x+23x﹣2,
    即x>﹣2;
    (2)根据不等式的基本性质2,在不等式的两边都乘以2,得12x×2≤12(6﹣x)×2,
    即x≤6﹣x,①
    再由不等式的基本性质1,在不等式①的两边同时加上同一个整式x,得
    2x≤6,②
    最后利用不等式的性质2,在不等式的两边同时除以2,得x≤3.
    【点睛】主要考查了不等式的基本性质:(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变;(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
    (3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
    【变式7-3】(2022秋•湖州期中)根据不等式的性质把下列不等式化成x>a或x<a的形式.
    (1)x+7>9
    (2)6x<5x﹣3
    (3)15x<25.
    【分析】根据不等式的基本性质对各不等式进行逐一分析解答即可.
    【详解】解:(1)根据不等式性质1,不等式两边都减7,不等号的方向不变,
    得x+7﹣7>9﹣7,即x>2;
    (2)根据不等式性质1,不等式两边都减去5x,不等号的方向不变,
    得6x﹣5x<5x﹣5x﹣3,即x<﹣3;
    (3)根据不等式性质2,不等式两边同乘以5,不等号的方向不变,
    得x<2;
    【点睛】本题考查的是不等式的基本性质,需熟练掌握.
    (1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
    (2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
    (3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
    【题型8 利用不等式性质证明(不)等式】
    【例8】(2022春•西城区校级期中)阅读下列材料,解决问题:
    【问题背景】
    小明在学习完不等式的性质之后,思考:
    “如何利用不等式的性质1和2证明不等式的性质3呢?”
    在老师的启发下,小明首先把问题转化为以下的形式:
    ①已知:a>b,c<0.
    求证:ac<bc.
    ②已知:a>b,c<0.
    求证:ac<bc.
    【问题探究】
    (1)针对①小明给出如下推理过程,请认真阅读,并填写依据:
    ∵c<0,即c是一个负数
    ∴c的相反数是正数,即﹣c>0
    ∵a>b
    ∴a•(﹣c)>b•(﹣c)(依据: 不等式的基本性质:不等式的两边同时乘以一个正数,不等号方向不变 )
    即﹣ac>﹣bc
    不等式的两端同时加(ac+bc)可得:
    ﹣ac+(ac+bc)>﹣bc+(ac+bc)(依据: 不等式的基本性质:不等式的两边同时加上同一个整式,不等号不变 )
    合并同类项可得:bc>ac
    即:ac<bc得证.
    (2)参考(1)的结论或证明方法,完成②的证明.
    【分析】(1)根据不等式的基本性质进行分析即可;
    (2)仿照(1)的方法进行求解即可.
    【详解】解:(1)∵c<0,即c是一个负数
    ∴c的相反数是正数,即﹣c>0
    ∵a>b
    ∴a•(﹣c)>b•(﹣c)(依据:不等式的基本性质:不等式的两边同时乘以一个正数,不等号方向不变),
    即﹣ac>﹣bc,
    不等式的两端同时加(ac+bc)可得:
    ﹣ac+(ac+bc)>﹣bc+(ac+bc)(依据:不等式的基本性质:不等式的两边同时加上同一个整式,不等号不变),
    合并同类项可得:bc>ac,
    即:ac<bc,得证.
    故答案为:不等式的基本性质:不等式的两边同时乘以一个正数,不等号方向不变;不等式的基本性质:不等式的两边同时加上同一个整式,不等号不变;
    (2)∵c<0,即c是一个负数
    ∴c的相反数是正数,即﹣c>0
    ∵a>b
    ∴a−c>b−c(依据:不等式的基本性质:不等式的两边同时除以一个正数,不等号方向不变),
    即−ac>−bc,
    不等式的两端同时乘以﹣1可得:
    −ac×(﹣1)<−bc×(﹣1)(依据:不等式的基本性质:不等式的两边同时乘以同一个负数,不等号改变),
    即:ac<bc,得证.
    【点睛】本题主要考查不等式的基本性质,解答的关键是熟记不等式的基本性质.
    【变式8-1】(2022春•武侯区期末)求证:如果a>b,e>f,c>0,那么f﹣ac<e﹣bc.
    【分析】根据不等式的两边都乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变,不等式的两边都加同一个数,不等号的方向不变,可得答案.
    【详解】证明:∵a>b,c>0,
    ∴﹣ac<﹣bc.
    f﹣ac<f﹣bc.
    ∵e>f,
    ∴e﹣bc>f﹣bc.
    ∴f﹣ac<e﹣bc.
    【点睛】本题考查了不等式的性质,注意不等式的两边都乘或除以同一个负数,不等号的方向改变.
    【变式8-2】(2022春•江西期末)已知:b<c,1<a<b+c<a+1,求证:b<a.
    【分析】根据不等式的性质得出2b<a+1,1+a<2a,根据不等式的传递性从而得出结论.
    【详解】证明:因为b<c,所以2b<b+c,
    由b+c<a+1,得2b<a+1,
    由1<a,得1+a<2a,
    所以2b<1+a<2a,
    ∴b<a成立.
    【点睛】本题考查了不等式的性质,要学会充分利用不等式的基本性质,按照一定的逻辑顺序来展开推理论证.
