这是一份苏科版八年级数学下册举一反三专题10.3分式方程【十大题型】同步练习(学生版+解析)，共37页。
专题10.3 分式方程【十大题型】【苏科版】TOC \o "1-3" \h \u HYPERLINK \l "_Toc31502" 【题型1 分式方程的定义】 PAGEREF _Toc31502 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc8884" 【题型2 分式方程的一般方法】 PAGEREF _Toc8884 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc22711" 【题型3 换元法解分式方程】 PAGEREF _Toc22711 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc9341" 【题型4 裂项法解分式方程】 PAGEREF _Toc9341 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc22956" 【题型5 由分式方程有解或无解求字母的值】 PAGEREF _Toc22956 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2763" 【题型6 由分式方程有增根求字母的值】 PAGEREF _Toc2763 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc30423" 【题型7 由分式方程有整数解求字母的值】 PAGEREF _Toc30423 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc8238" 【题型8 由分式方程解的取值范围求字母的范围】 PAGEREF _Toc8238 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc22697" 【题型9 分式方程的规律问题】 PAGEREF _Toc22697 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc23270" 【题型10 分式方程的新定义问题】 PAGEREF _Toc23270 \h 6【知识点1 分式方程】分母中含有未知数的方程叫分式方程.【题型1 分式方程的定义】【例1】（2023·山东聊城·八年级期末）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号）①ax+b2=5；③14(x+b)+2=x+53；③m+xa+2=m−xa；④2x2x−1=2x；⑤1+1x=2−3x；⑥a+bx=a+ba；⑦1a−1x=1b−bx；⑧x−ba=2+x+ba；⑨x−nx+m+x+mx−n=2．【变式1-1】（2023下·河南郑州·八年级校考期末）请写出一个未知数是x的分式方程，并且当x=1时没有意义 ．【变式1-2】（2023·广西贵港·八年级期中）下列关于x的方程是分式方程的是( )A．x+25−3=3+x6; B．x−17+a=3−x; C．xa−ab=ba−xb; D．(x−1)2x−1=1【变式1-3】（2023上·八年级课时练习）有下列方程：①23x2=1；③2π−x2=1；③23x=x；④1x−2+3=x−1x−2；⑤1x=2；⑥2x−3y=0；⑦x+12−3=2x7；⑧x+1x−2+3；⑨3x−2=5x，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号）【知识点1 解分式方程】分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。分式方程解方程的步骤： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③解整式方程 = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程 = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④作答【题型2 分式方程的一般方法】【例2】（2023上·北京·八年级校考期末）解分式方程：①xx−3+x+8x(x−3)=1③1x−2=1−x2−x−4【变式2-1】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）解下列方程：(1)2x−3=3x；(2)xx−1−1=3x−1x+2．【变式2-2】（2023下·宁夏银川·八年级银川一中校考期中）阅读下列解题过程，回答所提出的问题：题目：解分式方程：3x−2−2x+2=8x2−4解：方程两边同时乘以(x+2)(x−2)⋯⋯A得：3（x+2)−2(x−2)=8⋯⋯B去括号得：3x+6−2x+4=8⋯⋯C解得：x=−2⋯⋯D所以原分式方程的解是：x=−2⋯⋯E(1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号： ；(2)错误的原因是 ；(3)订正错误．