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初中数学北师大版（2024）八年级下册第三章 图形的平移与旋转3 中心对称习题
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这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册第三章 图形的平移与旋转3 中心对称习题，共38页。
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10111" 【题型1 中心对称图形的识别】 PAGEREF _Tc10111 \h 1
\l "_Tc10860" 【题型2 关于原点对称的点的坐标】 PAGEREF _Tc10860 \h 2
\l "_Tc14378" 【题型3 判断两个点是否关于原点对称】 PAGEREF _Tc14378 \h 3
\l "_Tc18709" 【题型4 根据中心对称的性质判断正误】 PAGEREF _Tc18709 \h 3
\l "_Tc11988" 【题型5 根据中心对称的性质求面积】 PAGEREF _Tc11988 \h 4
\l "_Tc8003" 【题型6 根据中心对称的性质求坐标】 PAGEREF _Tc8003 \h 5
\l "_Tc26464" 【题型7 根据中心对称的性质求长度】 PAGEREF _Tc26464 \h 6
\l "_Tc1915" 【题型8 中心对称图形规律问题】 PAGEREF _Tc1915 \h 7
\l "_Tc12224" 【题型9 格点中作中心对称图形】 PAGEREF _Tc12224 \h 8
\l "_Tc1891" 【题型10 补全图形使之成为中心对称图形】 PAGEREF _Tc1891 \h 10
【知识点1 中心对称】
定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形。
【知识点2 中心对称图形】
定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。
【知识点3 关于原点对称的点的坐标】
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为 P′(-x，-y)。
【题型1 中心对称图形的识别】
【例1】（2022秋·甘肃庆阳·九年级校考期中）教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标是中心对称图形的是（ ）
A．注意安全B．急救中心C．水深危险D．禁止攀爬
【变式1-1】（2022秋·广西防城港·九年级统考期中）下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．等腰梯形C．矩形D．五边形
【变式1-2】（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2022秋·四川凉山·九年级校考期中）下列既是中心对称又是轴对称的是（ ）
A．B．C．D．
【题型2 关于原点对称的点的坐标】
【例2】（2022春•平阴县期末）点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则a+b的值为 ﹣1 ．
【变式2-1】（2022秋•雨花区期末）若点A（m，5）与点B（2，n）关于原点对称，则3m+2n的值为 ﹣16 ．
【变式2-2】（2022秋•常熟市期末）已知点P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限，则m的取值范围是 12＜m＜3 ．
【变式2-3】（2022春•永新县期末）已知点P（3+2a，2a+1）与点P′关于原点成中心对称，若点P′在第二象限，且a为整数，则关于x的分式方程2x−ax+1=3的解是 x＝﹣2 ．
【题型3 判断两个点是否关于原点对称】
【例3】（2022春·江苏·八年级专题练习）已知两点M1x1,y1,M2x2,y2，若x1+x2=0,y1+y2=0，则点M1与M2（ ）
A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．以上均不对
【变式3-1】（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，有A(5，-3)，B0，4，C-4，0，D(-5，3)四点，其中关于原点对称的两点为（ ）
A．点A和点BB．点B和点CC．点C和点DD．点D和点A
【变式3-2】（2022春·八年级课时练习）设点A与点B关于x轴对称，点A与点C关于y轴对称，则点B与点C（ ）
A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．以上均不对
【变式3-3】（2022秋·广东深圳·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点A(－1，2)的横坐标，纵坐标都乘以－1，得到点A'，则点A与点A'的关系是（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．将点A向x轴负方向平移一个单位得点A'
【题型4 根据中心对称的性质判断正误】
【例4】（2022春·福建漳州·七年级统考期末）如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（ ）
A．AD=CDB．∠C=∠EC．AE=CBD．S△ADE=S△ADB
【变式4-1】（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，已知△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（ ）．
A．∠ABC=∠A'B'C'B．∠AOB=∠A'OB'
C．AB=A'B'D．OA=OB'
【变式4-2】（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，线段AC与BD相交于点O，且△ABO和△CDO关于点O成中心对称，则下列结论，其中正确的个数是（ ）
①OB＝OD；②AB＝CD；③△ABO≌△CDO；④AC＝BD．
A．4B．3C．2D．1
【变式4-3】（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，根据△ABC的已知条件，按如下步骤作图：
（1）以A圆心，AB长为半径画弧；
（2）以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点P；
（3）连接BP，与AC交于点O，连接AP、CP．
以下结论：①BP垂直平分AC；②AC平分∠BAP；③四边形ABCP是轴对称图形也是中心对称图形；④△ABC≌△APC，请你分析一下，其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．①③D．②④
【题型5 根据中心对称的性质求面积】
【例5】（2022秋·广东梅州·九年级校考期中）如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．20cm2B．15cm2C．10cm2D．25cm2
【变式5-1】（2022秋·浙江台州·九年级校考期中）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D.若OB=3,OD=2，则阴影部分的面积之和为____.
【变式5-2】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为_____________．
【变式5-3】（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设黑色部分的面积为S1，正方形的面积为S，则s1s=__．
【题型6 根据中心对称的性质求坐标】
【例6】（2022秋·广西玉林·九年级校考阶段练习）如图，将△ABC绕点C0,1旋转180°得到△A'B'C'，设点A的坐标为a,b，则点A'的坐标为（ ）
A．−a,−bB．−a,−b−1C．−a,−b+1D．−a,−b+2
【变式6-1】（2022秋·江苏南通·九年级校考期中）点A−1,−2绕点B1,0旋转180°得到点C，则点C坐标为_______________________．
【变式6-2】（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）如图将△ABC绕点C0,−3旋转180°得到△A'B'C，设点A'的坐标为a,b，则A的坐标为（ ）
A．−a,−b−3B．−a,−b−6
C．−a,−b+1D．−a,−b−2
【题型7 根据中心对称的性质求长度】
【例7】（2022秋·广西河池·九年级统考期中）如图所示的两个三角形是以点A为对称中心的中心对称图形，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BD的长度为 _____．
【变式7-1】（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，已知∠BAO＝90°，AB=4，AO=3，则AD的长为_____．
【变式7-2】（2022秋·湖北孝感·九年级校考期中）如图，O是正方形ABCD的中心，M是ABCD内一点，∠DMC=90°，将△DMC绕O点旋转180°后得到△BNA．若MD=3，CM=4，则MN的长为______．
【变式7-3】（2022春·江苏淮安·八年级阶段练习）在等腰直角△ABC中，∠C=90∘，BC=2cm，如果以AC的中点D为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B'处，则DB'的长度为______.
【题型8 中心对称图形规律问题】
【例8】（2022春·河北保定·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，1），−1,0．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称：第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P6与点P4关于点B成中心对称；…，照此规律重复下去，则点P2013的坐标为（ ）
A．（2，2）B．−2,2C．0,−2D．−2,0
【变式8-1】（2023秋·河北保定·八年级校考期末）已知点Ex0,y0，点Fx2,y2，点Mx1,y1是线段EF的中点，则x1=x0+x22，y1=y0+y22．在平面直角坐标系中有三个点A1,−1，B−1,−1，C0,1，点P0,2关于点A的对称点P1（即P，A，P1三点共线，且PA=P1A），P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，…按此规律继续以A，B，C三点为对称点重复前面的操作．依次得到点P4，P5，P6…，则点P2022的坐标是（ ）
A．0,2B．2,0C．2,−4D．−4,2
【变式8-2】（2022春·山东青岛·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为1,1，3,0，2,−1．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，使得点M1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点M2，使得点M2与点M1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点M3，使得点M3与点M2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点M4，使得点M4与点M3关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点M2022的坐标是_________．
【变式8-3】（2022秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为1的等边三角形，作△B1A2B2与△B1A1O关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，继续作△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，…．按此规律作下去，则△B2021A2022B2022的顶点A2022的坐标是__________．
【题型9 格点中作中心对称图形】
【例9】（2022春·江西吉安·八年级统考期末）如图是6×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．
(1)在图1中，作出△ABC关于点O的中心对称图形；
(2)在图2中，取一个格点D，在BC下方作一个与△ABC面积相等的△DBC．
【变式9-1】（2022春·重庆黔江·七年级统考期末）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，ΔABC与ΔA1B1C1构成中心对称图形．
(1)画出此中心对称图形的对称中心O；
(2)画出将ΔA1B1C1，沿直线DE方向向上平移5格得到的ΔA2B2C2；
(3)要使ΔA2B2C2与ΔCC1C2重合，则ΔA2B2C2绕点C2顺时针方向旋转，至少要旋转 度？(不要求证明)
(4)求ΔCC1C2的面积
【变式9-2】（2022春·重庆沙坪坝·七年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图并填空．
(1)将四边形ABCD向右平移5个单位长度，得到四边形A1B1C1D1；
(2)作四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A2B2C2D2；
(3)ΔAA1A2的面积为___________．
【变式9-3】（2022春·河南新乡·七年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的8×8的小正方形网格中
(1)将△ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，作出平移后的△A'B'C'；
(2)请画出△A″B″C'，使△A″B″C'和△A'B'C'关于点C'成中心对称
(3)直接写出△A'A″B″的面积．
【题型10 补全图形使之成为中心对称图形】
【例10】（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期末）图1、图2是8×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出以AB为一边的成中心对称的四边形ABCD，使其面积为12；
