数学八年级下册1 因式分解综合训练题

这是一份数学八年级下册1 因式分解综合训练题，共19页。

考试时间：60分钟；满分：100分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋·山西大同·八年级统考期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解并且正确的是（ ）
A．x2−x+1=x−12B．a+ba−b=a2−b2
C．x3−4x=xx+2x−2D．x2+2x−1=xx+2−1
2．（3分）（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）已知a+b=−3,ab=7，则多项式a2b+ab2−a−b的值为（ ）
A．24B．18C．−24D．−18
3．（3分）（2022秋·陕西渭南·八年级统考期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x−y，a−b，2，x2−y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2ax2−y2−2bx2−y2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱我中华B．我游中华C．中华美D．我爱游
4．（3分）（2022秋·山东滨州·八年级统考期末）下列各式：①−x2−y2；②−14a2b2+1；③a2+ab+b2；④−x2+2xy−y2；⑤14−mn+m2n2，能用公式法分解因式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
5．（3分）（2022春·河北唐山·七年级统考期末）在多项式16x2+1添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是（ ）
嘉琪：添加±8x，16x2+1±8x=4x±12
陌陌：添加64x4，64x4+16x2+1=8x2+12
嘟嘟：添加−1，16x2+1−1=16x2=4x2
A．嘉琪和陌陌的做法正确B．嘉琪和嘟嘟的做法正确
C．陌陌和嘟嘟的做法正确D．三位同学的做法都不正确
6．（3分）（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）已知x2+x+1=0，则x2021+x2020+x2019+⋯+x+1的值是( )
A．0B．1C．－1D．2
7．（3分）（2022春·浙江宁波·七年级校联考期末）下列各数中，不能整除803−80的是（ ）
A．78B．79C．80D．81
8．（3分）（2022春·河北唐山·七年级统考期末）已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，a2+b2≠c2，是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
9．（3分）（2022秋·河南周口·八年级校考期末）设m、n是实数，定义一种新运算：m⊗n=(m−n)2．下面四个推断正确的是（ ）
A．m⊗n=n⊗mB．(m⊗n)2=m2⊗n2
C．(m⊗n)⊗p=m⊗(n⊗p)D．m⊗(n−p)=(m⊗n)−(m⊗p)
10．（3分）（2022秋·广东广州·七年级统考期末）满足(a−b)2+(b−a)⋅a−b=ab(ab≠0)的有理数a和b，一定不满足的关系是（ ）
A．ab<0B．ab>0C．a+b>0D．a+b<0
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022秋·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校联考期末）分解因式：(x−5)(3x−2)−3(x−5)=___________
12．（3分）（2022秋·北京大兴·八年级统考期末）请你写出一个整式A，使得多项式x2+A能因式分解，这个整式A可以是___________．
13．（3分）（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）若2x+1是多项式2x2+5x+m的一个因式，则m=______．
14．（3分）（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）甲、乙两个同学分解因式x2+mx+n时，甲看错了m，分解结果为(x+9)(x−2)；乙看错了n，分解结果为(x−5)(x+2)，则正确的分解结果为_____．
15．（3分）（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：x+y2+2x+y+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=A+12．
再将“A”还原，得原式=x+y+12．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请利用上述方法将a2+b2a2+b2−4−5分解因式的结果是___________．
16．（3分）（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）若a、b是△ABC的两条边的长度，且满足a2+b2−6a−8b=−25，则△ABC面积的最大值是__________．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022秋·山东·八年级统考期末）因式分解：（1）12xyz−6x2y2
（2）−a4+25
（3）2a−b2+8ab
（4）a2+2ab+2ac+b+c2
18．（6分）（2022秋·河南鹤壁·八年级校考期中）下面是某同学对多项式x2−3x+4x2−3x+6+1进行因式分解的过程．
解：设x2−3x=m
原式=m+4m+6+1（第一步）
=m2+10m+25（第二步）
=m+52（第三步）
=x2−3x+52（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的___________．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式x2+2xx2+2x+6+9进行因式分解．