【变式2-3】（2023上·河北秦皇岛·八年级统考期中）对于任意的实数a，b，规定新运算：a※b=a+b÷b．(1)计算：1m−1※−2m+1；(2)若1m−1※−2m+1+1=16，求m的值．(要求写出解方程过程)【题型3 换元法解分式方程】【例3】（2023下·陕西西安·八年级校考阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题．解方程：x−1x−4xx−1=0． 解：设y=x−1x，则原方程化为y−4y=0，方程两边同时乘y，得y2−4=0，解得y=±2．经检验：y=±2都是方程y−4y=0的解．当y=2时，x−1x=2，解得x=−1；当y=−2时，x−1x=−2，解得x=13．经检验：x=−1和x=13都是原分式方程的解，所以原分式方程的解为x=−1或x=13．上述这种解分式方程的方法称为换元法．用换元法解：x+12x−1−2x−1x+1=0．【变式3-1】（2023下·上海杨浦·八年级上海同济大学附属存志学校校考期中）解分式方程x2−13x+5=6x+10x2−1+1，用y=x2−13x+5换元整理后得到的关于y的整式方程是 ．【答案】y2-y-2=0【变式3-2】（2023上·河南三门峡·八年级统考期末）换元法解方程：x−1x+2－3x−1－1＝0.【变式3-3】（2023下·山西晋城·八年级统考阶段练习）换元法解方程：x−1x+2−27x−1−9=0．【题型4 裂项法解分式方程】【例4】（2023上·湖南娄底·八年级统考期中）观察下列各式：11×2=1−12；12×3=12−13 13×4=13−14；…．请利用你所得的结论，解答下列问题：(1)计算：11×2+12×3+13×4+⋅⋅⋅+1nn+1．(2)解方程1x+10+1x+1x+2+1x+2x+3+⋅⋅⋅+1x+9x+10=2．(3)若11×4+14×7+17×10+⋅⋅⋅+13n+13n+4=619，求n的值．【变式4-1】解方程：3(x−1)(x−4)=1x-1【变式4-2】（2023上·广西桂林·八年级校联考期中）解方程：1(x−10)(x−9)+1(x−9)(x−8)+1(x−7)(x−6)+⋯+1x(x+1)=1x+1【变式4-3】（2023上·广东珠海·八年级统考期末）解方程：13x+115x+160x+163x=1x+1．【题型5 由分式方程有解或无解求字母的值】【例5】（2023下·四川遂宁·八年级统考期末）若关于x的方程m(x+1)−52x+1=m−3无解，则m的值为（ ）A．3 B．6或10 C．10 D．6【变式5-1】（2023上·湖南岳阳·八年级统考期中）关于x的分式方程3x+6x−1−x+kxx−1=0有解，则k满足 ．【变式5-2】（2023上·湖南邵阳·八年级统考期末）已知分式方程2x−1+x1−x=■有解，其中“■”表示一个数．(1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解；(2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是−1或0，试确定“■”表示的数．【变式5-3】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）对于实数x，y定义一种新运算“※”：x※y=yx2−y，例如：1※2=212−2=−2，则分式方程−1※x=mxx−1−1无解时，m的值是 ．【题型6 由分式方程有增根求字母的值】【例6】（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知关于x的方程ax+bx−1=b，其中a，b均为整数且a≠0．(1)若方程有增根，则a，b满足怎样的数量关系？(2)若x=a是方程的解，求b的值．【变式6-1】（2023下·山东枣庄·八年级统考阶段练习）若关于x的方程ax+1x−1−1=0有增根，则a的值为 ．【变式6-2】（2023上·湖北武汉·八年级校考期末）若分式方程1x−2+3=b−xa+x有增根，则a的值是（ ）A．1 B．0 C．−1 D．−2【变式6-3】（2023上·山东淄博·八年级山东省淄博第四中学校考期末）分式方程x+kx−1−1=4x2−1若有增根，则k的值是 ．【题型7 由分式方程有整数解求字母的值】【例7】（2023下·山东济南·八年级统考期中）若关于x的分式方程x+ax−2+2a2−x=5的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）A．18 B．16 C．12 D．6论求解．(3)方程2x−3x+1+x+12x−3=376的解为 ．【变式9-1】（2023下·八年级课时练习）阅读下列材料：方程1x+1−1x=1x−2−1x−3的解为x＝1；方程1x−1x−1=1x−3−1x−4的解为x＝2；方程1x−1−1x−2=1x−4−1x−5的解为x＝3；…(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并猜出这个方程的解；(2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为－5的分式方程．