(2)在图2中画出一个以EF为一边的△EFG，使其是面积为152的轴对称图形．
【变式10-1】（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）画图题（按要求画出图形，图①和②都是边长为1个单位的正方形组成）
专题3.3 中心对称【十大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10111" 【题型1 中心对称图形的识别】 PAGEREF _Tc10111 \h 1
\l "_Tc10860" 【题型2 关于原点对称的点的坐标】 PAGEREF _Tc10860 \h 4
\l "_Tc14378" 【题型3 判断两个点是否关于原点对称】 PAGEREF _Tc14378 \h 5
\l "_Tc18709" 【题型4 根据中心对称的性质判断正误】 PAGEREF _Tc18709 \h 7
\l "_Tc11988" 【题型5 根据中心对称的性质求面积】 PAGEREF _Tc11988 \h 10
\l "_Tc8003" 【题型6 根据中心对称的性质求坐标】 PAGEREF _Tc8003 \h 12
\l "_Tc26464" 【题型7 根据中心对称的性质求长度】 PAGEREF _Tc26464 \h 15
\l "_Tc1915" 【题型8 中心对称图形规律问题】 PAGEREF _Tc1915 \h 18
\l "_Tc12224" 【题型9 格点中作中心对称图形】 PAGEREF _Tc12224 \h 22
\l "_Tc1891" 【题型10 补全图形使之成为中心对称图形】 PAGEREF _Tc1891 \h 28
【知识点1 中心对称】
定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形。
【知识点2 中心对称图形】
定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。
【知识点3 关于原点对称的点的坐标】
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为 P′(-x，-y)。
【题型1 中心对称图形的识别】
【例1】（2022秋·甘肃庆阳·九年级校考期中）教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标是中心对称图形的是（ ）
A．注意安全B．急救中心C．水深危险D．禁止攀爬
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A选项，是轴对称图形，不符合题意；
B选项，是中心对称图形，符合题意；
C选项，是轴对称图形，不符合题意；
D选项，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是关键．
【变式1-1】（2022秋·广西防城港·九年级统考期中）下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．等腰梯形C．矩形D．五边形
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A．等边三角形不是中心对称图形．故A错误；
B．等腰梯形不是中心对称图形．故B错误；
C．矩形是中心对称图形．故C正确；
D．五边形不是中心对称图形．故D错误．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的知识，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．
【变式1-2】（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
【变式1-3】（2022秋·四川凉山·九年级校考期中）下列既是中心对称又是轴对称的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，正确掌握相关概念是解题关键．
【题型2 关于原点对称的点的坐标】
【例2】（2022春•平阴县期末）点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则a+b的值为 ﹣1 ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【变式2-1】（2022秋•雨花区期末）若点A（m，5）与点B（2，n）关于原点对称，则3m+2n的值为 ﹣16 ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【解答】解：∵点A（m，5）与点B（2，n）关于原点对称，
∴m＝﹣2，n＝﹣5，
∴3m+2n＝﹣6﹣10＝﹣16．
故答案为：﹣16．
【变式2-2】（2022秋•常熟市期末）已知点P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限，则m的取值范围是 12＜m＜3 ．
【分析】根据关于原点对称点的性质可得P在第一象限，进而可得2m−1＞0−m+3＞0，再解不等式组即可．
【解答】解：∵点P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限，
∴点P（2m﹣1，﹣m+3）在第一象限，
∴2m−1＞0−m+3＞0，
解得：12＜m＜3，
故答案为：12＜m＜3．
【变式2-3】（2022春•永新县期末）已知点P（3+2a，2a+1）与点P′关于原点成中心对称，若点P′在第二象限，且a为整数，则关于x的分式方程2x−ax+1=3的解是 x＝﹣2 ．
【分析】根据P关于原点对称点在第一象限，得到P横纵坐标都小于0，求出a的范围，确定出a的值，代入方程计算即可求出解．
【解答】解：∵P（3+2a，2a+1）与点P′关于原点成中心对称，若点P′在第二象限，且a为整数，
∴3+2a＞02a+1＜0，
解得：−32＜a＜−12，即a＝﹣1，
当a＝﹣1时，所求方程化为2x+1x+1=3，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是分式方程的解，
则方程的解为﹣2．
故答案为x＝﹣2
【题型3 判断两个点是否关于原点对称】
【例3】（2022春·江苏·八年级专题练习）已知两点M1x1,y1,M2x2,y2，若x1+x2=0,y1+y2=0，则点M1与M2（ ）
A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．以上均不对
【答案】A
【分析】首先利用等式求出x1=−x2,y1=−y2, 然后可以根据横纵坐标的关系得出结果．
【详解】∵ x1+x2=0,y1+y2=0，
∴x1=−x2,y1=−y2,
∵两点M1x1,y1,M2x2,y2，
∴点M1与M2关于原点对称，
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中关于原点对称的点，属于基础题，利用等式找到点M1与M2横纵坐标的关系是解题关键．
【变式3-1】（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，有A(5，-3)，B0，4，C-4，0，D(-5，3)四点，其中关于原点对称的两点为（ ）
A．点A和点BB．点B和点CC．点C和点DD．点D和点A
【答案】D
【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数，即可得出答案．
【详解】解：A、点A(5，-3)与点B0，4关于原点不对称，故此选项不符合题意；
B、点B0，4与点C-4，0关于原点不对称，故此选项不符合题意；
C、点C-4，0与点D(-5，3)关于原点不对称，故此选项不符合题意；
D、点A(5，-3)与点D(-5，3)关于原点对称，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标，解题关键是掌握点Px,y关于原点O的对称点是P'-x,-y．
【变式3-2】（2022春·八年级课时练习）设点A与点B关于x轴对称，点A与点C关于y轴对称，则点B与点C（ ）
A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．以上均不对
【答案】A
【分析】设点Ax,y ，根据题意可得：Bx,−y ，C−x,y ，从而得到点B与点C关于原点对称，即可求解．
【详解】解：设点Ax,y ，
∵点A与点B关于x轴的对称，点A与点C关于y轴对称，
∴Bx,−y ，C−x,y ，
∴点B与点C的横纵坐标均互为相反数，
∴点B与点C关于原点对称．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握若两点关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称横坐标互为相反数，纵坐标相同；关于原点对称，横纵坐标均互为相反数．
【变式3-3】（2022秋·广东深圳·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点A(－1，2)的横坐标，纵坐标都乘以－1，得到点A'，则点A与点A'的关系是（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．将点A向x轴负方向平移一个单位得点A'
【答案】A
【分析】先求出A'的坐标，与点A的坐标进行比较即可求解．
【详解】解：∵点A(－1，2)的横坐标，纵坐标都乘以－1，得到点A'，
∴点A'坐标为（1，-2），
∴A与A'关于原点对称．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点：横纵坐标都互为相反数，理解此知识点是解题关键．
【题型4 根据中心对称的性质判断正误】
【例4】（2022春·福建漳州·七年级统考期末）如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（ ）
A．AD=CDB．∠C=∠EC．AE=CBD．S△ADE=S△ADB
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的性质可得结论．
【详解】解：∵△ADE与△CDB关于点D成中心对称，
∴AD=CD，AE=CB，BD=ED
∴S△ADE=S△ADB
∴选项A、C、D正确，选项B错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等．
【变式4-1】（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，已知△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（ ）．
A．∠ABC=∠A'B'C'B．∠AOB=∠A'OB'
C．AB=A'B'D．OA=OB'
【答案】D
【分析】根据三角形和中心对称的性质求解，即可得到答案．
【详解】∵△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称
∴∠ABC=∠A'B'C'
∠AOB=∠A'OB'
AB=A'B'
OA=OA'
OB=OB'
∴OA=OB'错误，其他选项正确
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形和中心对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形和中心对称图形的性质，从而完成求解．
【变式4-2】（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，线段AC与BD相交于点O，且△ABO和△CDO关于点O成中心对称，则下列结论，其中正确的个数是（ ）
①OB＝OD；②AB＝CD；③△ABO≌△CDO；④AC＝BD．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据成中心对称的两个图形的性质解答．
【详解】解：∵△ABO和△CDO关于点O成中心对称，
∴△ABO≌△CDO，
∴OB＝OD，AB＝CD，
而AC＝BD不一定成立，
【点睛】此题考查成中心对称的两个图形的性质：成中心对称的两个图形全等，熟记性质是解题的关键．
【变式4-3】（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，根据△ABC的已知条件，按如下步骤作图：
（1）以A圆心，AB长为半径画弧；
（2）以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点P；
（3）连接BP，与AC交于点O，连接AP、CP．
以下结论：①BP垂直平分AC；②AC平分∠BAP；③四边形ABCP是轴对称图形也是中心对称图形；④△ABC≌△APC，请你分析一下，其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．①③D．②④
【答案】D
【分析】由题意得：AB=AP，CB=CP，从而可判断①；根据等腰三角形的性质，可判断②；根据轴对称和中心对称图形的定义，可判断③；根据SSS，可判断④．
【详解】由题意得：AB=AP，CB=CP，
∴点A、C在BP的垂直平分线上，即：AC垂直平分BP，故①错误；
∵AB=AP，AC⊥BP，
∴AC平分∠BAP，故②正确；
∵AC垂直平分BP，
∴点B、P关于直线AC对称，即：四边形ABCP是轴对称图形，但不是中心对称图形，故③错误；
∵AB=AP，CB=CP，AC=AC，
∴△ABC≌△APC，故④正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的判定定理。等腰三角形的性质，轴对称图形和中心对称图形的定义，全等三角形的判定定理，熟练掌握上述判定定理和性质定理，是解题的关键．
【题型5 根据中心对称的性质求面积】
【例5】（2022秋·广东梅州·九年级校考期中）如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．20cm2B．15cm2C．10cm2D．25cm2
【答案】D
【详解】由图形可知，长方形的面积=10×4=40cm2，再根据中心对称的性质得，图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，则图中阴影部分的面积=12×40=20cm2，故选A．
【变式5-1】（2022秋·浙江台州·九年级校考期中）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D.若OB=3,OD=2，则阴影部分的面积之和为____.
