2023-2024学年辽宁省沈阳市和平区东北育才学校高中部高二（上）第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市和平区东北育才学校高中部高二（上）第二次月考数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知向量，，若，则实数等于
A．B．C．0D．1
2．（5分）已知向量，单位向量满足，则，的夹角为
A．B．C．D．
3．（5分）双曲线与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为
A．B．C．D．
4．（5分）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设，，三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有
A．60种B．150种C．180种D．300种
5．（5分）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于
A．B．6C．D．
6．（5分）设，且，若能被13整除，则等于
A．0B．1C．11D．12
7．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是
A．存在点，使得
B．存在点，使得平面
C．三棱锥的体积是定值
D．存在点，使得与所成的角为
8．（5分）已知动点的轨迹方程为，定点，则的最小值为
A．B．C．8D．7
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．（5分）以下命题中正确的是
A．若是直线的方向向量，，则是平面的法向量
B．若，则直线平面或平面
C．，，三点不共线，对平面外任意一点，若，则，，，四点共面
D．若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底
10．（5分）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是
A．B．C．D．为中点
11．（5分）某校共有东门、西门、北门三道校门．由于疫情防控需要，学校安排甲、乙、丙、丁4名教师志愿者分别去三道校门协助保安值守，下列选项正确的是
A．若对每名教师志愿者去哪道校门无要求，则共有81种不同的安排方法
B．若恰有一道门没有教师志愿者去，则共有42种不同的安排方法
C．若甲、乙两人都不能去北门，且每道门都有教师志愿者去，则共有44种不同的安排方法
D．若学校新购入20把同一型号的额温枪，准备全部分配给三道校门使用，每道校门至少3把，则共有78种分配方法
12．（5分）双曲线的左、右焦点分别、，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为，，△的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则
A．到轴的距离为
B．点的轨迹是双曲线
C．若，则
D．若，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（5分）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
14．（5分）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
15．（5分）如图，在正四面体中，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
16．（5分）已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆右焦点，且，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。第17题10分，其它每题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，求展开式中含的项．
18．（12分）如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
19．（12分）已知⊙C的圆心在x轴上，经过点，并且与直线相切．
（1）求⊙C的方程；
（2）过点P（3，1）的直线l与⊙C交于A，B两点：
（ⅰ）若，求直线l的方程；
（ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程．
20．（12分）如图，三棱台中，面面，．△的面积为1，且与底面所成角为．
（1）求到平面的距离；
（2）求面与面所成角的正弦值．
21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，动直线交于，两点，且与轴交于点．当直线经过点时，四边形的周长为8．
（1）求的标准方程；
（2）若是的垂心，求．
22．（12分）设抛物线的焦点为，点的坐标为．已知点是抛物线上的动点，的最小值为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与交于另一点，经过点和点的直线与交于另一点，证明：直线过定点．
参考答案
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（5分）已知向量，，若，则实数等于
A．B．C．0D．1
解：由题意，
可知，
解得．
故选：．
2．（5分）已知向量，单位向量满足，则，的夹角为
A．B．C．D．
解：因为，故，
因此，故即，
故即，故，
而，
故，的夹角为．
故选：．
3．（5分）双曲线与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为