19．（8分）（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）分解因式x2−4y2−2x+4y，观察发现，前两项符合平方差公式，后两项可以提公因式，变可以将式子因式分解，过程如下：x2−4y2−2x+4y=x+2yx−2y−2x−2y=x−2y+x+2y−2，这样的因式分解方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)因式分解：a2+5a−b2−5b；
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足a2−ab−ac+bc=0，判断△ABC的形状．
20．（8分）（2022秋·江西赣州·八年级统考期末）仔细阅读下面的例题：
例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为x+n，得x2+5x+m=(x+2)(x+n)，
则x2+5x+m=x2+(n+2)x+2n，
∴n+2=5，m=2n，
解得n=3，m=6，
∴另一个因式为x+3，m的值为6．
依照以上方法解答下列问题：
（1）若二次三项式x2−5x+4可分解为(x−1)(x+a)，则a=________；
（2）若二次三项式2x2+bx−6可分解为(2x+3)(x−2)，则b=________；
（3）已知二次三项式2x2+9x−k有一个因式是2x−1，求另一个因式以及k的值．
21．（8分）（2022秋·河南周口·八年级校考期末）如图，用一张如图A的正方形硬纸板、三张如图B的长方形硬纸板、两张如图C的正方形硬纸板拼成一个长方形（如图D）．
(1)请用不同的式子表示图D的面积（写出两种即可）；
(2)根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式．
22．（8分）（2022秋·安徽芜湖·七年级统考期末）在小学我们学习过：对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除
(1)请你判断112233______（填能或不能）被3整除；
(2)为什么可以用各数位上的数字之和判断一个数能不能被3整除呢？小明先选了一个能被3整除的四位数“1326”试着进行推理：
现在，设abcd是四位数，其个位、十位、百位、千位上的数字分别是d，c，b，a，请你借鉴小明的思路，证明：若“a+b+c+d”能被3整除，则abcd能被3整除；
(3)定义：一个自然数按从右往左的第1、3、5、7、…数位，我们称为奇位，按从右往左的第2、4、6、8、… 1326=1000×1+100×3+10×2+1×6
=999+1×1+99+1×3+9+1×2+6
=999×1+99×3+9×2+1+3+2+6
∵“3333×1+33×3+3×2”能被3整除，
∴当“1+3+2+6”能被3整除，原数就能被3整除．
第4章 因式分解章末题型过关卷
【北师大版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2022秋·山西大同·八年级统考期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解并且正确的是（ ）
A．x2−x+1=x−12B．a+ba−b=a2−b2
C．x3−4x=xx+2x−2D．x2+2x−1=xx+2−1
【答案】A
【分析】根据多项式因式分解的意义，逐个判断得结论．
【详解】解：A、左右两边不相等，故此选项错误，不符合题意；
B、整式的乘法，故此选项错误，不符合题意；
C、把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项正确，符合题意；
D、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项错误，不符合题意，
【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题的关键是掌握因式分解的概念：把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解后左边和右边是相等的，不能凭空想象右边的式子．
2．（3分）（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）已知a+b=−3,ab=7，则多项式a2b+ab2−a−b的值为（ ）
A．24B．18C．−24D．−18
【答案】D
【分析】先将a2b+ab2−a−b进行因式分解，然后整体代入求值即可．
【详解】解：∵a+b=−3,ab=7，
∴a2b+ab2−a−b
=ab(a+b)−(a+b)
=(a+b)(ab−1)
=(−3)×(7−1)
=−18．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值以及因式分解的应用，解决本题关键是正确完成分解因式．
3．（3分）（2022秋·陕西渭南·八年级统考期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x−y，a−b，2，x2−y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2ax2−y2−2bx2−y2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱我中华B．我游中华C．中华美D．我爱游
【答案】D
【分析】先对2ax2−y2−2bx2−y2进行因式分解，再根据题意，即可得到答案．
【详解】∵2ax2−y2−2bx2−y2
=2x2−y2a−b=2x−yx+ya−b，
∴信息中的汉字有：华、我、爱、中．
∴结果呈现的密码信息可能为：爱我中华．
【点睛】本题主要考查多项式的因式分解，掌握提取公因式法和公式法分解因式，是解题的关键．
4．（3分）（2022秋·山东滨州·八年级统考期末）下列各式：①−x2−y2；②−14a2b2+1；③a2+ab+b2；④−x2+2xy−y2；⑤14−mn+m2n2，能用公式法分解因式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】利用平方差公式与完全平方公式逐一把各因式分解因式，从而可得答案.