【答案】6；
【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
【详解】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2，
∴AB=2，
∴阴影部分的面积之和为3×2=6．
故答案为6．
【点睛】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【变式5-2】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为_____________．
【答案】11
【分析】连接DK，DN，证明S四边形DMNT=S△DKN=14大正方形的面积，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接DK，DN，
∵∠KDN=∠MDT=90°，
∴∠KDM=∠NDT，
∵DK=DN，∠DKM=∠DNT=45°，
∴△DKM≌△DNT（ASA），
∴S△DKM=S△DNT，
∴S四边形DMNT=S△DKN=14大正方形的面积，
∴正方形ABCD的面积=4×14×9+2=11．
故答案为：11．
【点睛】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键连接DK，DN，构造全等三角形解决问题．
【变式5-3】（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设黑色部分的面积为S1，正方形的面积为S，则s1s=__．
【答案】π8
【分析】设正方形的边长为a，则正方形内切圆的直径为a，由正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，可得黑色部分的面积为S1=12×圆的面积，分别求得S1和S，即可求得结论.
【详解】设正方形的边长为a，则正方形内切圆的直径为a，
∵正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，
∴黑色部分的面积为S1=12×圆的面积=12π×（a2）2=πa28，
正方形的面积为S=a2，所以S1S=πa28a2=π8.
故答案为π8．
【点睛】本题主要考查了正方形的内切圆，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．
【题型6 根据中心对称的性质求坐标】
【例6】（2022秋·广西玉林·九年级校考阶段练习）如图，将△ABC绕点C0,1旋转180°得到△A'B'C'，设点A的坐标为a,b，则点A'的坐标为（ ）
A．−a,−bB．−a,−b−1C．−a,−b+1D．−a,−b+2
【答案】D
【分析】设点A'的坐标是x，y，根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．
【详解】解：根据题意，点A、A'关于点C对称，
设点A'的坐标是x，y，
则a+x2=0，b+y2=1，
解得x=−a，y=−b+2，
∴点A'的坐标是−a,−b+2．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点A、A'关于点C成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．
【变式6-1】（2022秋·江苏南通·九年级校考期中）点A−1,−2绕点B1,0旋转180°得到点C，则点C坐标为_______________________．
【答案】3，2
【分析】过A、C两点向x轴作垂线，构造全等三角形，得到CF和AE相等，BF和BE相等，即可得到结果．
【详解】解：过点A作AE⊥x轴，过点C作CF⊥x轴，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
由旋转性质可得AB=BC，
∵∠CBF=∠EBA，
∴△ABE≌△CFB
∴CF=AE，BF=EB，
又∵EB=2，
∴BF=2，CF=2，
∴OF=2+1=3，
∴C（3，2）
故答案为：（3，2）．
【点睛】本题考查旋转变换和三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线证明全等是解题的关键．
【变式6-2】（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）如图将△ABC绕点C0,−3旋转180°得到△A'B'C，设点A'的坐标为a,b，则A的坐标为（ ）
A．−a,−b−3B．−a,−b−6
C．−a,−b+1D．−a,−b−2
【答案】B
【分析】设A的坐标为m,n，由于A、A'关于C点对称，则m+a2=0，b+n2=−3．
【详解】解：设A的坐标为m,n，
∵A和A'关于点C0,−3对称．
∴m+a2=0，n+b2=−3，
解得m=−a，n=−b−6 ．
∴点A的坐标−a，−b−6 ．
【点睛】本题主要考查了一个关于一点成中心对称的问题，要根据中心对称的定义，且弄清中心对称的点的坐标特征．
【变式6-3】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，A0,1，B−1,0，C1,0，请确定一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，则点D的坐标可能是（ ）
A．0,−1B．2,1C．0,−2D．−1,1
【答案】A
【分析】根据各选项所给点的坐标判所构成的图形再进行判断即可．
【详解】A.若点D的坐标为（0，-1），则四边形ABDC是正方形，既是轴对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 若点D的坐标为（2，-1）,点A，点D，点C在同一条直线上，故此选项不符合题意；
C. 若点D的坐标为（0，-2），则四边形ABDC是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.若点D坐标为（-1，1），则四边形ADBC既不是轴对称图形，也不中心对称图形，故此选项不符合题意．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，轴对称图形和中心对称图形的识别，在坐标平面内准确画出图形是解决本题的关键．
【题型7 根据中心对称的性质求长度】
【例7】（2022秋·广西河池·九年级统考期中）如图所示的两个三角形是以点A为对称中心的中心对称图形，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BD的长度为 _____．
【答案】4
【分析】根据题意得△ABC是直角三角形，根据∠B=30°，AC=1，可求得AB，而BD=2AB，据此即可求解．
【详解】解：∵∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠B=30°，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∵所示的两个三角形是以点A为对称中心的中心对称图形，
∴BD=2AB=4，
故答案为：4．
【点晴】本题主要考查了直角三角形的性质，中心对称图形的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
【变式7-1】（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，已知∠BAO＝90°，AB=4，AO=3，则AD的长为_____．
【答案】213
【分析】根据△AOB与△COD关于点O成中心对称，推出AO=CO=3，CD=AB=4，∠C=∠BAO=90°，得到AC=6，根据勾股定理得到AD=AC2+CD2=213．
【详解】∵△AOB与△COD关于点O成中心对称，
∴AO=CO=3，CD=AB=4，∠C=∠BAO=90°，
∴AC=6，
∴AD=AC2+CD2=52=213，
故答案为：213．
【点睛】本题主要考查了中心对称，勾股定理等．解决问题的关键是熟练掌握中心对称的性质，勾股定理解直角三角形．中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对称线段共线或平行．
【变式7-2】（2022秋·湖北孝感·九年级校考期中）如图，O是正方形ABCD的中心，M是ABCD内一点，∠DMC=90°，将△DMC绕O点旋转180°后得到△BNA．若MD=3，CM=4，则MN的长为______．
【答案】2
【分析】延长BN交CM与E，判定△NME为等腰直角三角形，求出NE的长，再据勾股定理可计算得MN的长．
【详解】解：如下图
在正方形ABCD中
延长BN交CM于E，
由题意据中心对称的性质，得∠ABE=∠CDM，∠MDC与∠MCD互余，∠ABE与∠EBC互余
∴∠EBC=∠DCM；
同理可得∠MCB=∠ABN
又∠ABN=∠CDM
∴∠MCB=∠MDC
又BC=CD
∴△BEC≌△CMD
∴∠BEC=∠CMD=90° BE=CM=4 CE=DM=3
∴ME=CM-CE=1，NE=BE-BN=1
所以△MNE为等腰直角三角形，且∠NEM是直角，ME=NE=1，由勾股定理得MN=NE2+ME2=2
故答案为：2．
【点睛】此题考查综合运用中心对称的性质解决问题．其关键是要运用中心对称的性质找全等条件，证明△BEC≌△CMD．
【变式7-3】（2022春·江苏淮安·八年级阶段练习）在等腰直角△ABC中，∠C=90∘，BC=2cm，如果以AC的中点D为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B'处，则DB'的长度为______.
【答案】5cm
【分析】在Rt△DBC中利用勾股定理即可求得DB的长度，DB′=DB，据此即可求解．
【详解】如图：
在直角△DBC中,DC=12AC=12BC=1cm,则DB=DC2+BC2=5，
则DB'=DB=5cm.
故答案为5cm.
【点睛】考查旋转的性质以及勾股定理，画出图形，数形结合是解题的关键.
