四川省内江市威远县威远中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份四川省内江市威远县威远中学校2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
出题人：刘洪波 做题人：邹代勇 审题人：黄 东
一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】计算，，得到，再计算交集得到答案.
【详解】，，，
.
故选：B.
2. 设为虚数单位，，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数的除法运算可求得，根据虚部定义可得结果.
【详解】由得：，
的虚部为.
故选：C.
3. 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点（-3，1），则sin2θ=（ ）
A. B. C. D. 45
【答案】A
【解析】
【分析】利用任意角的三角函数的定义求得sinθ和csθ 的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2θ的值．
【详解】∵角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点（-3，1），
∴sinθ=，csθ=，
则sin2θ=2sinθcsθ=2••（）=，
故选A．
【点睛】本题主要考查任意角三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，属于基础题
4. 已知，且，则（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的数量积可求.
【详解】因为，，则，，
则，故，
故选：C.
5. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】分别化简和,再根据充分、必要条件判断即可.
【详解】因为在单调递增，且,
所以，即
因为，所以,即,
所以存在两种情况：且，且，
因此推不出,
同样推不出,
因此“”是“”既不充分也不必要条件.
故选：D.
6. 已知Sn是递增的等比数列{an}的前n项和，其中S3＝，a32＝a4，则a5＝（ ）
A. B. C. 8D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】设等比数列的公比为q，根据题意列方程，解出和q即可.
【详解】解：设递增的等比数列{an}的公比为，且q1，
∵S3＝，，
∴（1+q+q2）＝，q4＝q3，
解得＝，q＝2；＝2，q＝（舍去）．
则＝＝8．
故选：C．
7. 记函数的最小正周期为T．若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由最小正周期可得，再由即可得，即可求得ω=154.
【详解】根据最小正周期，可得，解得；
又，即是函数的一条对称轴，
所以，解得.
又，当时，ω=154.
故选：C
8. 已知函数，，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得出，分析函数的单调性，可得出，即可得出，结合二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】因为函数、均为R上的增函数，所以，函数为R上的增函数，
，因为，其中，
所以，，故，
当且仅当时等号成立，故的最大值为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于利用指对同构思想结合函数单调性得出，将所求代数式转化为以为自变量的函数，将问题转化为函数的最值来处理.
二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.
9. 已知函数,下列结论中正确的是（ ）
A. 函数的周期是
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的最小值是
D. 函数的图象关于点对称
【答案】AC
【解析】
【分析】根据的解析式,由可求其周期,令即可求对称轴,根据,即可求最值,根据对称中心是令,即可判断选项D正误.
【详解】解:由题知,
,
故选项A正确;
令,
解得: ,
令,
令,
故选项B错误;
因为,
所以,
故选项C正确;
因为对称中心纵坐标为1,
故选项D错误.
故选:AC
10. 下列说法正确的的有（ ）
A. 已知一组数据的方差为3，则的方差也为3
B. 统计学中用线性相关系数r来衡量两个变量的线性相关性强弱，若r越小，则两个变量之间的线性相关性越弱.
C. 已知随机变量X服从正态分布，若，则
D. 已知随机变量X服从二项分布，若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据方差的性质，可判定A正确；根据相关系数的含义，可判定B错误；由正态分布曲线的性质，可得判定C正确；根据二项分布的期望及期望的性质，可判定D错误.
【详解】对于A中，由一组数据的方差为，
根据方差的性质，可得数据的方差也为，所以A正确；
对于B中，统计学中用线性相关系数r来衡量两个变量的线性相关性强弱，当越趋向于，此时相关性越强，所以B不正确；
对于C中，由随机变量X服从正态分布，若，
则，所以C正确；
对于D中，由随机变量服从二项分布，可得，
若，则，所以D错误.
故选：AC.
