北师大版八年级数学下册举一反三系列6.6平行四边形全章八类必考压轴题(北师大版)同步练习(学生版+解析)

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专题6.6 平行四边形全章八类必考压轴题【北师大版】必考点1平行四边形中边的关系运用1．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期末）已知平行四边形ABCD，AD=8，∠BAD=135°，点E在边BC上，将平行四边形沿AE翻折，使点B落在边CD的F处，且满足CF−DF=32，则EF=______．2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）如图，已知▱ABCD中，AF垂直平分DC，且AF=DC，点E为AF上一点，连接BE、CE，若∠CEF=2∠ABE，AE=2，则AD的长为______．3．（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在△ABC中，AB=BC=10，AC=12，D是BC边上任意一点，连接AD，以AD，CD为邻边作平行四边形ADCE，连接DE，则DE长的最小值为___________．4．（2022春·江西吉安·八年级统考期末）如图，在▱ABCD中，∠DS2，则S3>S1；③若S3=2S1，则S4=2S2；④如果P点在对角线BD上，则S1:S4=S2:S3；⑤S1−S2=S3−S4，则P点一定在对角线BD上．4．（2022秋·上海·七年级校考期末）小明在学习了中心对称图形以后，想知道平行四边形是否为中心对称图形．于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上，在纸板上沿四边画出它的初始位置，并画出平行四边形纸片的对角线，用大头针钉住对角线的交点．将平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转180°后，平行四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好重合．通过上述操作，小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心．请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题：(1)如图①，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O．过点O的直线l与边AB、CD分别相交于点M、N，四边形AMND的面积与平行四边形ABCD的面积之比为___________；(2)如图②，这个图形是由平行四边形ABCD与平行四边形ECGF组成的，点E在边CD上，且B、C、G在同一直线上．①请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两个部分（不要求写出画法，但请标注字母并写出结论）；②延长GF与边AD的延长线交于点K，延长FE与边AB交于点H．联结EB、EK、BK，如图③所示，当四边形AHED的面积为10，四边形CEFG的面积为2时，求三角形EBK的面积．5．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．性质：“朋友三角形”的面积相等．例如：如图1，在△ABC中，如果AD是AB边上的中线，那么△ACD和△ABD是“朋友三角形”，则有S△ACD=S△ABD．应用：如图2，在矩形ABCD中，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．(1)求证：△AOE和△AOB是“朋友三角形”．(2)如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD//BC，AD=DC=8，BC=12，点G在BC上，点E在AD上，DG与CE交于点F，GF=DF．①求证：△DFE和△DFC是“朋友三角形”；②连接AF，若△AEF和△DEF是“朋友三角形”，求四边形ABGF的面积．(3)在△ABC中，∠B=30°，AB=8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A'CD，若△A'CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的14，则△ABC的面积是________（请直接写出答案）．6．（2022秋·重庆大足·九年级统考期末）如图1，两个等腰直角三角形△ABC、△EDC的顶点C重合，其中∠ABC=∠EDC=90°，连接AE，取AE中点F，连接BF,DF．