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初中数学北师大版（2024）八年级上册1 探索勾股定理精品课时练习
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这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册1 探索勾股定理精品课时练习，文件包含第01讲探索勾股定理2个知识点+6种题型+分层练习原卷版docx、第01讲探索勾股定理2个知识点+6种题型+分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共52页， 欢迎下载使用。
知识导图
知识清单
知识点1．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
知识点2．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
题型强化
题型一．勾股定理
1．（2024春•汝南县期末）如图，已知网格中每个小正方形的边长均为1，以点为圆心，为半径画弧交网格线于点，则的长为
A．B．3C．2D．
【分析】连接，则，三角形为直角三角形，由勾股定理可算出的长．
【解答】解：如图，连接，则，，
在中，，
，
故选．
【点评】本题主要考查了勾股定理的简单应用，看出点，点在同弧上，则，是解题的关键．
2．（2024•民勤县校级三模）如图，在中，，，是射线上的一个动点，，则当为直角三角形时，的长为 3或或 ．
【分析】利用分类讨论，当时，如图2，由对顶角的性质可得，易得，易得的长，利用勾股定理可得的长；当时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，易得为等边三角形，利用锐角三角函数可得的长；易得，利用勾股定理可得的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．
【解答】解：当时（如图，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
；
当时（如图，
，
，
，
在直角三角形中，
；
如图3，，，
，
，
为等边三角形，
，
故答案为3或或．
【点评】本题主要考查了勾股定理，含直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
3．（2024春•安定区期末）在四边形中，，，，四边形周长为32，求和的长度．
【分析】如图，连接，构建等边、直角．利用等边三角形的性质求得；然后利用勾股定理来求线段、的长度．
【解答】解：如图，连接．
，．
是等边三角形，
，．
又，
．
设，则，
由勾股定理得：，
解得，，
所以，．
【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质．根据已知条件推知是等边三角形是解题的解题关键．
题型二．勾股定理的证明
4．（2023秋•商水县期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是
A．B．
C．D．
【分析】先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到等式，变形再判断即可．
【解答】解：．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，
，
以上公式为完全平方公式，
选项不能说明勾股定理；
．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理得，
选项可以证明勾股定理；
．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，
选项可以证明勾股定理；
．整个图形的面积等于边长为的正方形的面积边长为的正方形面积个直角三角形的面积，也等于边长为的正方形面积个直角三角形的面积，
，
整理得，
选项可以证明勾股定理，
故选：．
【点评】本题主要考查勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．
5．（2024春•红山区期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，，，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图中实线部分）是 ．
【分析】由题意为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为，
则
所以
所以风车的外围周长为．
故答案为．
【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
6．（2024春•阳谷县期末）如图1，中，，、、的对边分别记为、、．
实验一：
小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形．
（1）在图2中，正方形的面积可表示为 ，正方形的面积可表示为 （用含，的式子表示）
（2）请结合图2，用面积法说明，，三者之间的等量关系．
实验二：
小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3所示的图形．他们根据面积法得到了一个关于边、、的等式，整理后发现．
（3）请你用面积法证明．
【分析】（1）分别表示出所求的正方形的边长，进而可得所求的正方形的面积；
（2）由图2可以看出，正方形的面积正方形的面积个矩形的面积，把相关数值代入即可；
（3）从整体和整体的组成分别得到各个图形中最大图形的面积，整理后可得勾股定理．
【解答】解：（1）正方形的边长为，
正方形的面积为．
正方形的边长为，
正方形的面积为．
故答案为：，；
（2）由图2可以看出，正方形的面积正方形的面积个矩形的面积．
；
（3），
．
．
【点评】本题考查勾股定理的应用．根据所给图形的面积的不同表示方法得到勾股定理是解决本题的关键；难点是灵活应用勾股定理，得到．
题型三、用勾股定理解三角形
7．（24-25八年级上·全国·课后作业）张大爷出门散步，他先向正东走了，接着又向正南走了，此时他离家的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行计算．根据题意画出图形，利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：如图：
，，
根据勾股定理得：．
故选：C.
