北师大版（2024）3 立方根优秀一课一练

这是一份北师大版（2024）3 立方根优秀一课一练，文件包含第06讲立方根1个知识点+4种题型+分层练习原卷版docx、第06讲立方根1个知识点+4种题型+分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
知识导图
知识清单
知识点．立方根
（1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：．
（2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根．
（3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数．
注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根．
【规律方法】平方根和立方根的性质
1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
题型强化
题型一．立方根
1．（2024•海港区一模）的立方根是
A．B．C．D．2
【分析】根据立方根的定义求解即可．
【解答】解：，
的立方根是．
故选：．
【点评】本题考查了立方根，掌握如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根是解题的关键．
2．（2024•宣州区校级三模）的立方根是 ．
【分析】利用立方根的意义解答即可．
【解答】解：，
的立方根是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了立方根，熟练掌握立方根的意义是解题的关键．
3．（2023秋•东营期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4．
（1）求，的值；
（2）求的平方根．
【分析】（1）根据平方根、立方根的定义可求出、的值；
（2）先求出的值，再求的平方根．
【解答】解：（1）的立方根是3，即，
，
解得，
又的算术平方根是4，即，
，而，
，
答：，；
（2）当，时，
，
的平方根为．
【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义，理解平方根、立方根的意义是正确计算的前提．
题型二、立方根概念理解
4．（23-24八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）计算： ； ．
【答案】 4
【分析】根据平方根和立方根的定义求出即可．
【详解】解：
故答案为：，4．
【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握定义并准确计算是解题的关键．
5．（22-23八年级上·河南郑州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）．
A．一个正数的立方根有两个，它们互为相反数
B．负数没有立方根
C．任何数的立方根都是非负数
D．正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0
【答案】D
【分析】本题主要考查了立方根的概念，解决本题的关键是熟练掌握正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，零的立方根是零．根据立方根的概念逐一判断即可．
【详解】解：A、一个正数的立方根只有一个，选项错误，不符合题意；
B、负数有立方根，选项错误，不符合题意；
C、负数的立方根是负数，选项错误，不符合题意；
D、正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0，正确，符合题意；
故选：D．
6．（23-24八年级上·全国·单元测试）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)，
【分析】本题考查了利用立方根、平方根解方程，熟练掌握立方根和平方根的定义是解此题的关键．
（1）利用立方根解方程即可；
（2）利用平方根解方程即可；
（3）利用平方根解方程即可；
（4）利用平方根解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，（不符合题意，舍去）；
∴；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∴，．
题型三、求一个数的立方根
7．（2024·山东济南·模拟预测）的立方根是（ ）
A．4B．C．2D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了立方根的概念和算术平方根的概念，根据立方根的概念和算术平方根的概念即可求解，正确理解立方根的概念和算术平方根的概念是解题的关键．
【详解】解：由，
∴的立方根是，即的立方根是，
故选：．
8．（24-25八年级上·全国·单元测试）计算 ．
【答案】3
【分析】本题考查了立方根、零指数幂．熟练掌握立方根和零指数幂是解题的关键．
先分别计算立方根、零指数幂，然后进行加法运算即可．
【详解】解：．
故答案为：3．
9．（23-24八年级上·四川眉山·期中）计算或解方程:
(1)解方程：
(2)计算：
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先将原方程转化成的形式，再根据平方根的定义解方程即可；
（2）先计算算术平方根，立方根和绝对值，再进行加减计算即可．
本题主要考查了根据平方根的定义解方程和实数的运算．熟练掌握平方根的定义和实数的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得或；
（2）解：
．
题型四、立方根的实际应用