(1)如图1，当B、C、D三个点共线时，请猜测线段BF、FD的数量关系，并证明；(2)将△EDC绕着点C顺时针旋转一定角度至图2位置，根据“AE中点F”这个条件，想到取AC与EC的中点G、H，分别与点F相连，再连接BG,DH，最终利用△BGF≌△FHD（SAS）证明了（1）中的结论仍然成立．请你思考当△EDC绕着点C继续顺时针旋转至图3位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；(3)连接BD，在△EDC绕点C旋转一周的过程中，△BFD的面积也随之变化．若AC=52,CB=32，请直接写出△BFD面积的最大值．必考点3平行四边形中的角度转换1．（2022春·江西新余·八年级新余四中校考期中）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①△ABE是等边三角形：②△ABC≌△EAD；③AD=AF：④S△ABE=S△CDF；⑤S△ABE=S△CEF其中正确的是（    ）A．①②③ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②③④2．（2022春·江苏南京·八年级统考期中）如图，在等边三角形ABC中，AB=4，P为AC上一点（与点A、C不重合），连接BP，以PA、PB为邻边作平行四边形PADB，则PD的取值范围是_______．3．（2022秋·辽宁朝阳·九年级校考期中）如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点，下列结论①BE⊥AC；②四边形BEFG是平行四边形；③EG=GF；④EA平分∠GEF．其中正确的是________．                                                                   4．（2022春·浙江·八年级期末）如图，四边形ABCD中，AB//CD,∠B=∠D，点E为BC延长线上一点，连接AE，AE交CD于H．∠DCE的平分线交AE于G．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）如图1，若AB=2AD=10，H为CD的中点，HE=6，求AC的长；（3）如图2，若∠BAC=∠DAE①∠AGC=2∠CAE，求∠CAE的度数；②∠AGC=n∠CAE,∠CAE=_____°（用含有n的式子表示）5．（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）如图，在□ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线分别交AD于点E，F，BE，CF相交于点G.(1)求证：BE⊥CF；(2)若AB=a，CF=b，求BE的长.6．（2022春·湖北武汉·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，点 A（a，6），B（4，b），（1）若 a，b 满足 (a  b  5)2  2a−b−1 0 ，①求点 A，B 的坐标；②点 D 在第一象限，且点 D 在直线 AB 上，作 DC⊥x 轴于点 C，延长 DC 到 P 使 得 PC=DC，若△PAB 的面积为 10，求 P 点的坐标；（2）如图，将线段 AB 平移到 CD，且点 C 在 x 轴负半轴上，点 D 在 y 轴负半轴上， 连接 AC 交 y 轴于点 E，连接 BD 交 x 轴于点 F，点 M 在 DC 延长线上，连 EM，3∠MEC+∠CEO=180°，点 N 在 AB 延长线上，点 G 在 OF 延长线上，∠NFG= 2∠NFB，请探究∠EMC 和∠BNF 的数量关系，给出结论并说明理由.必考点4平行四边形中勾股定理的运用1．（2022春·浙江温州·八年级统考期中）如图，一副三角板如图1放置，AB＝CD＝6，顶点E重合，将△DEC绕其顶点E旋转，如图2，在旋转过程中，当∠AED＝75°，连接AD、BC，这时△ADE的面积是______．2．（2022春·广西贵港·八年级统考期中）如图，四边形ABCD为菱形，AB=3，∠ABC=60°，点M为BC边上一点且BM=2CM，过M作MN∥AB交AC，AD于点O，N，连接BN．若点P，Q分别为OC，BN的中点，则PQ的长度为________．3．（2022春·江苏南京·八年级校考期中）已知：如图，在平行四边形ABCD中，G、H分别是AD、BC的中点，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．(1)求证：四边形GEHF是平行四边形．(2)若AB=4，BC=7，当四边形GEHF是矩形时BD的长为 ．4．