9．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）在 中， ， 点是直线上一点，，，连接， 则线段 的长为 ．
【答案】或
【分析】了勾股定理，分当在线段上时，当在线段延长线上时，再由勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】由题意得：，
如图，当在线段上时，
∴，
在中由勾股定理得：，
如图，当在线段延长线上时，
∴，
在中由勾股定理得：，
综上可知： 的长为或．
9．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，，，，求：
(1)的长；
(2)的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形．
（1）在中，利用勾股定理即可求解；
（2）在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：在中，
；
（2）解：在中，，
所以．
题型四、勾股树（数）问题
10．（22-23八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列三角形的边长是勾股数且能构造成直角三角形的有（ ）
A．0.3；0.4；0.5B．1； ；C．6；7；8D．11；60；61
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数，正确掌握勾股数的定义是解题关键．勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．
【详解】解：A、0.3，0.4，0.5，不是正整数，不符合勾股数的定义；
B、1； ；，不是正整数，不符合勾股数的定义；
C、，不符合勾股数的定义；
D、，符合勾股数的定义．
故选：D．
11．（2024·四川成都·模拟预测）一个直角三角形的边长都是整数，则称这种直角三角形为“完美勾股三角形”，k为其面积和周长的比值．当时，满足条件的“完美勾股三角形”的周长为 ；当时，若存在“完美勾股三角形”，则 ．
【答案】 或1
【分析】本题考查了直角三角形，都是各边长都是整数，利用的直角三角形来研究，对三边同时扩大倍数来计算，看是否满足题意即可求解．
【详解】解：设直角三角形的边长分别为，其中为直角边，且，
由题意知：，
利用特殊的勾三股四直角三角形来研究，
当，上式不成立，
依次将扩大相同的倍数，
当都扩大4倍时：，等式成立，
故此时满足条件的“完美勾股三角形”的周长为：；
当时，当时，
，
当时，
，
故答案为：，或1．
12．（22-23八年级上·全国·课后作业）若m、n为整数，且，，，．请你证明a、b、c为勾股数．
【答案】见解析
【分析】先证明a、b、c均为正整数，再证明，可得结论．
【详解】证明：、n为整数，且，，，，
、b、c均为正整数，
又，
，
∴a、b、c为勾股数．
【点睛】本题考查了利用勾股定理求三角形三边的关系，完全平方公式的应用，熟练掌握和运用利用勾股定理求三角形三边的关系是解决本题的关键．
题型五、勾股定理与网格问题
13．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，网格中小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，是边上的高，则的长为（ ）
A．5B．2C．D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，先求出，再根据，即可得出答案．
【详解】解：根据网格可得：，
∴，即，
∴，
故选：C．
14．（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点，，，可得，则边上的高为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，由图形，根据勾股定理可得，然后根据三角形的面积和正方形的面积，求得，进而根据等面积法，即可求解．
【详解】解：依题意，，
，
∴边上的高为，
故答案为：．
15．（23-24八年级上·吉林长春·期中）按要求在下列边长为1的小正方形拼成的网格中作图，使点在格点上．且格点位置不相同．（每问作出一种情况即可）
(1)在图1网格中找格点，使得与垂直．
(2)在图2网格中画线段，使得作．
(3)在图3网格中画，使得的面积是3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图、三角形的面积，
（1）根据垂直的定义作图即可．
（2）按要求作图即可．
（3）使的底为2，高为3即可．
【详解】（1）解：如图1，点P即为所求．
（2）解：如图2，线段即为所求（答案不唯一）．
（3）解：如图3，即为所求（答案不唯一）．
题型六、勾股定理与折叠问题
16．（2024·山东烟台·二模）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处，
∴，，
∵折叠纸片，使点C与点P重合，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
解得，
即，
故选：A．
17．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，中，，，点D为线段上一个动点，将沿直线翻折得到，线段交直线于点F．若为直角三角形，则的长是 ．
【答案】或
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，，
∴；
∵折叠，
∴，
当为直角三角形时，分两种情况，
①当时，过点作，交的延长线于点，
则四边形为长方形，
∴，
设，则：，
∴，
在中，，
∴，
解得：（舍去）或；
∴；
②当时，此时点与点重合，如图：
∴，
设，则：，
由勾股定理，得：，
解得：；
∴，
综上：或；
故答案为：或．
18．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且．
(1)求的长；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键．
（1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可；
（2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合，
∴，
∴，，
∴；
（2）∵折叠，
∴，
设，则：，
在中，，
∴，
∴，
∴．
分层练习
一、单选题
1．（20-21八年级上·山西临汾·期末）已知中，，，的对边分别为、、，若，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得．
【详解】由题意，画出图形如下：
由勾股定理得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键．
2．（22-23八年级上·陕西西安·期中）线段在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，线段的长为（ ）
A．5B．C．4D．3
【答案】A
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴点A和点B的水平距离为4，竖直距离为3，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了勾股定理在网格中的应用，解题的关键是根据题意求出点A和点B的水平距离和竖直距离．
3．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．11，60，61B．4，5，6C．12，35，36D．15，16，17