【题型8 中心对称图形规律问题】
【例8】（2022春·河北保定·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，1），−1,0．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称：第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P6与点P4关于点B成中心对称；…，照此规律重复下去，则点P2013的坐标为（ ）
A．（2，2）B．−2,2C．0,−2D．−2,0
【答案】A
【分析】计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2013的坐标．
【详解】解：∵点P1与点O关于点A成中心对称，
∴P1(2，0)，
过P2作P2D⊥OB于点D，
∵P2与点P1关于点B成中心对称，
∴P1B=P2B，
在△P1BO和△P2BD中
∠P1BO=∠P2BD∠P1OB=∠P2DBP1B=P2B，
∴△P1BO≌△P2BD，
∴P2D=P1O=2，BD=BO=1，
∴OD=2，
∴P2(-2，2)，
同理可求：P3(0，-2)，P4(2，2)，P5(-2，0)，P6(0，0)，P7(2，0)，
从而可得出6次一个循环，
∵20136=335…3，
∴点P2013的坐标为(0，-2)．
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，以及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．
【变式8-1】（2023秋·河北保定·八年级校考期末）已知点Ex0,y0，点Fx2,y2，点Mx1,y1是线段EF的中点，则x1=x0+x22，y1=y0+y22．在平面直角坐标系中有三个点A1,−1，B−1,−1，C0,1，点P0,2关于点A的对称点P1（即P，A，P1三点共线，且PA=P1A），P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，…按此规律继续以A，B，C三点为对称点重复前面的操作．依次得到点P4，P5，P6…，则点P2022的坐标是（ ）
A．0,2B．2,0C．2,−4D．−4,2
【答案】D
【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解．
【详解】解：由题意，P12,−4，P2−4,2，P34,0，P4−2,−2，P50,0，P60,2，P72,−4， ……
可得每6次为一个循环，
∵2022÷6=337，
∴点P2022的坐标是0,2，
【点睛】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律．
【变式8-2】（2022春·山东青岛·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为1,1，3,0，2,−1．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，使得点M1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点M2，使得点M2与点M1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点M3，使得点M3与点M2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点M4，使得点M4与点M3关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点M2022的坐标是_________．
【答案】0，0
【分析】先求出点M1、M2、M3的坐标，发现每三个点循环一次，即每跳动三次就会回到原点O，用2022÷3=674，所以M2022正好在原点，即可得出M2022的坐标．
【详解】解：∵点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，点M1与点O关于点A成中心对称，点A的坐标为（1，1），
∴点M1的坐标为（2，2），
∵点M2与点M1关于点B成中心对称，点B的坐标为（3，0），
∴点M2的坐标为（4，-2），
∵点M3与点M2关于点C成中心对称，点C的坐标为（2，-1），
∴点M3的坐标为（0，0），
∴点M3又回到了原点，
∴按照此规律跳跃，每三个点循环一次，
∵2022÷3=674，
∴点M2022正好在原点，
∴点M2022的坐标为（0，0）．
故答案为：（0，0）．
【点睛】本题主要考查了规律探究、点的坐标以及中心对称的性质，找出变化规律，确定每3个点循环一次是解题的关键．
【变式8-3】（2022秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为1的等边三角形，作△B1A2B2与△B1A1O关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，继续作△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，…．按此规律作下去，则△B2021A2022B2022的顶点A2022的坐标是__________．
【答案】40432,32
【分析】首先根据△OA1B1是边长为1的等边三角形，可得A1的坐标为12,−32，B1的坐标为（1，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n＋1的坐标是多少即可．
【详解】解：∵△OA1B1是边长为1的等边三角形，
∴A1的坐标为：12,−32，B1的坐标为：（1，0），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×1−12＝32，
∴点A2的坐标是：32,32，
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵3×1−12＝52
∴点A3的坐标是：52,−32，
∴An的横坐标是：n−12，当n为奇数时，An的纵坐标是：−32，当n为偶数时，An的纵坐标是：32，
∵2022是偶数，2022−12=40432
∴A2022的坐标是40432,32，
故答案为：40432,32．
【点睛】此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出An的横坐标和纵坐标是解题的关键．
【题型9 格点中作中心对称图形】
【例9】（2022春·江西吉安·八年级统考期末）如图是6×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．
(1)在图1中，作出△ABC关于点O的中心对称图形；
(2)在图2中，取一个格点D，在BC下方作一个与△ABC面积相等的△DBC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据中心对称图形的定义确定对称点，连线即可得到对称图形；
（2）设BC的中点为O，利用等腰三角形的性质及中心对称图形的性质得到点D，连线即可．
（1）
解：如图，△A1B1C1为与△ABC关于点O的中心对称图形；
（2）
如图，△BCD即为所求．
【点睛】此题考查了画中心对称图形，中心对称图形的性质，等腰三角形性质的理解，正确理解中心对称的性质是解题的关键．
【变式9-1】（2022春·重庆黔江·七年级统考期末）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，ΔABC与ΔA1B1C1构成中心对称图形．
(1)画出此中心对称图形的对称中心O；
(2)画出将ΔA1B1C1，沿直线DE方向向上平移5格得到的ΔA2B2C2；
(3)要使ΔA2B2C2与ΔCC1C2重合，则ΔA2B2C2绕点C2顺时针方向旋转，至少要旋转 度？(不要求证明)
(4)求ΔCC1C2的面积
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)90
(4)5
【分析】（1）对应点连线的交点即为旋转中心；
（2）利用平移变换的性质分别作出点A1,B1,C1的对应点A2,B2,C2即可；
（3）利用旋转变换的性质判断即可；
（4）根据三角形面积公式求解．
（1）
解：如图，连接BB1,CC1交于点O，则点O即为所求；
（2）
解：如图，ΔA2B2C2即为所求；
（3）
解：根据题意得：要使ΔA2B2C2与ΔCC1C2重合，则ΔA2B2C2绕点C2顺时针方向旋转，至少要旋转90度．
故答案为：90；
（4）
解：ΔCC1C2的面积为12×5×2=5．
【点睛】本题考查作图——旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
【变式9-2】（2022春·重庆沙坪坝·七年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图并填空．
(1)将四边形ABCD向右平移5个单位长度，得到四边形A1B1C1D1；
(2)作四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A2B2C2D2；
(3)ΔAA1A2的面积为___________．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)5
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C、D的对应点A1、B1、C1、D1即可；
（2）利用网格特点和中心对称的性质画出A、B、C、D的对应点A2、B2、C2、D2即可；
（3）根据三角形面积公式计算．
（1）
如图，四边形A1B1C1D1为所作；
（2）
如图，四边形A2B2C2D2为所作；
（3）
ΔAA1A2的面积＝12×5×2＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
【变式9-3】（2022春·河南新乡·七年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的8×8的小正方形网格中
(1)将△ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，作出平移后的△A'B'C'；
(2)请画出△A″B″C'，使△A″B″C'和△A'B'C'关于点C'成中心对称
(3)直接写出△A'A″B″的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)S△A'B″A″=3
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）分别作出A′，B′的对应点A″，B″即可．
（3）利用三角形面积公式即可．
（1）
解：如图，△A′B′C′即为所求．
（2）
如图，△A″B″C′即为所求．
（3）
S△A′B″A″=12×2×3=3．
【点睛】本题考查了中心对称作图，平移变换作图等知识，掌握平移的性质，中心对称的性质是解题的关键．
【题型10 补全图形使之成为中心对称图形】
【例10】（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期末）图1、图2是8×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出以AB为一边的成中心对称的四边形ABCD，使其面积为12；
(2)在图2中画出一个以EF为一边的△EFG，使其是面积为152的轴对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作以AB为边且BC边长为4高为3的平行四边形即可得；
（2）根据等腰三角形的腰为5，腰上的高为3，进行画图即可．
（1）解：如图1，▱ABCD即为所求；
（2）解：如图2，等腰△EFG即为所求．
【点睛】本题主要考查了利用图形的基本变换进行作图，作图时需要运用平行四边形的性质以及等腰三角形的性质进行计算，熟知平行四边形是中心对称图形，等腰三角形是轴对称图形是解题的关键．
【变式10-1】（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）画图题（按要求画出图形，图①和②都是边长为1个单位的正方形组成）
(1)在图①涂黑一个小正方形和原阴影图形构成中心对称图形．
(2)在图②画出关于直线AC对称的△AB1C再绕点A逆时针旋转90°的△AB2C1．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的图形即可；
（2）利用轴对称图形的性质及旋转的性质得出对应点的位置，进而得出答案．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：如图，
【点睛】本题考查了旋转变换，轴对称变换，中心对称图形，正确得出对应点的位置是解题的关键．
【变式10-2】（2022秋·北京东城·九年级校考期中）按照要求画图：
(1)如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为(−1,3),(−4,1),(−2,1)，将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，点A,B,C的对应点为点A1,B1,C1．画出旋转后的△A1B1C1；
(2)下列3×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置即可得出答案；
（2）利用中心对称图形的性质的出符合题意的答案即可．
【详解】（1）解：如下图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：在余下的空白小正方形中选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，如下图所示．
【点睛】本题主要考查了图形旋转以及中心对称图形的知识，熟练掌握旋转的性质以及中心对称图形的定义是解题关键．
【变式10-3】（2022春·陕西咸阳·八年级校联考期中）如图1，是由4个全等的正方形组成的L型图案，请你分别在图2，图3中按下列要求画图：
(1)将图2中的L型图案，添加1个正方形，使它是中心对称图形（不能是轴对称图形）；
(2)将图1的L型图案，改变1个正方形的位置，从而得到一个新的图形，使新图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，请在图3中画出改变后的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图；
（2）根据中心对称和轴对称的性质画一个图形．
（1）
解：如图2所示．
；
