四川省射洪中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版）

这是一份四川省射洪中学校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 若，，则的值为， 若向量，，则等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 在平行四边形ABCD中，（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量加减法规则求解.
【详解】在平行四边形ABCD中，.
故选：D.

2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的运算法则，得到，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由复数的运算法则，可得复数，
复数在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
3. 小明希望自己的高考数学成绩能超过120分，为了激励自己，他记录了近8次数学考试成绩，并绘制成折线统计图，如图，这8次成绩的第80百分位数是（ ）
A. 100B. 105C. 110D. 120
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数定义求解即可.
【详解】因为，由图可知8次成绩由小到大排序，
第7个位置的数是110，所以这8次成绩的第80百分位数是110.
故选：C.
4. 若一个圆台如图所示，则其侧面积等于（ ）
A. 6B. 6π
C. 3πD. 6π
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆台侧面积的计算公式代入即可.
【详解】解：由题意得：
∵圆台的母线长为
又上底面圆的半径为，下底面圆的半径为
∴圆台的侧面积为：
故选：C
5. 在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取的中点，连接，易证平面，进一步得到线面角，再解三角形即可.
【详解】如图，取的中点，连接，
三棱柱为直三棱柱，则平面，又平面，
所以，
又由题意可知为等腰直角三角形，且为斜边的中点，从而，
而平面，平面，且，
所以平面，则为与平面所成的角.在直角中，.
故选：C
6. 若，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意先求得，再利用降幂公式和两角差的余弦公式运算求解.
【详解】因为，，所以，所以
.
故选：B.
7. 已知函数，若在区间上的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.
【详解】依题意，函数，
当时，，显然，
且正弦函数在上单调递减，由在区间上的值域为，
得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
8. 在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】在中利用余弦定理求出，利用正弦定理求出外接圆的半径，设三棱锥外接球的半径为，则，再由球的表面积公式计算可得.
【详解】在中由余弦定理
，所以,
设外接圆的半径为，则，所以，
又平面，，设三棱锥外接球的半径为，
则，
所以三棱锥外接球的表面积.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 若向量，，则（ ）
A. B.
C. 在上的投影向量为D. 与的夹角为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据向量坐标形式的数量积定义、投影向量概念和模长、夹角公式直接计算即可判断.
【详解】由题，，
所以，故A错；
又，故B正确；
，所以在上的投影向量为：
，故C正确；
因为，又，
所以，故D错误.
故选：BC.
10. 已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则．
B. 若，，则三角形有一解．
C. 若，则一定为等腰直角三角形．
D. 若面积为，，则．
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用正弦定理判断A、B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式即可判断C，由面积公式及余弦定理判断D.
【详解】对于A，由正弦定理得，因为，所以，则，故A正确；
对于B，因为，，由正弦定理得，
则，因为，所以，则，所以只有一解，则三角形只有一解，故B正确；
对于C，因为，所以，即，
又，所以，
所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，因为面积为，，又，
所以，
所以，显然，则，因，所以，故D正确．
故选：ABD．
11. 如图，在矩形中，，，为边的中点，将沿直线翻折成，使平面平面，若点为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）