【详解】解：−x2−y2不能分解因式，故①不符合题意；
−14a2b2+1=12−12ab2=1+12ab1−12ab,故②符合题意；
a2+ab+b2不能分解因式，故③不符合题意；
−x2+2xy−y2=−x2−2xy+y2=−x−y2,故④符合题意；
14−mn+m2n2=12−mn2,故⑤符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是利用公式法分解因式，掌握“平方差公式与完全平方公式分解因式”是解本题的关键.
5．（3分）（2022春·河北唐山·七年级统考期末）在多项式16x2+1添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，则下列表述正确的是（ ）
嘉琪：添加±8x，16x2+1±8x=4x±12
陌陌：添加64x4，64x4+16x2+1=8x2+12
嘟嘟：添加−1，16x2+1−1=16x2=4x2
A．嘉琪和陌陌的做法正确B．嘉琪和嘟嘟的做法正确
C．陌陌和嘟嘟的做法正确D．三位同学的做法都不正确
【答案】D
【分析】利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：添加±8x，16x2+1±8x=4x±12，故嘉琪的表述是正确的；
添加64x4，64x4+16x2+1=8x2+12，故陌陌的表述是正确的；
嘟嘟的表述不是完全平方公式，故是错误的，
故选：A
【点睛】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
6．（3分）（2022秋·湖北十堰·八年级统考期末）已知x2+x+1=0，则x2021+x2020+x2019+⋯+x+1的值是( )
A．0B．1C．－1D．2
【答案】D
【分析】把x2021+x2020+x2019+⋯+x+1分组，每三个数作为一组，再每组提取公因式，再整体代入求值即可．
【详解】解：∵x2+x+1=0，而2021+13=674,
∴x2021+x2020+x2019+⋯+x+1
=(x2021+x2020+x2019)+···+(x2+x+1)
=x2019(x2+x+1)+···+(x2+x+1)
=0.
故选A
【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法的逆用，因式分解的应用，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“把要求值的代数式进行分组，再提取公因式分解因式”是解本题的关键．
7．（3分）（2022春·浙江宁波·七年级校联考期末）下列各数中，不能整除803−80的是（ ）
A．78B．79C．80D．81
【答案】D
【分析】直接利用提取公因式以及平方差公式分解因式，进而得出答案．
【详解】解：803﹣80
＝80×（802﹣1）
＝80×（80+1）×（80﹣1）
＝80×81×79，
故不能整除803﹣80的是78，
【点睛】本题主要考查了提取公因式以及平方差公式分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
8．（3分）（2022春·河北唐山·七年级统考期末）已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2−b2c2=a4−b4，a2+b2≠c2，是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰或直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】先等式右边移项，再将等式左边分解因式可求得a2=b2或a2+b2=c2，由a2+b2≠c2，可得a=b，进而判定三角形的形状．
【详解】解：∵a2c2−b2c2=a4−b4，
∴c2(a2−b2)=(a2+b2)(a2−b2)，
∴c2(a2−b2)−(a2+b2)(a2−b2)=0，
∴(a2−b2)[c2−(a2+b2)]=0，
∴a2−b2=0或c2−(a2+b2)=0，
∴a2=b2或a2+b2=c2，
∵a2+b2≠c2，
∴a2=b2，
∴a=b（舍去负值），
