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北师大版（2024）八年级上册1 认识无理数精品课后测评
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这是一份北师大版（2024）八年级上册1 认识无理数精品课后测评，文件包含第04讲认识无理数1个知识点+1种题型+分层练习原卷版docx、第04讲认识无理数1个知识点+1种题型+分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
知识清单
知识点．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
题型强化
题型一．无理数
1．（2023秋•甘州区校级期末）下列各数中，无理数是
A．B．C．0D．
【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：、，是整数，属于有理数，不符合题意；，
、是无理数，符合题意
、0是整数，属于有理数，不符合题意；
、是分数，属于有理数，不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
2．（2022秋•蒲城县期末）请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是 （答案不唯一） ．
【分析】此时是一道开放型的题目，答案不唯一，根据无理数的定义得出即可．
【解答】解：无理数为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数是指无限不循环小数．
3．请说出下列数学名词的定义：
（1）无理数；
（2）直角三角形；
（3）角平分线．
【分析】（1）根据无理数的定义解答；
（2）根据直角三角形的定义解答；
（3）根据角平分线的定义解答．
【解答】解：（1）无理数是无限不循环小数；
（2）有一个内角等于的三角形叫做直角三角形；
（3）从一个角的顶点出发的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫这个角的平分线．
【点评】本题主要考查了无理数，直角三角形以及角平分线，熟记相关定义是解答本题的关键．
分层练习
一、单选题
1．下列各数中，不是无理数的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了无理数定义，解题的关键是熟记无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义逐项判定即可．
【详解】解：由无理数定义可得：
， 是有理数， ， 都是无理数，
故选：B．
2．下列一组数（相邻两个1之间依次增加一个0），其中无理数的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了无理数定义．根据无理数与有理数的概念进行判断即可得．
【详解】解： (相邻两个1之间依次增加一个0)，其中无理数的个数有： (相邻两个1之间依次增加一个0)，共2个，
故选：C.
3．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．0C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数为无理数，进行逐个分析，即可作答．
【详解】解：A、是负整数，不是无理数，故该选项是错误的；
B、0是整数，不是无理数，故该选项是错误的；
C、是正分数，不是无理数，故该选项是错误的；
D、是无限不循环小数，是无理数，故该选项是正确的；
故选：D．
4．在，，，2022这四个数中，无理数是（ ）
A．B．1.414C．D．2022
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的概念，无限不循环小数是无理数，初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如．根据无理数的概念判断即可．
【详解】解：在，，，2022这四个数中，无理数是，
故选：C
5．在实数4.21，π，，，2，， 中，无理数有 （ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
【详解】解：依题意，都不是无理数，
∴在实数4.21，π，，，2，， 中，无理数有，
故选：B．
6．在 ，， ，2这五个数中，无理数的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可．
【详解】解：在 ，， ，2这五个数中，无理数有， 共2个；
故选A．
7．实数，，，，（相邻两个之间1的个数依次加），其中无理数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
【详解】是有理数，不符合题意；
是分数，属于有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
是无理数，符合题意；
（相邻两个之间1的个数依次加）是无理数，符合题意；
∴无理数有个，
故选：．
8．如图，在的正方形网格中有一个不规则的四边形，则该四边形中边长为无理数的边共有( )
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，无理数的判断等知识，运用勾股定理求出每条边，再判断即可．
【详解】解：依题意得：，，，，
∴其中，，是无理数，5是有理数，
∴的长都是无理数，共3条，
故选：C．
9．小正方形边长为，下列图中的三角形，三条边长都是无理数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键是注意格点三角形的三边的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．此题根据图中所示，利用勾股定理求出每个边长，然后根据无理数的定义即可得出答案．
【详解】解：A、中的三角形三边长分别是：，，，三条边长都是无理数，故该选项符合题意；
B、中的三角形三边长分别是：，，2，只有两条边长是无理数，故该选项不符合题意；
C、中的三角形三边长分别是：2，，，只有一条边长是无理数，故该选项不符合题意；
D、中的三角形三边长分别是：2，4，，只有一条边长是无理数，故该选项不符合题意．
故选：A．
10．下列各数：（每两个1之间多1个0），其中是无理数的有（ ）个．
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：是分数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
无理数有：，共4个．
故选：B．
二、填空题
11．在，，π，0，，中，无理数有 个．
【答案】3
【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
【详解】解：无理数为，π，，共有3个，
故答案为：3．
12．下列5个数：0，π，，9，中，其中无理数有 个．
【答案】2
【分析】本题主要考查无理数，熟知初中阶段接触的无理数主要有以下三种形式：①开不尽方的数；②含有的数；③像这样有规律但不循环的数．根据无理数即为无限不循环小数进行解答即可．
【详解】解：这5个数中，是无理数的有π，，共2个．
故答案为：2
13．已知实数，0.16，3，，，，其中为无理数的有 个．
【答案】2
【分析】本题主要考查了无理数定义．初中范围内学习的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但是无限不循环的数，如，等．注意解答此类问题时，常常要结合有理数概念来求解．
【详解】解：，0.16，3，是有理数，，是无理数，共2个无理数，
故答案为：2．
14．在实数，，，，，中，无理数有 ．
【答案】，，
【分析】本题主要考查无理数的定义，掌握实数的分类，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数是解答本题的关键．
【详解】解：为有限小数，为无限循环小数，为分数，此三数为有理数，
，，为无理数，
故答案为：，，．
15．在，，，，（每两个2之间1的个数逐次加1），中，无理数有 个．
【答案】
【分析】根据无理数的常见形式①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个），进行逐一判断即可．
【详解】解：由题意得
无理数有：，，（每两个2之间1的个数逐次加1）；
故答案：.
