山东省青岛市即墨区多校联考2023-2024学年七年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)

这是一份山东省青岛市即墨区多校联考2023-2024学年七年级下学期4月期中考试数学试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算( )
A. B. C. D.
2.新时代中国科技事业蓬勃发展，清华大学团队首次制备出亚纳米栅极长度的晶体管，实现等效的物理栅长为纳米，将数据米用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形阴影部分，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个大的长方形这两个图能解释一个等式是( )
A. B.
C. D.
4.下列说法中正确的是( )
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 两条直线有两种位置关系：平行或相交
C. 同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
D. 三条线段两两相交，一定有三个交点
5.下列各图中，正确画出边上的高线的是( )
A. B.
C. D.
6.工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：如图，已知是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，就可以知道射线是的角平分线依据的数学基本事实是( )
A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
B. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
C. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
D. 三边分别相等的两个三角形全等
7.如图所示，将一副三角尺放置于两条平行线之间，已知，那么为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知动点以每秒厘米的速度沿图的边框边框拐角处都互相垂直按从的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图，已知，则下列说法正确的有几个( )
动点的速度是；
的长度为；
当点到达点时的面积是；
的值为；
在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是和．
A. 个B. 个C. 个D. 个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把一个多项式乘以错抄成除以，结果得到，则该多项式是______．
10.有一条长方形纸带，按如图方式折叠，图中的，则的度数为______．
11.如图，在的正方形网格中，线段、的端点均在格点上，则______
12.若，则的结果是______．
13.某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据：
设鸭的质量为千克，烤制时间为，估计当千克时，的值为______分．
14.现有若干张卡片，分别是正方形卡片、和长方形卡片，卡片大小如图所示，如果要拼一个长为，宽为的大长方形，则需要类卡片张数为______张
15.小亮在计算的值时，把的值看错了，其结果等于，细心的小敏把正确的的值代入计算，其结果也是为了探究明白，她又把代入，结果还是则的值为______．
16.我们知道下面的结论：若，则利用这个结论解决下列问题：设，，现给出关于，，之间的关系式：；；；其中正确的有______填序号
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，已知，用尺规作图作，使，不写作法，但要保留作图痕迹．
18.本小题分
计算：
；
；
；
．
19.本小题分
先化简，再求值：，其中．
20.本小题分
一汽车油箱里有油，在行驶过程中，每小时耗油，回答下列问题：
汽车行驶后油箱里还有油______，汽车行驶后油箱里还有油______；
这一变化过程中共有______个变量，其中______是变量，______是常量；
设汽车行驶的时间为，油箱里剩下的油为，请用含的式子表示；
这辆汽车最多能行驶多少小时？
21.本小题分
小明从家出发骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路后，突然想起要买圆规，于是又折回到刚经过的文具店，买到圆规后继续骑车去学校如图是他本次上学过程中离家距离与所用时间的关系图，根据图象回答下列问题：
小明家到学校的路程是______米；
小明在文具店停留了______分钟；
本次上学途中，小明一共行驶了______米；
交通安全不容忽视，我们认为骑自行车的速度超过千米时就超过了安全限度通过计算说明：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？
22.本小题分
如图，已知三点、、在同一条直线上，，，试说明的理由．
解：因为，已知
所以______
所以 ____________
因为，已知
所以____________
所以______
23.本小题分
如图，点、在上，已知≌，和是对应角，和是对应边．
再写出其他的一组对应边和一组对应角；
判断与的位置关系，并说明理由；
若，，求的长．
24.本小题分
知识储备：我们知道，把完全平方公式适当变形，可解决很多数学问题例如：若，，则的值为______．
获得新知：若，求的值．
解：设，，则，，
，即．
解决问题：
若满足，求的值；
如图，一户人家有一块长方形土地，，，其内部有一条宽度为的型种植区域，其余部分长方形为种植区域，测量区域的面积为；阿凡提有两块正方形的土地与跟这户人家的种植区域相邻，正方形土地的边长分别为与这户人家对阿凡提的两块地垂涎已久，提出要将自己的土地与阿凡提交换，阿凡提有没有损失呢？请你运用所学的数学知识进行解释．
25.本小题分
方法学习：数学兴趣小组活动时，张老师提出了如下问题：如图，在中，，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法如图，
延长到，使得；
连接，通过三角形全等把、、转化在中；
利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是______；
方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系．
请你写出图中与的数量关系和位置关系，并加以证明．
深入思考：如图，是的中线，，，，请直接利用的结论，试判断线段与的数量关系，并加以证明．
答案和解析
1.
解析：解：原式
．
故选：．
根据幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2.
