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初中数学北师大版（2024）八年级下册1 图形的平移课时作业
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这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册1 图形的平移课时作业，共23页。
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）平面直角坐标系内，与点P3,−2关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．3,−2B．−3,2C．2,−3D．−2,3
2．（3分）（2022春·山西晋城·七年级统考期末）如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（ ）．
A．A和HB．I和EC．E和FD．E和I
3．（3分）（2022秋·广东江门·九年级统考期末）△AOB绕点O逆时针旋转65°后得到△COD，若∠AOB=30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．65°
4．（3分）（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在平面直角坐标系中，将△ABC向左平移3个单位得到△A'B'C'，则三个顶点A、B、C到对应三点A'、B'、C'的坐标变化为（ ）
A．横坐标都加3B．纵坐标都加3C．横坐标都减3D．纵坐标都减3
5．（3分）（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）（2022秋·山东威海·八年级统考期末）由四个直角三角形拼成的图形如图所示，且这四个直角三角形大小不等，但最小的锐角都相等．若最大直角三角形的两直角边分别为5和12，则三个小直角三角形的周长和为（ ）
A．13B．17C．18D．30
7．（3分）（2022秋·内蒙古兴安盟·九年级校考期末）在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（ ）
A．平移、旋转和轴对称B．轴对称和平移
C．平移和旋转D．旋转和轴对称
8．（3分）（2022春·重庆江津·九年级校考期末）风车应做成中心对称图形,并且不是轴对称图形,才能在风口处平稳旋转.现有一长条矩形硬纸板(其中心有一个小孔)和两张全等的矩形薄纸片,将纸片黏到硬纸板上,做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车.正确的黏合方法是 ( )
A．B．
C．D．
9．（3分）（2022秋·天津东丽·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，连接CC'，则CC'的长为（ ）
A．5B．52C．25D．10
10．（3分）（2022秋·湖南衡阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点P1−1,−1；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4，⋯，按此作法进行下去，则点P2022的坐标为（ ）
A．1012，1012B．2011，2011C．2012，2012D．1011,1011
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022秋·云南保山·九年级统考期末）已知点P(3,4−b)关于原点的对称点Q的坐标是(a,−1)，则a+b=__________．
12．（3分）（2022秋·山东威海·八年级统考期末）如图，一个含有30°角的三角板ABC，绕点B顺时针旋转到A'BC'的位置，使A，B，C'在同一条直线上，则旋转角的度数为_____________．
13．（3分）（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）若(2m+1,2)是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位，该点运动到第四象限，则m的取值范围是______________．
14．（3分）（2022秋·湖南长沙·九年级湖南师大附中校考期末）庆庆是一位特别喜欢学习数学的小朋友，周末这天他做完作业，在手机上找了一款数学相关的益智类游戏《推箱子》，要求将图中编号为①②③的三个箱子分别推进图中“回”字的位置．如果庆庆要想一次性通关，且尽可能让自己步数少，应该先推( )号箱子，再推( )号箱子，最后推( )号箱子．
15．（3分）（2022春·河南商丘·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(-a，a)(a>0)，点B(-a-4，a+3)，C为该直角坐标系内的一点，连结AB，OC．若AB∥OC且AB=OC，则点C的坐标为________
16．（3分）（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图所示，A(0，4)，点P是x轴上一个动点，将线段AP绕P点顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF．则线段OF的最小值是__________．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022春·八年级单元测试）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1；
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式．
18．（6分）（2022春·八年级单元测试）在网格中画对称图形．
（1）如图是五个小正方形拼成的图形，请你移动其中一个小正方形，重新拼成一个图形，使得所拼成的图形满足下列条件，并分别画在图①、图②、图③中（只需各画一个，内部涂上阴影）；
①是轴对称图形，但不是中心对称图形；
②是中心对称图形，但不是轴对称图形；
③既是轴对称图形，又是中心对称图形．
（2）请你在图④的网格内设计一个商标，满足下列要求：
①是顶点在格点的凸多边形（不是平行四边形）；
②是中心对称图形，但不是轴对称图形；
③商标内部涂上阴影．
19．（8分）（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）如图，粗线A→C→B和细线A→D→E→F→G→H→B是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线．
(1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）；
(2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米1.7元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程ss>3千米之间的关系；
(3)如果这段路程长4.7千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由．
20．（8分）（2022春·八年级单元测试）如图点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°,∠BOC=α，∠ACD=∠BCO，OC=CD，
（1）试说明：△COD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当∠BOC为多少度时，△AOD是等腰三角形
21．（8分）（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中画个轴对称四边形ABCD，使其面积为12．
(2)在图②中画出一个中心对称图形ABEF，使其面积为12．
第3章 图形的平移与旋转章末题型过关卷
【北师大版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）平面直角坐标系内，与点P3,−2关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．3,−2B．−3,2C．2,−3D．−2,3
【答案】B
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【详解】解：点P3,−2关于原点对称的点的坐标是−3,2．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
2．（3分）（2022春·山西晋城·七年级统考期末）如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（ ）．
A．A和HB．I和EC．E和FD．E和I
【答案】D
【分析】由中心对称的特征可知点E是对称中心，点A的对称点是是点I．
【详解】解：如图，连接对应点可知，点E是对称中心，点A的对称点是是点I．
故选D．
【点睛】本题实际考查了中心对称的性质，关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，由此可以得出对称中心A的位置．
3．（3分）（2022秋·广东江门·九年级统考期末）△AOB绕点O逆时针旋转65°后得到△COD，若∠AOB=30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．65°
【答案】A
【分析】根据旋转的性质可得∠AOC=∠BOD=65°，结合∠AOB=30°，即可求∠BOC的度数．
【详解】解：∵△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，
∴∠AOC=∠BOD=65°，
∵∠AOB=30°，
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=35°，
故选C．
【点睛】本题考查旋转的性质，旋转角的含义，掌握旋转角的含义是解本题的关键．