∴△ABC是等腰三角形．
【点睛】本题主要考查因式分解的应用，等腰三角形的判定，将等式化为a2=b2或a2+b2=c2是解题的关键．
9．（3分）（2022秋·河南周口·八年级校考期末）设m、n是实数，定义一种新运算：m⊗n=(m−n)2．下面四个推断正确的是（ ）
A．m⊗n=n⊗mB．(m⊗n)2=m2⊗n2
C．(m⊗n)⊗p=m⊗(n⊗p)D．m⊗(n−p)=(m⊗n)−(m⊗p)
【答案】D
【分析】各式利用题中的新定义判断即可．
【详解】解：根据题中的新定义得：
A．m⊗n=m−n2，n⊗m=n−m2，故推断正确；
B．(m⊗n)2=m−n22=m−n4，m2⊗n2=m2−n22=m+nm−n2=m+n2m−n2，故推断不正确；
C．(m⊗n)⊗p=m−n2⊗p=m−n2−p2，m⊗(n⊗p)=m⊗n−p2=m−n−p22，故推断不正确；
D．m⊗(n−p)=m−n−p2=m−n+p2，(m⊗n)−(m⊗p)=m−n2−m−p2=m−n+m−pm−n−m−p=2m−n−pp−n，故推断不正确．
【点睛】此题考查了整式的运算和因式分解，弄清题中的新定义是解本题的关键．
10．（3分）（2022秋·广东广州·七年级统考期末）满足(a−b)2+(b−a)⋅a−b=ab(ab≠0)的有理数a和b，一定不满足的关系是（ ）
A．ab<0B．ab>0C．a+b>0D．a+b<0
【答案】D
【分析】分a＞b与a＜b两种情况讨论，针对这两种情况运用完全平方式、去绝对值符号，进行因式分解，进一步利用不等式的性质求解即可．
【详解】解：①当a＞b时，则a−b2+b−a⋅a−b=a−b2+b−aa−b=a−b2−a−b2=0=ab，与ab≠0矛盾，故排除；
②当a＜b时，则a−b2+b−a⋅a−b=a−b2+b−ab−a=2a−b2=ab，
∴2a2−4ab+2b2=ab，
∴2a2−5ab+2b2=0，
∴（2a−b）（a−2b）＝0，
∴2a＝b或a＝2b，
当b＝2a且a＜b时，则b−a＝a＞0，
∴b＞a＞0，
∴可能满足的是ab＞0，a＋b＞0；
当a＝2b且a＜b时，则a−b＝b＜0，
∴a＜b＜0，
∴可能满足的是：ab＞0，a＋b＜0，
故一定不能满足关系的是ab＜0，
【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，不等式的性质．本题的切入点是就a、b的大小讨论，再分解因式利用不等式的性质求解．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2022秋·上海徐汇·七年级上海市徐汇中学校联考期末）分解因式：(x−5)(3x−2)−3(x−5)=___________
【答案】(x−5)(3x−5)##3x−5x−5
【分析】提取公因式x−5，同类项合并即可解得．
【详解】(x−5)(3x−2)−3(x−5)
=(x−5)(3x−2−3)
=(x−5)(3x−5)
【点睛】此题考查了分解因式，解题的关键是熟悉提取公因式法．
12．（3分）（2022秋·北京大兴·八年级统考期末）请你写出一个整式A，使得多项式x2+A能因式分解，这个整式A可以是___________．
【答案】2x+1（答案不唯一）
【分析】直接逆用完全平方公式即可求解．
【详解】解：∵完全平方公式的一般形式：a+b2=a2+2ab+b2，
当A=2x+1时，x2+A=x2+2x+1=x+12，
故答案为：2x+1（答案不唯一）．
【点睛】本题考查多项式的因式分解，解题的关键是熟练掌握多项式的因式分解的方法．
13．（3分）（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）若2x+1是多项式2x2+5x+m的一个因式，则m=______．
【答案】2
【分析】设多项式2x2+5x+m的另一个因式是ax+b，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的乘积的形式，计算对比得出答案．
【详解】解：设多项式2x2+5x+m的另一个因式是ax+b，
∴2x+1ax+b=2ax2+2b+ax+b=2x2+5x+m，
∴2a=2，2b+a=5，即a=1，b=2，m=b，
