湖南师范大学附属中学2024届九年级上学期第四次月考数学试卷(含解析)

这是一份湖南师范大学附属中学2024届九年级上学期第四次月考数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了 下列判断正确的是， 下列各组图形中，一定相似的是， 二次函数的最大值是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：解：选项A、C、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：D．
3. 一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
答案：B
解析：
详解：解：设正多边形的边数为n．
由题意可得：＝72°，
∴n＝5，
故选：B．
4. 下列判断正确的是（ ）
A. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B. 天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D. “a是实数，|a|≥0”是不可能事件
答案：C
解析：
详解：A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误，不符合题意；
B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误，不符合题意；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确，符合题意；
D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误，不符合题意．
故选C．
5. 若正比例函数与反比例函数的图象交于，则另一个交点坐标为（ ）
A. (2, 1)B. (-1, 2)C. (-2, -1)D. (-2, 1)
答案：B
解析：
详解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称，
∵一个交点的坐标是（1，−2），
∴另一个交点的坐标是（−1，2）．
故选B．
6. 下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A. 两个矩形B. 两个菱形C. 两个正方形D. 两个等腰梯形
答案：C
解析：
详解：A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意；
B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意；
C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；
D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意．
故选：C．
7. 二次函数的最大值是（ ）
A. 7B. C. 17D.
答案：A
解析：
详解：解：∵，
∴顶点坐标为，
∴抛物线开口向下，
∴二次函数的最大值为7．
故选：A．
8. 如图，两个反比例函数y1＝和y2＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A. 4B. 2C. 1D. 6
答案：C
解析：
详解：解：∵PA⊥x轴于点A，交于点B，
∴，
∴．
故选：C．
9. 如图，与是位似图形，位似中心为，，下列结论正确的有（ ）
①与的相似比为；②；③；④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：B
解析：
详解：解：∵，
∴，
∵与是位似图形，位似中心为，
∴
∴与的相似比为，，故①正确，②错误；
∴，，故③正确，④错误．
故正确的个数是个，
故选：B．
10. 如图，点A、B、C在上，若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：
详解：解：∵，
∴，而，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴

．
故选C．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. 已知，那么代数式的值是________．
答案：
解析：
详解：设，则，
故．
故答案为：．
12. 已知y与x成反比例，且当x＝－3时，y＝4，则当x＝6时，y的值为_______．
答案：－2
解析：
详解：设反比例函数为，当x=－3时，y=4，
∴，
解得：k=－12．
反比例函数为．
当x=6时，．
故答案为－2．
13. 是直角三角形，，，，则的外接圆半径为_________．
答案：
解析：
详解：∵，，，
∴．
∵为的外接圆的圆周角，，
∴为的外接圆直径．
∴的外接圆半径为．
故答案为：．
14. 如图，，则的长为_________．

答案：
解析：
详解：解：∵
∴
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，点，，以点B为中心，把线段顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为_________．
答案：
解析：
详解：解：过点作轴于点，
∵，，
∴，，
由旋转可知： ，，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数的最小值为，最大值为1，则m的取值范围是_______．
答案：
解析：
详解：由题意可得，，即
图象上有且只有一个完美点，
，则，
方程根为
函数
该二次函数顶点坐标为，与y轴交点为，
根据对称规律，点也是该二次函数图象上的点，
在左侧，随的增大而增大;
在右侧，随的增大而减小;
且当时，函数的最小值为，最大值为1，
则
故答案为：．
三．解答题（共9小题，其中17、18、19每小题6分，20、21每小题8分，22、23每小题9分，24、25每小题10分，共72分）
17. 解方程：3x2﹣4x﹣1=0．
答案：=，=．
解析：
详解：解：3x2﹣4x﹣1=3()-1=3(x-)2-=0，
则，(x-)2=，
解得，=，=．
18. 如图所示，一次函数与反比例函数相交于点A和点．

（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）当时，求x的取值范围．
答案：（1），
（2）或
解析：
小问1详解：
将点代入得：
解得：
将代入得：
∴
小问2详解：
由得：，解得
所以的坐标分别为
由图形可得：当或时，
19. 如图是两个圆形转盘，第一个转盘被平均分成“1”“2”两个区域，第二个转盘被平均分成“1”“2”“3”“4”四个区域．
（1）旋转第一个转盘一次，指针落在“2”区域的概率是___________；
（2）同时旋转两个转盘，用画树状图或列表的方法求两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率．
答案：（1）；
（2）两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率．
解析：
小问1详解：
解：旋转第一个转盘一次，指针落在“2”区域的概率是．
故答案为：；
小问2详解：
解：根据题意画图如下：
共有8种等可能的情况数，其中两个转盘的指针都不落在“1”区域的有3种，
则两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率．
20. 某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度为，拱顶高出水面（即），，

（1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径；
（2）现有一艘宽，船舱高出水面的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？
答案：（1）该圆弧形拱桥所在圆的半径为13米
（2）此货船不能顺利通过这座桥
解析：
小问1详解：
解：连接，