4．（3分）（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在平面直角坐标系中，将△ABC向左平移3个单位得到△A'B'C'，则三个顶点A、B、C到对应三点A'、B'、C'的坐标变化为（ ）
A．横坐标都加3B．纵坐标都加3C．横坐标都减3D．纵坐标都减3
【答案】A
【分析】根据图形的平移和坐标的平移一致可得相关答案．
【详解】解：∵将△ABC向左平移3个单位得到△A'B'C'，
∴三个顶点A、B、C到对应三点A'、B'、C'的坐标变化为横坐标都减3，
【点睛】本题考查图形平移的特征，掌握图形的平移规律是解题的关键．
5．（3分）（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180度，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意．
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意．
C、是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意．
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
6．（3分）（2022秋·山东威海·八年级统考期末）由四个直角三角形拼成的图形如图所示，且这四个直角三角形大小不等，但最小的锐角都相等．若最大直角三角形的两直角边分别为5和12，则三个小直角三角形的周长和为（ ）
A．13B．17C．18D．30
【答案】D
【分析】把小直角三角形的直角边平移，可得三个小直角三角形的周长和为大直角三角形三边的和．
【详解】解：∵最大直角三角形的两直角边分别为5和12，
∴最大直角三角形的斜边长为52+122=13，
三个小直角三角形的周长和为5+12+13=30．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，平移的性质，根据已知得出三个小直角三角形的周长和为大直角三角形三边的和是解题关键．
7．（3分）（2022秋·内蒙古兴安盟·九年级校考期末）在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（ ）
A．平移、旋转和轴对称B．轴对称和平移
C．平移和旋转D．旋转和轴对称
【答案】D
【分析】根据图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，里外各一个顺时针旋转8次，可得答案．
【详解】解：图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，得轴对称．
里外各一个顺时针旋转8次，得旋转．
故选：D．
【点睛】本题考查了几何变换的类型，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
8．（3分）（2022春·重庆江津·九年级校考期末）风车应做成中心对称图形,并且不是轴对称图形,才能在风口处平稳旋转.现有一长条矩形硬纸板(其中心有一个小孔)和两张全等的矩形薄纸片,将纸片黏到硬纸板上,做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车.正确的黏合方法是 ( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，结合选项进行判断即可．
【详解】风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，
A、是中心对称图形，并且不是轴对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
故选A．
9．（3分）（2022秋·天津东丽·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，连接CC'，则CC'的长为（ ）
A．5B．52C．25D．10
【答案】B
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理解得AC的长，再根据旋转的性质得到， AC'=AC=5,∠CAC'=90°，在 Rt△CAC'中再利用勾股定理解得CC'的长即可．
【详解】解：∵∠B=90°,BC=3,AB=4,
在Rt△ABC中, AC=AB2+BC2=5
由旋转的性质得 AC'=AC=5,∠CAC'=90°
在 Rt△CAC'中，CC'=AC2+AC'2=52
故选：B
【点睛】本题考查旋转变换、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
10．（3分）（2022秋·湖南衡阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点P1−1,−1；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4，⋯，按此作法进行下去，则点P2022的坐标为（ ）
A．1012，1012B．2011，2011C．2012，2012D．1011,1011
【答案】D
【分析】观察图象可知，偶数点在第一象限，由题意得P21，1，P42,2，P63，3…，可得P2nn,n，即可求解．
【详解】解：由题意得，偶数点在第一象限，
∵P1−1,−1水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2，
∴P21，1，
同理可得，P42,2，P63，3…
∴P2nn,n，
∴P20221011，1011，
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形变化一平移，规律型等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022秋·云南保山·九年级统考期末）已知点P(3,4−b)关于原点的对称点Q的坐标是(a,−1)，则a+b=__________．
【答案】0
【分析】根据关于原点对称的点的特征求出a=−3，b=3，即可得到a+b的值．
【详解】解：∵点P(3,4−b)关于原点的对称点Q的坐标是(a,−1)，
∴a=−34−b=1，
∴a=−3b=3，
∴a+b=−3+3=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了关于原点的对称点的坐标特征，解题关键是掌握关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数．
12．（3分）（2022秋·山东威海·八年级统考期末）如图，一个含有30°角的三角板ABC，绕点B顺时针旋转到A'BC'的位置，使A，B，C'在同一条直线上，则旋转角的度数为_____________．
【答案】120°##120度
【分析】首先计算出∠ABC=60°，进而可得∠CBC'=120°，再由对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角可得答案．
【详解】解：∵△ABC中∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠CBC'=120°，
∴三角板ABC旋转的角度是120°，
故答案为：120°．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，关键是掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
13．（3分）（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）若(2m+1,2)是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位，该点运动到第四象限，则m的取值范围是______________．
【答案】−32【分析】根据(2m+1,2)是第二象限内一点得到2m+1<0，由平移规律和第四象限点的特征得到2m+3>0，再解两个不等式组成的不等式组即可得到答案．
【详解】解：∵(2m+1,2)是第二象限内一点，
∴2m+1<0，
由(2m+1,2)是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位得到(2m+3,−1)，
∵运动到第四象限，
∴2m+3>0，
解不等式组2m+1<02m+3>0可得−32故答案为：−32【点睛】此题考查了解一元一次不等式组、平面直角坐标系、点的平移，熟练掌握平面直角坐标系中各象限点的特征是解题的关键．
14．（3分）（2022秋·湖南长沙·九年级湖南师大附中校考期末）庆庆是一位特别喜欢学习数学的小朋友，周末这天他做完作业，在手机上找了一款数学相关的益智类游戏《推箱子》，要求将图中编号为①②③的三个箱子分别推进图中“回”字的位置．如果庆庆要想一次性通关，且尽可能让自己步数少，应该先推( )号箱子，再推( )号箱子，最后推( )号箱子．
【答案】 ② ① ③
【分析】要一次性通关，先推阻碍其它箱子的箱子，然后推动其它箱子即可．
【详解】要想使游戏一次性通关，则三个箱子要把右边的三个阴影位置占完，且每个箱子只能占一个位置；
观察三个箱子的位置，发现②号箱子会阻碍其余两个箱子的移动，因此要先推动②号箱子，其余两个箱子才能推动；然后推动①号箱子，最后推动③号箱子可以使得步数最少．
故答案为：②，①，③
【点睛】本题考查平移变换，解答本题的关键要明确推箱子游戏的规则．
15．（3分）（2022春·河南商丘·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(-a，a)(a>0)，点B(-a-4，a+3)，C为该直角坐标系内的一点，连结AB，OC．若AB∥OC且AB=OC，则点C的坐标为________
【答案】（-4,3），（4，-3）
【详解】分析：根据题意画出图形，由AB∥OC，AB=OC，易证△ABD≌△OCE≌△OFC， 可得出BD=CE，AD=OE，再根据点A、B的坐标求出AD、BD的长，根据点C的位置（在第二象限和第四象限），写出点C的坐标，即可求解.
