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初中数学北师大版（2024）八年级上册6 实数精品复习练习题
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这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册6 实数精品复习练习题，文件包含第08讲实数4个知识点+4种题型+分层练习原卷版docx、第08讲实数4个知识点+4种题型+分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
知识导图
知识清单
知识点1．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
知识点2．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
知识点3．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
知识点4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
题型强化
题型一．实数
1．（2024春•光山县期末）在下列实数中，、，0、、、，有理数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据有理数的意义，无理数的意义，可得答案．
【解答】解：在下列实数中，、，0、、、，有理数有、0、、共4个，
故选：．
【点评】本题考查了实数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．
2．（2023秋•海州区校级期中）下列各数3.1415926，，（相邻两个1之间2的个数逐次加，，，，中，有理数有 4 个．
【分析】应用实数的分类进行判定即可得出答案．
【解答】解：有理数有3.1415926，，，共4个．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了实数，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键．
3．（2023秋•平谷区期末）已知排好顺序的一组数：．
（1）在这组数中，有理数有 3 个，无理数有 个；
（2）若从这组数中任取两个相邻的数，将左侧的数记为，右侧的数记为，则的值中共有 个正数；
（3）若从这组数中任取两个不同的数和，则的值中共有 个有理数．
【分析】（1）把各二次根式化为最简二次根式，再根据无理数与有理数的定义解答即可；
（2）任取两个相邻的数计算出结果，判断出其正负即可；
（3）根据两个有理数相乘的结果为有理数；两个同类二次根式相乘结果为有理数解答即可．
【解答】解：（1），，，，，，
在这组数中，有理数有，，，其它是无理数，
故答案为：3，5；
（2）若从这组数中任取两个相邻的数，将左侧的数记为，右侧的数记为，则的值为正数的有，
；
；
；
；
；
．
．
综上所述，正数有3个，
故答案为：3；
（3），，，，，，
；
；
；
；
，
有理数共5个．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是实数，熟知实数的分类是解题的关键．
题型二．实数的性质
4．（2024春•惠阳区期末）实数的绝对值是
A．B．C．D．
【分析】首先判断与2的大小关系，确定的正负，然后根据绝对值的代数定义即可求解．
【解答】解：，
，
则．
故选：．
【点评】此题主要考查了实数的性质，其中对绝对值的定义应熟记：①正数的绝对值是它本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零．此题还要注意确定是负数．
5．（2024春•荔湾区期末）实数的相反数是 ．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：实数的相反数是，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
6．（2022秋•卧龙区校级期末）对于结论：当时．也成立．若将看成的立方根，看成的立方根．由此得出结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
（1）举一个具体的例子进行验证；
（2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根．
【分析】（1）根据已知条件，举出一个例子，通过计算进行验证即可；
（2）根据已知条件的结论，列出关于的方程，求出，再根据平方根是它本身的数是0，列出关于的方程，求出，从而求出，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）如：，则，即8和互为相反数，
”如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数“的结论成立；
（2）和互为相反数，
，
，
，
，
的平方根是它本身，的平方根是它本身，
，，
，
的立方根是1．
【点评】本题主要考查了平方根和立方根，解题关键是理解已知条件中的结论，并能够进行验证．
题型三．实数与数轴
7．（2023秋•榆阳区校级期末）如图，数轴上点，表示的数分别是，且，两点到点的距离相等，则点表示的数是
A．B．C．D．
【分析】根据数轴上两点之间的距离公式求出的长，即可得出的长，从而求出点表示的数．
【解答】解：数轴上点，表示的数分别是，
，
，两点到点的距离相等，
，
点表示的数是，
故选：．
【点评】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．
8．（2024春•闽侯县期中）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为 ．
【分析】根据题意，可得，当点表示的数为1时，则点所表示的数为：．
【解答】解：面积为7的正方形的顶点在数轴上，，
，
点表示的数为1，
点所表示的数为：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟练计算出正方形的边长是解题的关键．
9．（2023秋•唐山期末）如图，数轴上有、、三点，表示1和的对应点分别为、，点到点的距离与点到原点的距离相等，设、、三点表示的三个数之和为
（1）求的长；
（2）求；
（3）点在点的左侧，且，若以点为原点，直接写出点表示的数．
【分析】（1）根据已知条件，利用两点间的距离公式求出即可；
（2）先根据条件求出，再利用两点间的距离公式求出点表示的数，从而求出即可；