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10111" 【题型1 中心对称图形的识别】 PAGEREF _Tc10111 \h 1
\l "_Tc10860" 【题型2 关于原点对称的点的坐标】 PAGEREF _Tc10860 \h 2
\l "_Tc14378" 【题型3 判断两个点是否关于原点对称】 PAGEREF _Tc14378 \h 3
\l "_Tc18709" 【题型4 根据中心对称的性质判断正误】 PAGEREF _Tc18709 \h 3
\l "_Tc11988" 【题型5 根据中心对称的性质求面积】 PAGEREF _Tc11988 \h 4
\l "_Tc8003" 【题型6 根据中心对称的性质求坐标】 PAGEREF _Tc8003 \h 5
\l "_Tc26464" 【题型7 根据中心对称的性质求长度】 PAGEREF _Tc26464 \h 6
\l "_Tc1915" 【题型8 中心对称图形规律问题】 PAGEREF _Tc1915 \h 7
\l "_Tc12224" 【题型9 格点中作中心对称图形】 PAGEREF _Tc12224 \h 8
\l "_Tc1891" 【题型10 补全图形使之成为中心对称图形】 PAGEREF _Tc1891 \h 10
【知识点1 中心对称】
定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形。
【知识点2 中心对称图形】
定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。
【知识点3 关于原点对称的点的坐标】
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为 P′(-x，-y)。
【题型1 中心对称图形的识别】
【例1】（2022秋·甘肃庆阳·九年级校考期中）教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标是中心对称图形的是（ ）
A．注意安全B．急救中心C．水深危险D．禁止攀爬
【变式1-1】（2022秋·广西防城港·九年级统考期中）下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．等腰梯形C．矩形D．五边形
【变式1-2】（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1-3】（2022秋·四川凉山·九年级校考期中）下列既是中心对称又是轴对称的是（ ）
A．B．C．D．
【题型2 关于原点对称的点的坐标】
【例2】（2022春•平阴县期末）点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则a+b的值为 ﹣1 ．
【变式2-1】（2022秋•雨花区期末）若点A（m，5）与点B（2，n）关于原点对称，则3m+2n的值为 ﹣16 ．
【变式2-2】（2022秋•常熟市期末）已知点P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限，则m的取值范围是 12＜m＜3 ．
【变式2-3】（2022春•永新县期末）已知点P（3+2a，2a+1）与点P′关于原点成中心对称，若点P′在第二象限，且a为整数，则关于x的分式方程2x−ax+1=3的解是 x＝﹣2 ．
【题型3 判断两个点是否关于原点对称】
【例3】（2022春·江苏·八年级专题练习）已知两点M1x1,y1,M2x2,y2，若x1+x2=0,y1+y2=0，则点M1与M2（ ）
A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．以上均不对
【变式3-1】（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，有A(5，-3)，B0，4，C-4，0，D(-5，3)四点，其中关于原点对称的两点为（ ）
A．点A和点BB．点B和点CC．点C和点DD．点D和点A
【变式3-2】（2022春·八年级课时练习）设点A与点B关于x轴对称，点A与点C关于y轴对称，则点B与点C（ ）
A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．以上均不对
【变式3-3】（2022秋·广东深圳·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点A(－1，2)的横坐标，纵坐标都乘以－1，得到点A'，则点A与点A'的关系是（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．将点A向x轴负方向平移一个单位得点A'
【题型4 根据中心对称的性质判断正误】
【例4】（2022春·福建漳州·七年级统考期末）如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（ ）
A．AD=CDB．∠C=∠EC．AE=CBD．S△ADE=S△ADB
【变式4-1】（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，已知△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（ ）．
A．∠ABC=∠A'B'C'B．∠AOB=∠A'OB'
C．AB=A'B'D．OA=OB'
【变式4-2】（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，线段AC与BD相交于点O，且△ABO和△CDO关于点O成中心对称，则下列结论，其中正确的个数是（ ）
①OB＝OD；②AB＝CD；③△ABO≌△CDO；④AC＝BD．
A．4B．3C．2D．1
【变式4-3】（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，根据△ABC的已知条件，按如下步骤作图：
（1）以A圆心，AB长为半径画弧；
（2）以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点P；
（3）连接BP，与AC交于点O，连接AP、CP．
以下结论：①BP垂直平分AC；②AC平分∠BAP；③四边形ABCP是轴对称图形也是中心对称图形；④△ABC≌△APC，请你分析一下，其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．①③D．②④
【题型5 根据中心对称的性质求面积】
【例5】（2022秋·广东梅州·九年级校考期中）如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．20cm2B．15cm2C．10cm2D．25cm2
【变式5-1】（2022秋·浙江台州·九年级校考期中）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D.若OB=3,OD=2，则阴影部分的面积之和为____.
【变式5-2】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为_____________．
【变式5-3】（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设黑色部分的面积为S1，正方形的面积为S，则s1s=__．
【题型6 根据中心对称的性质求坐标】
【例6】（2022秋·广西玉林·九年级校考阶段练习）如图，将△ABC绕点C0,1旋转180°得到△A'B'C'，设点A的坐标为a,b，则点A'的坐标为（ ）
A．−a,−bB．−a,−b−1C．−a,−b+1D．−a,−b+2
【变式6-1】（2022秋·江苏南通·九年级校考期中）点A−1,−2绕点B1,0旋转180°得到点C，则点C坐标为_______________________．
【变式6-2】（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）如图将△ABC绕点C0,−3旋转180°得到△A'B'C，设点A'的坐标为a,b，则A的坐标为（ ）
A．−a,−b−3B．−a,−b−6
C．−a,−b+1D．−a,−b−2
【题型7 根据中心对称的性质求长度】
【例7】（2022秋·广西河池·九年级统考期中）如图所示的两个三角形是以点A为对称中心的中心对称图形，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BD的长度为 _____．
【变式7-1】（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，已知∠BAO＝90°，AB=4，AO=3，则AD的长为_____．
【变式7-2】（2022秋·湖北孝感·九年级校考期中）如图，O是正方形ABCD的中心，M是ABCD内一点，∠DMC=90°，将△DMC绕O点旋转180°后得到△BNA．若MD=3，CM=4，则MN的长为______．
【变式7-3】（2022春·江苏淮安·八年级阶段练习）在等腰直角△ABC中，∠C=90∘，BC=2cm，如果以AC的中点D为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B'处，则DB'的长度为______.
【题型8 中心对称图形规律问题】
【例8】（2022春·河北保定·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，1），−1,0．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称：第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P6与点P4关于点B成中心对称；…，照此规律重复下去，则点P2013的坐标为（ ）
A．（2，2）B．−2,2C．0,−2D．−2,0
【变式8-1】（2023秋·河北保定·八年级校考期末）已知点Ex0,y0，点Fx2,y2，点Mx1,y1是线段EF的中点，则x1=x0+x22，y1=y0+y22．在平面直角坐标系中有三个点A1,−1，B−1,−1，C0,1，点P0,2关于点A的对称点P1（即P，A，P1三点共线，且PA=P1A），P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，…按此规律继续以A，B，C三点为对称点重复前面的操作．依次得到点P4，P5，P6…，则点P2022的坐标是（ ）
A．0,2B．2,0C．2,−4D．−4,2
【变式8-2】（2022春·山东青岛·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为1,1，3,0，2,−1．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，使得点M1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点M2，使得点M2与点M1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点M3，使得点M3与点M2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点M4，使得点M4与点M3关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点M2022的坐标是_________．
【变式8-3】（2022秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为1的等边三角形，作△B1A2B2与△B1A1O关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，继续作△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，…．按此规律作下去，则△B2021A2022B2022的顶点A2022的坐标是__________．
【题型9 格点中作中心对称图形】
【例9】（2022春·江西吉安·八年级统考期末）如图是6×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．
(1)在图1中，作出△ABC关于点O的中心对称图形；
(2)在图2中，取一个格点D，在BC下方作一个与△ABC面积相等的△DBC．
【变式9-1】（2022春·重庆黔江·七年级统考期末）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，ΔABC与ΔA1B1C1构成中心对称图形．
(1)画出此中心对称图形的对称中心O；
(2)画出将ΔA1B1C1，沿直线DE方向向上平移5格得到的ΔA2B2C2；
(3)要使ΔA2B2C2与ΔCC1C2重合，则ΔA2B2C2绕点C2顺时针方向旋转，至少要旋转 度？(不要求证明)
(4)求ΔCC1C2的面积
【变式9-2】（2022春·重庆沙坪坝·七年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图并填空．
(1)将四边形ABCD向右平移5个单位长度，得到四边形A1B1C1D1；
(2)作四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A2B2C2D2；
(3)ΔAA1A2的面积为___________．
【变式9-3】（2022春·河南新乡·七年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的8×8的小正方形网格中
(1)将△ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，作出平移后的△A'B'C'；
(2)请画出△A″B″C'，使△A″B″C'和△A'B'C'关于点C'成中心对称
(3)直接写出△A'A″B″的面积．
【题型10 补全图形使之成为中心对称图形】
【例10】（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期末）图1、图2是8×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出以AB为一边的成中心对称的四边形ABCD，使其面积为12；
(2)在图2中画出一个以EF为一边的△EFG，使其是面积为152的轴对称图形．
【变式10-1】（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）画图题（按要求画出图形，图①和②都是边长为1个单位的正方形组成）
专题3.3 中心对称【十大题型】
【北师大版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc10111" 【题型1 中心对称图形的识别】 PAGEREF _Tc10111 \h 1