（2022秋·辽宁辽阳·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为平面内一点，以CD为腰在CD右侧作等腰Rt△CDE，且∠CDE=90°，过点B作BF∥DE，且BF=DE，连接BD，DF，EF．(1)如图①，当点D在AC边上时，直接写出线段AF与AD的关系为 ；(2)将图①中的等腰Rt△CDE绕点C逆时针旋转α0°S1；③若S3=2S1，则S4=2S2；④如果P点在对角线BD上，则S1:S4=S2:S3；⑤S1−S2=S3−S4，则P点一定在对角线BD上．【答案】①④⑤【分析】根据平行四边形的性质得AB=CD，AD=BC，设点P到AB，BC，CD，DA的距离分别是ℎ1，ℎ2，ℎ3，ℎ4，再根据三角形的面积公式整理判断①；然后根据三角形面积公式可判断②③；再根据两个等高的三角形面积的比等于底的比，得出S1:S4=S2:S3，判断④；最后根据已证关系式，得出S1=S2，S3=S4，判断⑤，综合即可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC．设点P到AB，BC，CD，DA的距离分别是ℎ1，ℎ2，ℎ3，ℎ4，则S1=12AB·ℎ1，S2=12BC·ℎ2，S3=12CD·ℎ3，S4=12AD·ℎ4．∵12AB·ℎ1+12CD·ℎ3=12AB⋅ℎAB，12BC·ℎ2+12AD·ℎ4=12BC⋅ℎBC，∴S平行四边形ABCD=AB⋅ℎAB=BC⋅ℎBC，∴S2+S4=S1+S3，故①正确；根据S4>S2只能判断ℎ4>ℎ2，不能判断ℎ3>ℎ1，即不能判断S3>S1，故②错误；根据S3=2S1，能得出ℎ3=2ℎ1，不能得出ℎ4=2ℎ2，即不能判断S4=2S2，故③错误；∵点P在对角线BD上，∴S1:S4=PB:PD，S2:S3=PB:PD，∴S1:S4=S2:S3，故④正确；由S1−S2=S3−S4和S2+S4=S1+S3，得S1=S2，S3=S4，∴点P一定在对角线在BD上，故⑤正确，综上所述，正确的结论是①④⑤．故答案为：①④⑤【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形的面积等，用平行四边形的面积表示出相应的两个三角形的面积的和是解本题的关键．4．（2022秋·上海·七年级校考期末）小明在学习了中心对称图形以后，想知道平行四边形是否为中心对称图形．于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上，在纸板上沿四边画出它的初始位置，并画出平行四边形纸片的对角线，用大头针钉住对角线的交点．将平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转180°后，平行四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好重合．通过上述操作，小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图形，对角线的交点就是对称中心．请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题：(1)如图①，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O．过点O的直线l与边AB、CD分别相交于点M、N，四边形AMND的面积与平行四边形ABCD的面积之比为___________；(2)如图②，这个图形是由平行四边形ABCD与平行四边形ECGF组成的，点E在边CD上，且B、C、G在同一直线上．①请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两个部分（不要求写出画法，但请标注字母并写出结论）；②延长GF与边AD的延长线交于点K，延长FE与边AB交于点H．联结EB、EK、BK，如图③所示，当四边形AHED的面积为10，四边形CEFG的面积为2时，求三角形EBK的面积．【答案】(1)1:2(2)①图见解析，S四边形HGBM=S四边形AMND+S四边形NEFH；②三角形EBK的面积为4【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，得AB∥CD，OA=OC，从而得到∠MAO=∠NCO，即可证明出△MAO≌△NCO，同理可证明出△MBO≌△NDO，△COB≌△AOD，因此得到S△COB=S△AOD，S△MBO=S△NDO，S△MAO=S△NCO，又因为S四边形AMND=S△AMO+S△ADO+S△NDO，S四边形ABCD=S△AMO+S△CNO+S△MBO+S△ADO+S△NDO+S△COB，所以得到S四边形AMND=12S四边形ABCD，从而即可得到答案；（2）①根据（1）中的结论画出图并写出相关结论即可；②由四边形ABCD是平行四边形得AB∥CD，AD∥BC，由四边形ECGF为平行四边形，得EC∥GF，EF∥CG，从而可得AK∥BG，AB∥GK，进而可得四边形ABGK为平行四边形，同理可得，四边形DEFK、四边形HBCE均为平行四边形，在根据平行四边形的面积与三角形的面积关系，即可得到三角形EBK的面积为．