解析：解：将用科学记数法表示应为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查了用科学记数法表示较小的数，掌握形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定是关键．
3.
解析：解：将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形阴影部分，剩余部分的面积为两个正方形的面积差，即，
将剩余部分沿着虚线剪开，拼成的长方形的长为，宽为，因此面积为，
所以有，
即，
故选：．
用“两种”方法分别用代数式表示裁剪后剩余部分的面积和拼成的长方形的面积即可．
本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键．
4.
解析：解：、根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可判断不合题意；
B、两条不重合的直线有两种位置关系：平行和相交，可判断不符合题意；
C、同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，可判断符合题意；
D、三条线段两两相交，有三个交点或一个交点，可判断不合题意．
故选：．
根据“经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”和两条直线的位置关系判断、；根据平行线的判定定理和相交线段的交点问题判断、选项的正误．
本题主要考查了相交线，平行线的判定和两直线的位置关系，熟练掌握定义和公理是解题的关键．
5.
解析：解：中边上的高即为过点作的垂线段，该垂线段即为边上的高，四个选项中只有选项D符合题意，
故选：．
根据三角形高的定义判断即可得到答案．
本题主要考查了三角形高线定义，解题的关键是熟知过三角形一个顶点作对边的垂线得到的线段叫三角形的高．
6.
解析：解：角尺两边相同的刻度分别与点、重合
，
在和中，
，
≌，
，
即平分，
依据的数学基本事实是三边分别相等的两个三角形全等．
故选：．
依题意得，然后可依据“”判定和全等，从而得，据此可得出所依据的数学基本事实．
此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握三边分别相等的两个三角形全等是解决问题的关键．
7.
解析：解：如下图所示，作，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
先求出和的度数，再根据三角形内角和定理求解即可．
本题考查了三角形内角和定理和平行直线的性质，熟记三角形内角和定理是解题的关键．
8.
解析：解：当点在上时，如图所示，
，
，
此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，
当点在上时，如图所示，是的高，且，
，此时三角形面积不变，
当点在上时，如图所示，是的高，，，三点共线，
，点从点点运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小，
当点在上时，如图所示，是的高，且，
，此时三角形面积不变，
当点在时，如图所示，
，点从点向点运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，
对照图可得时，点在上，
，
，，
动点的速度是，
故正确，
时，点在上，此时三角形面积不变，
动点由点运动到点共用时，
，
故错误，
时，当点在上，三角形面积逐渐减小，
动点由点运动到点共用时，
，
，
在点时，的高与相等，即，
，
故正确，
，点在上，，
动点由点运动到点共用时，
，
故错误．
当的面积是时，点在上或上，
点在上时，，
解得，
点在上时，
，
解得，
，
从点运动到点共用时，
由点到点共用时，
此时共用时，
故错误．
故选：．
先根据点的运动，得出当点在不同边上时的面积变化，并对应图得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法．
本题是动点函数的图象问题．考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义，是解决本题的关键．
9.
解析：解：由题意可知该多项式为：
故答案为：
根据整式的运算法则即可求出答案．
本题考查整式的运算，解题的关键是熟练整式的运算法则，本题属于基础题型．
10.
解析：解：如图，
由折叠的性质可得，
由长方形纸带的对边平行得，，
，
故答案为：．
由折叠的性质求出的度数，由长方形纸带的对边平行求出的度数即可．
本题考查了平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．
11.
解析：解：由题意可得，，
在和中，
≌，
，
，
．
故答案为：．
首先证明≌，利用全等三角形的性质可得，进而可得答案．
此题主要考查了全等三角形的判定及性质，关键是掌握全等图形的判定方法和性质．
12.
解析：解：，
，
．
故答案为：．
根据幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则进行解题即可．
本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13.
解析：解：由题意得，鸭的质量每增加千克，烤制时间增加分，
故该函数解析式为，
当时，
分，
故答案为：．
由题意可得该函数解析式为，再将代入求解即可．
此题考查了运用函数解决实际问题的能力，关键是能正确理解问题间数量关系，并正确运用函数知识进行求解．
14.
解析：解：．
则需要类卡片张数为张．
故答案为：．
拼成的大长方形的面积是，即需要一个边长为的正方形，个边长为的正方形和个类卡片的面积是．
本题考查了多项式乘多项式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个面积之和等于总的面积也比较关键．
15.
解析：解：
，
所以这个结果与的取值无关，是，
，
；
故答案为：．
先根据整式混合运算的法则化简原式，得出这个结果与的取值无关，进一步即可求出．
本题考查了整式的混合运算，正确理解题意、熟练掌握整式混合运算的法则是解题的关键．
16.
解析：解：，，
，
，故正确，符合题意；
，
，
，故正确，符合题意；
，，
，
，故正确，符合题意；
，，
，
，故错误，不符合题意；
正确的有：，
故答案为：．
根据同底数幂的除法的逆运算法则可以判断；根据同底数幂的乘法的逆运算法则及幂的乘方的逆运算法则可以判断；根据同底数幂的乘法的逆运算法则、同底数幂的除法的逆运算法则及幂的乘方的逆运算法则可以判断；根据同底数幂的乘法的逆运算法则及幂的乘方的逆运算法则可以判断可以判断．
本题主要考查了同底数幂的除法的逆运算、同底数幂的乘法的逆运算及幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17.解：如图，即为所求．