（3）先根据已知条件，利用两点间的距离公式求出点表示的数，从而求出点表示的数即可．
【解答】解：（1）表示1和 的对应点分别为、，
；
（2）点到点的距离与点到原点的距离相等，
，
点在原点左侧，
点所表示的数为：，
；
（3）点在点的左侧，且，
点表示的数为：，
以点为原点，点表示的数为：．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握应用两点间的距离公式．
题型四．实数的运算
10．（2024春•莘县期末）实数，在数轴上的对应点如图所示，化简： ．
【分析】根据数轴上点的位置判断出的正负，原式利用二次根式及立方根性质化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：根据数轴上点的位置得：，
，
则原式
．
故答案为：．
【点评】此题考查了实数的运算，实数与数轴，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
11．（2024春•平原县期末）关于实数，，定义一种关于“※”的运算：※，例如：2※．依据运算定义，若※，且※，则的值为
A．B．1C．D．
【分析】根据运算定义可得：，解方程即可得到，则问题随之得解．
【解答】解：※，※，
根据运算定义可得：，
解得方程得：，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及定义新运算等知识，理解新运算的含义以及掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．
12．（2024春•泗水县期末）已知实数、、、、，若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的平方根．
【分析】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出，及的值，代入计算即可求出平方根．
【解答】解：根据题意得：，，或，
当时，原式，
5的平方根为．
【点评】此题考查了实数的运算，平方根，绝对值，以及倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
分层练习
一、单选题
1．实数的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了实数的绝对值．熟练掌握绝对值的意义，是解决问题的关键．
根据一个数的绝对值就是数轴上这点与原的距离，即可求解（方法不唯一）．
【详解】．
故选：B．
2．计算：（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数的运算、化简绝对值，正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．依据各数的符号化去绝对值，再加减运算即可．
【详解】解：
．
故选：D
3．四个实数，0，1，2中，最大的数是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】本题考查了实数大小比较，算术平方根，准确估算出的值是解题的关键．根据正数大于，大于负数，再估算出的值即可判断出最大的实数．
【详解】解：，
，
在四个实数，，，中，
，
最大的数是：，
故选：D．
4．定义新运算：我们规定．则（ ）
A．32B．36C．68D．64
【答案】C
【分析】本题考查了实数的运算，理解定义的新运算法则是解题的关键．
根据定义的新运算转化成实数的混合运算进行计算即可．
【详解】解：由题意得： ．
故选：C．
5．实数中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则的值是（ ）
A．1B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键．
根据实数的分类可得，即可求解．
【详解】有理数有，有6个；
无理数有，有2个；
即，
，
故选：C．
6．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．
【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2，
∴两个正方形的边长分别是，2，
∴阴影部分的面积
故选A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长.
7．观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查实数、规律题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．探究规律．利用规律即可解决问题．
【详解】解：∵…
∴用含的等式表示为，
∴第2021个等式为．
故选：C．
8．根据以下程序，当输入时，输出的值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】D
【分析】判断输入的的值与1的大小，再将代入正确的关系式计算即可．本题主要考查程序框图的应用，解题的关键在于正确判断输入的值与1的大小关系，从而将的值代入正确的关系式．
【详解】解：，
．
故选：D．
9．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是实数与数轴，根据题意求出的长，确定点C对应的实数．
【详解】解：∵A、B两点所对应的实数分别是1和，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点C对应的实数是，
故选：A．
10．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数i，使其满足(即方程有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有
从而对任意正整数n，我们可得到同理可得，，，那么，的值为( )
A．0B．1C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，同底数幂的运算、实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算．从而可知4次一循环，一个循环内的和为0，据此计算即可．
【详解】解：由题意得，故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
故选：C．
二、填空题
11．了解无理数与实数的概念
（1） 小数叫做无理数；
（2）有理数和 统称为实数．
【答案】 无限不循环 无理数