【变式9-2】（2023上·山东淄博·八年级统考期末）已知：①x+2x=3可转化为x+1×2x=1+2，解得x1=1,x2=2，③x+6x=5可转化为x+2×3x=2+3，解得x1=2,x2=3，③x+12x=7可转化为x+3×4x=3+4，解得x1=3,x2=4，⋯⋯根据以上规律，关于x的方程x+m2+4m−12x+5=2m−1(m为常数)的解为 ．【变式9-3】（2023·陕西·八年级统考期末）解方程：①1x+1=2x+1−1的解x= ．③2x+1=4x+1−1的解x= ．③3x+1=6x+1−1的解x= ．④4x+1=8x+1−1的解x= ．…（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．【题型10 分式方程的新定义问题】【例10】（2023上·北京延庆·八年级统考期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程ax+1=b的解是x=1a+b成立，那么我们就把实数a，b称为关于x的分式方程ax+1=b的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：a=2，b=−5就是关于x的分式方程ax+1=b的一个“方程数对”，记为[2，−5]．(1)判断数对①[3，−5]，③[−2，4]中是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”的是 ；（只填序号）(2)若数对[n，3−n]是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”，求n的值；(3)若数对[m−k，k]（m≠−1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”，用含m的代数式表示k．【变式10-1】（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）当a≠b时，定义一种新运算：F(a,b)=2a−b,a>b2bb−a,a
1，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）A．18 B．16 C．12 D．6【答案】A【分析】先求出分式方程的解，再利用分式方程的解为非负整数解，以及a满足不等式a+2>1，求出−1＜a≤10，再利用x=10−a4是非负整数可知10−a是4的倍数分析即可．【详解】解：由题意可知：x+a−2ax−2=5，x−a=5x−2，x=10−a4，∵分式方程的解是非负整数解，且a满足不等式a+2>1，∴10−a4≥0a+2＞1，解得：−1＜a≤10．∵x=10−a4是非负整数，则：当10−a=0时，a=10，此时x=0，经检验，x=0是分式方程的解；当10−a=4时，a=6，此时x=1，经检验，x=1是分式方程的解；当10−a=8时，a=2，此时x=2，经检验，x=2不是分式方程的解；∴满足条件的整数a的值之和是16．故选：B【点睛】本题考查解分式方程，不等式组的应用，解题的关键是求出−1＜a≤10，再利用x=10−a4是非负整数，求出a的值即可．【变式7-1】（2023上·北京·八年级清华附中校考期末）若关于x的分式方程1−axx−2+3=12−x有正整数解，则整数a= ．【答案】2或−1【分析】先去分母解整式方程得x=43−a，根据分式方程有正整数解，得到3−a的值为1或2或4，且43−a≠2，由此求出答案．【详解】解：去分母得，1−ax+3x−2=−1，整理得，3−ax=4，解得x=43−a，∵分式方程有正整数解，∴3−a的值为1或2或4，且43−a≠2，解得a=2或−1，故答案为：2或−1．【点睛】此题考查了根据分式方程的解的情况求参数，正确掌握解分式方程的步骤及法则是解题的关键．【变式7-2】（2023下·江苏常州·八年级统考期末）若关于x的分式方程2x−1=mx有正整数解，则整数m的值是 ．【答案】3或4.【分析】先解分式方程，当m≠2时，可得x=1+2m−2,再根据x为正整数，且x≠1,x≠0, m为整数，逐一分析可得答案.【详解】解：∵ 2x−1=mx，∴2x=m(x−1), ∴(2−m)x=−m, 当m≠2时，x=−m2−m=mm−2=m−2+2m−2=1+2m−2, ∵x为正整数，且x≠1,x≠0, m为整数，∴m−2是2的因数，∴m−2=±1,m−2=±2, ∴m=3,m=1,m=4,m=0, 当m=3时，x=3,当m=1时，x=1+(−2)=−1，舍去，当m=4时，x=2, 当m=0时，x=0，舍去，所以m的值为：m=3或m=4，故答案为：3或4.【点睛】本题考查的是解分式方程，根据分式方程的解为正整数求解字母系数的值，正确分析各个限制性的条件，理解题意是解题的关键.【变式7-3】（2023下·重庆·八年级重庆一中校考期中）已知关于x的不等式组x−66+2x+13≤724(x+a)+1<3(2x+1)无解，关于y的分式方程ay−2y−2=82y−y2有整数解，则满足条件的所有整数a的和为（ ）A．6 B．9 C．10 D．13【答案】A【分析】先根据一元一次不等式组无解可得a≥3，再解分式方程得y＝2−4a−2，且y≠0， y≠2，求得a＝3或a＝6．