【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数是无理数，掌握无理数的常见形式是解题的关键．
16．下列各数：，，，中，无理数有 个．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的某些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
【详解】是分数，属于有理数，不符合题意；
是有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
是有限小数，是有理数，不符合题意；
∴无理数有个，
故答案为：．
17．在实数、5.0101001中，无理数有 个．
【答案】2
【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项．
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数．
【详解】解：
无理数有，
故答案为：2．
18．如图①是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中．如果把图②中的直角三角形继续作下去，那么这些线段中，有 条线段的长度为无理数．
【答案】20
【分析】由题意可得出（且n为正整数），再根据无理数的定义解答即可．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴；
…；
∴（且n为正整数），
∴到的长度分别为1，，，…，．
∵当，4，9，16，25时，为有理数，
∴n为其余数时为无理数，有个，
∴有20条线段的长度为无理数．
故答案为：20．
【点睛】本题考查勾股定理，无理数的定义．利用勾股定理求得直角三角形的斜边长，进而发现规律是解本题的关键．
三、解答题
19．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段．试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段．
【答案】见详解．
【分析】根据有理数常见的类别直接作出整数线段即可；无理数包括无限不循环小数和开方不能开尽的数，据此利用勾股定理即可确定无理数线段．
【详解】解：图中线段，的长度能用有理数表示，线段，的长度不能用有理数表示，理由如下：
，，均能用有理数表示；
，，均不能用有理数表示，
∴线段，的长度能用有理数表示，线段，的长度不能用有理数表示（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查有理数和无理数常见的类别，利用勾股定理确定无理数是解题关键．
20．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数；
(2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，2，．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）借助格点，根据勾股定理构造直角三角形，从而得到三边为无理数的三角形；
（2）借助格点，根据勾股定理构造三边长分别为3，2，的三角形
【详解】（1）三边长分别为，如图所示，
（2）三边长分别为3，2，如图所示，
【点睛】本题考查利用勾股定理画图．掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，并能根据题中限制条件画图是解题关键．
21．下列各数中，0.351，，，3.14159，，…（相邻两个2之间3的个数逐次加1)，0.
(1)有理数有，__________；
(2)无理数有：__________；
(3)分数有：____________；
(4)正数有：____________.
【答案】（1）0.351，，，3.14159，0
（2），（相邻两个2之间3的个数逐次加1)
（3）0.351，，，3.14159
（4）0.351,3.14159，
【分析】无限不循环小数是无理数，有限小数或无限循环小数都是有理数，整数和分数统称有理数.
【详解】(1)有理数有:0.351，，，3.14159，0；
(2)无理数有：，（相邻两个2之间3的个数逐次加1)；
(3)分数有：0.351，，，3.14159；
(4)正数有：0.351,3.14159，
故答案为(1). 0.351，，，3.14159，0 (2). ，（相邻两个2之间3的个数逐次加1) (3). 0.351，，，3.14159 (4). 0.351,3.14159，
【点睛】考核知识点：无理数和有理数.理解相关定义是关键.