详解：如图
∵AB∥OC，AB=OC
易证△ABD≌△OCE≌△OFC
∴BD=CE，AD=OE
∵点A(-a，a)(a>0)，点B(-a-4，a+3)
∴AD=-a-（-a-4）=4，BD=a+3-a=3
∴OE=4，CE=3
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为（-4,3）
∵点C和点C关于原点对称
∴C的坐标为（4，-3）
故答案为（-4,3），（4，-3）.
点睛：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关于原点对称的坐标特征，关键是熟练找出对称点的坐标，注意数形结合思想和方程思想的应用.
16．（3分）（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图所示，A(0，4)，点P是x轴上一个动点，将线段AP绕P点顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF．则线段OF的最小值是__________．
【答案】2
【分析】连接AF，以AO为边长作等边△AOC，连接FC，可得到△APF为等边三角形，通过△AOP≌△ACFSAS得到∠ACF=∠AOP=90°，即当点P在x轴上运动时，点F在直线FC上运动，作OF'⊥FC交直线FC于F'，OE⊥AC于E，得到当F在直线FC上运动到点F'位置时，线段OF的最小值为OF'=2．
【详解】解：连接AF，以AO为边长作等边△AOC，连接FC，
∴AO=AC=4，∠OAC=60°，
∵ ∠APF=60°，AP=FP，
∴ △APF为等边三角形，
∴ AF=AP，∠PAF=60°=∠OAC，
∴ ∠OAP=∠CAF，
在△AOP和△ACF中，
AC=AO∠OAP=∠CAFAF=AP，
∴ △AOP≌△ACFSAS，
∴ ∠ACF=∠AOP=90°，
∴当点P在x轴上运动时，点F在直线FC上运动，
作OF'⊥FC交直线FC于F'，OE⊥AC于E，
∵ ∠OAC=60°，AO=AC=4，
∴ ∠AOE=∠COE=30°，OE⊥AC，
∴ AE=EC=12AC=OF'=2，
∴显然，当F在直线FC上运动到点F'位置时，线段OF的最小值为OF'=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质，作出恰当的辅助线，是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022春·八年级单元测试）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1；
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）是，y=x
【分析】（1）根据平移变换点的坐标的变化规律在网格中确定出点A1、B1、C1位置顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质在网格中确定出点D1、E1、F1位置顺次连接即可；
（3）根据轴对称图形的概念确定对称轴，然后再求对称轴所在直线的解析式．
【详解】解：（1）见下图；
（2）见下图；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形，对称轴为直线y=x和直线y=-x-2．
18．（6分）（2022春·八年级单元测试）在网格中画对称图形．
（1）如图是五个小正方形拼成的图形，请你移动其中一个小正方形，重新拼成一个图形，使得所拼成的图形满足下列条件，并分别画在图①、图②、图③中（只需各画一个，内部涂上阴影）；
①是轴对称图形，但不是中心对称图形；
②是中心对称图形，但不是轴对称图形；
③既是轴对称图形，又是中心对称图形．
（2）请你在图④的网格内设计一个商标，满足下列要求：
①是顶点在格点的凸多边形（不是平行四边形）；
②是中心对称图形，但不是轴对称图形；
③商标内部涂上阴影．
【答案】（1）图形见解析（2）图形见解析
【详解】试题分析：（1）根据题中的要求，图①是轴对称图形，不能画成中心对称图形；图②是中心对称图形，不能画成轴对称图形；图③既是轴对称图形，又是中心对称图形；
（2）根据题中的要求，图④是顶点在格点的凸多边形（不是平行四边形），也是中心对称图形，但不是轴对称图形．
试题解析：（1）如图①，是轴对称图形，但不是中心对称图形；
如图②，是中心对称图形，但不是轴对称图形；
如图③，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
（2）如图④即为所求．
考点：1、利用旋转设计图案；2、利用轴对称设计图案；3、利用平移设计图案
19．（8分）（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）如图，粗线A→C→B和细线A→D→E→F→G→H→B是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线．
(1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）；
(2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米1.7元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程ss>3千米之间的关系；
(3)如果这段路程长4.7千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由．
【答案】(1)一样长，画图见解析
(2)m=1.7s+1.9
(3)够，理由见解析
【分析】（1）利用平移的性质得出两条线路的长相等；
（2）利用出租车收费标准进而得出答案；
（3）利用（2）中所求即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：两条线路一样长；
（2）由题意可得：m=7+1.7s−3=1.7s+1.9；
（3）小丽坐出租车由体育馆到少年宫，钱够，
理由：由（2）得：m=7+1.7×4.7−3=9.89（元）．
∵9.89<10，
∴小丽坐出租车由体育馆到少年宫10元够．
【点睛】此题主要考查了代数式求值以及生活中的平移现象，正确得出m与s的函数关系式是解题关键．
20．（8分）（2022春·八年级单元测试）如图点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°,∠BOC=α，∠ACD=∠BCO，OC=CD，
（1）试说明：△COD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当∠BOC为多少度时，△AOD是等腰三角形
【答案】(1)见解析；(2)△AOD是直角三角形，理由见解析；(3) 110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.