解析：利用尺规根据要求作出图形即可．
本题考查作图复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
18.解：

；


；



；



．
解析：先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；
先化简各式，然后再进行计算即可解答；
利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答；
利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.解：

，
当时，原式．
解析：先利用完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20. 邮箱里剩下的油量和行驶的时间 每小时耗油的油量
解析：解：，
，
故答案为：；．
这一变化过程中共有个变量，
其中邮箱里剩下的油量和行驶的时间是变量，
每小时耗油的油量是常量，
故答案为：；邮箱里剩下的油量和行驶的时间；每小时耗油的油量．
．
，
解得．
答：这辆汽车最多能行驶小时．
根据邮箱里剩下的油量油箱里原有的油量耗油的油量，即可求出答案．
根据题中的三个数量：油箱里原有的油量、油箱里剩下的油量和行驶的时间，直接判断出变化的量就是变量和不变的量就是常量．
根据邮箱里的剩下的油量油箱里原有的油量每小时耗油的油量时间，直接用字母表达即可．
根据题意，使剩下的油量，即可用表达式求出结果．
本题考查了常量和变量的问题，解题的关键是根据题中的等量关系式来解答．
21.
解析：解：由图象可得，小明家到学校的路程是米，
故答案为：；
小明在书店停留了分钟，
故答案为：；
本次上学途中，小明一共行驶了：
米，
故答案为：；
当时间在分钟内时，速度为：米分，
当时间在分钟内时，速度为：米分，
当时间在分钟内时，速度为：米分，
千米时米分，
，
在分钟时间段小明的骑车速度最快，不在安全限度内．
根据函数图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在书店停留的时间；
根据函数图象中的数据可以得到小明在书店停留的时间；
根据函数图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程；
根据题意和函数图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题．
本题考查从函数的图象中获取信息，解题的关键是利用数形结合的思想解答．
22.同位角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 等量代换 内错角相等，两直线平行
解析：解：因为已知
所以同位角相等，两直线平行
所以两直线平行，内错角相等
因为已知
所以等量代换
所以内错角相等，两直线平行
故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行．
根据平行线的性质与判定进行填空，即可求解．
本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
23.解：≌，
和是对应角，和是对应角，和是对应边，和是对应边；答案不唯一
．
理由：因为≌，
所以，
所以．
因为≌，
所以，
所以，即．
因为，，
所以，
所以，
所以．
解析：根据全等三角形的性质求解即可；
根据全等三角形的性质得到，即可判定；
根据全等三角形的对应边相等得到，进而得出，根据线段的和差求解即可．
此题考查了全等三角形的性质，熟记全等三角形的性质是解题的关键．
24.
解析：解：知识储备：，
故答案为：；
，
；
由题意得，，，，
长方形的面积，
正方形、正方形的面积，
，
阿凡提没有损失．
知识储备：可得；
，代入，可得；
由题意得，，，，分别计算长方形的面积和正方形、正方形的面积，进行比较可得阿凡提有没有损失．
把他开除了整式的混合运算，关键是掌握完全平方公式．
25.解：；
，且，
理由是：由知，≌，
，，
；
，
理由：如图，延长到，使得，连接，
由知，≌，
，
，
，
由知：，
，
，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
，
即：．
解析：解：如图，延长到，使得，连接，
是的中线，
，
在和中，
≌，
，
在中，，
，，
，
故答案为：；
见答案；
见答案．鸭的质量千克
烤制时间分