22．在下列网格中分别画出一个符合条件的直角三角形，要求三角形的顶点均在格点上，且满足：
（1）三边均为有理数；（2）其中只有一边为无理数．
【答案】答案见解析
【分析】（1）由勾股定理得出5，画出图形即可；
（2）由勾股定理得出直角边长为2、斜边长为的等腰直角三角形，画出图形即可．
【详解】（1）5，
△ABC即为所求，
如图1所示；
（2）由勾股定理得：
，
△DEF即为所求，
如图2所示．
【点睛】本题考查了勾股定理、实数的定义；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算与作图是解决问题的关键．
23．把下列各数填入相应的横线里：
，，，0，0.8，，，
正有理数集合： ；
整数集合： ；
负分数集合： ；
无理数集合： ．
【答案】；；；.
【分析】根据无理数的定义，以及有理数的分类进行解答，即可得到答案.
【详解】解：∵，，，0，0.8，，，，
∴正有理数集合：；
整数集合：；
负分数集合：；
无理数集合：；
故答案为：；；；.
【点睛】本题考查了无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是正确的把有理数和无理数进行分类.
24．把下列各数写入相应的集合中：-，，0.1，，，，0，0.1212212221．．． （相邻两个1之间2的个数逐次加1）
（1）正数集合{ }；
（2）有理数集合{ }；
（3）无理数集合{ }．
【答案】（1）0.1、、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）；（2）、 0.1、 、 、0 ；（3）、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）．
【分析】根据实数的分类标准进行填写即可．
【详解】解：（1）正数集合{0.1、、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）}；
（2）有理数集合{ -、 0.1、 、 、0 }；
（3）无理数集合{、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1） }．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，掌握有理数和无理数的概念是解答本题的关键．
25．(1)在如下6×6的网格中（每个小正方形边长均为1）．画出一个面积为10的正方形；
(2)在如图所示数轴上找到表示的点（保留画图痕迹）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；
【分析】此题涉及的知识点是图形的设计和无理数在数轴上的表示，根据要求面积为10的正方形，则边长为，根据勾股定理可以设计，无理数在数轴上的表示，根据作图方法可直接画出
【详解】解：（1）如图，正方形ABCD即为所求.
（2）如图，点P即为所求.
【点睛】此题重点考查学生的动手能力，无理数在数轴上的表示方法是解题的关键
26．阅读与应用：
下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．
任务：
(1)“拓展思考”中，线段的长为______，的长为______；点B表示的数为______，点表示的数为______．
(2)请从A，B两题中任选一题作答．我选择______题．
A．请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点M，N；
B．请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点M．
【答案】(1)；；；
(2)见解析
【分析】（1）记表示的数为1的点（记作C）为圆心作弧，，由等量关系可得，点B，分别在原点的右侧、左侧，注意为负数；
（2）选A题：，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，与数轴相交的两个交点即为所求；选B题：以表示的数为2的点为圆心，在圆心的左侧，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后，以为半径画弧，与数轴负半轴相交的点即为所求．
【详解】（1）记表示的数为1的点（记作C）为圆心作弧，
∵圆的半径为，即，
∴；；
又点B，分别在原点的右侧、左侧，
∴点B表示的数为，点表示的数为
（2）选A题：因为，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，如图所示：
选B题：∵，∴点在数轴的负半轴；
，以表示的数为2的点为圆心，在圆心的左侧，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后，以为半径画弧，与数轴负半轴相交的点即为所求，如图所示：
【点睛】本题考查了无理数与数轴上的点的对应关系，作图时通常借助于作直角三角形，利用勾股定理得斜边或直角边．
2022年9月22日 天气：晴
无理数与线段长．
今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实．
回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点．
拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍为原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！
知识清单
知识点．无理数
（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数．
说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数．如圆周率、2的平方根等．
（2）、无理数与有理数的区别：
①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，
比如4＝4.0，＝0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如＝1.414213562．
②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能．
（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，如分数是无理数，因为π是无理数．
无理数常见的三种类型
（1）开不尽的方根，如等．
（2）特定结构的无限不循环小数，
如0.303 003 000 300 003…（两个3之间依次多一个0）．
（3）含有π的绝大部分数，如2π．
注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如是有理数，而不是无理数．
题型强化
题型一．无理数
1．（2023秋•甘州区校级期末）下列各数中，无理数是
A．B．C．0D．
【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：、，是整数，属于有理数，不符合题意；，
、是无理数，符合题意
、0是整数，属于有理数，不符合题意；
、是分数，属于有理数，不符合题意．
故选：．