A. 直线平面
B.
C. 点到平面的距离为
D. 与平面所成角的正切值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】选项A，取的中点，连接，，先证四边形是平行四边形，可得，再由线面平行的判定定理，即可得证；选项B，取的中点，连接，，采用反证法，结合，，推出平面，进而得，与已知矛盾，从而作出判断；选项C，由面面垂直的性质定理知平面，从而知点到平面的距离，再利用等体积法求解即可；选项D，由平面，知即为所求，再结合余弦定理与锐角三角函数，求解即可．
【详解】选项A，取的中点，连接，，则，，
因为矩形，且是的中点，
所以，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，即选项A正确；
选项B，取的中点，连接，，
因为，所以，
若，由于，、平面，则平面，
因为平面，所以，
而是的中点，则，显然不成立，
所以不成立，即选项B错误；
选项C，因为，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，即点到平面的距离为，
而，，
设点到平面的距离为，
因为，
所以，即，解得，
所以点到平面的距离为，即选项C正确；
选项D，因为平面，
所以与平面所成角即为，
在中，，，，
由余弦定理知，，
所以，
在中，，
所以与平面所成角的正切值为，即选项D正确．
故选：ACD．
【点睛】方法点睛：求线面角常用的方法：
①几何法：线面角的大小常用它的平面角来度量，利用定义以及线面垂直找到平面角，利用三角形几何关系求解,
②空间向量法：分别求出平面的法向量和直线的方向向量，然后通过向量夹角公式求解..
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数为纯虚数，则实数_______.
【答案】5
【解析】
【分析】根据复数的除法运算及纯虚数的概念求解.
【详解】由为纯虚数，
可得且，解得.
故答案为：5
13. 电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行等比例的分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多______ 人
【答案】9
【解析】
【分析】根据题意可以计算出分层随机抽样的抽样比例，进而计算出中年人和青年人的人数，最后计算出中年人比青少年多多少个.
【详解】设中年人抽取人，青少年抽取人，
由分层随机抽样可知，，
解得，，
故中年人比青少年多9人，
故答案为：9.
14. 在梯形中，，则该梯形周长的最大值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】设，在和中，分类利用余弦定理求出，再根据三角函数的性质求出的最大值即可得解.
【详解】设，
则，
在中，由余弦定理得
，
所以，
在中，由余弦定理得
，
所以，
则，
因，所以，所以，
则当时，取得最大值，
所以梯形周长的最大值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：
（1）利用正弦定理实现“边化角”；
（2）利用余弦定理实现“角化边”.
求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：
（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；
（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知向量
（1）已知且，求
（2）已知，且，求向量与向量的夹角．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）设，得到方程，解出即可；
（2）由题意得，利用向量数量积运算律及定义得，解出即可.
【小问1详解】
由，所以设
又得，解得，
所以或.
【小问2详解】
由题知，，，，
所以，
所以
所以
所以
所以
因为
所以向量与向量的夹角为.
16. 已知，，且.
（1）求的值；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角的三角函数关系和二倍角公式，求出和的值；
（2）由同角的三角函数关系和三角恒等变换，即可求出的值．
【小问1详解】
由，，得，
，于是.
【小问2详解】
由，得，又，
，
由得：
．
17. 函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；
（2）将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的最大值和最小值；
【答案】（1）
（2）最大值为，最小值为
【解析】
【分析】（1）先由图象和周期公式得，，进而由结合正弦函数性质得，从而得解.
（2）先由平移变换求出函数的解析式，接着由得，再结合正弦函数性质即可得和，从而得解.
【小问1详解】
由函数的部分图象可知，，
所以，所以，所以函数，
又，所以，
解得，由可得，
所以.
【小问2详解】
将向右平移个单位，得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，由，可得，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，，
所以，，
所以在上的最大值为，最小值为.
18. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的；
（3）已知落在50,60的平均成绩是54，方差是7，落在60,70的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
【答案】（1）；
（2）84； （3）总平均数是62，总方差是37．
【解析】
【分析】（1）根据频率之和为1列式即可得解.
（2）根据频率分布直方图先明确样本成绩的所在的范围，再结合已知数据即可求解.
（3）先分别求出成绩落在和内的人数，再根据平均数定义和分层随机抽样的方差公式即可求解.
【小问1详解】
由频率之和为1得，
解得．
【小问2详解】
因为成绩落在内的频率为
落在内的频率为
所以样本成绩的落在范围内，
设为m，则，解得，
故为84.
【小问3详解】
由图可知，成绩在内的市民人数为，
成绩在内的市民人数为，
故．
，
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37．
19. 如图，四棱锥的底面ABCD是正方形，是正三角形，平面平面ABCD，M是PD的中点.
（1）求证：平面MAC；
（2）求二面角余弦值；
（3）在棱PC上是否存在点Q使平面平面MAC成立？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据线线平行证明线面平行；
（2）根据二面角的定义找出二面角的平面角，解三角形得解；
（3）假设存在，利用面面垂直判定定理证明即可.
【小问1详解】
设，交于点，连接，则为中点.
在中，，分别为，中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又，，，平面.
所以平面.
因为平面，所以，
则即为平面与底面所成二面角的平面角.
设，则，，故，
所以，
即二面角的余弦值为.
【小问3详解】
存在点，当时，平面平面.
证明如下：
如图，取中点，连接交于点，连接，
因为是正三角形，所以.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
因为，所以，所以平面.
因为平面，所以.
因为底面是正方形，所以.
又，，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，
所以棱上点存在点，当时，平面平面.