    【变式8-3】(2022春•夏津县期中)已知实数a,b,c满足:a+b+c=0,c>0,3a+2b+c>0.
    求证:(1)a>c;
    (2)﹣2<ba<−1.
    【分析】(1)根据等式的性质可得3a+2b+c=(a+b+c)2a+b=2a+b>0,由a+b+c=0可得b=﹣a﹣c,再代入2a+b>0解答即可;
    (2)由b=﹣a﹣c,c>0,由不等式的性质可得b<﹣a,再根据2a+b>0可得﹣2a<b,所以﹣2a<b<﹣a,再由a>0,结合不等式的性质解答即可.
    【详解】证明:(1)∵a+b+c=0,3a+2b+c>0,
    ∴3a+2b+c=(a+b+c)+2a+b=2a+b>0,
    又∵b=﹣a﹣c,
    ∴2a﹣a﹣c>0,
    即a﹣c>0,
    ∴a>c;
    (2)∵b=﹣a﹣c,c>0,
    ∴b<﹣a,
    又∵2a+b>0,
    ∴﹣2a<b,
    ∴﹣2a<b<﹣a,
    又∵a>c>0,
    ∴﹣2<ba<−1.
    【点睛】本题主要考查不等式的性质:(1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变;(2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;(3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
    【题型9 利用不等式性质求取值范围或最值】
    【例9】(2022春•龙凤区期中)已知实数x,y,z满足x+y=3,x﹣z=6.若x≥﹣2y,则x+y+z的最大值为( )
    A.3B.4C.5D.6
    【分析】设x+y+z=t,用x表示z得到z=x﹣6,则t=3+x﹣6=x﹣3,所以x=t+3,再利用x≥﹣2y,y=3﹣x得到x≥﹣2(3﹣x),解不等式得到x≤6,所以t+3≤6,然后解不等式得到t的最大值即可.
    【详解】解:设x+y+z=t,
    ∵x﹣z=6,
    ∴z=x﹣6,
    ∵x+y=3,
    ∴y=3﹣x,t=3+x﹣6=x﹣3,
    ∴x=t+3,
    ∵x≥﹣2y,
    即x≥﹣2(3﹣x),
    ∴x≤6,
    ∴t+3≤6,
    解得t≤3,
    ∴x+y+z的最大值为3.
    【点睛】本题考查了不等式的基本性质:不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变;不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.也考查了等式的性质.
    【变式9-1】(2022春•郫都区校级期中)若x<y,且(6﹣a)x>(6﹣a)y,则a的取值范围是 a>6 .
    【分析】根据不等式的基本性质,发现不等式的两边都乘(6﹣a)后,不等号的方向改变了,说明(6﹣a)是负数,从而得出答案.
    【详解】解:根据题意得:6﹣a<0,
    ∴a>6,
    故答案为:a>6.
    【点睛】本题考查了不等式的基本性质,掌握①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或代数式,不等号的方向不变;②不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;③不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变是解题的关键.
    【变式9-2】(2022•天门校级自主招生)已知正数a、b、c满足a2+c2=16,b2+c2=25,则k=a2+b2的取值范围为 9<k<41 .
    【分析】根据已知条件先将原式化成a2+b2的形式,最后根据化简结果即可求得k的取值范围.
    【详解】解:∵正数a、b、c满足a2+c2=16,b2+c2=25,
    ∴c2=16﹣a2,a2>0所以0<c2<16
    同理:
    有c2=25﹣b2得到0<c2<25,所以0<c2<16
    两式相加:a2+b2+2c2=41
    即a2+b2=41﹣2c2
    又∵﹣16<﹣c2<0
    即﹣32<﹣2c2<0
    ∴9<41﹣2c2<41
    即9<k<41.
    【点睛】解答此题的关键是熟知不等式的基本性质:
    基本性质1:不等式两边同时加或减去同一个数或式子,不等号方向不变;
    基本性质2:不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的数或式子,不等号方向不变;
    基本性质3:不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的数或式子,不等号方向改变
    【变式9-3】(2022春•朝阳区校级期中)已知a,b,c为整数,且a+b=2006,c﹣a=2005,若a<b,求a+b+c的最大值.
    【分析】由c﹣a=2005得c=a+2005,与a+b=2006相加得a+b+c=a+4011,由a+b=2006及a<b,a为整数,可得a的最大值为1002,从而得出a+b+c的最大值.
    【详解】解:由a+b=2006,c﹣a=2005,得a+b+c=a+4011,
    ∵a+b=2006,a<b,a为整数,
    ∴a的最大值为1002,
    ∴a+b+c的最大值为a+b+c=a+4011=5013.
    【点睛】本题考查了整式的加减,关键是由已知等式得出a+b+c的表达式,再求最大值.
    【题型10 不等关系的简单应用】