【答案】A
【分析】本题考查勾股数．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【详解】解：A、∵，∴这组数是勾股数；
B、∵，∴这组数不是勾股数；
C、∵，∴这组数不是勾股数；
D、∵，∴这组数不是勾股数．
故选：A．
4．（21-22八年级上·全国·课后作业）在中，，，则（ ）．
A．100B．200C．300D．400
【答案】C
【分析】根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案．
【详解】解：∵在中，且，
∴AB为的斜边，
∴根据勾股定理得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键．
5．（22-23八年级上·陕西榆林·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，则点A到原点的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．
【答案】C
【分析】直接利用两点间的距离公式即可解答．
【详解】解：∵点A的坐标是，
∴点A到原点的距离为:，
∴点到原点的距离为5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，理解并掌两点间的距离公式是解题关键．
6．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在的正方形网格，的三个顶点均在格点上，点M也在格上（不与B重合），则能使与全等所有的点M的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据方格纸的特点，结合全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】如图，能使与全等所有的点M的个数有3个，
故选B．
7．（22-23八年级上·广东清远·阶段练习）如图，已知中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则的值等于 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边的平方是解答此题的关键．根据半圆面积公式结合勾股定理，可知等于以斜边为直径的半圆面积．
【详解】解：中，，
，
∵，，
∴．
故选A．
8．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知的面积为，斜边长为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．设的两条直角边分别为，，根据面积公式得，利用勾股定理得，进而利用完全平方公式求得，即可得解．
【详解】解：设的两条直角边分别为，，
因为．
所以，
在中，，
所以，
所以，
所以，
所以的周长．
故选：．
9．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理先求出的长，再计算的长即可．
本题考查勾股定理，正确记忆计算公式是解题关键．
【详解】解：由题意得，在中，
，
在中，
，
故选：A．
10．（2024·山东青岛·一模）如图，中，，，，点D为边上一点，将沿折叠后，点A的对应点恰好落在边上，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，在中，利用勾股定理求出，折叠的性质求出，，，然后等面积法求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵折叠，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得，
故选：B．
二、填空题
11．（20-21八年级上·山西太原·阶段练习）我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据奇异三角形的定义，请你判断：若某三角形的三边长分别为1、2、，则该三角形 （填“是”或者“不是”）奇异三角形．
【答案】是
【分析】根据奇异三角形的定义，即可求解．
【详解】解，
∴该三角形是奇异三角形．
故答案是：是．
【点睛】本题主要考查了新定义的理解，明确题意，理解新定义是解题的关键．
12．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形A的面积为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理，得正方形E的面积=正方形B的面积+正方形A的面积，得正方形E的面积=正方形D的面积-正方形C的面积，
则正方形A的面积，
故答案为：4．
13．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在正方形网格图中，每个网格小正方形的边长都为1，的三个顶点均在网格点上，则的周长等于 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理在网格的运用，根据勾股定理求出、、的长，即可解题．
【详解】解：根据勾股定理可得，，
，
，
则的周长，
故答案为：．
14．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】/16平方厘米
【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算方法．难度适中，解题关键是运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．
【详解】解：图中阴影部分的面积为，
，
，
∴图中阴影部分的面积为．
故答案为：．
15．（23-24八年级上·四川达州·期中）在平面直角坐标系中，若点，点，点都在轴上，且，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，主要利用两点间的距离公式求解即可．
【详解】解：点，点，
，
点不在中间，
设，
若点在点的右边，则，，
，
，
解得，
，
点在点的右边，则，，
，
，
解得，
，
综上所述，点的坐标为．
故答案为：．
16．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，在中，，a，b，c分别为，，的对边．若，，则的面积是 ．
【答案】/平方厘米
【分析】本题考查了勾股定理和完全平方公式，根据勾股定理可得，再根据，求得，从而求得的面积．
【详解】解：在中，由勾股定理，得．
，
，
，，
的面积是．
故答案为：．
17．（21-22八年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（m，m），A（2a+b，0），B（2a﹣b，0）， 且，若∠AMB=90°，则m和a之间的数量关系为 ．
【答案】
【分析】通过勾股定理列出m、a、b的关系式即可得出答案．
【详解】解：∵M（m，m），A（2a+b，0），B（2a﹣b，0），
∴，
，
∵∠AMB=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
∵,
∴,
∴,
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理列出等式是解题的关键．
18．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则
【答案】 /90度
【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．根据翻折的性质得到，，由，即可得到，由折叠的性质可得：，，设，在中，根据勾股定理即可求出，