【分析】（1）根据CO=CD，∠OCD=60°，然后根据等边三角形的判定方法即可得到△COD是等边三角形；
（2）先求得∠ADC=∠BOC=α=150°，再利用△COD是等边三角形得∠CDO=60°，于是可计算出∠ADO=90°，由此可判断△AOD是直角三角形；
（3）先利用α表示出∠ADO=α-60°，∠AOD=190°-α，再进行分类讨论：当∠AOD=∠ADO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α=α-60°；当∠AOD=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°；当∠ADO=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，然后分别解方程求出对应的α的值即可．
【详解】(1)∵∠ACD=∠BCO
∴∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO=60°
又∵CO=CD
∴△COD是等边三角形；
(2)∵△COD是等边三角形
∴CO=CD
又∵∠ACD=∠BCO，AC=BC
∴△ACD≌△BCO（SAS）
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠ADO=∠ADC−∠CDO=90°，
∴△AOD是直角三角形；
(3)∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=∠COD=60°，
∴∠ADO=α−60°,∠AOD=360°−60°−110°−α=190°−α，
当∠AOD=∠ADO时,△AOD是等腰三角形,即190°−α=α−60°,解得α=125°；
当∠AOD=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即2(190°−α)+α−60°=180°,解得α=140°；
当∠ADO=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即190°−α+2(α−60°)=180°,解得α=110°，
综上所述,∠BOC的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.
【点睛】此题考查等腰三角形的判定，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
21．（8分）（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中画个轴对称四边形ABCD，使其面积为12．
(2)在图②中画出一个中心对称图形ABEF，使其面积为12．
(3)在图③中画出一个四边形ABMN，使其满足仅有一对对角都为直角．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）作出两条底边的长分别为2,4的等腰梯形即可；
（2）作出底为3，高为4的平行四边行即可；
（3）作出∠BMN=∠BAN=90°的四边形即可．
【详解】（1）解：如图所示：四边形ABCD即为所求；
等腰梯形ABCD的面积为：12×2+4×4=12；
（2）解：如图所示：四边形ABEF即为所求；
由图可知，四边形ABEF是平行四边形，是中心对称图形，
四边形ABEF的面积为：3×4=12；
（3）解：如图所示：四边形ABMN即为所求；
由图可知：∠BMN=90°，连接BN，
由勾股定理，得：BN2=32+52=34，AB2=AN2=42+12=17，
∴AB2+AN2=BN2，
∴∠BAN=90°．
【点睛】本题考查格点作图，熟练掌握等腰梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理和逆定理，是解题的关键．
22．（8分）（2022春·八年级统考课时练习）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=1，BC=3，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120∘．
（1）以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'O'B（得到A、O的对应点分别为点A'、O'），按要求画图（保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，求∠A'BC的度数及OA+OB+OC的值．
【答案】（1）见解析；（2）∠A'BC=90°，7．
【分析】（1）在Rt△ABC中，易得∠ABC=30°，由于旋转角为60°，易得旋转后的A'B⊥CB．故过点B作BC的垂线，截取A'B=AB，再以点A'为圆心，以AO为半径画弧，以点B为圆心，以BO为半径画弧，两弧相交于点O'，连接A'O'、BO'，即可得到△A'O'B；
（2）根据旋转的性质求出A'B的长以及△BOO'是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO'，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO'=∠BO'O=60°，然后求出C、O、A'、O'四点共线，再利用勾股定理列式求出A'C，从而得到OA+OB+OC=A'C．
【详解】（1）∵∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴AB=AC2+BC2=2，
∴AB=2AC，
∴∠ABC=30°．
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∠A'BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∴A'B⊥CB．
过点B作BC的垂线，截取A'B=AB，
再以点A'为圆心，以AO为半径画弧，
以点B为圆心，以BO为半径画弧，
两弧相交于点O'，连接A'O'、BO'，
即△A'O'B如图所示；
（2））∵∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴AB=AC2+BC2=2，
∴AB=2AC，
∴∠ABC=30°．
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'O'B，
∴A'B=AB=2，BO=BO'，A'O'=AO，∠ABA′=60°，
∴△BOO'是等边三角形，∠A'BC=∠ABC+∠ABA′=30°+60°=90°，
∴BO=OO'，∠BOO'=∠BO'O=60°．
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°=∠A'O'B，
∴∠COB+∠BOO'=∠BO'A'+∠BO'O=120°+60°=180°，
∴C、O、A'、O'四点共线．
在Rt△A'BC中，A'C=BC2+A'B2=(3)2+22=7，
∴OA+OB+OC=A'O'+OO'+OC=A'C=7．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，综合性较强，最后一问求出C、O、A'、O'四点共线是解答本题的关键．
23．（8分）（2022春·八年级统考课时练习）阅读下列材料：
问题：如图（a）所示，已知点P为等边△ABC内一点，且∠APB=150∘，试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系．
明明同学的想法是：问题中的线段比较分散，可以通过旋转变换将分散的线段集中在一起，从而解决问题．于是他将△ABP绕点B顺时针旋转60°，得到了△CBP'，然后连接PP'．
请你参考明明同学的思路，解决下列问题：
（1）图（b）中的PA、PB、PC之间的数量关系为______．
（2）如图（c）所示，点P在等边△ABC的外部（在直线AB左侧），满足∠APB=30∘，（1）中的结论仍成立吗？说明你的理由．
【答案】（1）PC2=PA2+PB2；（2）成立，PC2=PA2+PB2．理由见解析．
【分析】（1）由旋转性质、等边三角形的判定ΔPBP'是等边三角形，由等边三角形的性质知∠BP'P=60°，求得∠PP'C=90°，根据勾股定理可得答案；
（2）将ΔABP绕点A逆时针旋转60°，得到了ΔACP'，然后连接P'P，由旋转性质、等边三角形的判定ΔPAP'是等边三角形，求得∠PP'C=90°，根据勾股定理可得答案．
【详解】（1）PC2=PA2+PB2；
理由是：
考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）平面直角坐标系内，与点P3,−2关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．3,−2B．−3,2C．2,−3D．−2,3
2．（3分）（2022春·山西晋城·七年级统考期末）如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（ ）．
A．A和HB．I和EC．E和FD．E和I
3．（3分）（2022秋·广东江门·九年级统考期末）△AOB绕点O逆时针旋转65°后得到△COD，若∠AOB=30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．65°