【分析】根据无理数与实数的概念进行填空．
【详解】解：（1）无限不循环小数叫做无理数；
（2）有理数和无理数统称为实数．
【点睛】本题考查了无理数与实数的概念．
12．如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是 ．
【答案】
【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是求出，即可得的值．
【详解】解：由图可得，，
表示的数比表示的数小，
，
，
，
，
的值最接近的整数是，
故答案为：．
13．的相反数是 ；的绝对值是 ；的相反数是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可．
【详解】解：的相反数是；的绝对值是；的相反数是；
故答案为：；；．
14．把按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接是 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，零次幂以及负整数指数幂，先根据零次幂以及负整数指数幂的性质化简，再比较大小，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为：
15．计算：
【答案】/
【分析】本题主要考查实数的运算，涉及化简绝对值、算术平方根，正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．先依据各数的符号化去绝对值、计算算术平方根，再加减运算即可．
【详解】解：
．
故答案为：
16．对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ．
【答案】/0.4
【分析】本题考查了新定义实数的运算，根据题意列式计算即可得出答案，理解题意是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
17．有一个数值转换器，原理如图．当输入x的值为时，输出y的值是 ．
【答案】
【分析】将代入求出y的值可知y的值是有理数，由此将代入可求出y的值，即可输出y的值．读懂题意，熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键．
【详解】解：当时，，
5不是无理数．
当时，则．
故答案为：．
18．（1）若，且a，b是两个连续的整数，则的值为 ．
（2）在实数：，0，，，4.21，，中，整数有 个．
【答案】 30 2
【分析】本题考查实数及估算无理数的大小，能够熟记个位数的平方数是解答本题的关键．
（1）由有理数去估算无理数，然后根据，是两个连续的整数，得到与值，最后求出；
（2）根据整数的意义，即可解答．
【详解】（1）解：，且，是两个连续的整数，
，，
．
故答案为：30．
（2）解：，，
在实数，0，，1.010010001，4.21，，中，整数有0，，
共有2个，
故答案为：2．
三、解答题
19．求下列各数的相反数和绝对值：
，，，，，．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了实数的性质，相反数和绝对值的意义，熟练掌握相反数和绝对值的意义是解本题的关键．
根据实数的性质，分别求其相反数和绝对值即可．
【详解】∵，
∴的相反数是，绝对值是；
的相反数是，绝对值是；
的相反数是1，绝对值是；
的相反数是，绝对值是；
的相反数是，绝对值是；
的相反数是，绝对值是．
20．（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）x=0
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，利用立方根的性质解方程，掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．
（1）先求出算术平方根，立方根，平方的运算，然后再进行加减法运算．
（2）利用立方根的性质解方程．
【详解】解：（1）原式
；
，
，
，
，
，
x=0．
21．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）．
，，，．
【答案】数轴见解析，
【分析】本题考查了利用数轴比较实数的大小，关键是利用数形结合，把抽象的问题转化成直观的问题处理即可．先在数轴上描出各点，再根据数轴上右边的数大于左边的数即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
故．
22．已知x，y都是有理数，且满足方程：，求x与y的值．
【答案】，
【分析】本题考查了实数的运算、一元一次方程的应用，熟练掌握实数的运算是解题关键．先将方程化为，再根据实数的性质可得，即，代入计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵都是有理数，
∴，，都是有理数，
∴，即，
将代入得：，
解得，
∴．
23．判断下列说法是否正确：
（1）带根号的数都是无理数；
（2）绝对值最小的实数是0；
（3）数轴上的每一个点都表示一个有理数．
【答案】（1）错；（2）对；（3）错
【分析】直接利用无理数的定义，绝对值的意义，实数与数轴上的点一一对应分别分析得出答案．
【详解】解：（1）带根号的数不一定是无理数，错；
（2）绝对值最小的实数是0，对；
（3）数轴上的每一个点都表示一个实数，错．
故答案为：（1）错；（2）对；（3）错
【点睛】本题主要考查了实数，正确掌握实数的相关性质是解题的关键．
24．把下列各数填在相应的大括号内．
，，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），．
有理数： ；
无理数： ；
正数：
整数： ；
非负数： ；
分数： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是实数的概念和分类，掌握实数的分类方法是解题的关键．根据实数的概念和分类解答．
【详解】解：，，
有理数：，，，，，，，；
无理数：，，，（每相邻两个之间依次多个），；
正数： ，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），；
整数：，，，；
非负数：，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），；
分数：，，，， ．
25．如图，在数轴上点所表示的数分别为，，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的实数为．
(1)求出实数的值