【详解】解：由折叠的性质可得，，，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：，，
设，则，
在中，，
即：，
解得：，
∴，
故答案为：；．
三、解答题
19．（23-24八年级上·广东清远·期末）在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1，三个正方形A、B、C的面积分别用、、表示，则图中， ， ， .请写出、、之间的关系式: ．
【答案】2，3，，
【分析】根据网格特征以及勾股定理进行求解，即可作答．
【详解】解：依题意，
，，
∵在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1，
∴根据勾股定理，得正方形C的边长为，
∴，
∵正方形A的面积为，正方形B的面积为，
∴
故答案为：2，3，，
【点睛】本题考查了正方形的面积以及勾股定理的运用，难度较小，正确掌握勾股定理是解题的关键．
20．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，求斜边上的高的长．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理直接计算即可求得，再根据等积法计算即可求得，熟练掌握勾股定理及三角形的面积公式是解决本题的关键．
【详解】解：在中，
因为，，，
所以，
所以．
因为为边上的高，
所以，
所以．
21．（2024·河北沧州·一模）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数．
(1)若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值．
(2)当n是大于1的整数时，判断2n， 是否是勾股数，并说明理由．
【答案】(1)5
(2)是勾股数，理由见解析
【分析】本题考查了勾股数的定义，完全平方公式，算术平方根的求解，准确理解勾股数的定义，是解答本题的关键．
（1）根据勾股数的定义得到，结合都为正整数，求出最小b值即可；
（2）分别表示出2n， 的平方，得到即可做出判断．
【详解】（1）解：a，b，c为勾股数，c为斜边长，
，
，
，
，，
都为正整数，
当时，，
最小的b值为5；
（2），，，
，
2n， 是勾股数．
22．（22-23八年级上·河南新乡·期末）如图，E、F是等腰的斜边BC上的两动点，且．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据条件证即可；
（2）根据条件证，从而得到．由（1）得．进而在中，根据勾股定理即可求证．
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，
，，
∵，∴，
，
在和中，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∵，
∴．
【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质，利用勾股定理证明线段的平方关系等知识点．根据已知条件进行几何推理是解题关键．
23．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在等腰中，，，点F是直线AB上一个动点，作等腰，且，连接．
(1)找出图中全等三角形______．
(2)如图求证：；
(3)若，则______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）可证，从而得证；
（2）由全等得，，得，根据勾股定理得证结论；
（3）中，勾股定理求得，得，于是．
【详解】（1）解：如图，,
∴．
∴．
又，
∴．
故全等三角形为．
（2）解：∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）解：中，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质；由全等三角形推证线段相等、角相等是解题的关键．
24．（23-24八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作：
操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长；
操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长．
【答案】操作一∶；操作二：的长为．
【分析】本题考查直角三角形，矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程．
(1)求出，，设，可得∶ ，即可解得答案∶
(2)求出，设，可得，即可解得的长．
【详解】操作一：在中，，，，
，
由翻折可得，，，
，
设，则，，
在中，，由勾股定理得：，
解得： ，
∴；
操作二：在长方形中，，，
根据折叠的性质得，，
在中，，
根据勾股定理可得，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
的长为．
25．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、 的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，，∴．利用上面公式解决下列问题：
(1)由此得到平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为： ．
(2)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为 ．
(3)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值；
【答案】(1)
(2)5
(3)
【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，解题的关键是：
（1）（2）直接利用两点之间距离公式直接求出即可；
（3）利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值．
【详解】（1）解：根据题意，∵，，
∴，
∴；
（2）平面直角坐标系内任意两点，，，间的距离公式为：．
，之间的距离为：；
故答案为：5；
（3）作点B关于x轴对称的点，连接，直线于x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段的长度，
∵点B与点关于x轴对称，
∴点的坐标为，
∵，
∴，
∴的最小值为．
26．（23-24八年级上·内蒙古赤峰·期末）【新知探究】
（1）如图1，在边长为的网格中，正方形的面积为______；
（2）如图2，在边长为的网格中，求正方形的面积；
（3）如图3，已知边长分别为a，b，c的四个直角三角形和边长为c的正方形，借助（2）中求面积的方法，通过拼图的方式探究直角三角形三边a，b，c之间的数量关系；
【学以致用】已知直角三角形两条直角边分别为6和8，求斜边长．
【答案】（1）18；（2）正方形的面积为25；（3）；学以致用：
【分析】本题考查直角三角形，正方形面积的计算，勾股定理的证明和应用，掌握面积的计算方法，以及拼图方法是解题的关键．
（1）根据正方形面积计算公式计算即可；
（2）将正方形进行适当分割，再利用整体等于个部分之和即可求出面积；
（3）将四个全等的直角三角形拼在正方形内，利用（2）的方法求正方形面积，利用不同方法求同一个图形的面积不变，列等式整理即可；
学以致用：利用（3）得到的直角三角形三边之间的数量关系，代入求值即可．
【详解】解：（1）如图1，∵
∴正方形的面积，