4．（3分）（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在平面直角坐标系中，将△ABC向左平移3个单位得到△A'B'C'，则三个顶点A、B、C到对应三点A'、B'、C'的坐标变化为（ ）
A．横坐标都加3B．纵坐标都加3C．横坐标都减3D．纵坐标都减3
5．（3分）（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）（2022秋·山东威海·八年级统考期末）由四个直角三角形拼成的图形如图所示，且这四个直角三角形大小不等，但最小的锐角都相等．若最大直角三角形的两直角边分别为5和12，则三个小直角三角形的周长和为（ ）
A．13B．17C．18D．30
7．（3分）（2022秋·内蒙古兴安盟·九年级校考期末）在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（ ）
A．平移、旋转和轴对称B．轴对称和平移
C．平移和旋转D．旋转和轴对称
8．（3分）（2022春·重庆江津·九年级校考期末）风车应做成中心对称图形,并且不是轴对称图形,才能在风口处平稳旋转.现有一长条矩形硬纸板(其中心有一个小孔)和两张全等的矩形薄纸片,将纸片黏到硬纸板上,做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车.正确的黏合方法是 ( )
A．B．
C．D．
9．（3分）（2022秋·天津东丽·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，连接CC'，则CC'的长为（ ）
A．5B．52C．25D．10
10．（3分）（2022秋·湖南衡阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点P1−1,−1；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4，⋯，按此作法进行下去，则点P2022的坐标为（ ）
A．1012，1012B．2011，2011C．2012，2012D．1011,1011
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022秋·云南保山·九年级统考期末）已知点P(3,4−b)关于原点的对称点Q的坐标是(a,−1)，则a+b=__________．
12．（3分）（2022秋·山东威海·八年级统考期末）如图，一个含有30°角的三角板ABC，绕点B顺时针旋转到A'BC'的位置，使A，B，C'在同一条直线上，则旋转角的度数为_____________．
13．（3分）（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）若(2m+1,2)是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位，该点运动到第四象限，则m的取值范围是______________．
14．（3分）（2022秋·湖南长沙·九年级湖南师大附中校考期末）庆庆是一位特别喜欢学习数学的小朋友，周末这天他做完作业，在手机上找了一款数学相关的益智类游戏《推箱子》，要求将图中编号为①②③的三个箱子分别推进图中“回”字的位置．如果庆庆要想一次性通关，且尽可能让自己步数少，应该先推( )号箱子，再推( )号箱子，最后推( )号箱子．
15．（3分）（2022春·河南商丘·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(-a，a)(a>0)，点B(-a-4，a+3)，C为该直角坐标系内的一点，连结AB，OC．若AB∥OC且AB=OC，则点C的坐标为________
16．（3分）（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图所示，A(0，4)，点P是x轴上一个动点，将线段AP绕P点顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF．则线段OF的最小值是__________．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022春·八年级单元测试）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1；
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式．
18．（6分）（2022春·八年级单元测试）在网格中画对称图形．
（1）如图是五个小正方形拼成的图形，请你移动其中一个小正方形，重新拼成一个图形，使得所拼成的图形满足下列条件，并分别画在图①、图②、图③中（只需各画一个，内部涂上阴影）；
①是轴对称图形，但不是中心对称图形；
②是中心对称图形，但不是轴对称图形；
③既是轴对称图形，又是中心对称图形．
（2）请你在图④的网格内设计一个商标，满足下列要求：
①是顶点在格点的凸多边形（不是平行四边形）；
②是中心对称图形，但不是轴对称图形；
③商标内部涂上阴影．
19．（8分）（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）如图，粗线A→C→B和细线A→D→E→F→G→H→B是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线．
(1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）；
(2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米1.7元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程ss>3千米之间的关系；
(3)如果这段路程长4.7千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由．
20．（8分）（2022春·八年级单元测试）如图点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°,∠BOC=α，∠ACD=∠BCO，OC=CD，
（1）试说明：△COD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当∠BOC为多少度时，△AOD是等腰三角形
21．（8分）（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中画个轴对称四边形ABCD，使其面积为12．
(2)在图②中画出一个中心对称图形ABEF，使其面积为12．
第3章 图形的平移与旋转章末题型过关卷
【北师大版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋·湖北荆州·九年级统考期末）平面直角坐标系内，与点P3,−2关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．3,−2B．−3,2C．2,−3D．−2,3
【答案】B
【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
【详解】解：点P3,−2关于原点对称的点的坐标是−3,2．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
2．（3分）（2022春·山西晋城·七年级统考期末）如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（ ）．
A．A和HB．I和EC．E和FD．E和I
【答案】D
【分析】由中心对称的特征可知点E是对称中心，点A的对称点是是点I．
【详解】解：如图，连接对应点可知，点E是对称中心，点A的对称点是是点I．
故选D．
【点睛】本题实际考查了中心对称的性质，关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，由此可以得出对称中心A的位置．
3．（3分）（2022秋·广东江门·九年级统考期末）△AOB绕点O逆时针旋转65°后得到△COD，若∠AOB=30°，则∠BOC的度数是（ ）
A．25°B．30°C．35°D．65°
【答案】A
【分析】根据旋转的性质可得∠AOC=∠BOD=65°，结合∠AOB=30°，即可求∠BOC的度数．
【详解】解：∵△AOB绕点O逆时针旋转65°得到△COD，
∴∠AOC=∠BOD=65°，
∵∠AOB=30°，
∴∠BOC=∠AOC−∠AOB=35°，
故选C．
【点睛】本题考查旋转的性质，旋转角的含义，掌握旋转角的含义是解本题的关键．
4．（3分）（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）在平面直角坐标系中，将△ABC向左平移3个单位得到△A'B'C'，则三个顶点A、B、C到对应三点A'、B'、C'的坐标变化为（ ）
A．横坐标都加3B．纵坐标都加3C．横坐标都减3D．纵坐标都减3
【答案】A
【分析】根据图形的平移和坐标的平移一致可得相关答案．