(2)求的值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，化简绝对值，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）先求出，再根据题意可得，则或；
（2）分和两种情况，去绝对值求解即可．
【详解】（1）解：，，表示的数分别为，，
∴，
∵点表示的数为，且点到点的距离与点到点的距离相等，
∴，
∴或；
（2）解：当时，
；
当时，
；
；
综上，原式的值为．
26．方明是一位勤于思考、勇于创新的同学．在学了平方根的有关知识后，他知道负数没有平方根．例如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，方明产生了这样的想法：假设存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根和了．进一步方明想到：，的平方根是；，的平方根是．请你根据上面提供的情景解答下列问题：
(1)求，，的平方根；
(2)求，，，，，的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用文字表达出来．
【答案】(1)；；
(2)见详解
【分析】本题属于探究规律的题目，理解材料中的定义是解题的关键；
（1）根据定义可得，，，据此不难求出、、的平方根；
（2）根据定义分别求出，，，，，的值，从中寻找出规律即可使问题得解．
【详解】（1）解：∵，
∴的平方根是．
，
∴的平方根是．
，
∴的平方根是．
（2）解：∵，
，
，
，
，
，
规律：i每四个相邻次方为一个循环，若指数是4的整数倍，值为1；
若指数除以4余1，值为；
若指数除以4余2，值为；
若指数除以4余3，值为．
知识导图
知识清单
知识点1．实数
（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数．
（2）实数的分类：
实数： 或 实数：
知识点2．实数的性质
（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样．实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
（3）实数a的绝对值可表示为|a|＝{a（a≥0）﹣a（a＜0），就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即|a|≥0．并且有若|x|＝a（a≥0），则x＝±a．
实数的倒数
乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a与b互为倒数，这里应特别注意的是0没有倒数．
知识点3．实数与数轴
（1）实数与数轴上的点是一一对应关系．
任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与原点的距离．
（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．
知识点4．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
题型强化
题型一．实数
1．（2024春•光山县期末）在下列实数中，、，0、、、，有理数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据有理数的意义，无理数的意义，可得答案．
【解答】解：在下列实数中，、，0、、、，有理数有、0、、共4个，
故选：．
【点评】本题考查了实数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．
2．（2023秋•海州区校级期中）下列各数3.1415926，，（相邻两个1之间2的个数逐次加，，，，中，有理数有 4 个．
【分析】应用实数的分类进行判定即可得出答案．
【解答】解：有理数有3.1415926，，，共4个．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了实数，熟练掌握实数的分类进行求解是解决本题的关键．
3．（2023秋•平谷区期末）已知排好顺序的一组数：．
（1）在这组数中，有理数有 3 个，无理数有 个；
（2）若从这组数中任取两个相邻的数，将左侧的数记为，右侧的数记为，则的值中共有 个正数；
（3）若从这组数中任取两个不同的数和，则的值中共有 个有理数．
【分析】（1）把各二次根式化为最简二次根式，再根据无理数与有理数的定义解答即可；
（2）任取两个相邻的数计算出结果，判断出其正负即可；
（3）根据两个有理数相乘的结果为有理数；两个同类二次根式相乘结果为有理数解答即可．
【解答】解：（1），，，，，，
在这组数中，有理数有，，，其它是无理数，
故答案为：3，5；
（2）若从这组数中任取两个相邻的数，将左侧的数记为，右侧的数记为，则的值为正数的有，
；
；
；
；
；
．
．
综上所述，正数有3个，
故答案为：3；
（3），，，，，，
；
；
；
；
，
有理数共5个．
故答案为：5．
【点评】本题考查的是实数，熟知实数的分类是解题的关键．
题型二．实数的性质
4．（2024春•惠阳区期末）实数的绝对值是
A．B．C．D．
【分析】首先判断与2的大小关系，确定的正负，然后根据绝对值的代数定义即可求解．
【解答】解：，
，
则．
故选：．
【点评】此题主要考查了实数的性质，其中对绝对值的定义应熟记：①正数的绝对值是它本身；②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零．此题还要注意确定是负数．
5．（2024春•荔湾区期末）实数的相反数是 ．
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：实数的相反数是，
故答案为：．
【点评】本题考查了实数的性质，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
6．（2022秋•卧龙区校级期末）对于结论：当时．也成立．若将看成的立方根，看成的立方根．由此得出结论：“如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数”
（1）举一个具体的例子进行验证；
（2）若和互为相反数，且的平方根是它本身，求的立方根．
【分析】（1）根据已知条件，举出一个例子，通过计算进行验证即可；
（2）根据已知条件的结论，列出关于的方程，求出，再根据平方根是它本身的数是0，列出关于的方程，求出，从而求出，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）如：，则，即8和互为相反数，