【点评】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
2．（2022秋•蒲城县期末）请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是 （答案不唯一） ．
【分析】此时是一道开放型的题目，答案不唯一，根据无理数的定义得出即可．
【解答】解：无理数为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无理数是指无限不循环小数．
3．请说出下列数学名词的定义：
（1）无理数；
（2）直角三角形；
（3）角平分线．
【分析】（1）根据无理数的定义解答；
（2）根据直角三角形的定义解答；
（3）根据角平分线的定义解答．
【解答】解：（1）无理数是无限不循环小数；
（2）有一个内角等于的三角形叫做直角三角形；
（3）从一个角的顶点出发的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫这个角的平分线．
【点评】本题主要考查了无理数，直角三角形以及角平分线，熟记相关定义是解答本题的关键．
分层练习
一、单选题
1．下列各数中，不是无理数的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了无理数定义，解题的关键是熟记无限不循环小数叫做无理数．根据无理数的定义逐项判定即可．
【详解】解：由无理数定义可得：
， 是有理数， ， 都是无理数，
故选：B．
2．下列一组数（相邻两个1之间依次增加一个0），其中无理数的个数有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了无理数定义．根据无理数与有理数的概念进行判断即可得．
【详解】解： (相邻两个1之间依次增加一个0)，其中无理数的个数有： (相邻两个1之间依次增加一个0)，共2个，
故选：C.
3．下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．0C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无限不循环小数为无理数，进行逐个分析，即可作答．
【详解】解：A、是负整数，不是无理数，故该选项是错误的；
B、0是整数，不是无理数，故该选项是错误的；
C、是正分数，不是无理数，故该选项是错误的；
D、是无限不循环小数，是无理数，故该选项是正确的；
故选：D．
4．在，，，2022这四个数中，无理数是（ ）
A．B．1.414C．D．2022
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的概念，无限不循环小数是无理数，初中范围内涉及到的无理数有三种：开方开不尽的数，如；特定意义的数，如；特定结构的数，如．根据无理数的概念判断即可．
【详解】解：在，，，2022这四个数中，无理数是，
故选：C
5．在实数4.21，π，，，2，， 中，无理数有 （ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．
【详解】解：依题意，都不是无理数，
∴在实数4.21，π，，，2，， 中，无理数有，
故选：B．
6．在 ，， ，2这五个数中，无理数的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【分析】根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可．
【详解】解：在 ，， ，2这五个数中，无理数有， 共2个；
故选A．
7．实数，，，，（相邻两个之间1的个数依次加），其中无理数有（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
【详解】是有理数，不符合题意；
是分数，属于有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
是无理数，符合题意；
（相邻两个之间1的个数依次加）是无理数，符合题意；
∴无理数有个，
故选：．
8．如图，在的正方形网格中有一个不规则的四边形，则该四边形中边长为无理数的边共有( )
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，无理数的判断等知识，运用勾股定理求出每条边，再判断即可．
【详解】解：依题意得：，，，，
∴其中，，是无理数，5是有理数，
∴的长都是无理数，共3条，
故选：C．
9．小正方形边长为，下列图中的三角形，三条边长都是无理数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键是注意格点三角形的三边的求解方法：借助于直角三角形，用勾股定理求解．此题根据图中所示，利用勾股定理求出每个边长，然后根据无理数的定义即可得出答案．
【详解】解：A、中的三角形三边长分别是：，，，三条边长都是无理数，故该选项符合题意；
B、中的三角形三边长分别是：，，2，只有两条边长是无理数，故该选项不符合题意；
C、中的三角形三边长分别是：2，，，只有一条边长是无理数，故该选项不符合题意；
D、中的三角形三边长分别是：2，4，，只有一条边长是无理数，故该选项不符合题意．
故选：A．
10．下列各数：（每两个1之间多1个0），其中是无理数的有（ ）个．
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：是分数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
无理数有：，共4个．
故选：B．
二、填空题
11．在，，π，0，，中，无理数有 个．
【答案】3
【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
【详解】解：无理数为，π，，共有3个，
故答案为：3．
12．下列5个数：0，π，，9，中，其中无理数有 个．
【答案】2
【分析】本题主要考查无理数，熟知初中阶段接触的无理数主要有以下三种形式：①开不尽方的数；②含有的数；③像这样有规律但不循环的数．根据无理数即为无限不循环小数进行解答即可．
【详解】解：这5个数中，是无理数的有π，，共2个．
故答案为：2
13．已知实数，0.16，3，，，，其中为无理数的有 个．
【答案】2
【分析】本题主要考查了无理数定义．初中范围内学习的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但是无限不循环的数，如，等．注意解答此类问题时，常常要结合有理数概念来求解．
【详解】解：，0.16，3，是有理数，，是无理数，共2个无理数，
故答案为：2．
14．在实数，，，，，中，无理数有 ．
【答案】，，
【分析】本题主要考查无理数的定义，掌握实数的分类，无理数就是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数是解答本题的关键．
【详解】解：为有限小数，为无限循环小数，为分数，此三数为有理数，
，，为无理数，
故答案为：，，．
15．在，，，，（每两个2之间1的个数逐次加1），中，无理数有 个．
【答案】
【分析】根据无理数的常见形式①最终结果含有开方开不尽的数，②最终结果含有的数，③形如（每两个增加一个），进行逐一判断即可．
【详解】解：由题意得
无理数有：，，（每两个2之间1的个数逐次加1）；
故答案：.