【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，∴AB∥CD，OA=OC，∴∠MAO=∠NCO，在△MAO和△NCO中∠MAO=∠NCO∠AOM=∠CONAO=CO，∴△MAO≌△NCO（AAS），同理可得△MBO≌△NDO，△COB≌△AOD，∴S△COB=S△AOD，S△MBO=S△NDO，S△MAO=S△NCO，∵S四边形AMND=S△AMO+S△ADO+S△NDO，S四边形ABCD=S△AMO+S△CNO+S△MBO+S△ADO+S△NDO+S△COB，∴S四边形AMND=12S四边形ABCD，即四边形AMND的面积与平行四边形ABCD的面积之比为1:2，故答案为：1:2；（2）解：①根据（1）中的结论画出图如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，平行四边形ECGF的对角线EG、CF相交于点Q，过点O、Q的直线l将图形分为面积相等的两个部分，直线l与AB相交于点M，直线l与GF相交于N，其中S四边形MBCN=S四边形AMND，S四边形HGCN=S四边形NEFH，∴S四边形HGBM=S四边形MBCN+S四边形HGCN=S四边形AMND+S四边形NEFH，即S四边形HGBM=S四边形AMND+S四边形NEFH；② ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∵四边形ECGF为平行四边形，∴EC∥GF，EF∥CG，∴AK∥BG，AB∥GK，∴四边形ABGK为平行四边形，同理可得，四边形DEFK、四边形HBCE均为平行四边形，∵S四边形AHED=10，S四边形CEFG=2，∵S四边形ABGK=S四边形AHED+S四边形CEFG+S四边形BCEH+S四边形DEFK=10+2+S四边形BCEH+S四边形DEFK=12+S四边形BCEH+S四边形DEFK，∴S△BGK=12S四边形ABGK=1212+S四边形BCEH+S四边形DEFK=6+12S四边形BCEH+12S四边形DEFK，∵S△BCE=12S四边形BCEH，S△EFK=12S四边形DEFK，∴S△EBK=S△BGK−S△BCE−S△EFK−S四边形CEFG=6+12S四边形BCEH+12S四边形DEFK−12S四边形BCEH−12S四边形DEFK−2=4，∴三角形EBK的面积为4．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定的应用，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解决问题的关键，难度较大，综合性较强．5．（2022秋·吉林长春·八年级统考期末）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“朋友三角形”．性质：“朋友三角形”的面积相等．例如：如图1，在△ABC中，如果AD是AB边上的中线，那么△ACD和△ABD是“朋友三角形”，则有S△ACD=S△ABD．应用：如图2，在矩形ABCD中，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．(1)求证：△AOE和△AOB是“朋友三角形”．(2)如图3，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，AD//BC，AD=DC=8，BC=12，点G在BC上，点E在AD上，DG与CE交于点F，GF=DF．①求证：△DFE和△DFC是“朋友三角形”；②连接AF，若△AEF和△DEF是“朋友三角形”，求四边形ABGF的面积．(3)在△ABC中，∠B=30°，AB=8，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“朋友三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得到△A'CD，若△A'CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的14，则△ABC的面积是________（请直接写出答案）．