A．B．C．D．
解：由题意双曲线与椭圆有相同的焦点，知，
设双曲线的方程为，，，．
则双曲线的标准方程为．
故选：．
4．（5分）为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设，，三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有
A．60种B．150种C．180种D．300种
解：根据题意，甲、乙、丙、丁、戊五位同学选，，三门德育校本课程，
每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，需要分三组，有两类情况，
①三组人数为1、1、3，此时有种；
②三组人数为2、2、1，此时有种．
所以不同的报名方法共有种．
故选：．
5．（5分）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于
A．B．6C．D．
解：由题意知的点，点则点
设光线分别射在、上的、处，由于光线从点经两次反射后又回到点，
根据反射规律，则；．
作出点关于的对称点，作出点关于的对称点，则：
，，
，，，共线，
，
即；
；
故选：．
6．（5分）设，且，若能被13整除，则等于
A．0B．1C．11D．12
解：，且，
若能被13整除，
能被13整除，
则．
故选：．
7．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是
A．存在点，使得
B．存在点，使得平面
C．三棱锥的体积是定值
D．存在点，使得与所成的角为
解：对于：正方体中，而为线段的中点，即为的中点，
所以，故，不可能平行，所以错；
对于：若为中点，则，而，故，
又面，面，则，故，
，，面，则面，
所以存在使得平面，所以对；
对于：由正方体性质知：，而面，故与面不平行，
所以在线段上运动时，到面的距离不一定相等，
故三棱锥的体积不是定值，所以错；
对于：构建如下图示空间直角坐标系，
则，0，，，1，，，2，且，
所以，，设，，
则，
令，，则，
当，，则，；
当则；
当，，则，；
所以不在上述范围内，所以错．
故选：．
8．（5分）已知动点的轨迹方程为，定点，则的最小值为
A．B．C．8D．7
解：如图，取点，连接、，因为，，，
所以，因为，所以，所以点，
所以，所以，
在中，，所以的最小值为的长，
因为，，
所以．
所以的最小值为．
故选：．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9．（5分）以下命题中正确的是
A．若是直线的方向向量，，则是平面的法向量
B．若，则直线平面或平面
C．，，三点不共线，对平面外任意一点，若，则，，，四点共面
D．若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底
解：对于，当时，，此时显然不是平面的法向量，故错误；
对于，当、、三点共线时，，又，
所以，则直线平面或平面，
当、、三点不共线时，、可以作为平面内的一组基底，
因为，
设在平面内存在，
所以与平面内的向量相等，
则，所以直线平面或平面，故正确；
对于，，，
，，，四点不共面，故错误；
对于，是空间的一个基底，
、、不共面，则、、不共面，
，
故也是空间的一个基底，故正确．
故选：．
10．（5分）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线交于点，两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是
A．B．C．D．为中点
解：分别过点，作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、．
抛物线的准线交轴于点，
则，
由于直线的斜率为，其倾斜角为，
轴，
，
由抛物线的定义可知，，
则为等边三角形，
，
则，
设，
由，
则，可得，，
所以，，
则，
解得，
所以，，
所以正确．
，
得，
即选项错误；
所以，
满足，
所以正确．
而，
所以正确．
故选：．
11．（5分）某校共有东门、西门、北门三道校门．由于疫情防控需要，学校安排甲、乙、丙、丁4名教师志愿者分别去三道校门协助保安值守，下列选项正确的是
A．若对每名教师志愿者去哪道校门无要求，则共有81种不同的安排方法
B．若恰有一道门没有教师志愿者去，则共有42种不同的安排方法
C．若甲、乙两人都不能去北门，且每道门都有教师志愿者去，则共有44种不同的安排方法
D．若学校新购入20把同一型号的额温枪，准备全部分配给三道校门使用，每道校门至少3把，则共有78种分配方法
解：甲、乙、丙、丁4名教师志愿者分别去东门、西门、北门三道校门协助保安值守．
选项：若对每名教师志愿者去哪道校门无要求，则共有种不同的安排方法，故正确；
选项：若恰有一道门没有教师志愿者去，则可以先把4名教师分成2组，再分配给东门、西门、北门三道校门，则共有种不同的安排方法，故正确；
选项：若甲、乙两人都不能去北门，且每道门都有教师志愿者去，则北门可以安排1名教师或安排2名教师，则共有（种不同的安排方法故错误；
选项：若学校新购入20把同一型号的额温枪，准备全部分配给三道校门使用每道校门至少3把，则先分配给三道校门各2把，还剩14把，将14把额温枪排成一排，在中间13个空位中置入2个挡板，共有（种分配方法．故正确．
故选：．
12．（5分）双曲线的左、右焦点分别、，具有公共焦点的椭圆与双曲线在第一象限的交点为，双曲线和椭圆的离心率分别为，，△的内切圆的圆心为，过作直线的垂线，垂足为，则
A．到轴的距离为
B．点的轨迹是双曲线
C．若，则
D．若，则
解：设圆与△三边，，的切点为，，，
则
，即①，
又②，
联立①②式得，故，显然，横坐标相等，故到轴的距离为，选项正确；