故答案为：18；
（2）对正方形进行适当的分割，并标上字母，如图2，
，
∴正方形的面积正方形
答：正方形的面积为25；
（3）将四个直角三角形拼图，如图3，
则正方形的面积，
正方形的面积，
整理，得；
学以致用：∵，
∴由（3）知．
知识导图
知识清单
知识点1．勾股定理
（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．
（3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
知识点2．勾股定理的证明
（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．
（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．
题型强化
题型一．勾股定理
1．（2024春•汝南县期末）如图，已知网格中每个小正方形的边长均为1，以点为圆心，为半径画弧交网格线于点，则的长为
A．B．3C．2D．
【分析】连接，则，三角形为直角三角形，由勾股定理可算出的长．
【解答】解：如图，连接，则，，
在中，，
，
故选．
【点评】本题主要考查了勾股定理的简单应用，看出点，点在同弧上，则，是解题的关键．
2．（2024•民勤县校级三模）如图，在中，，，是射线上的一个动点，，则当为直角三角形时，的长为 3或或 ．
【分析】利用分类讨论，当时，如图2，由对顶角的性质可得，易得，易得的长，利用勾股定理可得的长；当时，分两种情况讨论，情况一：如图1，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，易得为等边三角形，利用锐角三角函数可得的长；易得，利用勾股定理可得的长；情况二：如图3，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得结论．
【解答】解：当时（如图，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
；
当时（如图，
，
，
，
在直角三角形中，
；
如图3，，，
，
，
为等边三角形，
，
故答案为3或或．
【点评】本题主要考查了勾股定理，含直角三角形的性质和直角三角形斜边的中线，分类讨论，数形结合是解答此题的关键．
3．（2024春•安定区期末）在四边形中，，，，四边形周长为32，求和的长度．
【分析】如图，连接，构建等边、直角．利用等边三角形的性质求得；然后利用勾股定理来求线段、的长度．
【解答】解：如图，连接．
，．
是等边三角形，
，．
又，
．
设，则，
由勾股定理得：，
解得，，
所以，．
【点评】本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质．根据已知条件推知是等边三角形是解题的解题关键．
题型二．勾股定理的证明
4．（2023秋•商水县期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是
A．B．
C．D．
【分析】先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到等式，变形再判断即可．
【解答】解：．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和，
，
以上公式为完全平方公式，
选项不能说明勾股定理；
．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积，
，
整理得，
选项可以证明勾股定理；
．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，
，
整理得，
选项可以证明勾股定理；
．整个图形的面积等于边长为的正方形的面积边长为的正方形面积个直角三角形的面积，也等于边长为的正方形面积个直角三角形的面积，
，
整理得，
选项可以证明勾股定理，
故选：．
【点评】本题主要考查勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．
5．（2024春•红山区期末）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，，，将四个直角三角形中边长为3的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长（图中实线部分）是 ．
【分析】由题意为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．
【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为，
则
所以
所以风车的外围周长为．
故答案为．
【点评】本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题．
6．（2024春•阳谷县期末）如图1，中，，、、的对边分别记为、、．
实验一：
小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形．
（1）在图2中，正方形的面积可表示为 ，正方形的面积可表示为 （用含，的式子表示）
（2）请结合图2，用面积法说明，，三者之间的等量关系．
实验二：
小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3所示的图形．他们根据面积法得到了一个关于边、、的等式，整理后发现．
（3）请你用面积法证明．
【分析】（1）分别表示出所求的正方形的边长，进而可得所求的正方形的面积；
（2）由图2可以看出，正方形的面积正方形的面积个矩形的面积，把相关数值代入即可；
（3）从整体和整体的组成分别得到各个图形中最大图形的面积，整理后可得勾股定理．
【解答】解：（1）正方形的边长为，
正方形的面积为．
正方形的边长为，
正方形的面积为．
故答案为：，；
（2）由图2可以看出，正方形的面积正方形的面积个矩形的面积．
；
（3），
．
．
【点评】本题考查勾股定理的应用．根据所给图形的面积的不同表示方法得到勾股定理是解决本题的关键；难点是灵活应用勾股定理，得到．
题型三、用勾股定理解三角形
7．（24-25八年级上·全国·课后作业）张大爷出门散步，他先向正东走了，接着又向正南走了，此时他离家的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】此题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行计算．根据题意画出图形，利用勾股定理进行计算即可．
【详解】解：如图：
，，
根据勾股定理得：．
故选：C.
9．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）在 中， ， 点是直线上一点，，，连接， 则线段 的长为 ．
【答案】或
【分析】了勾股定理，分当在线段上时，当在线段延长线上时，再由勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
【详解】由题意得：，
如图，当在线段上时，
∴，
在中由勾股定理得：，
如图，当在线段延长线上时，
∴，
在中由勾股定理得：，
综上可知： 的长为或．
9．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，，，，求：
(1)的长；
(2)的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形．
（1）在中，利用勾股定理即可求解；
（2）在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：在中，
；
（2）解：在中，，
所以．