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②四边形ABGF的面积为48(3)8或83【分析】（1）连接EF，根据四边形ABCD为矩形，可知AD∥BC，再借助AE=BF，可证明四边形ABFE为平行四边形，由平行四边形的性质“平行四边形的对角线相互平分”可知OE=OB，即AO是△ABE的中线，即可证明△AOE和△AOB是“朋友三角形”；（2）①先证明△DFE≌△GFC，可推导EF=CF，即△DFE和△DFC是“朋友三角形”；②由△AEF和△DEF是“朋友三角形”，可知AE=DE=12AD=4，再借助∠ADC=90°，求得S△DCE=16，根据△DFE和△DFC是“朋友三角形”、△AEF和△DEF是“朋友三角形”、△DFE≌△GFC，可依次求得△AEF、△DEF、△DCF、△GFC的面积，最后由四边形ABGF的面积=S梯形ABCD−S△AEF−S△DFE−S△DFC−S△GFC求解即可；（3）根据题意画出符合条件的两种情况：①证明四边形AD'CB是平行四边形，求出BC、A'D并推导∠ACB=90°，根据三角形面积公式求解即可；②求出高CQ、在求出△AD'C的面积，即可求出△ABC的面积．（1）证明：连接EF，∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∵AE=BF，∴四边形ABFE为平行四边形，∴OE=OB，即AO是△ABE的中线，∴△AOE和△AOB是“朋友三角形”；（2）①证明：∵AD//BC，∴∠EDF=∠CGF，又∵GF=DF，∠DFE=∠GFC，∴△DFE≌△GFC(ASA)，∴EF=CF，∴△DFE和△DFC是“朋友三角形”；②解：∵△AEF和△DEF是“朋友三角形”，∴AE=DE=12AD=4，∵∠ADC=90°，S△DCE=12DE⋅CD=12×4×8=16，∵△DFE和△DFC是“朋友三角形”，∴S△DFE=S△DFC=12S△DCE=8，∵△DFE≌△GFC，∴S△DFE=S△GFC=8，∵△AEF和△DEF是“朋友三角形”，S△AEF=S△DFE=8，∴四边形ABGF的面积=S梯形ABCD−S△AEF−S△DFE−S△DFC−S△GFC=12×(8+12)×8−8−8−8−8=48；（3）分为两种情况：①如图1所示：∵S△ACD=S△BCD，∴AD=BD=12AB=4，∵沿CD折叠A和A'重合，∴AD=A'D=12AB=12×8=4，∵△A'CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的14，∴S△DOC=14S△ABC=12S△BDC=12S△ADC=12S△'，∴DO=OB，A'O=CO，∴四边形A'DCB是平行四边形，∴BC=A'D=4，过B作BM⊥AC于M，∵AB=8，∠BAC=30°，∴BM=12AB=4=BC，即C和M重合，∴∠ACB=90°，由勾股定理得AC=82−42=43，∴△ABC的面积=12×BC×AC=12×4×43=83；②如图2所示：∵S△ACD=S△BCD.∴AD=BD=12AB，∵沿CD折叠A和A'重合，∴AD='=12AB=12×8=4，∵△A'CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的14，∴S△DOC=14S△ABC=12S△BDC=12S△ADC=12S△A'DC，∴DO=OA'，BO=CO，∴四边形A'BDC是平行四边形，∴A'C=BD=4，过C作CQ⊥A'D于Q，∵A'C=4，∠DA'C=∠BAC=30°，∴CQ=12A'C=2，∴S△ABC=2S△ADC=2S△'=2×12×'×CQ=2×12×4×2=8．综上所述，△ABC的面积是8或83．故答案为：8或83．【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识，是四边形综合题目，难度大，综合性强，解题关键是理解“朋友三角形”的概念及利用分类讨论的思想分析问题．6．（2022秋·重庆大足·九年级统考期末）如图1，两个等腰直角三角形△ABC、△EDC的顶点C重合，其中∠ABC=∠EDC=90°，连接AE，取AE中点F，连接BF,DF．(1)如图1，当B、C、D三个点共线时，请猜测线段BF、FD的数量关系，并证明；(2)将△EDC绕着点C顺时针旋转一定角度至图2位置，根据“AE中点F”这个条件，想到取AC与EC的中点G、H，分别与点F相连，再连接BG,DH，最终利用△BGF≌△FHD（SAS）证明了（1）中的结论仍然成立．请你思考当△EDC绕着点C继续顺时针旋转至图3位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由；(3)连接BD，在△EDC绕点C旋转一周的过程中，△BFD的面积也随之变化．若AC=52,CB=32，请直接写出△BFD面积的最大值．