过作直线的垂线，垂足为，延长交于点，由内切圆及垂线性质可知，
△，则为中点且，连接，
由中位线定理可知，
故点的轨迹在以为圆心，半径为的圆上，故项错误；
若，则等价于，即，故项正确；
若，设椭圆的长半轴为，由可知，
△为直角三角形，，
由双曲线性质可知③，由椭圆性质可知④，
由勾股定理可得⑤，③④⑤式联立可解得，
即，故选项正确．
故选：．
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．（5分）已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
解：由，3，，，；
由．
综上：且．
故答案为：．
14．（5分）的展开式中的系数为 （用数字作答）．
解：根据二项式的展开式：，，1，2，3，4，；
当时，系数为；
当时，系数为；
故系数和为．
故答案为：．
15．（5分）如图，在正四面体中，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．
解：如图，在正四面体中，，
，
，
设正四面体中棱长为1，
则
，
，
，
异面直线与所成角的余弦值为：
．
故答案为：．
16．（5分）已知，是椭圆的左右顶点，是双曲线在第一象限上的一点，直线，分别交椭圆于另外的点，．若直线过椭圆右焦点，且，则椭圆的离心率为 ．
解：由题，，，设，，，．
则，又点在双曲线上，则．
，又点在椭圆上，则．
注意到，，则．
即直线与直线关于轴对称，又椭圆为轴对称图形，则，两点关于轴对称，故．
设椭圆右焦点坐标为，其中，因直线过椭圆右焦点，则，将其代入椭圆方程可得．
则，又，则．
则．
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。第17题10分，其它每题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，求展开式中含的项．
解：因为二项式系数之和为1024，可得，所以，
则二项式的展开式的通项为，
令，可得，所以含的项为．
18．（12分）如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【解答】（1）证明：正三棱柱的所有棱长均为2，点，分别为，的中点，
所以取的中点，连接，，，分别为，的中点，，且，
又且，且，
四边形为平行四边形，则，
平面，平面，
平面．
（2）解：取的中点，则．
则，．
所以，
设平面的法向量为．
则，即，
取，则．
又，
设直线与平面所成的角为，则，
故与平面所成角的正弦值为．
19．（12分）已知⊙C的圆心在x轴上，经过点，并且与直线相切．
（1）求⊙C的方程；
（2）过点P（3，1）的直线l与⊙C交于A，B两点：
（ⅰ）若，求直线l的方程；
（ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程．
解：（1）⊙C的圆心在x轴上，经过点，并且与直线相切．
设圆的圆心（a，0），
可得，解得a＝2，圆的半径为：2，
⊙C的方程（x﹣2）2+y2＝4；
（2）过点P（3，1）的直线l与⊙C交于A，B两点：
（ⅰ）设直线方程为：y﹣1＝k（x﹣3），若，可得2＝2，解得k＝0，
所以直线l的方程为：y＝1；
（ⅱ）圆心与（3，1）连线的斜率为：＝1，弦AB最短时直线l的斜率为：﹣1．
所求直线方程为：y﹣1＝﹣（x﹣3），即x+y﹣4＝0．
20．（12分）如图，三棱台中，面面，．△的面积为1，且与底面所成角为．
（1）求到平面的距离；
（2）求面与面所成角的正弦值．
解：（1），作交于，
平面平面，而平面平面，平面，
平面，则到平面的距离为的长，
而平面，即有，
，，
面，平面平面，
作交于，平面，
平面，平面平面，
平面，故即为与底面所成角，
与底面所成角为，，
，△为等边三角形，故为中点，且，
则到平面的距离为等于．
（2）由△的面积为1，得，
以为坐标原点，取中点为，，，在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，1，，，1，，，
，，，，
设平面的法向量，
则，
令，，
设平面的法向量，
则，
令，，，，
，
所以面与面所成二面角的正弦值为．
21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，动直线交于，两点，且与轴交于点．当直线经过点时，四边形的周长为8．
（1）求的标准方程；
（2）若是的垂心，求．
解：（1）当直线经过点时，四边形周长等于，
又由题可得，
所以的标准方程为；
（2）由（1）知，所以，
连接，所以直线的斜率，
因为是的垂心，所以，
设的斜率为，则，所以，
设的方程为，，，，，
由，得，
由题，，
由韦达定理，，，
因是的垂心，则，所以，
注意到，，
所以，
即，
整理得，
所以，
整理得，解得或，
注意到时，或与重合，不符合题意，
满足△，所以的方程为，
所以，所以．
22．（12分）设抛物线的焦点为，点的坐标为．已知点是抛物线上的动点，的最小值为4．
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与交于另一点，经过点和点的直线与交于另一点，证明：直线过定点．
【解答】（1）解：若和在抛物线的同侧，
则，
解得．
设点在准线上的射影为，
于是．
过作与准线垂直，垂足为，
故，
当且仅当，，三点共线时取等号，
由此得，符合题意．
若和在抛物线的异侧或在抛物线上，
则．
由，
当且仅当，，三点共线（或与重合）时取等号，得到（舍去）．
综上所述，抛物线的方程为．
（2）证明：设，，，
直线的斜率，
则其方程为，
同理可得直线的方程为，直线的方程为，
将，分别代入直线，的方程可得，
消去可得，
代入直线的方程，
化简得，
故直线过定点．