题型四、勾股树（数）问题
10．（22-23八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）下列三角形的边长是勾股数且能构造成直角三角形的有（ ）
A．0.3；0.4；0.5B．1； ；C．6；7；8D．11；60；61
【答案】D
【分析】本题考查了勾股数，正确掌握勾股数的定义是解题关键．勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解．
【详解】解：A、0.3，0.4，0.5，不是正整数，不符合勾股数的定义；
B、1； ；，不是正整数，不符合勾股数的定义；
C、，不符合勾股数的定义；
D、，符合勾股数的定义．
故选：D．
11．（2024·四川成都·模拟预测）一个直角三角形的边长都是整数，则称这种直角三角形为“完美勾股三角形”，k为其面积和周长的比值．当时，满足条件的“完美勾股三角形”的周长为 ；当时，若存在“完美勾股三角形”，则 ．
【答案】 或1
【分析】本题考查了直角三角形，都是各边长都是整数，利用的直角三角形来研究，对三边同时扩大倍数来计算，看是否满足题意即可求解．
【详解】解：设直角三角形的边长分别为，其中为直角边，且，
由题意知：，
利用特殊的勾三股四直角三角形来研究，
当，上式不成立，
依次将扩大相同的倍数，
当都扩大4倍时：，等式成立，
故此时满足条件的“完美勾股三角形”的周长为：；
当时，当时，
，
当时，
，
故答案为：，或1．
12．（22-23八年级上·全国·课后作业）若m、n为整数，且，，，．请你证明a、b、c为勾股数．
【答案】见解析
【分析】先证明a、b、c均为正整数，再证明，可得结论．
【详解】证明：、n为整数，且，，，，
、b、c均为正整数，
又，
，
∴a、b、c为勾股数．
【点睛】本题考查了利用勾股定理求三角形三边的关系，完全平方公式的应用，熟练掌握和运用利用勾股定理求三角形三边的关系是解决本题的关键．
题型五、勾股定理与网格问题
13．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，网格中小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，是边上的高，则的长为（ ）
A．5B．2C．D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，先求出，再根据，即可得出答案．
【详解】解：根据网格可得：，
∴，即，
∴，
故选：C．
14．（23-24八年级上·重庆大渡口·期末）如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点，，，可得，则边上的高为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，由图形，根据勾股定理可得，然后根据三角形的面积和正方形的面积，求得，进而根据等面积法，即可求解．
【详解】解：依题意，，
，
∴边上的高为，
故答案为：．
15．（23-24八年级上·吉林长春·期中）按要求在下列边长为1的小正方形拼成的网格中作图，使点在格点上．且格点位置不相同．（每问作出一种情况即可）
(1)在图1网格中找格点，使得与垂直．
(2)在图2网格中画线段，使得作．
(3)在图3网格中画，使得的面积是3．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图-应用与设计作图、三角形的面积，
（1）根据垂直的定义作图即可．
（2）按要求作图即可．
（3）使的底为2，高为3即可．
【详解】（1）解：如图1，点P即为所求．
（2）解：如图2，线段即为所求（答案不唯一）．
（3）解：如图3，即为所求（答案不唯一）．
题型六、勾股定理与折叠问题
16．（2024·山东烟台·二模）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．
根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处，
∴，，
∵折叠纸片，使点C与点P重合，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
解得，
即，
故选：A．
17．（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，中，，，点D为线段上一个动点，将沿直线翻折得到，线段交直线于点F．若为直角三角形，则的长是 ．
【答案】或
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，，
∴；
∵折叠，
∴，
当为直角三角形时，分两种情况，
①当时，过点作，交的延长线于点，
则四边形为长方形，
∴，
设，则：，
∴，
在中，，
∴，
解得：（舍去）或；
∴；
②当时，此时点与点重合，如图：
∴，
设，则：，
由勾股定理，得：，
解得：；
∴，
综上：或；
故答案为：或．
18．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，且．
(1)求的长；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键．
（1）根据折叠的性质，得到，进而得到，利用勾股定理进行求解即可；
（2）根据折叠的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵长方形纸片中，，折叠纸片使边与对角线重合，
∴，
∴，，
∴；
（2）∵折叠，
∴，
设，则：，
在中，，
∴，
∴，
∴．
分层练习
一、单选题
1．（20-21八年级上·山西临汾·期末）已知中，，，的对边分别为、、，若，则（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理即可得．
【详解】由题意，画出图形如下：
由勾股定理得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理，依据题意，正确画出图形是解题关键．
2．（22-23八年级上·陕西西安·期中）线段在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，线段的长为（ ）
A．5B．C．4D．3
【答案】A
【分析】根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴点A和点B的水平距离为4，竖直距离为3，
∴．
故选：A．
【点睛】此题考查了勾股定理在网格中的应用，解题的关键是根据题意求出点A和点B的水平距离和竖直距离．
3．（23-24八年级上·广东揭阳·期中）下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．11，60，61B．4，5，6C．12，35，36D．15，16，17
【答案】A
【分析】本题考查勾股数．根据勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【详解】解：A、∵，∴这组数是勾股数；
B、∵，∴这组数不是勾股数；
C、∵，∴这组数不是勾股数；
D、∵，∴这组数不是勾股数．
故选：A．
4．（21-22八年级上·全国·课后作业）在中，，，则（ ）．
A．100B．200C．300D．400
【答案】C
【分析】根据题意，那么AB就为斜边，则根据勾股定理可得：，那么原式则为，再将AB的值代入即可求出答案．
【详解】解：∵在中，且，
∴AB为的斜边，
∴根据勾股定理得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定理是解题的关键．