11. 已知函数，其中实数，则下列结论正确的是（ ）
A. 必有两个极值点
B. 有且仅有3个零点时，的范围是
C. 当时，点是曲线的对称中心
D. 当时，过点可以作曲线的3条切线
【答案】ABD
【解析】
【分析】对求导得到的单调性，判断的极值点个数判断A，要使有且仅有3个零点，由单调性可得只需，判断B，当时计算判断C，设切点为，求过点的切线方程，令，，所以过点可以作曲线切线条数可转化为与图像的交点个数判断D.
【详解】选项A：由题意可得，
令解得或，
因为，所以令解得或，令解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，故A正确；
选项B：要使有且仅有3个零点，只需，即，
解得，故B正确；
选项C：当时，，
，
，所以点不是曲线的对称中心，C错误；
选项D：，设切点为，
所以在点处的切线方程为：，
又因为切线过点，所以，
解得，令，，
所以过点可以作曲线切线条数可转化为与图像的交点个数，
，
令解得或，
因为，所以令解得或，
令解得，
则在，上单调递增，在上单调递减，且，，
图像如图所示，
所以当时，与图像有3个交点，即过点可以作曲线的3条切线，故D正确；
故选：ABD
【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为___________.
【答案】80
【解析】
【分析】根据二项式系数和求出，再由展开式通项公式求出含x的项即可得解.
【详解】二项式系数之和为32，即，解得，
所以展开式的通项为，
令，得，
所以展开式中的系数为.
故答案为：80
13. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．甲、乙两人要在同一个舱内，则不同的安排方案共有______________ .
【答案】种
【解析】
【分析】由题意知：甲、乙两人一定在天和核心舱内，则丙，丁，戊会被安排在不同的三个舱内，按排列公式求得即可.
【详解】由题意知：甲、乙两人一定在天和核心舱内，则丙，丁，戊会被安排在不同的三个舱内，得种.
故答案为：种.
14. 若定义在上的函数满足是奇函数，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由是奇函数，可得，由可得，进而得到，从而得出函数的周期为，根据条件赋值可求得，从而得解.
【详解】因为是奇函数，所以，
用替换上式中的，可得，
在中，用替换，可得，
所以，用替换该式中的，可得，
所以，所以函数的周期为，
在中，令，得，
在中，令，得，
在中，令，得，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：
（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；
（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 已知分别为的内角的对边，且.
（1）求角A；
（2）若，求出边并求出的面积
【答案】（1）；
（2），面积为5
【解析】
【分析】（1）由正弦定理可得答案；
（2）由余弦定理求出，再利用面积公式求出面积即可.
小问1详解】
因为，
所以由正弦定理得，
因为B∈0,π，所以，
所以，所以，
因为，所以；
【小问2详解】
在中，，
所以由余弦定理得，
整理得，
解得（舍去），或，
可得面积为.
16. ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了60名居民进行调查.整理如下列联表：
注:本研究定义年龄不小于45周岁为“中老年人”，其余的称为“青少年”.
（1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为年龄因素与是否喜欢该程序有关系;
（2）在抽取的60名居民中有5人经常使用该程序辅助工作.以样本频率估计概率.若在全市范围内抽取20位居民，经常使用该程序辅助工作的人数为，求的数学期望和方差;
（3）在抽取的60名居民中有10名高中生，其中有7名男生，3名女生.为进一步了解他们的对于AI的认知和看法，在10名高中生中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望.
附:
【答案】（1）年龄因素与喜欢该程序有关系
（2），
（3）分布列见详解，
【解析】
【分析】（1）先根据题意完成列联表，代入公式可得，即可得到结论；
（2）依题意可得，即可求得和；
（3）依题意可得Y的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，进而即可得到Y的分布列和期望值．
【小问1详解】
根据题意可得列联表如下；
零假设为：年龄因素与是否喜欢该程序无关；
根据列联表的数据计算可得，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即年龄因素与喜欢该程序有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．
【小问2详解】
由题意可知：随机抽取一人为“经常使用该程序辅助工作”的概率，
可知，
所以，．
【小问3详解】
易知10名高中生有7名男生，3名女生，
则Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布：
，，
，
故所求分布列为
可得
17. 已知函数．
（1）若，，求曲线在处的切线的方程
（2）讨论函数的单调性
（3）若，对任意两个不同的，不等式恒成立，求的最小值．
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）通过曲线在某一点的切线的相关知识直接求解；
（2）利用导数，对参数分类讨论，即可求解单调性；
（3）设，将原表达式化为，构造函数，根据为上的减函数，参变分离求解函数的最值即可.