”如果两数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数“的结论成立；
（2）和互为相反数，
，
，
，
，
的平方根是它本身，的平方根是它本身，
，，
，
的立方根是1．
【点评】本题主要考查了平方根和立方根，解题关键是理解已知条件中的结论，并能够进行验证．
题型三．实数与数轴
7．（2023秋•榆阳区校级期末）如图，数轴上点，表示的数分别是，且，两点到点的距离相等，则点表示的数是
A．B．C．D．
【分析】根据数轴上两点之间的距离公式求出的长，即可得出的长，从而求出点表示的数．
【解答】解：数轴上点，表示的数分别是，
，
，两点到点的距离相等，
，
点表示的数是，
故选：．
【点评】本题考查了实数与数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键．
8．（2024春•闽侯县期中）如图，面积为7的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为1，若点在数轴上，（点在点的右侧）且，则点所表示的数为 ．
【分析】根据题意，可得，当点表示的数为1时，则点所表示的数为：．
【解答】解：面积为7的正方形的顶点在数轴上，，
，
点表示的数为1，
点所表示的数为：，
故答案为：．
【点评】本题考查的是实数与数轴，熟练计算出正方形的边长是解题的关键．
9．（2023秋•唐山期末）如图，数轴上有、、三点，表示1和的对应点分别为、，点到点的距离与点到原点的距离相等，设、、三点表示的三个数之和为
（1）求的长；
（2）求；
（3）点在点的左侧，且，若以点为原点，直接写出点表示的数．
【分析】（1）根据已知条件，利用两点间的距离公式求出即可；
（2）先根据条件求出，再利用两点间的距离公式求出点表示的数，从而求出即可；
（3）先根据已知条件，利用两点间的距离公式求出点表示的数，从而求出点表示的数即可．
【解答】解：（1）表示1和 的对应点分别为、，
；
（2）点到点的距离与点到原点的距离相等，
，
点在原点左侧，
点所表示的数为：，
；
（3）点在点的左侧，且，
点表示的数为：，
以点为原点，点表示的数为：．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握应用两点间的距离公式．
题型四．实数的运算
10．（2024春•莘县期末）实数，在数轴上的对应点如图所示，化简： ．
【分析】根据数轴上点的位置判断出的正负，原式利用二次根式及立方根性质化简，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：根据数轴上点的位置得：，
，
则原式
．
故答案为：．
【点评】此题考查了实数的运算，实数与数轴，以及绝对值，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
11．（2024春•平原县期末）关于实数，，定义一种关于“※”的运算：※，例如：2※．依据运算定义，若※，且※，则的值为
A．B．1C．D．
【分析】根据运算定义可得：，解方程即可得到，则问题随之得解．
【解答】解：※，※，
根据运算定义可得：，
解得方程得：，
．
故选：．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及定义新运算等知识，理解新运算的含义以及掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．
12．（2024春•泗水县期末）已知实数、、、、，若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值是2，求的平方根．
【分析】根据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出，及的值，代入计算即可求出平方根．
【解答】解：根据题意得：，，或，
当时，原式，
5的平方根为．
【点评】此题考查了实数的运算，平方根，绝对值，以及倒数，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
分层练习
一、单选题
1．实数的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了实数的绝对值．熟练掌握绝对值的意义，是解决问题的关键．
根据一个数的绝对值就是数轴上这点与原的距离，即可求解（方法不唯一）．
【详解】．
故选：B．
2．计算：（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了实数的运算、化简绝对值，正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．依据各数的符号化去绝对值，再加减运算即可．
【详解】解：
．
故选：D
3．四个实数，0，1，2中，最大的数是（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】本题考查了实数大小比较，算术平方根，准确估算出的值是解题的关键．根据正数大于，大于负数，再估算出的值即可判断出最大的实数．
【详解】解：，
，
在四个实数，，，中，
，
最大的数是：，
故选：D．
4．定义新运算：我们规定．则（ ）
A．32B．36C．68D．64
【答案】C
【分析】本题考查了实数的运算，理解定义的新运算法则是解题的关键．
根据定义的新运算转化成实数的混合运算进行计算即可．
【详解】解：由题意得： ．
故选：C．
5．实数中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则的值是（ ）
A．1B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类方法是解题的关键．
根据实数的分类可得，即可求解．
【详解】有理数有，有6个；
无理数有，有2个；
即，
，
故选：C．
6．如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为2和4，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据正方形的面积公式求得两个正方形的边长分别是，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进行计算．
【详解】解：∵矩形内有两个相邻的正方形面积分别为 4 和 2，
∴两个正方形的边长分别是，2，
∴阴影部分的面积
故选A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，解题的关键在于能够准确根据正方形的面积求出边长.