【答案】(1)DF=BF，证明见解析(2)成立，证明见解析(3)32【分析】（1）连接CF，由等腰直角三角形的性质证出∠ABF=∠CBF=45°，得出∠FBD=∠FDB，则可得出结论；（2）取AC的中点M，CE的中点N，连接BM，FM，FN，DN，由三角形中位线定理证出四边形FNCM是平行四边形，得出∠FMC=∠FNC，证明△FMB≌△DNF（SAS），由全等三角形的性质得出BF=DF；（3）当BD最大时，△BFD的面积最大，由等腰直角三角形的性质及三角形面积公式可得出答案．【详解】（1）解：BF=DF．连接CF，∵△ABC和△EDC是等腰直角三角形，∴∠ACB=∠DCE=45°，DC=DE，AB=BC，∴∠ACE=90°，∵F为AE的中点，∴AF=CF=EF，又∵DF=DF，∴△DCF≌△DEF(SSS)，∴∠CDF=∠EDF=45°，同理△ABF≌△CBF(SSS)，∴∠ABF=∠CBF=45°，∴∠FBD=∠FDB，∴DF=BF；（2）解：成立，理由如下：如图3，取AC的中点M，CE的中点N，连接BM，FM，FN，DN，∵△ABC是等腰直角三角形，AM=MC，∴∠MCB=∠MBC=45°，∠CMB=90°，BM=CM= 12 AC，∵△DEC是等腰直角三角形，EN=NC，∴∠DEN=∠DCN=45°，∠CND=90°，DN=CN= 12 CE，∵F，N分别是AE和EC的中点，∴FN是△AEC的中位线，∴FN∥AC，FN= 12 AC，∵F，M分别是AE和AC的中点，∴FM是△AEC的中位线，∴FM∥EC，FM= 12 EC，∴BM= 12 AC=FN，DN= 12 EC=FM，又∵FN∥AC，FM∥EC，∴四边形FNCM是平行四边形，∴∠FMC=∠FNC，∴∠FMB+∠CMB=∠DNF+∠CND，∴∠FMB=∠DNF，∴△FMB≌△DNF（SAS），∴BF=DF；（3）解：过点F作FG⊥BD于点G，由（2）知：△BFD是等腰直角三角形，∴当BD最大时，△BFD的面积最大，∵BD≤CB+CD，∴当B、C、D共线时，BD最大=CB+CD=52+32=82，∴S△BDF= 12 BD•GF= 12 ×82×42=32．即△BFD面积的最大值是32．【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．必考点3平行四边形中的角度转换1．（2022春·江西新余·八年级新余四中校考期中）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F．下列结论中：①△ABE是等边三角形：②△ABC≌△EAD；③AD=AF：④S△ABE=S△CDF；⑤S△ABE=S△CEF其中正确的是（    ）A．①②③ B．①④⑤ C．①②⑤ D．②③④【答案】A【分析】由AB=AE及平行四边形的性质、AE平分∠BAD，可得△ABE是等边三角形，即可判定①正确；由△ABE是等边三角形及平行四边形的性质可得△ABC≌△EAD，即可判定②正确；若点E是DF的中点，则可得AD=AF，否则AD与AF不相等，即可判定③错误；由S△ACD=S△CDF=S△ADE=S△ABC，可对④作出判断；由S△ACE=S△DCE及前一步的证明可判定⑤．【详解】∵AB=AE∴∠ABE=∠AEB ∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD=BC∴∠DAE=∠AEB∵AE平分∠BAD∴∠DAE=∠BAE∴∠BAE=∠AEB∴∠BAE=∠AEB=∠ABE∴△ABE是等边三角形故①正确∵△ABE是等边三角形∴∠ABE=∠BAE=60°∴ ∠ABE=∠DAE=60°∵AB=AE，BC=AD∴△ABC≌△EAD  故②正确若点E是DF的中点，则可得AD=AF，否则AD与AF不相等故③错误∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AD∥BC∴S△ACD=S△CDF，S△ACD=S△ADE∵△ABC≌△EAD∴S△ADE=S△ABC∴S△ACD=S△CDF=S△ADE=S△ABC∵S△ABC=S△ABE+S△AEC>S△ABE∴S△CDF>S△ABE故④错误∵AD∥BC∴S△ACE=S△DCE由④知，S△CDF=S△ABC∴S△CDF−S△DCE=S△ABC−S△ACE即S△CEF=S△ABE故⑤正确 即正确的有①②⑤故选：C.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等底等高的两个三角形面积相等，其中平行四边形的性质是解题的关键．2．（2022春·江苏南京·八年级统考期中）如图，在等边三角形ABC中，AB=4，P为AC上一点（与点A、C不重合），连接BP，以PA、PB为邻边作平行四边形PADB，则PD的取值范围是_______．【答案】23≤PD0矛盾，进而可得出不存在该情况．