10．（22-23八年级上·陕西西安·期中）将一块体积为的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块，则每个小正方体木块的棱长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据立方根的定义求出大正方体的棱长，取其一半即可；
【详解】解：（）
（）
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根的定义；熟练掌握立方根的计算法则是解题的关键．
11．（24-25八年级上·全国·课后作业）正方体的体积为7，则正方体的棱长为 ．
【答案】
【分析】本题考查立方根，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．根据正方体体积公式及立方根定义解答．
【详解】解：设这个正方体的棱长为，根据题意得，
，
，
故答案为：．
12．（22-23八年级上·河南驻马店·阶段练习）（1）已知，求的值．
（2）已知，求的值．
【答案】（1）或；（2）
【分析】本题主要考查了平方根与立方根，熟练掌握平方根与立方根的定义进行求解是解决本题的关键．
（1）根据题意可化为，根据平方根的定义可得，计算即可得出答案；
（2）根据题意可化为，根据立方根的定义可得，计算即可得出答案．
【详解】解：（1），
，
，
，
或，
或；
（2），
，
，
，
．
分层练习
一、单选题
1．8的立方根是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】本题考查立方根定义及计算，根据立方根定义即可得到答案，熟记立方根定义及计算是解决问题的关键．
【详解】解：8的立方根是，
故选：C．
2．若一个数的立方根为，则这个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了已知一个数的立方根，求这个数．熟练掌握立方根的运算是解题的关键．
由，进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，
故选：C．
3．一个正方体的体积是，则它的棱长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据正方体体积的计算方法，利用立方根进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴若一个正方体的体积是，则它的棱长是，
故选B．
【点睛】本题考查了立方根，理解立方根的意义是正确解答的关键．
4．有下列说法：（1）带根号的数是无理数；（2）不带根号的数一定是有理数；（3）负数有立方根；（4）是17的平方根，其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】题主要考查有理数、无理数、立方根及平方根，熟练掌握有理数、无理数、立方根及平方根的概念是解题的关键．
【详解】解：（1）带根号的数不一定是无理数，例如是有理数，说法错误；
（2）不带根号的数不一定是有理数，例如是无理数，说法错误；
（3）负数有立方根，说法正确；
（4）是17的平方根，说法正确；
故选：C．
5．a+3的算术平方根是3，b－2的立方根是2，则为（ ）
A．B．C．±6D．6
【答案】D
【分析】利用算术平方根是立方根的定义即可求出a、b，再代入，计算即可.
【详解】∵a+3的算术平方根是3
∴，解得：
∵b－2的立方根是2
∴，解得：
∴
故选D
【点睛】本题考查算术平方根和立方根的定义，难度较低，熟练掌握各个知识点是解题关键.
6．在，π，，，0，，七个数中，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】A
【分析】本题考查了无理数，根据所给七个数依次判断是否为无理数，即可得；掌握无理数的定义是解题的关键．
【详解】解：，，
在，π，，，0，，七个数中，无理数有π，，则无理数的个数为2个，
故选；A．
7．实数a、b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A．﹣3bB．﹣2a﹣bC．a﹣2bD．﹣b
【答案】D
【分析】由图可知，，且，结合立方根、算术平方根、绝对值的性质化简解题即可．
【详解】解：，且
，
原式
故选：D．
【点睛】本题考查利用数轴判断式子的正负，涉及绝对值、算术平方根、立方根等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
8．若则的立方根为（ ）
A．4B．2C．D．8
【答案】C
【分析】本题考查了非负数的性质、求立方根，根据非负数的性质求出，，再求出的值，最后根据立方根的定义计算即可得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴的立方根为，
故选：C．
9．关于立方根，下列说法正确的是（ ）
A．正数有两个立方根B．立方根等于它本身的数只有
C．负数的立方根是负数D．负数没有立方根
【答案】C
【分析】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
各项利用立方根定义判断即可．
【详解】解：A、正数有一个立方根，错误；
B、立方根等于本身的数有，，，错误；
C、负数的立方根是负数，正确；
D、负数有立方根，错误，
故选：C．
10．在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，并令正方体铁块完全浸没在盛满水的圆柱体烧杯中．若用一量筒量得铁块排出的水的体积为，则该正方体铁块的棱长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查立方根，掌握立方根的定义是正确计算的前提．根据正方体体积为进行计算即可．
【详解】解：根据题意可知，正方体的体积为，
因此棱长为，
故选：A．
二、填空题
11．一个正方体木块的体积为，则它的棱长为 cm．
【答案】5
【分析】根据正方体的体积等于棱长的立方，即求的立方根即可．
【详解】解：正方体的体积为