7．观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查实数、规律题，解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考常考题型．探究规律．利用规律即可解决问题．
【详解】解：∵…
∴用含的等式表示为，
∴第2021个等式为．
故选：C．
8．根据以下程序，当输入时，输出的值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】D
【分析】判断输入的的值与1的大小，再将代入正确的关系式计算即可．本题主要考查程序框图的应用，解题的关键在于正确判断输入的值与1的大小关系，从而将的值代入正确的关系式．
【详解】解：，
．
故选：D．
9．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别是1和，若点A与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查的是实数与数轴，根据题意求出的长，确定点C对应的实数．
【详解】解：∵A、B两点所对应的实数分别是1和，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点C对应的实数是，
故选：A．
10．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数i，使其满足(即方程有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有
从而对任意正整数n，我们可得到同理可得，，，那么，的值为( )
A．0B．1C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，同底数幂的运算、实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算．从而可知4次一循环，一个循环内的和为0，据此计算即可．
【详解】解：由题意得，故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
故选：C．
二、填空题
11．了解无理数与实数的概念
（1） 小数叫做无理数；
（2）有理数和 统称为实数．
【答案】 无限不循环 无理数
【分析】根据无理数与实数的概念进行填空．
【详解】解：（1）无限不循环小数叫做无理数；
（2）有理数和无理数统称为实数．
【点睛】本题考查了无理数与实数的概念．
12．如图，，在数轴上点A表示的数为a，则a的值最接近的整数是 ．
【答案】
【分析】本题考查数轴上的点表示的数，解题的关键是求出，即可得的值．
【详解】解：由图可得，，
表示的数比表示的数小，
，
，
，
，
的值最接近的整数是，
故答案为：．
13．的相反数是 ；的绝对值是 ；的相反数是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和绝对值，只有符号不同的两个数互为相反数，正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此求解即可．
【详解】解：的相反数是；的绝对值是；的相反数是；
故答案为：；；．
14．把按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接是 ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较，零次幂以及负整数指数幂，先根据零次幂以及负整数指数幂的性质化简，再比较大小，即可作答．
【详解】解：∵
∴
∴
故答案为：
15．计算：
【答案】/
【分析】本题主要考查实数的运算，涉及化简绝对值、算术平方根，正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．先依据各数的符号化去绝对值、计算算术平方根，再加减运算即可．
【详解】解：
．
故答案为：
16．对于两个不相等的实数，定义一种新的运算如下，如:，那么 ．
【答案】/0.4
【分析】本题考查了新定义实数的运算，根据题意列式计算即可得出答案，理解题意是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
17．有一个数值转换器，原理如图．当输入x的值为时，输出y的值是 ．
【答案】
【分析】将代入求出y的值可知y的值是有理数，由此将代入可求出y的值，即可输出y的值．读懂题意，熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键．
【详解】解：当时，，
5不是无理数．
当时，则．
故答案为：．
18．（1）若，且a，b是两个连续的整数，则的值为 ．
（2）在实数：，0，，，4.21，，中，整数有 个．
【答案】 30 2
【分析】本题考查实数及估算无理数的大小，能够熟记个位数的平方数是解答本题的关键．
（1）由有理数去估算无理数，然后根据，是两个连续的整数，得到与值，最后求出；
（2）根据整数的意义，即可解答．
【详解】（1）解：，且，是两个连续的整数，
，，
．
故答案为：30．
（2）解：，，
在实数，0，，1.010010001，4.21，，中，整数有0，，
共有2个，
故答案为：2．
三、解答题
19．求下列各数的相反数和绝对值：
