2023-2024学年广东省湛江二中高一（上）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省湛江二中高一（上）月考数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知，，，，若，，则
A．B．C．D．，2，
2．（5分）已知，，则是
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（5分）设命题，，则命题的否定是
A．，B．，C．，D．，
4．（5分）函数的定义域为
A．，，B．，，
C．D．
5．（5分）已知，下列选项中正确的是
A．B．C．D．
6．（5分）不等式的解集是
A．B．C．或D．或
7．（5分）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为
A．B．
C．D．
8．（5分）已知函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是
A．，B．C．，D．
二、多选题（本大题4小题，每小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．（5分）下列选项中是的必要不充分条件的有
A．，
B．，
C．：两个三角形全等，：两个三角形面积相等
D．，
10．（5分）设集合，，则下列说法不正确的是
A．若有4个元素，则B．若，则有4个元素
C．若，则，3，D．若，3，，则
11．（5分）已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
12．（5分）已知，为正实数，且，则
A．的最大值为8B．的最小值为4
C．的最小值为D．的最小值为
三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知集合，4，，，，若，则 ．
14．（5分）不等式的解集为 ．
15．（5分）设，那么的取值范围是 ．
16．（5分）已知函数，为实数），．若方程有两个正实数根，，则的最小值是 ．
四、解答题（本大题5小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17．（10分）已知函数，且（2）．
（1）求（1）；
（2）若，求实数的值．
18．（12分）已知集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
19．（12分）已知，，且．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
20．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：满足关系：，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
21．（12分）设．
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）求使成立的实数的取值范围．
22．（12分）已知二次函数．
（1）若在，的最大值为4，求的值；
（2）若对任意实数，总存在，，，使得，求的取值范围．
参考答案
一、单选题（本大题8小题，每小题5分，共40分）
1．（5分）已知，，，，若，，则
A．B．C．D．，2，
解：，，，，，，
．
故选：．
2．（5分）已知，，则是
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：，
，
，
是的必要不充分条件，
故选：．
3．（5分）设命题，，则命题的否定是
A．，B．，C．，D．，
解：由题意知，命题的否定为：，．
故选：．
4．（5分）函数的定义域为
A．，，B．，，
C．D．
解：根据函数形式可知，函数的定义需满足，
解得：且，
所以函数的定义域为，，．
故选：．
5．（5分）已知，下列选项中正确的是
A．B．C．D．
解：由，，结合不等式的加法法则可得，故错误，正确；
结合不等式的乘法法则，，可得，故、错误．
故选：．
6．（5分）不等式的解集是
A．B．C．或D．或
解：因为，所以或，
即不等式的解集为或．
故选：．
7．（5分）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为
A．B．
C．D．
解：由图形可知：，，
在中，由勾股定理得：，
又，
，，
故选：．
8．（5分）已知函数，若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是
A．，B．C．，D．
解：函数
，
由，
即，
解得，
那么不等式，①
又，
当时，取得最小值，
即函数的值域为，，
若不等式的解集为空集，则①的解集为空集，
那么与值域的交集为空集，
所以，
所以．
故选：．
二、多选题（本大题4小题，每小题5分，共20分。全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．（5分）下列选项中是的必要不充分条件的有
A．，
B．，
C．：两个三角形全等，：两个三角形面积相等
D．，
解：对于，，而，
由不能推出，而可以推出，
因此，是的必要不充分条件，故正确；
对于，，，
因此，是的充要条件，故错误；
对于，若两个三角形全等，则两个三角形面积相等，
但两个三角形面积相等不一定推出两个三角形全等，
因此，是的充分不必要条件，故错误；
对于，当时，故不一定成立，反之，当时，可得，
因此，是的必要不充分条件，故正确．
故选：．
10．（5分）设集合，，则下列说法不正确的是
A．若有4个元素，则B．若，则有4个元素
C．若，则，3，D．若，3，，则
解：在中，若有4个元素，
则集合，，
，，
则，3，，，故错误；
在中，若，则，，有3个元素，故错误；
在中，若，则，，，3，，故正确．
在中，若，3，，则当时，，故错误．
故选：．
11．（5分）已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
解：不等式的解集为或，
所以，且3和4是方程的两根，选项正确；
由根与系数的关系知，，所以，，
所以不等式可化为，解集为，选项错误；
不等式可化为，解集为或，选项错误；
因为不等式的解集为或，所以满足不等式，即，选项正确．
故选：．
12．（5分）已知，为正实数，且，则
A．的最大值为8B．的最小值为4
C．的最小值为D．的最小值为
解：：因为，当且仅当，即，时取等号，解得，故错误；
：由得，
所以，
当且仅当，即时取等号，此时取得最小值4，故正确；
，当且仅当，即时取等号，故正确；
，当且仅当，即时取等号，
此时取得最小值，故正确．
故选：．
三、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知集合，4，，，，若，则 或0 ．
解：因为，
所以，或，解得或．
又由集合的互异性，排除，
所以或0．
故答案为：或0．
14．（5分）不等式的解集为 ， ．
解：由不等式，可得，
即，即．
求得，
可得原不等式的解集为，．
故答案为：，．
15．（5分）设，那么的取值范围是 ， ．
解：因为，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为1，
当时，可得，
所以的取值范围为，．
故答案为：，．
16．（5分）已知函数，为实数），．若方程有两个正实数根，，则的最小值是 2 ．
解：根据题意，函数为二次函数，
若，则的对称轴为，
若方程有两个正实数根，，则有，
则，
当且仅当时等号成立，即的最小值是2．
故答案为：2．
四、解答题（本大题5小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分）
17．（10分）已知函数，且（2）．
（1）求（1）；
（2）若，求实数的值．
解：（1），由于（2），故，解得．
故，
所以（1）．
（2）当时，，解得；
当时，，无解，
故．
18．（12分）已知集合，．
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
解：（1），或，
当时，，
，．
（2），，
①当时，，解得，
②当时，，解得，
的取值范围为．
19．（12分）已知，，且．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
解：（1）因为，，所以，当且仅当时，等号成立，
所以，当且仅当时，等号成立，
即的最大值为．
（2），
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为5．
20．（12分）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：满足关系：，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
解：每年能源消耗费用为，建造费用为，
．．
，令得或（舍．
当时，，当时，．
在，上单调递减，在，上单调递增．
当时，取得最小值（5）．
当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为70万元．
21．（12分）设．
（1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2）求使成立的实数的取值范围．
解：（1）因为对一切实数恒成立，
即对一切实数恒成立，
当时，不等式化为，不满足题意，
当时，则需满足，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
（2），即，
当时，不等式化为，解得，
当时，的两根为，，
若，解得，
若，
①当时，解得，
②当时，解得或，
③当时，解得或．
综上所述，当时，，
当时，，
当时，，
当时，，，，
当时，．
22．（12分）已知二次函数．
（1）若在，的最大值为4，求的值；
（2）若对任意实数，总存在，，，使得，求的取值范围．
解：由解析式知为开口方向向上，对称轴为的二次函数，
（1）当时，即时，
在上单调递减，
所以，不合题意；
当，即时，
在，上单调递减，在，上单调递增，
所以，（2），
又，（2），
在的最大值为4，
所以（2），
解得，
综上所述．
（2）若对任意实数，总存在，，，使得，
则对，恒成立，
①当时，在，上单调递增，
所以，
当时，单调递增，
所以，
所以；
②当即时，
在，上单调递减，
所以，
当时，单调递减，
所以，
所以；
③当即时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，
又，，
令，
则在上单调递增，
所以，
解得；
④当即时，
在上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，
在上单调递减，
所以，
解得；
综上所述，的取值范围是，．