四川省射洪中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 在平行四边形ABCD中，（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
3. 小明希望自己的高考数学成绩能超过120分，为了激励自己，他记录了近8次数学考试成绩，并绘制成折线统计图，如图，这8次成绩的第80百分位数是（ ）
A 100B. 105C. 110D. 120
4. 若一个圆台如图所示，则其侧面积等于（ ）
A. 6B. 6π
C. 3πD. 6π
5. 在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 若向量，，则（ ）
A. B.
C. 在上的投影向量为D. 与的夹角为
10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则．
B 若，，则三角形有一解．
C. 若，则一定为等腰直角三角形．
D. 若面积为，，则．
11. 如图，在矩形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成，使平面平面，若点为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）

A. 直线平面
B.
C. 点到平面距离为
D. 与平面所成角的正切值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数为纯虚数，则实数_______.
13. 电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行等比例的分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多______ 人
14. 在梯形中，，则该梯形周长的最大值为_______．
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量
（1）已知且，求
（2）已知，且，求向量与向量的夹角．
16. 已知，，且.
（1）求的值；
（2）求.
17. 函数部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
18. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩；
（3）已知落在50,60的平均成绩是54，方差是7，落在60,70的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
19. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点.
（1）求证：平面MAC；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.