∴m=2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，利用整式的系数得出另一个因式是解决问题的关键．
14．（3分）（2022秋·湖北荆州·八年级统考期末）甲、乙两个同学分解因式x2+mx+n时，甲看错了m，分解结果为(x+9)(x−2)；乙看错了n，分解结果为(x−5)(x+2)，则正确的分解结果为_____．
【答案】(x−6)(x+3)
【分析】根据题意分别运算(x+9)(x−2)和(x−5)(x+2)，确定m、n的值，然后进行因式分解即可．
【详解】解：∵甲看错了m，分解结果为(x+9)(x−2)，
∴由(x+9)(x−2)=x2+7x−18，可知 n=−18，
又∵乙看错了n，分解结果为(x−5)(x+2)，
∴由(x−5)(x+2)=x2−3x−10，可知m=−3，
∴x2+mx+n=x2−3x−18，
∵x2−3x−18=(x−6)(x+3)，
∴正确的分解结果为(x−6)(x+3)．
故答案为：(x−6)(x+3)．
【点睛】本题主要考查了整式乘法运算以及因式分解的知识，解决本题的关键是理解题意，求出m、n的值．
15．（3分）（2022秋·湖北孝感·八年级统考期末）先阅读下列材料，再解答下列问题：
材料：因式分解：x+y2+2x+y+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y=A，则原式=A2+2A+1=A+12．
再将“A”还原，得原式=x+y+12．上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请利用上述方法将a2+b2a2+b2−4−5分解因式的结果是___________．
【答案】a2+b2−5a2+b2+1
【分析】令A=a2+b2，代入后因式分解后，再将A还原即可得到答案．
【详解】解：令A=a2+b2，
则原式=AA−4−5=A2−4A−5=A−5A+1，
再将A还原，原式=a2+b2−5a2+b2+1，
故答案为：a2+b2−5a2+b2+1．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，理解题意，掌握整体思想解决问题的方法．
16．（3分）（2022秋·山东济宁·八年级校考期末）若a、b是△ABC的两条边的长度，且满足a2+b2−6a−8b=−25，则△ABC面积的最大值是__________．
【答案】6
【分析】利用因式分解得到a−32+b−42=0，利用非负性，求出a,b的值，再根据两条边互相垂直时，三角形的面积最大，进行求解即可．
【详解】解：∵a2+b2−6a−8b=−25，
∴a2+b2−6a−8b+25=0
∴a−32+b−42=0，
∵a−32≥0,b−42≥0，
∴a−3=0,b−4=0，
∴a=3,b=4，
设：AC=b,BC=a，
∵直角三角形的斜边大于直角边，
∴BC边上高≤AC，
∴当AC⊥BC时，△ABC的面积最大，最大值为12ab=12×3×4=6；
故答案为：6．
【点睛】本题考查因式分解的应用，以及非负性．熟练掌握因式分解的方法，以及非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2022秋·山东·八年级统考期末）因式分解：（1）12xyz−6x2y2
（2）−a4+25
（3）2a−b2+8ab
（4）a2+2ab+2ac+b+c2
【答案】（1）6xy(2z-xy);（2）(5+a2)(5+a)(5-a);（3）(2a+b)2;(4)(a+b+c)2.
【分析】（1）原式提取公因式即可得到结果；
（2）原式变形后，连续用平方差公式分解即可得到结果；
（3）原式变形后，用完全平方公式分解因式即可；
（4）原式使用分组分解，二三项分为一组提取公因式后即可用完全平方公式得到结果；
【详解】解：（1）12xyz−6x2y2，
=6xy(2z−xy).
（2）−a4+25，
=25−a4，
=(5+a2)(5−a2)，
=(5+a2)(5+a)(5−a)
（3）2a−b2+8ab，
=4a2−4ab+b2+8ab，
=4a2+4ab+b2，
=(2a+b)2.
（4）a2+2ab+2ac+b+c2
=a2+2a(b+c)+b+c2，
=a+b+c2.