【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数是无理数，掌握无理数的常见形式是解题的关键．
16．下列各数：，，，中，无理数有 个．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的某些数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是掌握无理数的几种形式．
【详解】是分数，属于有理数，不符合题意；
是有理数，不符合题意；
是无理数，符合题意；
是有限小数，是有理数，不符合题意；
∴无理数有个，
故答案为：．
17．在实数、5.0101001中，无理数有 个．
【答案】2
【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项．
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数．
【详解】解：
无理数有，
故答案为：2．
18．如图①是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中．如果把图②中的直角三角形继续作下去，那么这些线段中，有 条线段的长度为无理数．
【答案】20
【分析】由题意可得出（且n为正整数），再根据无理数的定义解答即可．
【详解】解：∵，
∴；
∵，
∴；
…；
∴（且n为正整数），
∴到的长度分别为1，，，…，．
∵当，4，9，16，25时，为有理数，
∴n为其余数时为无理数，有个，
∴有20条线段的长度为无理数．
故答案为：20．
【点睛】本题考查勾股定理，无理数的定义．利用勾股定理求得直角三角形的斜边长，进而发现规律是解本题的关键．
三、解答题
19．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段．试分别找出两条长度是有理数的线段和两条长度不是有理数的线段．
【答案】见详解．
【分析】根据有理数常见的类别直接作出整数线段即可；无理数包括无限不循环小数和开方不能开尽的数，据此利用勾股定理即可确定无理数线段．
【详解】解：图中线段，的长度能用有理数表示，线段，的长度不能用有理数表示，理由如下：
，，均能用有理数表示；
，，均不能用有理数表示，
∴线段，的长度能用有理数表示，线段，的长度不能用有理数表示（答案不唯一）．
【点睛】题目主要考查有理数和无理数常见的类别，利用勾股定理确定无理数是解题关键．
20．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．
(1)在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是无理数；
(2)在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为3，2，．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）借助格点，根据勾股定理构造直角三角形，从而得到三边为无理数的三角形；
（2）借助格点，根据勾股定理构造三边长分别为3，2，的三角形
【详解】（1）三边长分别为，如图所示，
（2）三边长分别为3，2，如图所示，
【点睛】本题考查利用勾股定理画图．掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，并能根据题中限制条件画图是解题关键．
21．下列各数中，0.351，，，3.14159，，…（相邻两个2之间3的个数逐次加1)，0.
(1)有理数有，__________；
(2)无理数有：__________；
(3)分数有：____________；
(4)正数有：____________.
【答案】（1）0.351，，，3.14159，0
（2），（相邻两个2之间3的个数逐次加1)
（3）0.351，，，3.14159
（4）0.351,3.14159，
【分析】无限不循环小数是无理数，有限小数或无限循环小数都是有理数，整数和分数统称有理数.
【详解】(1)有理数有:0.351，，，3.14159，0；
(2)无理数有：，（相邻两个2之间3的个数逐次加1)；
(3)分数有：0.351，，，3.14159；
(4)正数有：0.351,3.14159，
故答案为(1). 0.351，，，3.14159，0 (2). ，（相邻两个2之间3的个数逐次加1) (3). 0.351，，，3.14159 (4). 0.351,3.14159，
【点睛】考核知识点：无理数和有理数.理解相关定义是关键.