∵，，
∴，
设，
∵，
∴，
中，根据勾股定理可得：，
即，
解得：，
答：该圆弧形拱桥所在圆的半径为13米．
小问2详解：
解：∵米，，
∴米，
构造如图所示矩形，连接，
当时，
∵，
∴，
∴米，
根据勾股定理可得：米，
∴（米），
∵，
∴此货船不能顺利通过这座桥．
21. 如图，在中，，是的中线，作于点E，EF∥BC，交于点F．
（1）求证：；
（2）若，，求及的长．
答案：（1）证明见解析
（2），
解析：
小问1详解：
证明：是的中线，
即，
，
，
，
；
小问2详解：
，
，即，
解得，
是的中线，
，
，
，
，即，
解得．
22. 某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行场产品发布会，已知该产品每台成本为万元，设第x场产品的销售量为y（台），y与x之间满足的函数关系式；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变．经过统计，发现第1场第场浮动价与发布场次x成正比，第场第场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：
（1）求P与x之间满足的函数关系式；
（2）当产品销售单价为万元时，求销售场次是第几场？
（3）在这场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
答案：（1）当且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为；当且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为P
（2）当产品销售单价为万元时，销售场次是第场和第场
（3）在这场产品促销会中，第场获得的利润最大，最大利润为145万元
解析：
小问1详解：
解：设基本价为b，第1场第场，且x为正整数，
设P与x的函数关系式为，
依题意得：，
解得：，
∴．
第场第场，即且x为正整数时，
设P与x的函数关系式为，
即．
依题意得：，
解得，
∴P，
∴当且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为；当且x为正整数时，P与x之间满足的函数关系式为P；
小问2详解：
解：当时，，解得，
或，解得．
∴当产品销售单价为万元时，销售场次是第场和第场；
小问3详解：
解：设每场获得的利润为w万元．
当，且x为正整数时，，
∵，对称轴为直线，
∴当时，w最大，最大利润为（万元）．
当，且x为正整数时，，
∵w随x的增大而减小，
∴当时，w最大，最大利润为（万元），
∵，
∴在这场产品促销会中，第场获得的利润最大，最大利润为万元．
23. 如图，已知为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接，，过点O作于点D，过点A作半圆O的切线交的延长线于点E，连接．
（1）求证：为圆O的切线；
（2）求证：；
（3）连接并延长交于F，若半圆O的直径为10，，求的长．
答案：（1）见解析 （2）见解析
（3）．
解析：
小问1详解：
证明：如图，连接，
∵，
∴平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为半径，
∴为圆O的切线；
小问2详解：
证明：∵为半圆O的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
小问3详解：
解：作于M，
∵半圆O直径为10，，
∴，
∴，
∵，
∴， ，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
24. 初识模型：
（1）如图①，在中，D是上一点，，，连接．
求证：（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
再研模型：
（2）如图②，在中，D是上一点，．求证：．
应用模型：
（3）如图③，直线与交于点O，，一辆快车和一辆慢车分别从A，B两处沿，方向同时匀速行驶，快车速度是慢车速度的2倍，在行驶过程中两车与某一定点P所组成的三角形的形状始终不变．当两车距离为700m时，求慢车到定点P的距离．
答案：（1）见解析；（2）见解析；（3）m
解析：
详解：（1）证明：
（Ⅰ），，
，
；
（Ⅱ），
，
，
即，
，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
即，
又，
，
，
即：，
，
即：，
又，
，
；
（3）解：作的外接圆，在圆上取点P，且使，连接，，
若快车行驶到，慢车行驶到，，连接，，，
由（2）可知，
，
2，
，
过点作，交的延长线于点G，
由题意可知，，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
设，则，
（），
在中：
，
，
解得：，
（），
故答案为：．
25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．
（1）求∠OCD的度数；
（2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；
（3）当m=5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．
答案：（1）∠OCD=45°；（2）M（2，）；（3）不存在．理由见解析.
解析：
详解：详解：（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有，
解得，
∴y=-x+m+1，
令x=0，得到y=m+1，∴D（0，m+1），
令y+0，得到x=m+1，∴C（m+1，0），
∴OC=OD，
∵∠COD=90°，
∴∠OCD=45°．
（2）设M（a，），
∵△OPM∽△OCP，
∴，
∴OP2=OC•OM，
当m=3时，P（3，1），C（4，0），
OP2=32+12=10，OC=4，OM=，
∴，
∴10=4，
∴4a4-25a2+36=0，
（4a2-9）（a2-4）=0，
∴a=±，a=±2，
∵1＜a＜3，
∴a=或2，
当a=时，M（，2），
PM=，CP=，
，（舍去）
当a=2时，M（2，），PM=，CP=，
∴，成立，
∴M（2，）．
（3）不存在．理由如下：
当m=5时，P（5，1），Q（1，5），设M（x，），
OP的解析式为：y=x，OQ的解析式为y=5x，
①当1＜x＜5时，如图1中，
∴E（，），F（x，x），
S=S矩形OAMB-S△OAF-S△OBE
=5-x•x-••=4.1，
化简得到：x4-9x2+25=0，
△＜O，
∴没有实数根．
②当x≤1时，如图2中，
S=S△OGH＜S△OAM=2.5，
∴不存在，
③当x≥5时，如图3中，
S=S△OTS＜S△OBM=2.5，
∴不存在，
综上所述，不存在．x（场）
3
10
25
P（万元）
10.6
12
14.2