【小问1详解】
若，，则fx=12x2+2lnx-12x>0，
可得，所以，且，
所以曲线在处的切线的方程为，
即为；
【小问2详解】
f'x=x-ax=x2-axx>0，
当时，f'x>0，在x∈0,+∞上单调递增；
当时，令，解得，
当时，f'x0，
故函数在上单调递增，
不妨设，则由
可化为，
设，则，
所以为上的减函数，即在上恒成立，
等价于在上恒成立，即在上恒成立，
又，所以，所以，
而函数在上是增函数，
所以（当且仅当，时等号成立）．
所以．即的最小值为.
【点睛】思路点睛：利用导数解决函数单调性是常见方法，本题第（3）问通过为上的减函数，转化为在上恒成立，进而求解答案.
18. 夏日天气炎热，学校为高三备考的同学准备了绿豆汤和银耳羹两种凉饮，某同学每天都会在两种凉饮中选择一种，已知该同学第1天选择绿豆汤的概率是，若在前一天选择绿豆汤的条件下，后一天继续选择绿豆汤的概率为，而在前一天选择银耳羹的条件下，后一天继续选择银耳羹的概率为，如此往复．（提示：设表示第天选择绿豆汤）
（1）求该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率
（2）求该同学第2天选择绿豆汤的概率；
（3）记该同学第天选择绿豆汤的概率为，求出的通项公式.
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）利用独立事件同时发生的概率公式计算即可；
（2）利用条件概率公式计算即得；
（3）利用全概率公式列式，再利用构造法证明即得.
【小问1详解】
该同学第一天和第二天都选择绿豆汤的概率为；
【小问2详解】
设表示第1天选择绿豆汤，表示第2天选择绿豆汤，则表示第1天选择银耳羹，
根据题意得，，
所以．
【小问3详解】
设表示第天选择绿豆汤，则，
根据题意得，，
由全概率公式得，，
即，整理得，，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，所以..
【点睛】关键点点睛：利用全概率公式求随机事件的概率问题，把事件分拆成两个互斥事件与的和，再利用条件概率公式计算是解决问题的关键.
19. 对于任意正整数n，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为.若，则称正整数n为“理想数”.
（1）求20以内的质数“理想数”；
（2）已知.求m的值；
（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n项和为，证明：.
【答案】（1）2和5为两个质数“理想数”
（2）的值为12或18
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；
（2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解；
（3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.
【小问1详解】
以内的质数为，
，故，所以为“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
，而，故不是“理想数”；
和5为两个质数“理想数”；
【小问2详解】
由题设可知必为奇数，必为偶数，
存在正整数，使得，即：
，且，
，或，或，解得，或，
，或，即的值为12或18．
【小问3详解】
显然偶数"理想数"必为形如的整数，
下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：，
若奇数，不妨设，
若为"理想数"，则，且，即，且，
①当，且时，；
②当时，；
，且，
又，即，
易知为上述不等式的唯一整数解，
区间]存在唯一的奇数"理想数"，且，
显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为，
所有的奇数"理想数"的倒数为，
，即．
【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.
年龄因素
对该程序的态度
合计
不喜欢该程序
喜欢该程序
青少年
7
中老年
16
30
合计
21
0.1
0.05
001
2.706
3.841
6.635
性别
不喜欢该程序
喜欢该程序
合计
青少年
7
23
30
中老年
14
16
30
合计
21
39
60
Y
0
1
2
3
P