数学拓展模块一（下册）第9章 随机变量及其分布精品课时作业

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考点串讲
考点一、离散型随机变量及其分布
（1）随机变量的基本概念
随机变量的概念：
如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.常用希腊字母、等
表示．
离散型随机变量的概念：
对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
连续型随机变量的概念：
对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量．
（2）离散型随机变量的分布列及其数字特征
离散型随机变量的分布列：
设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列．
注：分布列的两个性质：
任何随机事件发生的概率都满足：，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．
由此可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
，；
，．
考点二、离散型随机变量的期望和方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列，如下表所示
则称为随机变量X的均值或数学期望，简称期望。
称为随机变量的方差，称为随机变量的标准差．
考点三、二项分布
（1）重伯努利试验(次独立重复试验)：
我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.
（2）二项分布：
一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件 发生的次数，则的分布列为，.如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作．
（3）二项分布的均值与方差：
若随机变量服从参数为,的二项分布，即,则, .
考点四、正态分布
（1）正态曲线
正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线显然对于任意，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，如图②.
若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为，特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布．
（2）正态曲线的特点：
曲线是单峰的，它关于直线对称；
曲线在处达到峰值；
当|x|无限增大时，曲线无限接近轴．
（3）正态分布的期望与方差 若，则，．
（4）正态变量在三个特殊区间内取值的概率：
；
；
．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统
计学中称为原则．
（5）利用正态分布求概率的两个方法
对称法：
由于正态曲线是关于直线对称的，且概率的和为1，故关于直线对称的区间概率相
等．如：
；
．
“”法：
利用落在区间内的概率分别是0．6827，0．9545，0．9973求解．
热考题型
类型一、离散型随机变量及其分布
【例1】下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数ξ；
②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在x轴上的位置η；
③某派出所一天内接到的报警电话次数X；
④某同学上学路上离开家的距离Y．
其中是离散型随机变量的个数为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；
对于②，沿x轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；
对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；
对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．
故选：B．
【例2】若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列.
【答案】答案见解析
【解析】解：由题意及分布列满足的条件知P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝3P(ξ＝1)＋P(ξ＝1)＝1，所以，故，所以ξ的分布列为：
【变式1】下列随机变量X不是离散型随机变量的是 ( )
A．某机场候机室中一天的游客数量为X B．某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X
C．某水文站观察到一天中长江的水位为X D．某立交桥一天经过的车辆数为X
【答案】C
【解析】A、B、D中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定次序一一列出，因此，它们都是离散型随
机变量；
C中的X可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故其不是离散型随机变量.
故选：C.
【变式2】篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球1次的得分的分布列．
【答案】见解析
【解析】解：设此运动员罚球1次的得分为ξ，则ξ的分布列为
类型二、离散型随机变量的期望和方差
【例1】一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用X表示取出球的最大编号，则EX=（ ）
A．2 B．3
C．103 D．113
【答案】C
【解析】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4.
且P(X=2)=1C42=16；P(X=3)=C21C42=13；P(X=4)=C31C42=12.
因此X的分布列为：
则EX=2×16+3×13+4×12=103.
故选：C.
【例2】若随机变量X的概率分布表如下：
则（ ）
A．0.5B．0.42C．0.24 D．0.16
【答案】C
【解析】根据概率的性质可得，
所以，
所以.
故选：C.
【变式1】已知离散型随机变量X的分布列为
则X的数学期望EX=（ ）
32 B．2
C．52 D．3
【答案】A
【解析】由题意得35+a+110=1，解得a=310，
故EX=35+2×310+3×110=32.
故选：A.
【变式2】投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如表所示．
股票A收益的分布列
股票B收益的分布列
(1)投资哪种股票的期望收益大？
(2)投资哪种股票的风险较高？
【答案】(1)股票A的期望收益大；(2)投资股票A的风险较高.