它的棱长为cm
故答案为：
【点睛】本题考查了立方根的应用，理解正方体的体积公式以及求一个数的立方根是解题的关键．
12．已知的立方根是，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得，，解方程即可．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：．
13．已知的平方根是的立方根是，则 ．
【答案】
【分析】本题考查代数式求值，涉及平方根定义、立方根定义定义等知识，根据题意，求出值代入即可，熟记平方根及立方根定义是解决问题的关键．
【详解】解：的平方根是的立方根是，
，，解得，，
，
故答案为：．
14．如果，那么的立方根为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式的非负性，解题的关键是利用非负性求出x、y的值．
根据二次根式的非负性，求出x、y的值，然后进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：2．
15．在实数中无理数有 个．
【答案】
【分析】本题考查了无理数，先化简实数，再根据无限不循环小数是无理数即可判断求解，掌握无理数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴在实数中无理数有，，共有个，
故答案为：．
16．根据如图中呈现的运算关系，可知的值为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，由图可知，左右数字变化为开立方运算，通过开立方为，而与为相反数且一个数的立方根只有一个进行分析判断，正确理解题意是解题的关键．
【详解】∵开立方为，与为相反数且一个数的立方根只有一个，
∴的立方根为，
∴，
故答案为：．
17．已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根是
【答案】
【分析】本题考查了平方根以及立方根，根据平方根以及立方根的定义得出的值是关键．
根据的平方根是，可得，根据的立方根是，得出，求出的值即可得出答案．
【详解】解：∵的平方根是，
∴，
∴，
∵的立方根是，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴的算术平方根是；
故答案为：．
18．某区环保局将一个长为分米，宽为分米，高为分米的长方体废水池中的满池废水注入正方体贮水池净化，该贮水池将这些废水刚好装满，则正方体贮水池的棱长为 分米．
【答案】
【分析】根据题意列出算式进行计算，最后将结果用科学记数法表示即可．
【详解】解：正方体贮水池的棱长为：
（分米）．
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，求一个数的立方根，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
三、解答题
19．求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解方程，灵活运用平方根和立方根解方程是关键．
（1）利用平方根解方程即可；
（2）利用立方根解方程即可．
【详解】（1）解：，
方程可化为，
开平方，得：；
（2）解：，
方程可化为，
，
．
20．已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个正方体纸盒的体积大，求第二个正方体纸盒的棱长．
【答案】
【分析】本题主要考查的是立方根的定义，解题关键是根据立方根的定义求出正方体的棱长．
【详解】解：第一个正方体纸盒的体积为，
∴第二个正方体纸盒的体积为，
∴第二个正方体纸盒的棱长为．
21．求下列各式中的x．
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程：
（1）利用平方根解方程即可；
（2）利用立方根解方程即可．
【详解】（1）解：
，
∴；
（2）
，
∴．
22．已知的立方根是2，的算术平方根是3．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根．
（1）根据立方根及算术平方根的定义即可求得，的值；
（2）将，的值代入中计算后根据平方根的定义即可求得答案．
【详解】（1）解：∵的立方根是2，
∴，
解得，
∵的算术平方根是3，
∴．
解得．
∴，；
（2）解：∵，，
∴．
∴的平方根为．
23．若都是实数，，求的立方根．
【答案】3
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，非负数的性质，先根据被开方数要大于等于0得到，进而求出，再根据立方根的定义求解即可．
【详解】解；∵式子要有意义，
∴
解得：，
∴，
∴，
∴的立方根是3．
24．已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根．
【答案】
【分析】本题考查算术平方根、立方根，掌握算术平方根、立方根的性质是解题的关键．根据是的算术平方根，得到，求出a的值，根据是的立方根，得到，求出b的值，从而求出A，B，进而求出的值，即可求出结果．
【详解】解：是的算术平方根，
，
，
是的立方根，
，
又，
，
，，
，
．
25．先阅读材料，再解答问题．
，，
．
，，
．
，，
．
，
， ，
．
(1)完成上面的填空，并猜测互为相反数的两个数的立方根的关系为 ．
(2)计算的值．
【答案】(1)；；； ，相反数
(2)
【分析】（1）观察各式，填写即可；猜测得到互为相反数的两个数的立方根互为相反数；
（2）利用得出的结论化简，计算即可得到结果．
此题考查了立方根，相反数，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
【详解】（1）解：，，
；
∴互为相反数的两个数的立方根互为相反数；
故答案为：；；； ，相反数
（2）解：
．