数学八年级下册10.1 分式练习题

这是一份数学八年级下册10.1 分式练习题，共26页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29934" 【题型1 分式有意义的条件】 PAGEREF _Tc29934 \h 1
\l "_Tc15720" 【题型2 利用分式的基本性质解决问题】 PAGEREF _Tc15720 \h 1
\l "_Tc14956" 【题型3 分式的化简求值】 PAGEREF _Tc14956 \h 2
\l "_Tc18805" 【题型4 比较分式的大小】 PAGEREF _Tc18805 \h 2
\l "_Tc11724" 【题型5 解分式方程的一般方法】 PAGEREF _Tc11724 \h 3
\l "_Tc8548" 【题型6 裂项相消法解分式方程】 PAGEREF _Tc8548 \h 4
\l "_Tc9713" 【题型7 利用通分或约分代入求分式的值】 PAGEREF _Tc9713 \h 5
\l "_Tc30396" 【题型8 利用倒数法求分式的值】 PAGEREF _Tc30396 \h 5
【题型1 分式有意义的条件】
【例1】（2023下·河南南阳·八年级校联考阶段练习）下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）
A．1x2+5B．53x+2C．3x+1x2D．x2x−1
【变式1-1】（2023下·山西太原·八年级统考期末）下列x的值中，使分式x−2x−3无意义的是（ ）
A．x=3B．x=−3C．x=2D．x=−2
【变式1-2】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）当x=2时，分式x+3x+m没有意义，则m的值等于（ ）
A．−2B．−3C．2D．3
【变式1-3】（2023上·上海浦东新·八年级上海市民办新竹园中学校考阶段练习）已知y=1x2+2x−c，无论x取任何实数，这个式子都有意义，则c的取值范围 .
【题型2 利用分式的基本性质解决问题】
【例2】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）下列代数式变形正确的是（ ）
A．2a+1b+1=2abB．−x−yx+y=−x+yx+yC．+2y=2xx+2yD．ab=a2b2
【变式2-1】（2023下·重庆万州·八年级重庆市万州第一中学校联考期中）把分式2x+3yx2−y2的x、y均缩小为原来的10倍后，则分式的值（ ）
A．为原分式值的110B．为原分式值的1100
C．为原分式值的10倍D．不变
【变式2-2】（2023上·重庆北碚·八年级统考期末）将x0.2−0.5+的分母化为整数，得（ ）
A．x2−0.5+0.01x3=1B．5x−50+x3=100
C．x20−0.5+0.01x3=100D．5x−50+x3=1
【变式2-3】（2023下·江苏南京·八年级校联考期末）若分式2x2x−y的值为6，当x、y都扩大2倍后，所得分式的值是 ．
【题型3 分式的化简求值】
【例3】（2023下·江苏盐城·八年级景山中学校考期中）先化简，再求值：x2x−3+93−x÷x−1x2−2x+1，其中x满足x2+2x−2026=0
【变式3-1】（2023上·湖南岳阳·八年级统考期中）先化简，再求值：x+1x2−1+xx−1÷x+1x2−2x+1，其中−1≤x1的负整数解．
【变式3-3】（2023上·广西柳州·八年级校考期中）已知x2−10x+25与y−3互为相反数，求y2x−y2⋅x2+y2−2xyy3÷x2−y2x+y的值．
【题型4 比较分式的大小】
【例4】（2023·河北石家庄·统考二模）要比较A=2xx+1与B=x+12中的大小（x是正数），知道A−B的正负就可以判断，则下列说法正确的是（ ）
A．A≥BB．A＞BC．A≤BD．A＜B
【变式4-1】（2023下·江苏扬州·八年级南海中学阶段练习）已知：A=a+1a+2,B=a+3a+4
（1）若A=1−ma+2，求m的值；
（2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数；
（3）若a＞0，比较A与B的大小关系．
【变式4-2】（2023上·河北唐山·八年级统考期末）由1+c3+c−13值的正负可以比较A=1+c3+c与13的大小，下列正确的是（ ）
A．当c=−3时，A=13B．当c=0时，A≠13
C．当c13D．当c2）时所对应的值，试比较p、q的大小，说明理由．
【题型5 解分式方程的一般方法】
【例5】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）解下列方程：
(1)2x−3=3x；
(2)xx−1−1=3x−1x+2．
【变式5-1】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）如图所示的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求得的值与原题的正确结果一样．则图中被污染掉的x的值是 ．

【变式5-2】（2023上·湖南怀化·八年级校考期中）解下列分式方程
(1)40x+5=20；
(2)xx−2+1x2−4=1．
【变式5-3】（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的．其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石．相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益．小王在