    【例10】(2022春•饶平县校级期末)有一个两位数,个位上的数字为a,十位上的数字为b,如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调,得到的两位数大于原来的两位数,那么a与b哪个大?
    【分析】根据题意得到不等式10b+a<10a+b,通过解该不等式即可比较它们的大小.
    【详解】解:根据题意,得
    10b+a<10a+b,
    所以,9b<9a,
    所以,b<a,即a>b.
    【点睛】本题考查了不等式的性质:
    (1)不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.
    (2)不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
    (3)不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
    【变式10-1】(2022春•巩义市期末)如图所示,A,B,C,D四人在公园玩跷跷板,根据图中的情况,这四人体重从小到大排列的顺序为( )
    A.D<B<A<CB.B<D<C<AC.B<A<D<CD.B<C<D<A
    【分析】根据不等式的性质,进行计算即可解答.
    【详解】解:由题意得:
    D>A①,
    A+C>B+D②,
    B+C=A+D③,
    由③得:
    C=A+D﹣B④,
    把④代入②得:
    A+A+D﹣B>B+D,
    2A>2B,
    ∴A>B,
    ∴A﹣B>0,
    由③得:
    A﹣B=C﹣D,
    ∵D﹣A>0,
    ∴C﹣D>0,
    ∴C>D,
    ∴C>D>A>B,
    即B<A<D<C,
    【点睛】本题考查了不等式的性质,熟练掌握不等式的性质是解题的关键.
    【变式10-2】(2022春•兰山区期末)根据等式和不等式的基本性质,我们可以得到比较两数大小的方法:若a﹣b>0,则a>b;若a﹣b=0,则a=b;若a﹣b<0,则a<b.反之也成立.这种方法就是求差法比较大小.请运用这种方法解决下面这个问题:制作某产品有两种用料方案,方案一:用4块A型钢板,8块B型钢板;方案二:用3块A型钢板,9块B型钢板.每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小.方案一总面积记为S1,方案二总面积记为S2,则S1 < S2(填“>,<或=”).
    【分析】设每块A型钢板的面积为x,每块B型钢板的面积为y,方案一:用4块A型钢板,用8块B型钢板,用式子表示为:s1=4x+8y;方案二:用3块A型钢板,用9块B型钢板,用式子表示为:s2=3x+9y,用s1减去s2,结果与0比较即可;
    【详解】解:设每块A型钢板的面积为x,每块B型钢板的面积为y,
    方案一:用4块A型钢板,用8块B型钢板,用式子表示为:s1=4x+8y;
    方案二:用3块A型钢板,用9块B型钢板,用式子表示为:s2=3x+9y,
    ∵s1﹣s2
    =4x+8y﹣3x﹣9y
    =x﹣y,
    ∵x<y,
    ∴x﹣y<0,
    ∴s1<s2.
    故答案为:<.
    【点睛】本题考查了探索了比较两个数或代数式的大小时常采用的“求差法”,读懂方法,计算化简即可.本题难度中等略大.
    【变式10-3】(2022•苏州自主招生)5名学生身高两两不同,把他们按从高到低排列,设前三名的平均身高为a米,后两名的平均身高为b米.又前两名的平均身高为c米,后三名的平均身高为d米,则( )
    A.a+b2>c+d2B.c+d2>a+b2C.c+d2=a+b2D.以上都不对
    【分析】根据已知得出3a+2b=2c+3d,推出2a+2b<2c+2d,求出a+b<c+d,两边都除以2即可得出答案.
    【详解】解:∵3a+2b=2c+3d,
    ∵a>d,
    ∴2a+2b<2c+2d,
    ∴a+b<c+d,
    ∴a+b2<c+d2,
    即c+d2>a+b2,
    相关试卷

    初中数学人教版(2024)七年级上册第二章 整式的加减2.1 整式课时练习: 这是一份初中数学人教版(2024)七年级上册<a href="/sx/tb_c20152_t7/?tag_id=28" target="_blank">第二章 整式的加减2.1 整式课时练习</a>,共27页。

    苏科版八年级数学下册举一反三系列专题9.1不等式及不等式的基本性质【十大题型】(原卷版+解析): 这是一份苏科版八年级数学下册举一反三系列专题9.1不等式及不等式的基本性质【十大题型】(原卷版+解析),共29页。

    中考数学一轮复习专题2.1 不等式的基本性质【十一大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版): 这是一份中考数学一轮复习专题2.1 不等式的基本性质【十一大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版),共26页。

    • 精品推荐
    • 所属专辑
    • 课件
    • 教案
    • 试卷
    • 学案
    • 其他

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        即将下载

        北师大版八年级数学下册举一反三系列2.1不等式及不等式的基本性质【十大题型】同步练习(学生版+解析)
        该资料来自成套资源,打包下载更省心 该专辑正在参与特惠活动,低至4折起
        [共10份]
        浏览全套
          立即下载(共1份)
          返回
          顶部
          Baidu
          map