5．（22-23八年级上·陕西榆林·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A的坐标是，则点A到原点的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．
【答案】C
【分析】直接利用两点间的距离公式即可解答．
【详解】解：∵点A的坐标是，
∴点A到原点的距离为:，
∴点到原点的距离为5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的运用，理解并掌两点间的距离公式是解题关键．
6．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在的正方形网格，的三个顶点均在格点上，点M也在格上（不与B重合），则能使与全等所有的点M的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据方格纸的特点，结合全等三角形的判定方法解答即可．
【详解】如图，能使与全等所有的点M的个数有3个，
故选B．
7．（22-23八年级上·广东清远·阶段练习）如图，已知中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则的值等于 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边的平方是解答此题的关键．根据半圆面积公式结合勾股定理，可知等于以斜边为直径的半圆面积．
【详解】解：中，，
，
∵，，
∴．
故选A．
8．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知的面积为，斜边长为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了勾股定理及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．设的两条直角边分别为，，根据面积公式得，利用勾股定理得，进而利用完全平方公式求得，即可得解．
【详解】解：设的两条直角边分别为，，
因为．
所以，
在中，，
所以，
所以，
所以，
所以的周长．
故选：．
9．（2024·内蒙古乌兰察布·二模）如图是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理先求出的长，再计算的长即可．
本题考查勾股定理，正确记忆计算公式是解题关键．
【详解】解：由题意得，在中，
，
在中，
，
故选：A．
10．（2024·山东青岛·一模）如图，中，，，，点D为边上一点，将沿折叠后，点A的对应点恰好落在边上，则线段的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，在中，利用勾股定理求出，折叠的性质求出，，，然后等面积法求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵折叠，
∴，，
∵，
∴，
即，
解得，
故选：B．
二、填空题
11．（20-21八年级上·山西太原·阶段练习）我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据奇异三角形的定义，请你判断：若某三角形的三边长分别为1、2、，则该三角形 （填“是”或者“不是”）奇异三角形．
【答案】是
【分析】根据奇异三角形的定义，即可求解．
【详解】解，
∴该三角形是奇异三角形．
故答案是：是．
【点睛】本题主要考查了新定义的理解，明确题意，理解新定义是解题的关键．
12．（23-24八年级上·辽宁本溪·期中）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形A的面积为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可．
【详解】解：由勾股定理，得正方形E的面积=正方形B的面积+正方形A的面积，得正方形E的面积=正方形D的面积-正方形C的面积，
则正方形A的面积，
故答案为：4．
13．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在正方形网格图中，每个网格小正方形的边长都为1，的三个顶点均在网格点上，则的周长等于 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理在网格的运用，根据勾股定理求出、、的长，即可解题．
【详解】解：根据勾股定理可得，，
，
，
则的周长，
故答案为：．
14．（23-24八年级上·河南南阳·期末）如图，，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】/16平方厘米
【分析】本题考查了勾股定理、三角形面积的计算方法．难度适中，解题关键是运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．根据勾股定理和等腰直角三角形的面积公式，可以证明：以直角三角形的两条直角边为斜边的等腰直角三角形的面积和等于以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积．则阴影部分的面积即为以斜边为斜边的等腰直角三角形的面积的2倍．
【详解】解：图中阴影部分的面积为，
，
，
∴图中阴影部分的面积为．
故答案为：．
15．（23-24八年级上·四川达州·期中）在平面直角坐标系中，若点，点，点都在轴上，且，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了坐标与图形的性质，主要利用两点间的距离公式求解即可．
【详解】解：点，点，
，
点不在中间，
设，
若点在点的右边，则，，
，
，
解得，
，
点在点的右边，则，，
，
，
解得，
，
综上所述，点的坐标为．
故答案为：．
16．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知，在中，，a，b，c分别为，，的对边．若，，则的面积是 ．
【答案】/平方厘米
【分析】本题考查了勾股定理和完全平方公式，根据勾股定理可得，再根据，求得，从而求得的面积．
【详解】解：在中，由勾股定理，得．
，
，
，，
的面积是．
故答案为：．
17．（21-22八年级上·福建福州·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（m，m），A（2a+b，0），B（2a﹣b，0）， 且，若∠AMB=90°，则m和a之间的数量关系为 ．
【答案】
【分析】通过勾股定理列出m、a、b的关系式即可得出答案．
【详解】解：∵M（m，m），A（2a+b，0），B（2a﹣b，0），
∴，
，
∵∠AMB=90°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴,
∵,
∴,
∴,
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理列出等式是解题的关键．
18．（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，在中，，D、E分别为，上一点，将，分别沿、折叠，点A、B恰好重合于点处．则 °．若，，则
【答案】 /90度
【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，解题的关键是：熟练掌握翻折的性质与勾股定理解三角形．根据翻折的性质得到，，由，即可得到，由折叠的性质可得：，，设，在中，根据勾股定理即可求出，
【详解】解：由折叠的性质可得，，，
∵，
∴，
∴，
由折叠的性质可得：，，
设，则，
在中，，
即：，
解得：，
∴，
故答案为：；．
三、解答题