【题型7 利用通分或约分代入求分式的值】
【例7】（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）已知1b−2a=3，则分式2a+3ab−4b4ab−3a+6b的值为 ．
【变式7-1】（2023·湖南·武冈市第二中学八年级阶段练习）若12y2+3y+7的值为18，则14y2+6y−9的值为（ ）
A．12B．−12C．17D．−17．
【变式7-2】（2023·湖南邵阳·八年级期末）已知12a+1b=2，那么分式4a−5ab+2bab−2a−b的值是______．
【变式7-3】（2023下·安徽宿州·八年级统考期末）已知1a−1b=3，求3a+3ab−3ba−2ab−b分式的值为 ．
【题型8 利用倒数法求分式的值】
【例8】（2023上·湖北咸宁·八年级统考期末）【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知：xx2+1=13，求x2x4+1的值．
解：由xx2+1=13知x≠0，∴x2+1x=3，即x+1x=3①
∴x4+1x2=x2+1x2=x+1x2−2=32−2=7③，故x2x4+1的值为17．
（1）第①步由x2+1x=3得到x+1x=3逆用了法则：______；第③步x2+1x2=x+1x2−2运用了公式：______；（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知xx2−3x+1=−1，求x2x4−7x2+1的值；
【拓展延伸】
（3）已知1a+1b=16，1b+1c=19，1a+1c=115，求abcab+bc+ac的值．
【变式8-1】（2023·山东滨州·八年级期末）
(1)已知实数a满足a+1a=5，求分式a3a2+5a+3的值．
(2)已知实数b满足b+1b+1=9，求分式b+1b2+5b+5的值．
【变式8-2】（2023下·江苏苏州·八年级校考开学考试）利用“倒数法”解下面的题目：
已知：xx2+1=14，求：
(1)代数式x+1x的值．
(2)代数式x2x4+1的值．
【变式8-3】（2023上·山东烟台·八年级统考期中）若xx2−1=1，求x4x8−3x4+1的值．
专题10.8 分式章末八大题型总结（培优篇）
【苏科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29934" 【题型1 分式有意义的条件】 PAGEREF _Tc29934 \h 1
\l "_Tc15720" 【题型2 利用分式的基本性质解决问题】 PAGEREF _Tc15720 \h 2
\l "_Tc14956" 【题型3 分式的化简求值】 PAGEREF _Tc14956 \h 4
\l "_Tc18805" 【题型4 比较分式的大小】 PAGEREF _Tc18805 \h 6
\l "_Tc11724" 【题型5 解分式方程的一般方法】 PAGEREF _Tc11724 \h 9
\l "_Tc8548" 【题型6 裂项相消法解分式方程】 PAGEREF _Tc8548 \h 13
\l "_Tc9713" 【题型7 利用通分或约分代入求分式的值】 PAGEREF _Tc9713 \h 16
\l "_Tc30396" 【题型8 利用倒数法求分式的值】 PAGEREF _Tc30396 \h 18
【题型1 分式有意义的条件】
【例1】（2023下·河南南阳·八年级校联考阶段练习）下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）
A．1x2+5B．53x+2C．3x+1x2D．x2x−1
【答案】B
【分析】根据分式有意义，分母不等于0对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、无论x取何值，x2+5≥5，分式都有意义，故本选项符合题意；
B、当x=−23时，3x+2=0，分式无意义，故本选项不符合题意；
C、当x=0时，x2=0，分式无意义，故本选项不符合题意；
D、当x=12时，2x−1=0，分式无意义，故本选项不符合题意；
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
【变式1-1】（2023下·山西太原·八年级统考期末）下列x的值中，使分式x−2x−3无意义的是（ ）
A．x=3B．x=−3C．x=2D．x=−2
【答案】B
【分析】根据分式无意义的条件，即分母为0进行解答即可．
【详解】解：由于分式x−2x−3无意义，
所以x−3=0，
即x=3，
【点睛】本题考查分式有意义的条件，掌握分母为0分式无意义是正确解答的关键．
【变式1-2】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）当x=2时，分式x+3x+m没有意义，则m的值等于（ ）
A．−2B．−3C．2D．3
【答案】B
【分析】根据分式无意义，分母等于零可得2+m=0，解可得m的值．
【详解】解：由题意得：2+m=0，
解得：m=−2，
【点睛】此题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式无意义的条件是分母等于零．
【变式1-3】（2023上·上海浦东新·八年级上海市民办新竹园中学校考阶段练习）已知y=1x2+2x−c，无论x取任何实数，这个式子都有意义，则c的取值范围 .