（1）解：（1）∵OC=32，CP＝2，且点C、P分别是线段OB，AB的中点，∴OB＝3，OA＝4∴点B坐标为点（0，3），A坐标为（4，0）把点A和点B的坐标分别代入解析式得：b=34k+b=0解得：b=3k=−34∴直线AB的解析式为：y=−34x+3（2）（2）∵m＋n＝3，且n＝1∴m＝2，∴点E坐标为2,32点E与点P重合当点D在点C的左侧时，DE＝1＋2＝3在□ODEF中，OF∥DE，OF＝DE，∴F（3，0）；当点D在点C的右侧时，DE＝2－1＝1在□ODEF中，OF∥DE，OF＝DE，∴F（1，0）；∴点F坐标为（1，0）或（3，0）（3）点F坐标为0,38根据题意，可知：点D的坐标为（n，32），点E的坐标为（m，−34m+3），∵四边形ODEF为平行四边形，∴点F的坐标为0+m−n,0−34m+3−32，即m−n,−34m+32，当点F落在边OB上时，m−n=0，又∵m+n=3，∴m=n=32∴点F的坐标为0,38；∴当点F落在AB上时，32−34m=−34m−n+3又∵m+n=3，∴n=−2（不符合题意，舍去）．∴当点F落在△AOB的边OB或AB上时，点F的坐标为0,38．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）利用一次函数图象上的点的坐标特征，找出点D，E的坐标；（3）利用平行四边形的性质，用m，n的代数式表示出点F的坐标．5．（2022春·广东江门·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=12cm，BC=18cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为ts．(1)CD边的长度为______cm，t的取值范围为______．(2)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？(3)从运动开始，当t取何值时，PQ=CD？【答案】(1)10，0≤t≤9(2)t=4(3)t=8或t=4【分析】（1）作辅助线，构建矩形ABED，利用勾股定理可得CD的长，根据两动点P，Q运动路程和速度可得t的取值范围；（2）根据PD=CQ列方程可得t=4时PQ∥CD，（3）由PQ=CD，根据CQ=2t=6+6+12−t，可得t=8，再结合（2）可得出结论；【详解】（1）如图1，过点D作DE⊥BC于E，则∠DEB=∠DEC=90°，∵AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠B=90°，∴∠A=∠B=∠DEB=90°，∴四边形ABED是矩形，∴DE=AB=8，BE=AD=12，∵BC=18，∴CE=18−12=6，由勾股定理得：CD=62+82=10 （cm）；∵点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，AD=12cm，∴点P运动到D的时间为：12s，同理得：点Q运动到点B的时间为：182=9s，∴0≤t≤9；故答案为：10，0≤t≤9；（2）如图2，∵AD∥BC，∴PD∥CQ，当PD=CQ时，四边形DPQC是平行四边形，∴PQ∥CD，∴12−t=2t，∴t=4，即当t=4时，PQ∥CD，此时PD=CQ；（3）如图3，过点P作PF⊥BC于F，过点D作DE⊥BC于E，当PQ=CD时，∵PF=DE，∴Rt△PQF≌Rt△DCE，∴FQ=CE=6，∵∠PFE=∠DEF=∠ADE=90°，∴四边形DPFE矩形，∴PD=EF=12−t，∴CQ=QF+EF+CE，即6+6+12−t=2t，∴t=8，综合（2）、（3）所述，当t=8或t=4时，PQ=CD；【点睛】此题是四边形综合题：动点问题，考查了平行四边形、矩形、勾股定理，直角三角形的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用分类讨论和数形结合是解题的关键．6．（2022春·浙江温州·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是平行四边形，O为坐标原点，点A的坐标是(-16，0)， 线段BC 交y轴于点D，点D的坐标是(0，8)，线段CD=6．动点P从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，以每秒1个单位的速度向终点B运动，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，运动时间为t秒. (1)用t的代数式表示：BQ=_______，AP=_______；(2)若以A，B，Q，P为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值；(3)当△BQP恰好是等腰三角形时，求t的值．【答案】(1)BQ=10-t，AP=16-2t(0