【详解】解：∵将△ABC向左平移3个单位得到△A'B'C'，
∴三个顶点A、B、C到对应三点A'、B'、C'的坐标变化为横坐标都减3，
【点睛】本题考查图形平移的特征，掌握图形的平移规律是解题的关键．
5．（3分）（2022秋·山东淄博·八年级统考期末）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转180度，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意．
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意．
C、是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意．
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，本选项不符合题意．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
6．（3分）（2022秋·山东威海·八年级统考期末）由四个直角三角形拼成的图形如图所示，且这四个直角三角形大小不等，但最小的锐角都相等．若最大直角三角形的两直角边分别为5和12，则三个小直角三角形的周长和为（ ）
A．13B．17C．18D．30
【答案】D
【分析】把小直角三角形的直角边平移，可得三个小直角三角形的周长和为大直角三角形三边的和．
【详解】解：∵最大直角三角形的两直角边分别为5和12，
∴最大直角三角形的斜边长为52+122=13，
三个小直角三角形的周长和为5+12+13=30．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了勾股定理，平移的性质，根据已知得出三个小直角三角形的周长和为大直角三角形三边的和是解题关键．
7．（3分）（2022秋·内蒙古兴安盟·九年级校考期末）在下列四种图形变换中，如图图案包含的变换是（ ）
A．平移、旋转和轴对称B．轴对称和平移
C．平移和旋转D．旋转和轴对称
【答案】D
【分析】根据图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，里外各一个顺时针旋转8次，可得答案．
【详解】解：图形的形状沿中间的竖线折叠，两部分可重合，得轴对称．
里外各一个顺时针旋转8次，得旋转．
故选：D．
【点睛】本题考查了几何变换的类型，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
8．（3分）（2022春·重庆江津·九年级校考期末）风车应做成中心对称图形,并且不是轴对称图形,才能在风口处平稳旋转.现有一长条矩形硬纸板(其中心有一个小孔)和两张全等的矩形薄纸片,将纸片黏到硬纸板上,做成一个能绕着小孔平稳旋转的风车.正确的黏合方法是 ( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，结合选项进行判断即可．
【详解】风车应做成中心对称图形，并且不是轴对称图形，
A、是中心对称图形，并且不是轴对称图形，符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，也是轴对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
故选A．
9．（3分）（2022秋·天津东丽·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=4，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△AB'C'，连接CC'，则CC'的长为（ ）
A．5B．52C．25D．10
【答案】B
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理解得AC的长，再根据旋转的性质得到， AC'=AC=5,∠CAC'=90°，在 Rt△CAC'中再利用勾股定理解得CC'的长即可．
【详解】解：∵∠B=90°,BC=3,AB=4,
在Rt△ABC中, AC=AB2+BC2=5
由旋转的性质得 AC'=AC=5,∠CAC'=90°
在 Rt△CAC'中，CC'=AC2+AC'2=52
故选：B
【点睛】本题考查旋转变换、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
10．（3分）（2022秋·湖南衡阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点P1−1,−1；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4，⋯，按此作法进行下去，则点P2022的坐标为（ ）
A．1012，1012B．2011，2011C．2012，2012D．1011,1011
【答案】D
【分析】观察图象可知，偶数点在第一象限，由题意得P21，1，P42,2，P63，3…，可得P2nn,n，即可求解．
【详解】解：由题意得，偶数点在第一象限，
∵P1−1,−1水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2，
∴P21，1，
同理可得，P42,2，P63，3…
∴P2nn,n，
∴P20221011，1011，
故选：D．
【点睛】本题考查坐标与图形变化一平移，规律型等知识，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022秋·云南保山·九年级统考期末）已知点P(3,4−b)关于原点的对称点Q的坐标是(a,−1)，则a+b=__________．
【答案】0
【分析】根据关于原点对称的点的特征求出a=−3，b=3，即可得到a+b的值．
【详解】解：∵点P(3,4−b)关于原点的对称点Q的坐标是(a,−1)，
∴a=−34−b=1，
∴a=−3b=3，
∴a+b=−3+3=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了关于原点的对称点的坐标特征，解题关键是掌握关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数．
12．（3分）（2022秋·山东威海·八年级统考期末）如图，一个含有30°角的三角板ABC，绕点B顺时针旋转到A'BC'的位置，使A，B，C'在同一条直线上，则旋转角的度数为_____________．
【答案】120°##120度
【分析】首先计算出∠ABC=60°，进而可得∠CBC'=120°，再由对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角可得答案．
【详解】解：∵△ABC中∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠CBC'=120°，
∴三角板ABC旋转的角度是120°，
故答案为：120°．
【点睛】此题主要考查了旋转的性质，关键是掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
13．（3分）（2022秋·浙江宁波·八年级统考期末）若(2m+1,2)是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位，该点运动到第四象限，则m的取值范围是______________．
【答案】−32
【详解】解：∵(2m+1,2)是第二象限内一点，
∴2m+1<0，
由(2m+1,2)是第二象限内一点，向右平移2个单位后再向下平移3个单位得到(2m+3,−1)，
∵运动到第四象限，
∴2m+3>0，
解不等式组2m+1<02m+3>0可得−32
14．（3分）（2022秋·湖南长沙·九年级湖南师大附中校考期末）庆庆是一位特别喜欢学习数学的小朋友，周末这天他做完作业，在手机上找了一款数学相关的益智类游戏《推箱子》，要求将图中编号为①②③的三个箱子分别推进图中“回”字的位置．如果庆庆要想一次性通关，且尽可能让自己步数少，应该先推( )号箱子，再推( )号箱子，最后推( )号箱子．
【答案】 ② ① ③
【分析】要一次性通关，先推阻碍其它箱子的箱子，然后推动其它箱子即可．
【详解】要想使游戏一次性通关，则三个箱子要把右边的三个阴影位置占完，且每个箱子只能占一个位置；
观察三个箱子的位置，发现②号箱子会阻碍其余两个箱子的移动，因此要先推动②号箱子，其余两个箱子才能推动；然后推动①号箱子，最后推动③号箱子可以使得步数最少．
故答案为：②，①，③
【点睛】本题考查平移变换，解答本题的关键要明确推箱子游戏的规则．
15．（3分）（2022春·河南商丘·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A(-a，a)(a>0)，点B(-a-4，a+3)，C为该直角坐标系内的一点，连结AB，OC．若AB∥OC且AB=OC，则点C的坐标为________
【答案】（-4,3），（4，-3）
【详解】分析：根据题意画出图形，由AB∥OC，AB=OC，易证△ABD≌△OCE≌△OFC， 可得出BD=CE，AD=OE，再根据点A、B的坐标求出AD、BD的长，根据点C的位置（在第二象限和第四象限），写出点C的坐标，即可求解.