【答案】B＜−1
【分析】将原式分母配方后，根据完全平方式的值为非负数，只需−c−1大于0，求出不等式的解集即可得到c的范围．
【详解】原式分母为：x2＋2x−c＝x2＋2x＋1−c−1＝（x＋1）2−c−1，
∵（x＋1）2≥0，无论x取任何实数，这个式子都有意义，
∴−c−1＞0，
解得：c＜−1．
故填：c＜−1
【点睛】此题考查了配方法的应用，以及分式有意义的条件，灵活运用配方法是解本题的关键．
【题型2 利用分式的基本性质解决问题】
【例2】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）下列代数式变形正确的是（ ）
A．2a+1b+1=2abB．−x−yx+y=−x+yx+yC．+2y=2xx+2yD．ab=a2b2
【答案】A
【分析】利用分式的基本性质逐个变形得结论．
【详解】解：A、 2a+1b+1=2ab分式的分子分母都减去1，不符合分式的基本性质，变形不正确；
B、−x−yx+y=−x+yx+y，符合分式的基本性质，变形正确；
C、+2y分式的分子分母都乘以10得2xx+20y，变形错误；
D、 ab分式乘方得a2b2，不符合分式的基本性质，变形错误．
【点睛】本题主要考查了分式的性质，掌握分式的基本性质是解决本题的关键．
【变式2-1】（2023下·重庆万州·八年级重庆市万州第一中学校联考期中）把分式2x+3yx2−y2的x、y均缩小为原来的10倍后，则分式的值（ ）
A．为原分式值的110B．为原分式值的1100
C．为原分式值的10倍D．不变
【答案】B
【分析】将所给分式里的x、y换成110x、110y，利用分式的基本性质化简分式，与原分式比较即可求解．
【详解】解：x、y均缩小为原来的10倍后，
2×110x+3×110y110x2−110y2
=1102x+3y1100x2−1100y2
=1102x+3y1100x2−y2
=10×2x+3yx2−y2，
∴分式的值为原分式值的10倍，
【点睛】本题考查分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质化简分式是解答的关键．
【变式2-2】（2023上·重庆北碚·八年级统考期末）将x0.2−0.5+的分母化为整数，得（ ）
A．x2−0.5+0.01x3=1B．5x−50+x3=100
C．x20−0.5+0.01x3=100D．5x−50+x3=1
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质求解．
【详解】解：将x0.2−0.5+的分母化为整数，可得5x−50+x3=1．
故选：D．
【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键．
【变式2-3】（2023下·江苏南京·八年级校联考期末）若分式2x2x−y的值为6，当x、y都扩大2倍后，所得分式的值是 ．
【答案】12
【分析】将原分式中的x、y用2x、2y代替，化简，再与原分式进行比较即可．
【详解】将分式2x2x−y中x、y都扩大2倍后所得式子为
2(2x)22x−2y=8x22x−2y=4x2x−y=2⋅2x2x−y，
若分式2x2x−y的值为6，
则所得分式的值是6×2=12．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子，分母变化的倍数．解此类题目首先把字母变化后的值带入式子中，然后约分，再与原式比较最终得出结论．
【题型3 分式的化简求值】