19．（23-24八年级上·广东清远·期末）在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1，三个正方形A、B、C的面积分别用、、表示，则图中， ， ， .请写出、、之间的关系式: ．
【答案】2，3，，
【分析】根据网格特征以及勾股定理进行求解，即可作答．
【详解】解：依题意，
，，
∵在如图的网格中，每个小正方形的边长均为1，
∴根据勾股定理，得正方形C的边长为，
∴，
∵正方形A的面积为，正方形B的面积为，
∴
故答案为：2，3，，
【点睛】本题考查了正方形的面积以及勾股定理的运用，难度较小，正确掌握勾股定理是解题的关键．
20．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，，求斜边上的高的长．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理直接计算即可求得，再根据等积法计算即可求得，熟练掌握勾股定理及三角形的面积公式是解决本题的关键．
【详解】解：在中，
因为，，，
所以，
所以．
因为为边上的高，
所以，
所以．
21．（2024·河北沧州·一模）当直角三角形的三边长都是正整数时，我们称这三个正整数为勾股数．
(1)若a，b为一个直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，a，b，c为勾股数，且，n为正整数，求b的值（用含n的式子表示），并直接写出符合题意的最小的b值．
(2)当n是大于1的整数时，判断2n， 是否是勾股数，并说明理由．
【答案】(1)5
(2)是勾股数，理由见解析
【分析】本题考查了勾股数的定义，完全平方公式，算术平方根的求解，准确理解勾股数的定义，是解答本题的关键．
（1）根据勾股数的定义得到，结合都为正整数，求出最小b值即可；
（2）分别表示出2n， 的平方，得到即可做出判断．
【详解】（1）解：a，b，c为勾股数，c为斜边长，
，
，
，
，，
都为正整数，
当时，，
最小的b值为5；
（2），，，
，
2n， 是勾股数．
22．（22-23八年级上·河南新乡·期末）如图，E、F是等腰的斜边BC上的两动点，且．
求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据条件证即可；
（2）根据条件证，从而得到．由（1）得．进而在中，根据勾股定理即可求证．
【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，
，，
∵，∴，
，
在和中，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，，
∵，
∴．
【点睛】本题综合考查全等三角形的判定与性质，利用勾股定理证明线段的平方关系等知识点．根据已知条件进行几何推理是解题关键．
23．（23-24八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在等腰中，，，点F是直线AB上一个动点，作等腰，且，连接．
(1)找出图中全等三角形______．
(2)如图求证：；
(3)若，则______．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）可证，从而得证；
（2）由全等得，，得，根据勾股定理得证结论；
（3）中，勾股定理求得，得，于是．
【详解】（1）解：如图，,
∴．
∴．
又，
∴．
故全等三角形为．
（2）解：∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
（3）解：中，，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质；由全等三角形推证线段相等、角相等是解题的关键．
24．（23-24八年级上·河南郑州·期末）学习完《勾股定理》一章，李凯和张亮剪了一张直角三角形和一张长方形纸片，进行如下操作：
操作一：在中，，，，如图①，将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，点C与点E重合，请求出的长；
操作二：如图②，在长方形中，，，在边上取一点P，将沿直线折叠，点C恰好与边上的点E重合，求的长．
【答案】操作一∶；操作二：的长为．
【分析】本题考查直角三角形，矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程．
(1)求出，，设，可得∶ ，即可解得答案∶
(2)求出，设，可得，即可解得的长．
【详解】操作一：在中，，，，
，
由翻折可得，，，
，
设，则，，
在中，，由勾股定理得：，
解得： ，
∴；
操作二：在长方形中，，，
根据折叠的性质得，，
在中，，
根据勾股定理可得，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
的长为．
25．（23-24八年级上·山东枣庄·期中）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点、 的距离记作，如果、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离．如图，过A、B分别向x轴、y轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点Q，在中，，，∴．利用上面公式解决下列问题：
(1)由此得到平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为： ．
(2)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为 ．
(3)在平面直角坐标系中的两点，，P为x轴上任一点，求的最小值；
【答案】(1)
(2)5
(3)
【分析】此题主要考查了利用轴对称求最值问题以及两点之间距离公式，解题的关键是：
（1）（2）直接利用两点之间距离公式直接求出即可；
（3）利用轴对称求最短路线方法得出点位置，进而求出的最小值．
【详解】（1）解：根据题意，∵，，
∴，
∴；
（2）平面直角坐标系内任意两点，，，间的距离公式为：．
，之间的距离为：；
故答案为：5；
（3）作点B关于x轴对称的点，连接，直线于x轴的交点即为所求的点P，的最小值就是线段的长度，
∵点B与点关于x轴对称，
∴点的坐标为，
∵，
∴，
∴的最小值为．
26．（23-24八年级上·内蒙古赤峰·期末）【新知探究】
（1）如图1，在边长为的网格中，正方形的面积为______；
（2）如图2，在边长为的网格中，求正方形的面积；
（3）如图3，已知边长分别为a，b，c的四个直角三角形和边长为c的正方形，借助（2）中求面积的方法，通过拼图的方式探究直角三角形三边a，b，c之间的数量关系；
【学以致用】已知直角三角形两条直角边分别为6和8，求斜边长．
【答案】（1）18；（2）正方形的面积为25；（3）；学以致用：
【分析】本题考查直角三角形，正方形面积的计算，勾股定理的证明和应用，掌握面积的计算方法，以及拼图方法是解题的关键．
（1）根据正方形面积计算公式计算即可；
（2）将正方形进行适当分割，再利用整体等于个部分之和即可求出面积；
（3）将四个全等的直角三角形拼在正方形内，利用（2）的方法求正方形面积，利用不同方法求同一个图形的面积不变，列等式整理即可；
学以致用：利用（3）得到的直角三角形三边之间的数量关系，代入求值即可．
【详解】解：（1）如图1，∵
∴正方形的面积，
故答案为：18；
（2）对正方形进行适当的分割，并标上字母，如图2，
，
∴正方形的面积正方形
答：正方形的面积为25；
（3）将四个直角三角形拼图，如图3，
则正方形的面积，
正方形的面积，
整理，得；
学以致用：∵，
∴由（3）知．
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