【详解】解：x−66+2x+13≤72①4x+a+1<32x+1③，由①得，x≤5，由③得，x＞2a﹣1，∵不等式组无解，∴2a﹣1≥5，∴a≥3，ay−2y−2=82y−y2，方程的两边同时乘y（y﹣2），得，a（y﹣2）﹣2y＝﹣8，整理得，（a﹣2）y＝2a﹣8，∵方程有整数解，∴y=2a−8a−2=2−4a−2，∴a﹣2＝±1，a﹣2＝±2，a﹣2＝±4，∴a＝3或a＝1或a＝4或a＝0或a＝6或a＝﹣2，∵a≥3，∴a＝3或a＝4或a＝6，∵y≠0，y≠2，∴a≠4，∴所有a的和为9，【点睛】本题主要考查含参数的分式方程以及一元一次不等式组，把分式方程和一元一次不等式组进行化简，是解题的关键．【题型8 由分式方程解的取值范围求字母的范围】【例8】（2023·黑龙江·统考中考真题）已知关于x的分式方程m−2x+1=1的解是负数，则m的取值范围是（ ）A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m＜3 D．m＜3且m≠2【答案】D【分析】解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m的取值范围.【详解】m−2x+1=1，解得：x=m﹣3，∵关于x的分式方程m−2x+1=1的解是负数，∴m﹣3＜0，解得：m＜3，当x=m﹣3=﹣1时，方程无解，则m≠2，故m的取值范围是：m＜3且m≠2，故选D．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键．【变式8-1】（2023·山东日照·日照市新营中学校考一模）已知关于x的分式方程m+32x−1=1的解不大于2，则m的取值范围是 ．【答案】m≤0，且m≠-3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解不大于2且最简公分母不为0，求出m的范围即可．【详解】解：m+32x−1=1去分母得：m+3=2x-1，解得：x=m+42，且2x-1≠0，即x≠12 ，根据题意得：m+42≤2，且x≠12解得：m≤0，且m≠-3，故答案为：m≤0，且m≠-3．【点睛】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．【变式8-2】（2023下·山西晋城·八年级校考期中）已知关于x的分式方程1x−1+2=k−11−x．(1)若分式方程的解为x=2，求k的值．(2)若分式方程有正数解，求k的取值范围．【答案】(1)k=−2(2)k<2且k≠0【分析】（1）将x=2代入方程，即可求出k的值；（2）先解分式方程，得x=−k+22，再根据方程有正数解以及分母不为0，即可求出k的取值范围．【详解】（1）解：将x=2代入1x−1+2=k−11−x，得12−1+2=k−11−2，即1+2=−k−1，解得k=−2；（2）解：将1x−1+2=k−11−x去分母，得1+2x−1=−k−1，解得x=−k+22，因为分式方程有正数解，则x>0，即−k+22>0，所以k<2，又因为分母不为0，即x≠1，那么−k+22≠1，所以k≠0，故k<2且k≠0．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握解分式方程是解题的关键．【变式8-3】（2023上·江苏南通·八年级启东市长江中学校考期末）若关于x的分式方程2x−3=1−m3−x的解为非负数，则m的取值范围是 ．【答案】m≤5且m≠2【分析】先解分式方程可得x=5−m，再根据分式方程的解为非负数建立不等式组即可得到答案．【详解】解：2x−3=1−m3−x，去分母得：2=x−3+m，整理得：x=5−m，∵关于x的分式方程xx−3=2+m3−x的解为非负数，∴5−m≥05−m≠3，解得：m≤5且m≠2．故答案为：m≤5且m≠2．【点睛】本题考查的是分式方程的解法，分式方程的解，不等式组的解法，掌握“解分式方程的步骤与方法，以及分式方程的解的含义”是解本题的关键．【题型9 分式方程的规律问题】【例9】（2023下·江苏常州·八年级校考期中）先阅读下面的材料，然后回答问题：方程x+1x=2+12的解为x1=2，x2=12；方程x+1x=3+13的解为x1=3，x2=13；方程x+1x=4+14的解为x1=4，x2=14；…(1)根据上面的规律，猜想关于x的方程x+1x=a+1a的两个解是 ．(2)解方程：y+2y+5y+2=174，可以变形转化为x+1x=a+1a的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的结论求解．(3)方程2x−3x+1+x+12x−3=376的解为 ．【答案】(1)x1=a，x2=1a(2)y1=2，y2=−74，过程见解析(3)x1=−94，x2=1911【分析】（1）从数字找规律，即可解答；（2）先将原方程进行变形可得：(y+2)+1y+2=4+14，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答；（3）利用换元法将原方程化为：m+1m=6+16，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答．