【例3】（2023下·江苏盐城·八年级景山中学校考期中）先化简，再求值：x2x−3+93−x÷x−1x2−2x+1，其中x满足x2+2x−2026=0
【答案】x2+2x−3，2023
【分析】根据分式的混合运算法则把已知化简，整体代入计算即可．
【详解】解：原式=x2x−3−9x−3⋅x−12x−1
=x+3x−3x−3⋅x−12x−1
=x+3x−1
=x2+2x−3，
∵x2+2x−2026=0，
∴x2+2x=2026，
∴原式=2026−3=2023．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
【变式3-1】（2023上·湖南岳阳·八年级统考期中）先化简，再求值：x+1x2−1+xx−1÷x+1x2−2x+1，其中−1≤x1的负整数解．
【答案】x−2x；3
【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简．然后解一元一次不等式求出负整数解，代x的值求值．
【详解】解：原式=x2−4−x2+xxx−2÷x−4x−22=x−4xx−2⋅x−22x−4=x−2x
解3x+7>1得x>−2，负整数解为x=−1
将x=−1代入原式=−1−2−1=3
【变式3-3】（2023上·广西柳州·八年级校考期中）已知x2−10x+25与y−3互为相反数，求y2x−y2⋅x2+y2−2xyy3÷x2−y2x+y的值．
【答案】32
【分析】先化简分式，再由x2−10x+25与y−3互为相反数得x、y的值，代入即可求解；
【详解】解：原式=y4x−y2⋅x−y2y3⋅x+yx+yx−y
=yx−y
∵x2−10x+25与y−3互为相反数，
∴x2−10x+25+y−3=0，
∴x−52+y−3=0，
∴x=5，y=3，
∴原式=35−3=32．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值、相反数的应用，掌握相关运算法则是解本题的关键．
【题型4 比较分式的大小】
【例4】（2023·河北石家庄·统考二模）要比较A=2xx+1与B=x+12中的大小（x是正数），知道A−B的正负就可以判断，则下列说法正确的是（ ）
A．A≥BB．A＞BC．A≤BD．A＜B
【答案】B
【分析】将A−B进行化简得到A−B=−x−122x+1，利用x是正数，可得出A−B≤0，即可判断A和B的大小，进而可得答案．
【详解】解：由题意可知：
A−B=4x−x+122x+1=−x−122x+1
∵x＞0，
∴x+1＞0，x−12≥0，
∴A−B≤0，即A≤B，
【点睛】本题考查比较分式大小，完全平方公式，解题的关键在于正确的通分化简．
【变式4-1】（2023下·江苏扬州·八年级南海中学阶段练习）已知：A=a+1a+2,B=a+3a+4
（1）若A=1−ma+2，求m的值；
（2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数；
（3）若a＞0，比较A与B的大小关系．
【答案】（1）m=1;（2）—3或—5;（3）A＜B.
【详解】试题分析: （1）根据分式的值相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；
（2）根据拆项法，可得1-1a+4，根据1a+4是整数，可得a的值；
（3）根据作差法，可得答案．
试题解析:
(1)由A=a+1a+2，
得a+1a+2=1−ma+2=a+2−ma+2 ，
2−m=1，
解得m=1；
(2)B=a+4−1a+4=1−1a+4，
∴当a+4=±1时B为整数
a=−3，a=−5.