，，，，，．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了实数的性质，相反数和绝对值的意义，熟练掌握相反数和绝对值的意义是解本题的关键．
根据实数的性质，分别求其相反数和绝对值即可．
【详解】∵，
∴的相反数是，绝对值是；
的相反数是，绝对值是；
的相反数是1，绝对值是；
的相反数是，绝对值是；
的相反数是，绝对值是；
的相反数是，绝对值是．
20．（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）x=0
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，利用立方根的性质解方程，掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．
（1）先求出算术平方根，立方根，平方的运算，然后再进行加减法运算．
（2）利用立方根的性质解方程．
【详解】解：（1）原式
；
，
，
，
，
，
x=0．
21．把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小（用“”连接）．
，，，．
【答案】数轴见解析，
【分析】本题考查了利用数轴比较实数的大小，关键是利用数形结合，把抽象的问题转化成直观的问题处理即可．先在数轴上描出各点，再根据数轴上右边的数大于左边的数即可得出结论．
【详解】解：如图所示：
故．
22．已知x，y都是有理数，且满足方程：，求x与y的值．
【答案】，
【分析】本题考查了实数的运算、一元一次方程的应用，熟练掌握实数的运算是解题关键．先将方程化为，再根据实数的性质可得，即，代入计算即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵都是有理数，
∴，，都是有理数，
∴，即，
将代入得：，
解得，
∴．
23．判断下列说法是否正确：
（1）带根号的数都是无理数；
（2）绝对值最小的实数是0；
（3）数轴上的每一个点都表示一个有理数．
【答案】（1）错；（2）对；（3）错
【分析】直接利用无理数的定义，绝对值的意义，实数与数轴上的点一一对应分别分析得出答案．
【详解】解：（1）带根号的数不一定是无理数，错；
（2）绝对值最小的实数是0，对；
（3）数轴上的每一个点都表示一个实数，错．
故答案为：（1）错；（2）对；（3）错
【点睛】本题主要考查了实数，正确掌握实数的相关性质是解题的关键．
24．把下列各数填在相应的大括号内．
，，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），．
有理数： ；
无理数： ；
正数：
整数： ；
非负数： ；
分数： ．
【答案】见解析
【分析】本题考查的是实数的概念和分类，掌握实数的分类方法是解题的关键．根据实数的概念和分类解答．
【详解】解：，，
有理数：，，，，，，，；
无理数：，，，（每相邻两个之间依次多个），；
正数： ，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），；
整数：，，，；
非负数：，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），；
分数：，，，， ．
25．如图，在数轴上点所表示的数分别为，，，点到点的距离与点到点的距离相等，设点所表示的实数为．
(1)求出实数的值
(2)求的值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，化简绝对值，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
（1）先求出，再根据题意可得，则或；
（2）分和两种情况，去绝对值求解即可．
【详解】（1）解：，，表示的数分别为，，
∴，
∵点表示的数为，且点到点的距离与点到点的距离相等，
∴，
∴或；
（2）解：当时，
；
当时，
；
；
综上，原式的值为．
26．方明是一位勤于思考、勇于创新的同学．在学了平方根的有关知识后，他知道负数没有平方根．例如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，方明产生了这样的想法：假设存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根和了．进一步方明想到：，的平方根是；，的平方根是．请你根据上面提供的情景解答下列问题：
(1)求，，的平方根；
(2)求，，，，，的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用文字表达出来．
【答案】(1)；；
(2)见详解
【分析】本题属于探究规律的题目，理解材料中的定义是解题的关键；
（1）根据定义可得，，，据此不难求出、、的平方根；
（2）根据定义分别求出，，，，，的值，从中寻找出规律即可使问题得解．
【详解】（1）解：∵，
∴的平方根是．
，
∴的平方根是．
，
∴的平方根是．
（2）解：∵，
，
，
，
，
，
规律：i每四个相邻次方为一个循环，若指数是4的整数倍，值为1；
若指数除以4余1，值为；
若指数除以4余2，值为；
若指数除以4余3，值为．
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