\l "_Tc10860" 【题型2 关于原点对称的点的坐标】 PAGEREF _Tc10860 \h 4
\l "_Tc14378" 【题型3 判断两个点是否关于原点对称】 PAGEREF _Tc14378 \h 5
\l "_Tc18709" 【题型4 根据中心对称的性质判断正误】 PAGEREF _Tc18709 \h 7
\l "_Tc11988" 【题型5 根据中心对称的性质求面积】 PAGEREF _Tc11988 \h 10
\l "_Tc8003" 【题型6 根据中心对称的性质求坐标】 PAGEREF _Tc8003 \h 12
\l "_Tc26464" 【题型7 根据中心对称的性质求长度】 PAGEREF _Tc26464 \h 15
\l "_Tc1915" 【题型8 中心对称图形规律问题】 PAGEREF _Tc1915 \h 18
\l "_Tc12224" 【题型9 格点中作中心对称图形】 PAGEREF _Tc12224 \h 22
\l "_Tc1891" 【题型10 补全图形使之成为中心对称图形】 PAGEREF _Tc1891 \h 28
【知识点1 中心对称】
定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。这个点叫做对称中心。这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
中心对称的性质：①中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；②中心对称的两个图形是全等图形。
【知识点2 中心对称图形】
定义：如果一个图形绕一个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做它的对称中心。
【知识点3 关于原点对称的点的坐标】
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点为 P′(-x，-y)。
【题型1 中心对称图形的识别】
【例1】（2022秋·甘肃庆阳·九年级校考期中）教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标是中心对称图形的是（ ）
A．注意安全B．急救中心C．水深危险D．禁止攀爬
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A选项，是轴对称图形，不符合题意；
B选项，是中心对称图形，符合题意；
C选项，是轴对称图形，不符合题意；
D选项，不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是关键．
【变式1-1】（2022秋·广西防城港·九年级统考期中）下列几何图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．等腰梯形C．矩形D．五边形
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A．等边三角形不是中心对称图形．故A错误；
B．等腰梯形不是中心对称图形．故B错误；
C．矩形是中心对称图形．故C正确；
D．五边形不是中心对称图形．故D错误．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的知识，掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．
【变式1-2】（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
【变式1-3】（2022秋·四川凉山·九年级校考期中）下列既是中心对称又是轴对称的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，正确掌握相关概念是解题关键．
【题型2 关于原点对称的点的坐标】
【例2】（2022春•平阴县期末）点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则a+b的值为 ﹣1 ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【解答】解：∵点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，
∴a＝2，b＝﹣3，
∴a+b＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【变式2-1】（2022秋•雨花区期末）若点A（m，5）与点B（2，n）关于原点对称，则3m+2n的值为 ﹣16 ．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【解答】解：∵点A（m，5）与点B（2，n）关于原点对称，
∴m＝﹣2，n＝﹣5，
∴3m+2n＝﹣6﹣10＝﹣16．
故答案为：﹣16．
【变式2-2】（2022秋•常熟市期末）已知点P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限，则m的取值范围是 12＜m＜3 ．
【分析】根据关于原点对称点的性质可得P在第一象限，进而可得2m−1＞0−m+3＞0，再解不等式组即可．
【解答】解：∵点P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限，
∴点P（2m﹣1，﹣m+3）在第一象限，
∴2m−1＞0−m+3＞0，
解得：12＜m＜3，
故答案为：12＜m＜3．
【变式2-3】（2022春•永新县期末）已知点P（3+2a，2a+1）与点P′关于原点成中心对称，若点P′在第二象限，且a为整数，则关于x的分式方程2x−ax+1=3的解是 x＝﹣2 ．
【分析】根据P关于原点对称点在第一象限，得到P横纵坐标都小于0，求出a的范围，确定出a的值，代入方程计算即可求出解．
【解答】解：∵P（3+2a，2a+1）与点P′关于原点成中心对称，若点P′在第二象限，且a为整数，
∴3+2a＞02a+1＜0，
解得：−32＜a＜−12，即a＝﹣1，
当a＝﹣1时，所求方程化为2x+1x+1=3，
解得：x＝﹣2，
经检验x＝﹣2是分式方程的解，
则方程的解为﹣2．
故答案为x＝﹣2
【题型3 判断两个点是否关于原点对称】
【例3】（2022春·江苏·八年级专题练习）已知两点M1x1,y1,M2x2,y2，若x1+x2=0,y1+y2=0，则点M1与M2（ ）
A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．以上均不对
【答案】A
【分析】首先利用等式求出x1=−x2,y1=−y2, 然后可以根据横纵坐标的关系得出结果．
【详解】∵ x1+x2=0,y1+y2=0，
∴x1=−x2,y1=−y2,
∵两点M1x1,y1,M2x2,y2，
∴点M1与M2关于原点对称，
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中关于原点对称的点，属于基础题，利用等式找到点M1与M2横纵坐标的关系是解题关键．
【变式3-1】（2022秋·福建福州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，有A(5，-3)，B0，4，C-4，0，D(-5，3)四点，其中关于原点对称的两点为（ ）
A．点A和点BB．点B和点CC．点C和点DD．点D和点A
【答案】D
【分析】根据关于原点对称，横纵坐标都互为相反数，即可得出答案．
【详解】解：A、点A(5，-3)与点B0，4关于原点不对称，故此选项不符合题意；
B、点B0，4与点C-4，0关于原点不对称，故此选项不符合题意；
C、点C-4，0与点D(-5，3)关于原点不对称，故此选项不符合题意；
D、点A(5，-3)与点D(-5，3)关于原点对称，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了关于原点对称点的坐标，解题关键是掌握点Px,y关于原点O的对称点是P'-x,-y．
【变式3-2】（2022春·八年级课时练习）设点A与点B关于x轴对称，点A与点C关于y轴对称，则点B与点C（ ）
A．关于y轴对称B．关于x轴对称C．关于原点对称D．以上均不对
【答案】A
【分析】设点Ax,y ，根据题意可得：Bx,−y ，C−x,y ，从而得到点B与点C关于原点对称，即可求解．
【详解】解：设点Ax,y ，
∵点A与点B关于x轴的对称，点A与点C关于y轴对称，
∴Bx,−y ，C−x,y ，
∴点B与点C的横纵坐标均互为相反数，
∴点B与点C关于原点对称．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内关于坐标轴、原点对称的点的坐标特征，解题的关键是熟练掌握若两点关于x轴对称，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称横坐标互为相反数，纵坐标相同；关于原点对称，横纵坐标均互为相反数．
【变式3-3】（2022秋·广东深圳·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，将点A(－1，2)的横坐标，纵坐标都乘以－1，得到点A'，则点A与点A'的关系是（ ）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称
C．关于原点对称D．将点A向x轴负方向平移一个单位得点A'
【答案】A
【分析】先求出A'的坐标，与点A的坐标进行比较即可求解．
【详解】解：∵点A(－1，2)的横坐标，纵坐标都乘以－1，得到点A'，
∴点A'坐标为（1，-2），
∴A与A'关于原点对称．
【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点：横纵坐标都互为相反数，理解此知识点是解题关键．
【题型4 根据中心对称的性质判断正误】
【例4】（2022春·福建漳州·七年级统考期末）如图，△ADE与△CDB关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（ ）
A．AD=CDB．∠C=∠EC．AE=CBD．S△ADE=S△ADB
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的性质可得结论．
【详解】解：∵△ADE与△CDB关于点D成中心对称，
∴AD=CD，AE=CB，BD=ED
∴S△ADE=S△ADB
∴选项A、C、D正确，选项B错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等．
【变式4-1】（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，已知△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（ ）．
A．∠ABC=∠A'B'C'B．∠AOB=∠A'OB'
C．AB=A'B'D．OA=OB'
【答案】D
【分析】根据三角形和中心对称的性质求解，即可得到答案．
【详解】∵△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称
∴∠ABC=∠A'B'C'
∠AOB=∠A'OB'
AB=A'B'
OA=OA'
OB=OB'
∴OA=OB'错误，其他选项正确
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形和中心对称图形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形和中心对称图形的性质，从而完成求解．
【变式4-2】（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，线段AC与BD相交于点O，且△ABO和△CDO关于点O成中心对称，则下列结论，其中正确的个数是（ ）
①OB＝OD；②AB＝CD；③△ABO≌△CDO；④AC＝BD．
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据成中心对称的两个图形的性质解答．
【详解】解：∵△ABO和△CDO关于点O成中心对称，
∴△ABO≌△CDO，
∴OB＝OD，AB＝CD，
而AC＝BD不一定成立，
【点睛】此题考查成中心对称的两个图形的性质：成中心对称的两个图形全等，熟记性质是解题的关键．
【变式4-3】（2022春·江苏·八年级专题练习）如图，根据△ABC的已知条件，按如下步骤作图：
（1）以A圆心，AB长为半径画弧；
（2）以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点P；
（3）连接BP，与AC交于点O，连接AP、CP．
以下结论：①BP垂直平分AC；②AC平分∠BAP；③四边形ABCP是轴对称图形也是中心对称图形；④△ABC≌△APC，请你分析一下，其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．①③D．②④
【答案】D
【分析】由题意得：AB=AP，CB=CP，从而可判断①；根据等腰三角形的性质，可判断②；根据轴对称和中心对称图形的定义，可判断③；根据SSS，可判断④．
【详解】由题意得：AB=AP，CB=CP，
∴点A、C在BP的垂直平分线上，即：AC垂直平分BP，故①错误；
∵AB=AP，AC⊥BP，
∴AC平分∠BAP，故②正确；
∵AC垂直平分BP，
∴点B、P关于直线AC对称，即：四边形ABCP是轴对称图形，但不是中心对称图形，故③错误；
∵AB=AP，CB=CP，AC=AC，
∴△ABC≌△APC，故④正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的判定定理。等腰三角形的性质，轴对称图形和中心对称图形的定义，全等三角形的判定定理，熟练掌握上述判定定理和性质定理，是解题的关键．
【题型5 根据中心对称的性质求面积】
【例5】（2022秋·广东梅州·九年级校考期中）如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．20cm2B．15cm2C．10cm2D．25cm2
【答案】D
【详解】由图形可知，长方形的面积=10×4=40cm2，再根据中心对称的性质得，图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，则图中阴影部分的面积=12×40=20cm2，故选A．
【变式5-1】（2022秋·浙江台州·九年级校考期中）如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D.若OB=3,OD=2，则阴影部分的面积之和为____.