(3)当a>0时,A−B=-2(a+2)(a+4)x1>2，
∴x2−2>x1−2>0，
∴b>a>0，
∵p=4(x1−2)+(x2−2)，q=1x1−2+1x2−2，
∴p=4a+b，q=1a+1b，即q=a+bab，
则有：p−q=4a+b−a+bab，
即p−q
=4a+b−a+bab
=4ab−(a+b)2(a+b)ab
=4ab−a2−2ab−b2(a+b)ab
=−a2+2ab−b2(a+b)ab
=−(a−b)2(a+b)ab，
∵b>a>0，
∴(a+b)ab＞0，(a−b)2＞0
∴−(a−b)2(a+b)ab＜0，
∴p−q＜0，
∴p＜q，
结论得证．
【点睛】本题主要考查了代数式的运算以及求解二元一次方程的正整数解等知识，解答本题要注重换元的思想．
【题型5 解分式方程的一般方法】
【例5】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）解下列方程：
(1)2x−3=3x；
(2)xx−1−1=3x−1x+2．
【答案】(1)x=9
(2)原方程无解
【分析】（1）先去分母，解方程，再进行检验即可解答；
（2）先去分母，解方程，再进行检验即可解答．
【详解】（1）解：原方程得：2x=3x−9，
解得x=9，
经检验x=9是原方程的解；
（2）解：由原方程得：xx+2−x−1x+2=3，
整理得x2+2x−x2−x+2=3，
解得x=1，
经检验，当x=1时，x−1x+2=0，
∴原方程无解．
【点睛】本题考查了解分式方程，记得检验计算的结果对分式是否有意义是解题的关键．
【变式5-1】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）如图所示的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求得的值与原题的正确结果一样．则图中被污染掉的x的值是 ．

【答案】4
【分析】先根据分式的加法运算法则化简分式，再根据计算结果确定x值即可．
【详解】解：x−45−x+1
=x−45−x+5−x5−x
=15−x，
由题意，15−x=1，
∴5−x=1，
解得x=4，
经检验，x=4是所列方程的根，且符合题意，
故答案为：4．
【点睛】本题考查分式的加法、解分式方程，熟练掌握分式的加法运算法则，正确得到化简结果是解答的关键．
【变式5-2】（2023上·湖南怀化·八年级校考期中）解下列分式方程
(1)40x+5=20；
(2)xx−2+1x2−4=1．
【答案】(1)x=−3；
(2)x=−52．
【分析】（1）方程两边同时乘以x+5化为一元一次方程，求解检验即可；
（2）方程两边同时乘以x+2x−2化为一元一次方程，求解检验即可．
【详解】（1）解：左右两边同时乘以(x+5)得：
40=20(x+5)，
40=20x+100，
−20x=60，
x=−3，
检验：把x=−3代入最简公分母得x+5≠0，
∴x=−3是原分式方程的解；
（2）原方程可化为：
xx−2+1(x+2)(x−2)=1，
左右两边同时乘以(x+2)(x−2)得：
x(x+2)+1=(x+2)(x−2)，
x2+2x+1=x2−4，
2x=−5，
∴x=−52，
经检验，x=−52是原方程的解．
【点睛】此题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
【变式5-3】（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的．其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石．相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益．小王在复习时发现一道这样的错题：
解方程：1−x+32x−2=2x1−x
解：1−x+32x−1=−2xx−1①
1−x+3=−4x③
1−x−3=−4x③
−x+4x=−1+3④
3x=2⑤
x=23⑥
(1)请你帮他找出这道题从第_______步开始出错；
(2)请完整地解答此分式方程；
(3)通过解分式方程，你获得了哪些活动经验？（至少要写出两条）
【答案】(1)③
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据去分母，两边同时乘2x−1，即可确定；
（2）先去分母，再解一元一次方程，最后检验；
（3）从求解的每一步分析，得出需要注意的地方．
【详解】（1）解：这道题从第③步开始出错；
（2）1−x+32x−2=2x1−x，
去分母得：2x−1−x+3=−4x，
2x−2−x−3=−4x，
2x−x+4x=2+3，
5x=5，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x−1=0，
∴x=1是原方程的增根，故无解．
（3）解分式方程去分母时，每一项都要乘以最简公分母；
解分式方程要检验．
【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
【题型6 裂项相消法解分式方程】
【例6】（2023上·广东珠海·八年级统考期末）李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：11×2+12×3+13×4=1−12+12−13+13−14=1−14=34，利用上面这个运算规律解决以下问题：
(1)求15×6+16×7+17×8的值；
(2)证明：11×2+12×3+13×4+⋯+1(n−1)n+1n(n+1)