【点睛】此题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．（6分）（2022秋·河南鹤壁·八年级校考期中）下面是某同学对多项式x2−3x+4x2−3x+6+1进行因式分解的过程．
解：设x2−3x=m
原式=m+4m+6+1（第一步）
=m2+10m+25（第二步）
=m+52（第三步）
=x2−3x+52（第四步）
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的___________．
A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式
(2)请你模仿以上方法尝试对多项式x2+2xx2+2x+6+9进行因式分解．
【答案】(1)C
(2)x2+2x+32
【分析】（1）根据完全平方公式即可解答；
（2）设x2+2x=m，则原式转化为mm+6+9，分解因式得m+32，最后回代即可求解．
【详解】（1）解：∵m2+10m+25=m+52，
∴该同学第二步到第三步运用了因式分解的完全平方公式．
故选：C
（2）解：设x2+2x=m，
原式=mm+6+9
=m2+6m+9
=m+32
=x2+2x+32．
【点睛】本题考查了利用完全平方公式因式分解，换元法等知识，熟知完全平方公式，理解题目中示例是解题关键．
19．（8分）（2022秋·贵州遵义·八年级统考期末）分解因式x2−4y2−2x+4y，观察发现，前两项符合平方差公式，后两项可以提公因式，变可以将式子因式分解，过程如下：x2−4y2−2x+4y=x+2yx−2y−2x−2y=x−2y+x+2y−2，这样的因式分解方法叫做分组分解法，利用这种方法解决下列问题：
(1)因式分解：a2+5a−b2−5b；
(2)已知△ABC的三边a，b，c满足a2−ab−ac+bc=0，判断△ABC的形状．
【答案】(1)a+b+5a−b
(2)△ABC是等腰三角形或等边三角形，理由见解析
【分析】（1）第一项和第三项可以用平方差公式分解因式，第四项和第二项可以提公因数分解因式，据此求解即可；
（2）先把所给条件式分解因式得到a−ca−b=0，即可得到a=b或a=c，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：a2+5a−b2−5b
=a2−b2+5a−b
=a+ba−b+5a−b
=a+b+5a−b；
（2）解：△ABC是等腰三角形或等边三角形，理由如下：
∵a2−ab−ac+bc=0，
∴a2−ab−ac−bc=0，
∴aa−b−ca−b=0，
∴a−ca−b=0，
∴a−c=0或a−b=0，
∴a=b或a=c，
∴当a=b，a≠c时，△ABC是等腰三角形；当a=c，a≠b时，△ABC是等腰三角形；当a=b，a=c时，△ABC是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了分解因式，因式分解的应用，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，熟知分解因式的方法是解题的关键．
20．（8分）（2022秋·江西赣州·八年级统考期末）仔细阅读下面的例题：
例题：已知二次三项式x2+5x+m有一个因式是x+2，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为x+n，得x2+5x+m=(x+2)(x+n)，
则x2+5x+m=x2+(n+2)x+2n，
∴n+2=5，m=2n，
解得n=3，m=6，
∴另一个因式为x+3，m的值为6．
依照以上方法解答下列问题：
（1）若二次三项式x2−5x+4可分解为(x−1)(x+a)，则a=________；
（2）若二次三项式2x2+bx−6可分解为(2x+3)(x−2)，则b=________；
（3）已知二次三项式2x2+9x−k有一个因式是2x−1，求另一个因式以及k的值．
【答案】（1）−4；（2）−1；（3）另一个因式为x+5，k的值为5．
【分析】（1）将(x−1)(x+a)展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值；
（2）（2x+3）（x﹣2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值；
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），可知2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，继而求出n和k的值及另一个因式．
【详解】解：（1）∵(x−1)(x+a)＝x2+（a﹣1）x﹣a＝x2−5x+4，
∴a﹣1＝﹣5，
解得：a＝﹣4；
故答案是：﹣4
（2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣x﹣6＝2x2+bx﹣6，
∴b＝﹣1．
故答案是：﹣1．
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），
则2x2+9x﹣k＝2x2+（2n﹣1）x﹣n，
∴2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，
解得n＝5，k＝5，
∴另一个因式为x+5，k的值为5．
【点睛】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．
21．（8分）（2022秋·河南周口·八年级校考期末）如图，用一张如图A的正方形硬纸板、三张如图B的长方形硬纸板、两张如图C的正方形硬纸板拼成一个长方形（如图D）．
(1)请用不同的式子表示图D的面积（写出两种即可）；