详解：如图
∵AB∥OC，AB=OC
易证△ABD≌△OCE≌△OFC
∴BD=CE，AD=OE
∵点A(-a，a)(a>0)，点B(-a-4，a+3)
∴AD=-a-（-a-4）=4，BD=a+3-a=3
∴OE=4，CE=3
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为（-4,3）
∵点C和点C关于原点对称
∴C的坐标为（4，-3）
故答案为（-4,3），（4，-3）.
点睛：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关于原点对称的坐标特征，关键是熟练找出对称点的坐标，注意数形结合思想和方程思想的应用.
16．（3分）（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图所示，A(0，4)，点P是x轴上一个动点，将线段AP绕P点顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF．则线段OF的最小值是__________．
【答案】2
【分析】连接AF，以AO为边长作等边△AOC，连接FC，可得到△APF为等边三角形，通过△AOP≌△ACFSAS得到∠ACF=∠AOP=90°，即当点P在x轴上运动时，点F在直线FC上运动，作OF'⊥FC交直线FC于F'，OE⊥AC于E，得到当F在直线FC上运动到点F'位置时，线段OF的最小值为OF'=2．
【详解】解：连接AF，以AO为边长作等边△AOC，连接FC，
∴AO=AC=4，∠OAC=60°，
∵ ∠APF=60°，AP=FP，
∴ △APF为等边三角形，
∴ AF=AP，∠PAF=60°=∠OAC，
∴ ∠OAP=∠CAF，
在△AOP和△ACF中，
AC=AO∠OAP=∠CAFAF=AP，
∴ △AOP≌△ACFSAS，
∴ ∠ACF=∠AOP=90°，
∴当点P在x轴上运动时，点F在直线FC上运动，
作OF'⊥FC交直线FC于F'，OE⊥AC于E，
∵ ∠OAC=60°，AO=AC=4，
∴ ∠AOE=∠COE=30°，OE⊥AC，
∴ AE=EC=12AC=OF'=2，
∴显然，当F在直线FC上运动到点F'位置时，线段OF的最小值为OF'=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质，作出恰当的辅助线，是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022春·八年级单元测试）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）画出△ABC向上平移4个单位长度后所得到的△A1B1C1；
（2）画出△DEF绕点O按顺时针方向旋转90°后所得到的△D1E1F1；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形吗？如果是，请直接写出对称轴所在直线的解析式．
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）是，y=x
【分析】（1）根据平移变换点的坐标的变化规律在网格中确定出点A1、B1、C1位置顺次连接即可；
（2）根据旋转的性质在网格中确定出点D1、E1、F1位置顺次连接即可；
（3）根据轴对称图形的概念确定对称轴，然后再求对称轴所在直线的解析式．
【详解】解：（1）见下图；
（2）见下图；
（3）△A1B1C1和△D1E1F1组成的图形是轴对称图形，对称轴为直线y=x和直线y=-x-2．
18．（6分）（2022春·八年级单元测试）在网格中画对称图形．
（1）如图是五个小正方形拼成的图形，请你移动其中一个小正方形，重新拼成一个图形，使得所拼成的图形满足下列条件，并分别画在图①、图②、图③中（只需各画一个，内部涂上阴影）；
①是轴对称图形，但不是中心对称图形；
②是中心对称图形，但不是轴对称图形；
③既是轴对称图形，又是中心对称图形．
（2）请你在图④的网格内设计一个商标，满足下列要求：
①是顶点在格点的凸多边形（不是平行四边形）；
②是中心对称图形，但不是轴对称图形；
③商标内部涂上阴影．
【答案】（1）图形见解析（2）图形见解析
【详解】试题分析：（1）根据题中的要求，图①是轴对称图形，不能画成中心对称图形；图②是中心对称图形，不能画成轴对称图形；图③既是轴对称图形，又是中心对称图形；
（2）根据题中的要求，图④是顶点在格点的凸多边形（不是平行四边形），也是中心对称图形，但不是轴对称图形．
试题解析：（1）如图①，是轴对称图形，但不是中心对称图形；
如图②，是中心对称图形，但不是轴对称图形；
如图③，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
（2）如图④即为所求．
考点：1、利用旋转设计图案；2、利用轴对称设计图案；3、利用平移设计图案
19．（8分）（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）如图，粗线A→C→B和细线A→D→E→F→G→H→B是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线．
(1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）；
(2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米1.7元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程ss>3千米之间的关系；
(3)如果这段路程长4.7千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由．
【答案】(1)一样长，画图见解析
(2)m=1.7s+1.9
(3)够，理由见解析
【分析】（1）利用平移的性质得出两条线路的长相等；
（2）利用出租车收费标准进而得出答案；
（3）利用（2）中所求即可得出答案．
【详解】（1）解：如图所示：两条线路一样长；
（2）由题意可得：m=7+1.7s−3=1.7s+1.9；
（3）小丽坐出租车由体育馆到少年宫，钱够，
理由：由（2）得：m=7+1.7×4.7−3=9.89（元）．
∵9.89<10，
∴小丽坐出租车由体育馆到少年宫10元够．
【点睛】此题主要考查了代数式求值以及生活中的平移现象，正确得出m与s的函数关系式是解题关键．
20．（8分）（2022春·八年级单元测试）如图点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°,∠BOC=α，∠ACD=∠BCO，OC=CD，
（1）试说明：△COD是等边三角形；
（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当∠BOC为多少度时，△AOD是等腰三角形
【答案】(1)见解析；(2)△AOD是直角三角形，理由见解析；(3) 110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.