【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想关于x的方程x+1x=a+1a的两个解是x1=a，x2=1a，故答案为：x1=a，x2=1a；（2）解：y+2y+5y+2=174，y+2y+4+1y+2=174y+2(y+2)y+2+1y+2=174，(y+2)+1y+2=4+14，∴y+2=4或y+2=14，∴y1=2，y2=−74，经检验：y1=2，y2=−74是原方程的根；（3）解：令2x−3x+1=m，则原方程可化为：m+1m=376，∴m+1m=6+16，∴m1=6，m2=16，∴ 2x−3x+1=6或2x−3x+1=16，解得：x1=−94，x2=1911，经检验：x1=−94，x2=1911是原方程的根，故答案为：x1=−94，x2=1911．【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键．【变式9-1】（2023下·八年级课时练习）阅读下列材料：方程1x+1−1x=1x−2−1x−3的解为x＝1；方程1x−1x−1=1x−3−1x−4的解为x＝2；方程1x−1−1x−2=1x−4−1x−5的解为x＝3；…(1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并猜出这个方程的解；(2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为－5的分式方程．【答案】（1）1x−a−1x−(a+1)=1x−(a+3)−1x−(a+4)，它的解是x＝a＋2(a为整数)；（2）1x+7−1x+6=1x+4−1x+3.【分析】（1）观察发现规律，根据所给式子可得答案；（2）根据规律，可得方程．【详解】解：(1)方程可以是1x−a−1x−(a+1)=1x−(a+3)−1x−(a+4)，它的解是x＝a＋2(a为整数)．(2)1x+7−1x+6=1x+4−1x+3.【点睛】本题考查了解分式方程，细心观察并总结出一般规律是解题关键.【变式9-2】（2023上·山东淄博·八年级统考期末）已知：①x+2x=3可转化为x+1×2x=1+2，解得x1=1,x2=2，③x+6x=5可转化为x+2×3x=2+3，解得x1=2,x2=3，③x+12x=7可转化为x+3×4x=3+4，解得x1=3,x2=4，⋯⋯根据以上规律，关于x的方程x+m2+4m−12x+5=2m−1(m为常数)的解为 ．【答案】x1=m+1，x2=m−7【分析】根据已知数列找出规律进而得出x+m2+4m−12x+5=2m−1的解．【详解】解：∵①x+2x=3可转化为x+1×2x=1+2，解得x1=1,x2=2，③x+6x=5可转化为x+2×3x=2+3，解得x1=2,x2=3，③x+12x=7可转化为x+3×4x=3+4，解得x1=3,x2=4，⋯⋯∴规律为：x+mnx=m+n，其解为：x1=m，x2=n，∴关于x的方程x+m2+4m−12x+5=2m−1(m为常数)，∴x+5+m2+4m−12x+5=2m−1+5，(x+5)+(m+6)(m−2)x+5=(m+6)(m−2)，∴x1+5=m−2，x2+5=m+6，∴x1=m+1，x2=m−7，故答案为：x1=m+1，x2=m−7．【点睛】本题考查了分式方程，利用转化思想是解题的关键【变式9-3】（2023·陕西·八年级统考期末）解方程：①1x+1=2x+1−1的解x= ．③2x+1=4x+1−1的解x= ．③3x+1=6x+1−1的解x= ．④4x+1=8x+1−1的解x= ．…（1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解．（2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解．【答案】①x=0③x=1③x=2④x=3（1）x=4，x=5（2）x=n﹣1【详解】试题分析：（1）等号左边的分母都是x+1，第一个式子的分子是1，第二个式子的分子是2，那么第5个式子的分子是5，第6个式子的分子是6．等号右边被减数的分母是x+1，分子的等号左边的分子的2倍，减数是1，第一个式子的解是x=0，第二个式子的解是x=1，那么第5个式子的解是x=4．第6个式子的解是x=5．．（2）由（1）得第n个式子的等号左边的分母是x+1，分子是n，等号右边的被减数的分母是x+1，分子是2n，减数是1，结果是x=n−1．试题解析：①x=0，③x=1，③x=2，④x=3． （1）第⑤个方程：5x+1=10x+1−1解为x=4． 第⑥个方程：6x+1=12x+1−1解为x=5． （2）第n个方程：nx+1=2nx+1−1解为x=n−1． 方程两边都乘x+1， 得n=2n−x+1． 解得x=n−1．【题型10 分式方程的新定义问题】【例10】（2023上·北京延庆·八年级统考期中）给出如下的定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程ax+1=b的解是x=1a+b成立，那么我们就把实数a，b称为关于x的分式方程ax+1=b的一个“方程数对”，记为[a，b]．