(2)根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式．
【答案】(1)a+ba+2b，a2+3ab+b2
(2)a2+3ab+b2=a+ba+2b
【分析】（1）图D的面积可以看做一个大长方形面积；也可以看做一个边长为a的正方形，三个长为a宽为b的小长方形，两个边长为b的正方形面积之和；
（2）根据图D的面积不同求法结合因式分解的定义即可求解．
【详解】（1）解：图D的面积可以看做一个长为a+2b，宽为a+b的长方形的面积：a+ba+2b，也可以看做一个边长为a的正方形，三个长为a宽为b的小长方形，两个边长为b的正方形面积之和：a2+3ab+b2；
（2）解：由（1）得a2+3ab+b2=a+ba+2b．
【点睛】本题考查了因式分解的几何背景，用不同式子表示出图D的面积是解题关键，注意因式分解是“将一个多项式化为几个整式的积的形式”，不要写反了．
22．（8分）（2022秋·安徽芜湖·七年级统考期末）在小学我们学习过：对于一个整数，如果它的各个数位上的数字和可以被3整除，那么这个数就一定能够被3整除
(1)请你判断112233______（填能或不能）被3整除；
(2)为什么可以用各数位上的数字之和判断一个数能不能被3整除呢？小明先选了一个能被3整除的四位数“1326”试着进行推理：
现在，设abcd是四位数，其个位、十位、百位、千位上的数字分别是d，c，b，a，请你借鉴小明的思路，证明：若“a+b+c+d”能被3整除，则abcd能被3整除；
(3)定义：一个自然数按从右往左的第1、3、5、7、…数位，我们称为奇位，按从右往左的第2、4、6、8、…数位，我们称为偶位，例如：一个四位数，其个位与百位即奇位，十位与千位为偶位．奇位和就是把所有位于奇位上的数字相加，偶位和就是把所有位于偶位上的数字相加．请证明，若abcd的奇位和与偶位和的差能被11整除，则abcd能被11整除．
【答案】(1)能
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）将原数分解后判断即可；
（2）仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论；
（3）仿照（2）将原数分解因式，得到11与某数相乘即可得到结论．
【详解】（1）解：∵(1+1+2+2+3+3)÷3=4
∴各个数位上的数字和可以被3整除，
即112233能被3整除；
故答案为：能．
（2）证明：abcd=1000a+100b+10c+d
=999+1a+99+1b+9+1c+d
=999a+99b+9c+a+b+c+d
=3333a+33b+3c+a+b+c+d，
∵3333a+33b+3c能被3整除，
∴若“a+b+c+d”能被3整除，则abcd能被3整除；
（3）证明：abcd=1000a+100b+10c+d=1001−1a+99+1b+11−1c+d
=1001a+99b+11c+−a+b−c+d=1191a+9b+c+d+b−c+a，
∵1191a+9b+c能被11整除，
∴若“d+b−c+a”能被11整除，
即若abcd的奇位和与偶位和的差能被11整除，则abcd能被11整除．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，正确掌握因式分解的方法及例题中的解题方法是解题的关键．
23．（8分）（2022秋·河北邯郸·八年级校考期末）阅读材料：我们把多项式a2+2ab+b2及a2−2ab+b2叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值， 最小值等．例分解因式：x2+2x−3=x2+2x+1−4=(x+1)2−4=(x+1+2)(x+1−2)=(x+3)(x−1)；又例如：求代数式2x2+4x−6的最小值：∵2x2+4x−6=2x2+2x−3=2(x+1)2−8；又∵(x+1)2⩾0；∴当x=−1时，2x2+4x−6有最小值，最小值是−8．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：a2−4a−5=___________；
(2)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足a2−4a+b2−12b+40=0求边长c的最小值；
(3)当x、y为何值时，多项式−x2+2xy−2y2+6y+7有最大值？并求出这个最大值．
【答案】(1)(a+1)(a−5)
(2)5
(3)x=y=3时，最大值为16．
【分析】（1）根据阅读材料，先将a2−4a−5变形为a2−4a+4−9，再根据完全平方公式写成a−22−9，然后利用平方差公式分解即可；
（2）根据配方法得出两个完全平方式，再根据两个非负数的和为0时，每一部分为0可得a，b的值，最后根据三角形三边的关系，可得c的取值范围和最小值；
（3）根据题目中的例子，先将所求式子配方，再根据完全平方式的非负性即可得到当x、y为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；
【详解】（1）解：原式= a2−4a+4−9
= a−22−9
= a−2+3a−2−3
=(a+1)(a−5)；
故答案为：(a+1)(a−5)
（2）∵a2+b2−4a−12b+40=0，
∴a2−4a+4+b2−12b+36=0，
∴(a−2)2+(b−6)2=0，
∴a−2=0b−6=0 解得：a=2b=6，
∵a、b、c是 △ABC的三边长，
∴4又∵c是整数，c=5,6,7；
1326=1000×1+100×3+10×2+1×6
=999+1×1+99+1×3+9+1×2+6
=999×1+99×3+9×2+1+3+2+6
∵“3333×1+33×3+3×2”能被3整除，
∴当“1+3+2+6”能被3整除，原数就能被3整除．