22．在下列网格中分别画出一个符合条件的直角三角形，要求三角形的顶点均在格点上，且满足：
（1）三边均为有理数；（2）其中只有一边为无理数．
【答案】答案见解析
【分析】（1）由勾股定理得出5，画出图形即可；
（2）由勾股定理得出直角边长为2、斜边长为的等腰直角三角形，画出图形即可．
【详解】（1）5，
△ABC即为所求，
如图1所示；
（2）由勾股定理得：
，
△DEF即为所求，
如图2所示．
【点睛】本题考查了勾股定理、实数的定义；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算与作图是解决问题的关键．
23．把下列各数填入相应的横线里：
，，，0，0.8，，，
正有理数集合： ；
整数集合： ；
负分数集合： ；
无理数集合： ．
【答案】；；；.
【分析】根据无理数的定义，以及有理数的分类进行解答，即可得到答案.
【详解】解：∵，，，0，0.8，，，，
∴正有理数集合：；
整数集合：；
负分数集合：；
无理数集合：；
故答案为：；；；.
【点睛】本题考查了无理数的定义，以及有理数的分类，解题的关键是正确的把有理数和无理数进行分类.
24．把下列各数写入相应的集合中：-，，0.1，，，，0，0.1212212221．．． （相邻两个1之间2的个数逐次加1）
（1）正数集合{ }；
（2）有理数集合{ }；
（3）无理数集合{ }．
【答案】（1）0.1、、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）；（2）、 0.1、 、 、0 ；（3）、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）．
【分析】根据实数的分类标准进行填写即可．
【详解】解：（1）正数集合{0.1、、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1）}；
（2）有理数集合{ -、 0.1、 、 、0 }；
（3）无理数集合{、、0.1212212221．．．（相邻两个1之间2的个数逐次加1） }．
【点睛】本题主要考查了实数的分类，掌握有理数和无理数的概念是解答本题的关键．
25．(1)在如下6×6的网格中（每个小正方形边长均为1）．画出一个面积为10的正方形；
(2)在如图所示数轴上找到表示的点（保留画图痕迹）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；
【分析】此题涉及的知识点是图形的设计和无理数在数轴上的表示，根据要求面积为10的正方形，则边长为，根据勾股定理可以设计，无理数在数轴上的表示，根据作图方法可直接画出
【详解】解：（1）如图，正方形ABCD即为所求.
（2）如图，点P即为所求.
【点睛】此题重点考查学生的动手能力，无理数在数轴上的表示方法是解题的关键
26．阅读与应用：
下面是小敏学习实数之后，写的数学日记的一部分，请你认真阅读，并完成相应的任务．
任务：
(1)“拓展思考”中，线段的长为______，的长为______；点B表示的数为______，点表示的数为______．
(2)请从A，B两题中任选一题作答．我选择______题．
A．请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点M，N；
B．请在图3所示的数轴上，画图确定表示的点M．
【答案】(1)；；；
(2)见解析
【分析】（1）记表示的数为1的点（记作C）为圆心作弧，，由等量关系可得，点B，分别在原点的右侧、左侧，注意为负数；
（2）选A题：，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，与数轴相交的两个交点即为所求；选B题：以表示的数为2的点为圆心，在圆心的左侧，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后，以为半径画弧，与数轴负半轴相交的点即为所求．
【详解】（1）记表示的数为1的点（记作C）为圆心作弧，
∵圆的半径为，即，
∴；；
又点B，分别在原点的右侧、左侧，
∴点B表示的数为，点表示的数为
（2）选A题：因为，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后以原点为圆心，以为半径画弧，如图所示：
选B题：∵，∴点在数轴的负半轴；
，以表示的数为2的点为圆心，在圆心的左侧，作出单位长度以1和3为直角边的直角三角形，其斜边即是，然后，以为半径画弧，与数轴负半轴相交的点即为所求，如图所示：
【点睛】本题考查了无理数与数轴上的点的对应关系，作图时通常借助于作直角三角形，利用勾股定理得斜边或直角边．
2022年9月22日 天气：晴
无理数与线段长．
今天我们借助勾股定理，在数轴上找到了一些特殊的无理数对应的点，认识了“数轴上的点与实数一一对应”这一事实．
回顾梳理：要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图1，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似地，我们可以在数轴上找到表示，，…的点．
拓展思考：如图2，改变图1中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍为原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数！按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点！
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