北京市石景山区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义，即可判断选项.
【详解】集合，，由交集的定义可知，
.
故选：B
2. 已知命题p：“”，则为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据命题的否定的定义判断．
【详解】特称命题的否定是全称命题．
命题p：“”，的否定为：．
故选：C．
3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据各选项中的函数直接判断单调性即可.
【详解】函数在R上单调递减，A不是；
函数在上单调递减，在上单调递增，则在上不单调，B不是；
函数的R上单调递减，C不是；
函数在R上单调递增，在上单调递增，D是.
故选：D
4. 已知关于的不等式的解集是则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的解集与相应方程的根的关系，利用韦达定理求解．
【详解】由题意和1是方程的两根，所以，，，
∴．
故选：B．
5. “”是“”的（ ）
A 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】首先求解的解集，再根据集合的包含关系，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】由，得，
因为，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
6. 某中学高三年级共有学生800人，为了解他们的视力状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有女生11人，则该校高三年级共有男生（ ）人
A. 220B. 225C. 580D. 585
【答案】C
【解析】
【分析】利用分层抽样比例一致得到相关方程，从而得解.
【详解】依题意，设高三男生人数为人，则高三女生人数为人，
由分层抽样可得，解得.
故选：C.
7. 若则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质，以及指数函数的性质，基本不等式，即可判断选项.
【详解】A.因为，则，则，故A错误；
B. 因为，所以，故B错误；
C.在R上单调递增，当时，，故C错误；
D.因为，所以和都大于0，则，
当时，即时等号成立，所以“=”不能取到，所以，故D正确
故选：D
8. 已知函数，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据分段函数的定义区间，结合函数解析式，求函数值.
【详解】函数，则.
故选：C
9. 已知函数，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由可得，即的图象在图象的上方，画出图象，即可得出答案.
【详解】因为的定义域为，
因为，，
由可得，即的图象在图象的上方，
画出的图象，如下图，

由图可知：不等式的解集是.
故选：D.
10. 已知非空集合，满足以下两个条件：
（1），；
（2）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素.
则有序集合对的个数为（ ）
A. 12B. 10C. 6D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】首先讨论集合中的元素个数，确定两个集合中的部分元素，再结合组合数公式，即可求解.
【详解】若集合中只有1个元素，则集合只有5个元素，，，
即，，此时有个；
若集合中只有2个元素，则集合只有4个元素，，，
即，，此时有个；
若集合中只有3个元素，则集合只有3个元素，，，不满足题意；
若集合中只有4个元素，则集合只有2个元素，，，
即，，此时有个；
若集合中只有5个元素，则集合只有1个元素，，，
即，，此时有个；
故有序集合对的个数是.
故选：B
第二部分（非选择题 共60分）
二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.
11. 函数的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用函数有意义列式求解即得.
【详解】函数有意义，则且，解得，
所以函数的定义域为.
故答案为：
12. 已知，则当______时，取得最小值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由基本不等式求解即可.
【详解】因为，，所以
，当且仅当，即时取等，
所以当时，取得最小值为.
故答案为：；.
13. 不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】将分式不等式转化成整式不等式求解即可得出答案.
【详解】根据不等式整理可得，
即，等价于，
解得；
所以不等式的解集为
故答案为：
14. 写出一个值域为的偶函数______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据偶函数的性质，以及指数函数的性质，即可求解的解析式.
【详解】设，
函数的定义域为，且，即函数为偶函数，
，所以，即函数的值域为,
所以满足条件的一个函数.
故答案为：
15. 已知函数，
（1）若，则的最大值是______；
（2）若存在最大值，则的取值范围为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）若，则，由二次函数的性质可得出答案；
（2）当时，由（1）知，存在最大值，当时，若存在最大值，在应单调递减，所以，即可得出答案.
【详解】（1）若，则，
当时，，所以，
则的最大值是.
（2）当时，由（1）知，存在最大值，
当时，若存在最大值，在应单调递减，
所以，且当时，，无最大值，
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以存在最大值为.
故的取值范围为：.
故答案为：；.
三、解答题共5小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知集合，集合
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；
（2）
【解析】
【分析】（1）分别求集合，再求；
（2）根据（1）的结果，首先求，再根据集合的运算结果，求实数的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
，得或，即或，
所以或；
【小问2详解】
由（1）可知，，，
若，则.
17. 已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的.
（1）求丙投篮命中的概率；
（2）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率；
（3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）首先设甲，乙，丙投篮命中分别为事件，根据独立事件概率公式，即可求解；
（2）根据（1）的结果，根据公式，即可求解；
（3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根据概率的运算公式，即可求解.
【小问1详解】
设甲投篮命中为事件，乙投篮命中为事件，丙投篮命中为事件，
由题意可知，，，，
则，,
所以丙投篮命中的概率为；
【小问2详解】
甲和乙命中，丙不中为事件，
则，
所以甲和乙命中，丙不中的概率为；
【小问3详解】
甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件，
则,
18. 已知函数图像过点．
（1）求实数m的值；
（2）判断在区间上的单调性，并用定义证明；
【答案】（1）
（2）在区间上单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）将代入解析式，得到m的值；
（2）利用定义法证明函数单调性步骤：取值，作差，判号，下结论.
【小问1详解】
将点代入函数中，可得，解得．
【小问2详解】
单调递增，证明如下．
由（1）可得，
任取，则
，因为，
则，，，即，
所以，即，
所以在区间上单调递增．
19. 甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下：
（1）在4次比赛中，求甲队的平均得分；
（2）分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，求这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率；
（3）甲，乙两队得分数据的方差分别记为，，试判断与的大小（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平均数公式，即可求解；
（2）利用列举样本空间的方法，结合古典概型概率公式，即可求解；
（3）结合方差的定义和公式，即可判断.
【小问1详解】
设甲队平均分为，
则
所以甲队的平均分为；
【小问2详解】
分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，有
，共包含16个基本事件，
这2个比赛得分之差的绝对值为1包含，共5个基本事件，
所以这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率;
【小问3详解】
乙队的平均分为，
则,
20. 已知函数，其中为自然对数的底数，.
（1）若0是函数一个零点，求的值并判断函数的奇偶性；
（2）若函数同时满足以下两个条件，求的取值范围.
条件①：，都有；
条件②：，使得.
【答案】20. ；奇函数.
21.
【解析】
【分析】（1）由可求出；再由奇偶函数的定义即可判断；
（2）条件①，，都有，即在上恒成立，由，即可求出的取值范围，条件②，，使得，即，令，由二次函数的性质即可得出答案，综合两个条件①②可得出的取值范围.
【小问1详解】
因为0是函数的一个零点，所以，
解得：，所以，
因为的定义域为，，
所以为奇函数.
【小问2详解】
条件①：，都有，即，
所以，即，则在上恒成立，
因为，所以，则.
故的取值范围为.
条件②：，使得，即，
即，即，
令，，则，
令，，
当时，，所以.
若函数同时满足两个条件①②可得：故的取值范围为.
甲队
88
91
93
96
乙队
89
94
97
92