【答案】6；
【分析】根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．
【详解】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2，
∴AB=2，
∴阴影部分的面积之和为3×2=6．
故答案为6．
【点睛】在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【变式5-2】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为9，小正方形地砖面积为2，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD．则正方形ABCD的面积为_____________．
【答案】11
【分析】连接DK，DN，证明S四边形DMNT=S△DKN=14大正方形的面积，即可解决问题．
【详解】解：如图，连接DK，DN，
∵∠KDN=∠MDT=90°，
∴∠KDM=∠NDT，
∵DK=DN，∠DKM=∠DNT=45°，
∴△DKM≌△DNT（ASA），
∴S△DKM=S△DNT，
∴S四边形DMNT=S△DKN=14大正方形的面积，
∴正方形ABCD的面积=4×14×9+2=11．
故答案为：11．
【点睛】本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，图形的拼剪等知识，解题的关键连接DK，DN，构造全等三角形解决问题．
【变式5-3】（2022·全国·九年级专题练习）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设黑色部分的面积为S1，正方形的面积为S，则s1s=__．
【答案】π8
【分析】设正方形的边长为a，则正方形内切圆的直径为a，由正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，可得黑色部分的面积为S1=12×圆的面积，分别求得S1和S，即可求得结论.
【详解】设正方形的边长为a，则正方形内切圆的直径为a，
∵正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，
∴黑色部分的面积为S1=12×圆的面积=12π×（a2）2=πa28，
正方形的面积为S=a2，所以S1S=πa28a2=π8.
故答案为π8．
【点睛】本题主要考查了正方形的内切圆，根据对称性求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键．
【题型6 根据中心对称的性质求坐标】
【例6】（2022秋·广西玉林·九年级校考阶段练习）如图，将△ABC绕点C0,1旋转180°得到△A'B'C'，设点A的坐标为a,b，则点A'的坐标为（ ）
A．−a,−bB．−a,−b−1C．−a,−b+1D．−a,−b+2
【答案】D
【分析】设点A'的坐标是x，y，根据旋转变换的对应点关于旋转中心对称，再根据中点公式列式求解即可．
【详解】解：根据题意，点A、A'关于点C对称，
设点A'的坐标是x，y，
则a+x2=0，b+y2=1，
解得x=−a，y=−b+2，
∴点A'的坐标是−a,−b+2．
故选：D．
【点睛】本题考查了利用旋转进行坐标与图形的变化，根据旋转的性质得出点A、A'关于点C成中心对称是解题的关键，还需注意中点公式的利用，也是容易出错的地方．
【变式6-1】（2022秋·江苏南通·九年级校考期中）点A−1,−2绕点B1,0旋转180°得到点C，则点C坐标为_______________________．
【答案】3，2
【分析】过A、C两点向x轴作垂线，构造全等三角形，得到CF和AE相等，BF和BE相等，即可得到结果．
【详解】解：过点A作AE⊥x轴，过点C作CF⊥x轴，
∴∠AEB=∠CFB=90°，
由旋转性质可得AB=BC，
∵∠CBF=∠EBA，
∴△ABE≌△CFB
∴CF=AE，BF=EB，
又∵EB=2，
∴BF=2，CF=2，
∴OF=2+1=3，
∴C（3，2）
故答案为：（3，2）．
【点睛】本题考查旋转变换和三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线证明全等是解题的关键．
【变式6-2】（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）如图将△ABC绕点C0,−3旋转180°得到△A'B'C，设点A'的坐标为a,b，则A的坐标为（ ）
A．−a,−b−3B．−a,−b−6
C．−a,−b+1D．−a,−b−2
【答案】B
【分析】设A的坐标为m,n，由于A、A'关于C点对称，则m+a2=0，b+n2=−3．
【详解】解：设A的坐标为m,n，
∵A和A'关于点C0,−3对称．
∴m+a2=0，n+b2=−3，
解得m=−a，n=−b−6 ．
∴点A的坐标−a，−b−6 ．
【点睛】本题主要考查了一个关于一点成中心对称的问题，要根据中心对称的定义，且弄清中心对称的点的坐标特征．
【变式6-3】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，A0,1，B−1,0，C1,0，请确定一点D，使得以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，则点D的坐标可能是（ ）
A．0,−1B．2,1C．0,−2D．−1,1
【答案】A
【分析】根据各选项所给点的坐标判所构成的图形再进行判断即可．
【详解】A.若点D的坐标为（0，-1），则四边形ABDC是正方形，既是轴对称图形，也是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B. 若点D的坐标为（2，-1）,点A，点D，点C在同一条直线上，故此选项不符合题意；
C. 若点D的坐标为（0，-2），则四边形ABDC是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.若点D坐标为（-1，1），则四边形ADBC既不是轴对称图形，也不中心对称图形，故此选项不符合题意．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，轴对称图形和中心对称图形的识别，在坐标平面内准确画出图形是解决本题的关键．
【题型7 根据中心对称的性质求长度】
【例7】（2022秋·广西河池·九年级统考期中）如图所示的两个三角形是以点A为对称中心的中心对称图形，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BD的长度为 _____．
【答案】4
【分析】根据题意得△ABC是直角三角形，根据∠B=30°，AC=1，可求得AB，而BD=2AB，据此即可求解．
【详解】解：∵∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠B=30°，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∵所示的两个三角形是以点A为对称中心的中心对称图形，
∴BD=2AB=4，
故答案为：4．
【点晴】本题主要考查了直角三角形的性质，中心对称图形的性质，解题的关键是掌握这些知识点．
【变式7-1】（2022秋·福建福州·九年级校考期中）如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，已知∠BAO＝90°，AB=4，AO=3，则AD的长为_____．
【答案】213
【分析】根据△AOB与△COD关于点O成中心对称，推出AO=CO=3，CD=AB=4，∠C=∠BAO=90°，得到AC=6，根据勾股定理得到AD=AC2+CD2=213．
【详解】∵△AOB与△COD关于点O成中心对称，
∴AO=CO=3，CD=AB=4，∠C=∠BAO=90°，
∴AC=6，
∴AD=AC2+CD2=52=213，
故答案为：213．
【点睛】本题主要考查了中心对称，勾股定理等．解决问题的关键是熟练掌握中心对称的性质，勾股定理解直角三角形．中心对称的性质是成中心对称的两个图形全等，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对称线段共线或平行．
【变式7-2】（2022秋·湖北孝感·九年级校考期中）如图，O是正方形ABCD的中心，M是ABCD内一点，∠DMC=90°，将△DMC绕O点旋转180°后得到△BNA．若MD=3，CM=4，则MN的长为______．
【答案】2
【分析】延长BN交CM与E，判定△NME为等腰直角三角形，求出NE的长，再据勾股定理可计算得MN的长．
【详解】解：如下图
在正方形ABCD中
延长BN交CM于E，
由题意据中心对称的性质，得∠ABE=∠CDM，∠MDC与∠MCD互余，∠ABE与∠EBC互余
∴∠EBC=∠DCM；
同理可得∠MCB=∠ABN
又∠ABN=∠CDM
∴∠MCB=∠MDC
又BC=CD
∴△BEC≌△CMD
∴∠BEC=∠CMD=90° BE=CM=4 CE=DM=3
∴ME=CM-CE=1，NE=BE-BN=1
所以△MNE为等腰直角三角形，且∠NEM是直角，ME=NE=1，由勾股定理得MN=NE2+ME2=2
故答案为：2．
【点睛】此题考查综合运用中心对称的性质解决问题．其关键是要运用中心对称的性质找全等条件，证明△BEC≌△CMD．
【变式7-3】（2022春·江苏淮安·八年级阶段练习）在等腰直角△ABC中，∠C=90∘，BC=2cm，如果以AC的中点D为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点B落在点B'处，则DB'的长度为______.
【答案】5cm
【分析】在Rt△DBC中利用勾股定理即可求得DB的长度，DB′=DB，据此即可求解．
【详解】如图：
在直角△DBC中,DC=12AC=12BC=1cm,则DB=DC2+BC2=5，
则DB'=DB=5cm.
故答案为5cm.
【点睛】考查旋转的性质以及勾股定理，画出图形，数形结合是解题的关键.