例如：a=2，b=−5就是关于x的分式方程ax+1=b的一个“方程数对”，记为[2，−5]．(1)判断数对①[3，−5]，③[−2，4]中是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”的是 ；（只填序号）(2)若数对[n，3−n]是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”，求n的值；(3)若数对[m−k，k]（m≠−1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”，用含m的代数式表示k．【答案】(1)①(2)n=12(3)k=m2+1m+1【分析】（1）根据题中运算方法计算判断即可；（2）根据题意，x=13是关于x的分式方程nx+1=3−n的解，将x=13代入方程中求解即可；（3）根据题意，x=1m是关于x的分式方程m−kx+1=k的解，将x=1m代入分式方程m−kx+1=k中求解即可．【详解】（1）解：①当a=3，b=−5时，解方程3x+1=−5得x=−12，经检验，x=−12是该分式方程的解，又x=−12=13+−5， ∴3,−5是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”；③当a=−2，b=4时，解方程−2x+1=4得x=−23，经检验，x=−23是该分式方程的解，又x=−23≠1−2+4， 故−2,4不是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”，故答案为：①；（2）解：∵数对n,3−n是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”，∴x=1n+3−n=13是关于x的分式方程nx+1=3−n的解，将x=13代入分式方程nx+1=3−n中，得3n+1=3−n，解得n=12；（3）解：∵数对m−k,k（m≠−1且m≠0，k≠1）是关于x的分式方程ax+1=b的“方程数对”，∴x=1m−k+k=1m是关于x的分式方程m−kx+1=k的解，将x=1m代入分式方程m−kx+1=k中，得mm−k+1=k，则m+1k=m2+1，∵m≠−1，∴k=m2+1m+1．【点睛】本题考查解分式方程、分式方程的解，理解题中定义，掌握分式方程的解满足分式方程是解答的关键．【变式10-1】（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）当a≠b时，定义一种新运算：F(a,b)=2a−b,a>b2bb−a,aa，所以F(a+1,a)=2a+1−a=2；（2）m>2时，F(m,2)−F(2,m)=2m−2−2mm−2=1，解得m=43<2，不合题意，舍去．m<2时，F(m,2)−F(2,m)=2×22−m−22−m=1，解得m=0．综上，m=0．【点睛】本题主要考查新定义与分式方程的求解，根据题目给定公式代值计算即可，第（2）问注意对m的值进行分类讨论求解，注意求解出来的m的值要根据分类讨论时的取值范围进行取舍．【变式10-2】（2023下·江苏扬州·八年级统考期中）对于一些特殊的方程，我们给出两个定义：①若两个方程有相同的一个解，则称这两个方程为“相似方程”；③若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．(1)判断一元一次方程3－2(1－x)=4x与分式方程2x+12x−1−1=44x2−1是否是“相似方程”，并说明理由；(2)已知关于x，y的二元一次方程y=mx+6与y=x+4m是“相伴方程”，求正整数m的值．【答案】(1)不是“相似方程”，理由见解析(2)m=2或3①求a，b的值；③若Tm+1,2m−2=T2m+2,m−3，求m的值．【答案】(1)16a+b3(2)①a=1b=1；③m=−1【分析】（1）利用新运算的规定解答即可；（2）①利用新运算的规定得到关于a,b的方程，解方程即可求得结论；③利用新定义的规定列出关于m的等式，再将a,b的值代入求解即可．【详解】（1）解：T(4,−1)=a×42+b×(−1)24−1=16a+b3．故答案为：16a+b3；（2）①∵T(−2,0)=−2，∴a×(−2)2+b×02−2+0=−2，整理，可得a=1①，∵T(5,−1)=132，∴a×52+b×(−1)25−1=132，∴25a+b=26③，由①、③组成二元一次方程组a=125a+b=26，解得a=1b=1；③∵Tm+1,2m−2=T2m+2,m−3，∴a×m+12+b×2m−22m+1+2m−2=a×2m+22+b×m−322m+2+m−3 ，∵a=1b=1，∴m+12+2m−22m+1+2m−2=2m+22+m−322m+2+m−3，∴m2+2m+1+4m2−8m+4=4m2+8m+4+m2−6m+9，∴5−6m=2m+13，∴m=−1，经检验，m=−1是原方程的根，∴m=−1．【点睛】本题主要考查了新定义下的运算、解分式方程、二元一次方程组等知识，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