【解析】解：（1）股票A和股票B投资收益的期望分别为：
E(X)=(-1)×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1，
E(Y)=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1．
因为E(X)>E(Y)，所以投资股票A的期望收益较大．
（2）股票A和股票B投资收益的方差分别为
D(X)=(-1-1.1)2×0.1+(0-1)2×0.3+(2-1.1)2×0.6=1.29，
D(Y)=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6．
因为E(X)和E(Y)相差不大，且D(X)>D(Y)，所以投资股票A比投资股票B的风险高．
类型三、二项分布
【例1】某批数量很大的产品的次品率为p，从中任意取出4件，则其中恰好含有3件次品的概率是（ ）
A．p3 B．p31-p
C．C43p31-p D．C43p3
【答案】C
【解析】因为次品率为p，从中任意取出4件，所以恰好含有3件次品的概率为C43p31-p.
故选：C.
【例2】设随机变量X～B(40，p)，且E(X)＝16，则p等于（ ）
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
【答案】D
【解析】按照二项分布的期望公式，有40⋅p=16，p=0.4.
故选：D.
【例3】一批产品的一等品率为0.9，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的一等品件数，则D(X)= .
【答案】9
【解析】由题意可知，该事件满足独立重复试验，是二项分布模型，其中，p=0.9，n=100，
则D(X)=np(1-p)=100×0.9×0.1=9．
故答案为：9．
【变式1】若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是多大.
【答案】0.2916
【解析】设恰好有一次未击中目标为事件A，pA=C41×0.93×1-0.9=0.2916.
【变式2】同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币恰有一枚正面向上的次数为X，则X的数学期望是（ ）
A．12 B．1
C．32 D．2
【答案】D
【解析】2枚硬币抛掷一次，恰好有一枚正面向上的概率为C21(12)2=12，
则X服从二项分布X∼B(4,12)，所以E(X)=np=4×12=2.
故选：D.
【变式3】设X为随机变量，X∼B(n,13)，若随机变量X的数学期望E(X)=2，则P(X=2)等于（ ）
A．80243 B．13243
C．4243 D．1316
【答案】A
【解析】因为E(X)=13n=2，得n=6，即X∼B(6,13).
所以P(X=2)=C62×(13)2×(1-13)4=80243.
故选：A.
类型四、正态分布
【例1】已知随机变量X服从正态分布N(a,4)且P(X>1)=0.5,则实数a=（ ）
A．1 B．3
C．2 D．4
【答案】A
【解析】由题意可得正态曲线的对称轴为X=a，又因为P(X>1)=0.5，所以a=1.
故选：A.
【例2】已知随机变量X服从正态分布N3,σ2, 且PX≤4=0.84, 则P2A．0.84 B．0.68
C．0.32 D．0.16
【答案】B
【解析】由题可知，PX>4=1-PX≤4=1-0.84=0.16，
由于X~N3,σ2，所以PX<2= PX>4=0.16，
因此，P24=1-0.16-0.16=0.68.
故选：B.
【变式1】已知随机变量ξ服从正态分布N3,σ2, P(ξ≤6)=0.84，则P(ξ≤0)=（ ）
A．0.16 B．0.34
C．0.66 D．0.84
【答案】A
【解析】因为随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2)，则μ=3，
所以P(ξ≤0)=P(ξ≥6)，又P(ξ≤6)=0.84，
则P(ξ≥6)=1-P(ξ≤6)=1-0.84=0.16，
所以P(ξ≤0)=P(ξ≥6)=0.16．
故选：A
【变式2】已知随机变量ξ~N(0,σ2)，且P(ξ≥1)=0.3，则P(-1≤ξ≤0)=（ ）
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
【答案】A
【解析】由题意，随机变量ξ~N(0,σ2)，Pξ≥1=0.3，则Pξ≤-1=0.3，
所以P-1≤ξ≤0=12P-1≤ξ≤1=121-0.3-0.3=0.2.
故选：A.
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
X
…
P
…
ξ
0
1
P
ξ
0
1
P
0.3
0.7
X
2
3
4
P
16
13
12
X
0
1
P
0.4
X
1
2
3
P
35
a
110
收益X/元
-1
0
2
概率
0.1
0.3
0.6
收益Y/元
0
1
2
概率
0.3
0.4
0.3