【题型8 中心对称图形规律问题】
【例8】（2022春·河北保定·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，1），−1,0．一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称：第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P6与点P4关于点B成中心对称；…，照此规律重复下去，则点P2013的坐标为（ ）
A．（2，2）B．−2,2C．0,−2D．−2,0
【答案】A
【分析】计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2013的坐标．
【详解】解：∵点P1与点O关于点A成中心对称，
∴P1(2，0)，
过P2作P2D⊥OB于点D，
∵P2与点P1关于点B成中心对称，
∴P1B=P2B，
在△P1BO和△P2BD中
∠P1BO=∠P2BD∠P1OB=∠P2DBP1B=P2B，
∴△P1BO≌△P2BD，
∴P2D=P1O=2，BD=BO=1，
∴OD=2，
∴P2(-2，2)，
同理可求：P3(0，-2)，P4(2，2)，P5(-2，0)，P6(0，0)，P7(2，0)，
从而可得出6次一个循环，
∵20136=335…3，
∴点P2013的坐标为(0，-2)．
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，以及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．
【变式8-1】（2023秋·河北保定·八年级校考期末）已知点Ex0,y0，点Fx2,y2，点Mx1,y1是线段EF的中点，则x1=x0+x22，y1=y0+y22．在平面直角坐标系中有三个点A1,−1，B−1,−1，C0,1，点P0,2关于点A的对称点P1（即P，A，P1三点共线，且PA=P1A），P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，…按此规律继续以A，B，C三点为对称点重复前面的操作．依次得到点P4，P5，P6…，则点P2022的坐标是（ ）
A．0,2B．2,0C．2,−4D．−4,2
【答案】D
【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解．
【详解】解：由题意，P12,−4，P2−4,2，P34,0，P4−2,−2，P50,0，P60,2，P72,−4， ……
可得每6次为一个循环，
∵2022÷6=337，
∴点P2022的坐标是0,2，
【点睛】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律．
【变式8-2】（2022春·山东青岛·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为1,1，3,0，2,−1．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，使得点M1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点M2，使得点M2与点M1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点M3，使得点M3与点M2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点M4，使得点M4与点M3关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点M2022的坐标是_________．
【答案】0，0
【分析】先求出点M1、M2、M3的坐标，发现每三个点循环一次，即每跳动三次就会回到原点O，用2022÷3=674，所以M2022正好在原点，即可得出M2022的坐标．
【详解】解：∵点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，点M1与点O关于点A成中心对称，点A的坐标为（1，1），
∴点M1的坐标为（2，2），
∵点M2与点M1关于点B成中心对称，点B的坐标为（3，0），
∴点M2的坐标为（4，-2），
∵点M3与点M2关于点C成中心对称，点C的坐标为（2，-1），
∴点M3的坐标为（0，0），
∴点M3又回到了原点，
∴按照此规律跳跃，每三个点循环一次，
∵2022÷3=674，
∴点M2022正好在原点，
∴点M2022的坐标为（0，0）．
故答案为：（0，0）．
【点睛】本题主要考查了规律探究、点的坐标以及中心对称的性质，找出变化规律，确定每3个点循环一次是解题的关键．
【变式8-3】（2022秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为1的等边三角形，作△B1A2B2与△B1A1O关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，继续作△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，…．按此规律作下去，则△B2021A2022B2022的顶点A2022的坐标是__________．
【答案】40432,32
【分析】首先根据△OA1B1是边长为1的等边三角形，可得A1的坐标为12,−32，B1的坐标为（1，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n＋1的坐标是多少即可．
【详解】解：∵△OA1B1是边长为1的等边三角形，
∴A1的坐标为：12,−32，B1的坐标为：（1，0），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×1−12＝32，
∴点A2的坐标是：32,32，
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵3×1−12＝52
∴点A3的坐标是：52,−32，
∴An的横坐标是：n−12，当n为奇数时，An的纵坐标是：−32，当n为偶数时，An的纵坐标是：32，
∵2022是偶数，2022−12=40432
∴A2022的坐标是40432,32，
故答案为：40432,32．
【点睛】此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出An的横坐标和纵坐标是解题的关键．
【题型9 格点中作中心对称图形】
【例9】（2022春·江西吉安·八年级统考期末）如图是6×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图．
(1)在图1中，作出△ABC关于点O的中心对称图形；
(2)在图2中，取一个格点D，在BC下方作一个与△ABC面积相等的△DBC．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据中心对称图形的定义确定对称点，连线即可得到对称图形；
（2）设BC的中点为O，利用等腰三角形的性质及中心对称图形的性质得到点D，连线即可．
（1）
解：如图，△A1B1C1为与△ABC关于点O的中心对称图形；
（2）
如图，△BCD即为所求．
【点睛】此题考查了画中心对称图形，中心对称图形的性质，等腰三角形性质的理解，正确理解中心对称的性质是解题的关键．
【变式9-1】（2022春·重庆黔江·七年级统考期末）如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，ΔABC与ΔA1B1C1构成中心对称图形．
(1)画出此中心对称图形的对称中心O；
(2)画出将ΔA1B1C1，沿直线DE方向向上平移5格得到的ΔA2B2C2；
(3)要使ΔA2B2C2与ΔCC1C2重合，则ΔA2B2C2绕点C2顺时针方向旋转，至少要旋转 度？(不要求证明)
(4)求ΔCC1C2的面积
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)90
(4)5
【分析】（1）对应点连线的交点即为旋转中心；
（2）利用平移变换的性质分别作出点A1,B1,C1的对应点A2,B2,C2即可；
（3）利用旋转变换的性质判断即可；
（4）根据三角形面积公式求解．
（1）
解：如图，连接BB1,CC1交于点O，则点O即为所求；
（2）
解：如图，ΔA2B2C2即为所求；
（3）
解：根据题意得：要使ΔA2B2C2与ΔCC1C2重合，则ΔA2B2C2绕点C2顺时针方向旋转，至少要旋转90度．
故答案为：90；
（4）
解：ΔCC1C2的面积为12×5×2=5．
【点睛】本题考查作图——旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
【变式9-2】（2022春·重庆沙坪坝·七年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图并填空．
(1)将四边形ABCD向右平移5个单位长度，得到四边形A1B1C1D1；
(2)作四边形ABCD关于点O成中心对称的四边形A2B2C2D2；
(3)ΔAA1A2的面积为___________．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)5
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C、D的对应点A1、B1、C1、D1即可；
（2）利用网格特点和中心对称的性质画出A、B、C、D的对应点A2、B2、C2、D2即可；
（3）根据三角形面积公式计算．
（1）
如图，四边形A1B1C1D1为所作；
（2）
如图，四边形A2B2C2D2为所作；
（3）
ΔAA1A2的面积＝12×5×2＝5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了作图−旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
【变式9-3】（2022春·河南新乡·七年级统考期末）如图，在边长为1个单位长度的8×8的小正方形网格中
(1)将△ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，作出平移后的△A'B'C'；
(2)请画出△A″B″C'，使△A″B″C'和△A'B'C'关于点C'成中心对称
(3)直接写出△A'A″B″的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)S△A'B″A″=3
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）分别作出A′，B′的对应点A″，B″即可．
（3）利用三角形面积公式即可．
（1）
解：如图，△A′B′C′即为所求．
（2）
如图，△A″B″C′即为所求．
（3）
S△A′B″A″=12×2×3=3．
【点睛】本题考查了中心对称作图，平移变换作图等知识，掌握平移的性质，中心对称的性质是解题的关键．
【题型10 补全图形使之成为中心对称图形】
【例10】（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校联考期末）图1、图2是8×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画出以AB为一边的成中心对称的四边形ABCD，使其面积为12；
(2)在图2中画出一个以EF为一边的△EFG，使其是面积为152的轴对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作以AB为边且BC边长为4高为3的平行四边形即可得；
（2）根据等腰三角形的腰为5，腰上的高为3，进行画图即可．
（1）解：如图1，▱ABCD即为所求；
（2）解：如图2，等腰△EFG即为所求．
【点睛】本题主要考查了利用图形的基本变换进行作图，作图时需要运用平行四边形的性质以及等腰三角形的性质进行计算，熟知平行四边形是中心对称图形，等腰三角形是轴对称图形是解题的关键．
【变式10-1】（2022秋·吉林松原·九年级统考期中）画图题（按要求画出图形，图①和②都是边长为1个单位的正方形组成）
(1)在图①涂黑一个小正方形和原阴影图形构成中心对称图形．
(2)在图②画出关于直线AC对称的△AB1C再绕点A逆时针旋转90°的△AB2C1．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的图形即可；
（2）利用轴对称图形的性质及旋转的性质得出对应点的位置，进而得出答案．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：如图，
【点睛】本题考查了旋转变换，轴对称变换，中心对称图形，正确得出对应点的位置是解题的关键．
【变式10-2】（2022秋·北京东城·九年级校考期中）按照要求画图：
(1)如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为(−1,3),(−4,1),(−2,1)，将△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，点A,B,C的对应点为点A1,B1,C1．画出旋转后的△A1B1C1；
(2)下列3×3网格都是由9个相同小正方形组成，每个网格图中有3个小正方形已涂上阴影，请在余下的6个空白小正方形中，选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形（画出两种即可）．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置即可得出答案；
（2）利用中心对称图形的性质的出符合题意的答案即可．
【详解】（1）解：如下图，△A1B1C1即为所求；
（2）解：在余下的空白小正方形中选取1个涂上阴影，使4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，如下图所示．
【点睛】本题主要考查了图形旋转以及中心对称图形的知识，熟练掌握旋转的性质以及中心对称图形的定义是解题关键．
【变式10-3】（2022春·陕西咸阳·八年级校联考期中）如图1，是由4个全等的正方形组成的L型图案，请你分别在图2，图3中按下列要求画图：
(1)将图2中的L型图案，添加1个正方形，使它是中心对称图形（不能是轴对称图形）；
(2)将图1的L型图案，改变1个正方形的位置，从而得到一个新的图形，使新图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，请在图3中画出改变后的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据轴对称图形的性质，先找出对称轴，再思考如何画图；
（2）根据中心对称和轴对称的性质画一个图形．
（1）
解：如图2所示．
；
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