【分析】（1）根据CO=CD，∠OCD=60°，然后根据等边三角形的判定方法即可得到△COD是等边三角形；
（2）先求得∠ADC=∠BOC=α=150°，再利用△COD是等边三角形得∠CDO=60°，于是可计算出∠ADO=90°，由此可判断△AOD是直角三角形；
（3）先利用α表示出∠ADO=α-60°，∠AOD=190°-α，再进行分类讨论：当∠AOD=∠ADO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α=α-60°；当∠AOD=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即2（190°-α）+α-60°=180°；当∠ADO=∠DAO时，△AOD是等腰三角形，即190°-α+2（α-60°）=180°，然后分别解方程求出对应的α的值即可．
【详解】(1)∵∠ACD=∠BCO
∴∠ACD+∠ACO=∠BCO+∠ACO=60°
又∵CO=CD
∴△COD是等边三角形；
(2)∵△COD是等边三角形
∴CO=CD
又∵∠ACD=∠BCO，AC=BC
∴△ACD≌△BCO（SAS）
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠ADC=∠BOC=α=150°，
∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=60°，
∴∠ADO=∠ADC−∠CDO=90°，
∴△AOD是直角三角形；
(3)∵△COD是等边三角形，
∴∠CDO=∠COD=60°，
∴∠ADO=α−60°,∠AOD=360°−60°−110°−α=190°−α，
当∠AOD=∠ADO时,△AOD是等腰三角形,即190°−α=α−60°,解得α=125°；
当∠AOD=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即2(190°−α)+α−60°=180°,解得α=140°；
当∠ADO=∠DAO时,△AOD是等腰三角形,即190°−α+2(α−60°)=180°,解得α=110°，
综上所述,∠BOC的度数为110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形.
【点睛】此题考查等腰三角形的判定，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.
21．（8分）（2022秋·吉林长春·九年级校考期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点A、B均在格点上．在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，保留作图痕迹．
(1)在图①中画个轴对称四边形ABCD，使其面积为12．
(2)在图②中画出一个中心对称图形ABEF，使其面积为12．
(3)在图③中画出一个四边形ABMN，使其满足仅有一对对角都为直角．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
(3)图见解析
【分析】（1）作出两条底边的长分别为2,4的等腰梯形即可；
（2）作出底为3，高为4的平行四边行即可；
（3）作出∠BMN=∠BAN=90°的四边形即可．
【详解】（1）解：如图所示：四边形ABCD即为所求；
等腰梯形ABCD的面积为：12×2+4×4=12；
（2）解：如图所示：四边形ABEF即为所求；
由图可知，四边形ABEF是平行四边形，是中心对称图形，
四边形ABEF的面积为：3×4=12；
（3）解：如图所示：四边形ABMN即为所求；
由图可知：∠BMN=90°，连接BN，
由勾股定理，得：BN2=32+52=34，AB2=AN2=42+12=17，
∴AB2+AN2=BN2，
∴∠BAN=90°．
【点睛】本题考查格点作图，熟练掌握等腰梯形的性质，平行四边形的性质，勾股定理和逆定理，是解题的关键．
22．（8分）（2022春·八年级统考课时练习）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=1，BC=3，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120∘．
（1）以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'O'B（得到A、O的对应点分别为点A'、O'），按要求画图（保留作图痕迹）．
（2）在（1）的条件下，求∠A'BC的度数及OA+OB+OC的值．
【答案】（1）见解析；（2）∠A'BC=90°，7．
【分析】（1）在Rt△ABC中，易得∠ABC=30°，由于旋转角为60°，易得旋转后的A'B⊥CB．故过点B作BC的垂线，截取A'B=AB，再以点A'为圆心，以AO为半径画弧，以点B为圆心，以BO为半径画弧，两弧相交于点O'，连接A'O'、BO'，即可得到△A'O'B；
（2）根据旋转的性质求出A'B的长以及△BOO'是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得BO=OO'，等边三角形三个角都是60°求出∠BOO'=∠BO'O=60°，然后求出C、O、A'、O'四点共线，再利用勾股定理列式求出A'C，从而得到OA+OB+OC=A'C．
【详解】（1）∵∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴AB=AC2+BC2=2，
∴AB=2AC，
∴∠ABC=30°．
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∠A'BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∴A'B⊥CB．
过点B作BC的垂线，截取A'B=AB，
再以点A'为圆心，以AO为半径画弧，
以点B为圆心，以BO为半径画弧，
两弧相交于点O'，连接A'O'、BO'，
即△A'O'B如图所示；
（2））∵∠C=90°，AC=1，BC=3，
∴AB=AC2+BC2=2，
∴AB=2AC，
∴∠ABC=30°．
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A'O'B，
∴A'B=AB=2，BO=BO'，A'O'=AO，∠ABA′=60°，
∴△BOO'是等边三角形，∠A'BC=∠ABC+∠ABA′=30°+60°=90°，
∴BO=OO'，∠BOO'=∠BO'O=60°．
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°=∠A'O'B，
∴∠COB+∠BOO'=∠BO'A'+∠BO'O=120°+60°=180°，
∴C、O、A'、O'四点共线．
在Rt△A'BC中，A'C=BC2+A'B2=(3)2+22=7，
∴OA+OB+OC=A'O'+OO'+OC=A'C=7．
【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，旋转变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，综合性较强，最后一问求出C、O、A'、O'四点共线是解答本题的关键．
23．（8分）（2022春·八年级统考课时练习）阅读下列材料：
问题：如图（a）所示，已知点P为等边△ABC内一点，且∠APB=150∘，试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系．
明明同学的想法是：问题中的线段比较分散，可以通过旋转变换将分散的线段集中在一起，从而解决问题．于是他将△ABP绕点B顺时针旋转60°，得到了△CBP'，然后连接PP'．
请你参考明明同学的思路，解决下列问题：
（1）图（b）中的PA、PB、PC之间的数量关系为______．
（2）如图（c）所示，点P在等边△ABC的外部（在直线AB左侧），满足∠APB=30∘，（1）中的结论仍成立吗？说明你的理由．
【答案】（1）PC2=PA2+PB2；（2）成立，PC2=PA2+PB2．理由见解析．
【分析】（1）由旋转性质、等边三角形的判定ΔPBP'是等边三角形，由等边三角形的性质知∠BP'P=60°，求得∠PP'C=90°，根据勾股定理可得答案；
（2）将ΔABP绕点A逆时针旋转60°，得到了ΔACP'，然后连接P'P，由旋转性质、等边三角形的判定ΔPAP'是等边三角形，求得∠PP'C=90°，根据勾股定理可得答案．
【详解】（1）PC2=PA2+PB2；
理由是：
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