黑龙江省哈尔滨市道里区2024-2025学年九年级上学期开学测试数学试题（原卷版+解析版）

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1. ﹣9的相反数是【 】
A. 9B. ﹣9C. D. ﹣
【答案】A
【解析】
【详解】∵相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．
因此﹣9的相反数是9．
故选A．
2. 下列运算一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式．运用整式的法则和公式计算各项判断正确，即可解答．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
3. 下列选项中的平面图形，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，逐一进行判断即可．
【详解】A. 是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B. 不是轴对称图形，故该选项符合题意；
C. 是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D. 是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
4. 八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据几何体的三视图可直接进行排除选项．
【详解】解：由题意得该几何体的主视图为；
故选C．
【点睛】本题主要考查三视图，熟练掌握三视图是解题的关键．
5. 若点P（a，b）在第四象限，则点Q（﹣a，b﹣1）在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】因为点P（a，b）在第四象限，可确定a、b的取值范围，从而可得-a，b-1的符号，即可得出Q所在的象限.
【详解】解：∵点P（a，b）在第四象限，
∴a>0，b<0，
∴-a<0，b-1<0，
∴点Q（-a，b-1）在第三象限.
故选C.
【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中象限内的点的坐标的符号特征：第一象限（+，+）；第二象限（－，+）；第三象限（－，－）；第四象限（+，－）．
6. 方程的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式方程的解法可直接进行排除选项．
【详解】解：
，
解得：，
经检验是原方程的解，
故选A．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
7. 如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意易得，，然后问题可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质及直角三角形的性质是解题的关键．
8. 某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）.
A. ；B. ；C. ；D. .
【答案】A
【解析】
【分析】可设降价的百分率为，第一次降价后的价格为，第一次降价后的价格为，根据题意列方程求解即可.
【详解】解：设降价的百分率为
根据题意可列方程为
解方程得，（舍）
∴每次降价得百分率为
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的在销售问题中的应用，正确理解题意，找出题中等量关系是解题的关键.
9. 如图，在ΔABC中，，，，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，得，进而即可求解．
【详解】解：∵在ΔABC中，，，，，
∴，即：，
∴AE=4，
故选B．
【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理，列出比例式，是解题的关键．
10. 周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离（单位：）与他所用的时间（单位：）之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（ ）
A. ，B. ，
C ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象易得小辉家离图书馆的距离为1500m，从小辉家到图书馆所用的时间为20min，从图书馆到小辉家的所用的时间为15min，进而问题可求解．
【详解】解：由题意及图象可得：小辉家离图书馆的距离为1500m，从小辉家到图书馆所用的时间为20min，从图书馆到小辉家的所用的时间为70-55=15min，
∴小辉从家去图书馆的速度为1500÷20=75m/min；
从图书馆回家的速度为1500÷15=100m/min；
故选C．
【点睛】本题主要考查函数图象，解题的关键是由函数图象得到解题的相关信息．
二.填空题（每题3分，共30分）
11. 将数6 260 000科学记数法表示为__________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法是把一个数写成的形式，其中为整数，据此即可表示.
【详解】解：6260000用科学记数法可表示为，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，准确掌握科学记数法的表示方法是解题的关键.
12. 在函数中，自变量的取值范围是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件及函数的概念可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
，解得：，
∴在函数中，自变量的取值范围是；
故答案为．
【点睛】本题主要考查分式有意义的条件及函数，熟练掌握分式有意义的条件及函数是解题的关键．
13. 把多项式分解因式的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式a，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用乘法公式解题关键．
14. 计算的结果是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的性质，先化简各个二次根式，再合并同类二次根式，即可求解．
【详解】解：原式=
=．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质和运算法则，解题的关键是掌握二次根式的性质以及合并同类二次根式．
15. 不等式组的解集是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．
分别求解两个不等式，再根据口诀写出解集即可．
详解】解：，
由①可得：，
由②可得：，
∴原不等式组的解集为．
故答案为：．
16. 若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x+m+1=0的一个解，则m的值为______．
【答案】1
【解析】
【详解】试题分析：将x=﹣1代入方程得：1﹣3+m+1=0，解得：m=1．
考点：一元二次方程的解．
17. 在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为_______________度.
【答案】或
【解析】
【分析】当为直角三角形时，有两种情况或，依据三角形内角和定理，结合具体图形分类讨论求解即可.
【详解】解：分两种情况：
①如图1，当时，
∵，
∴；
②如图2，当时，
∵，，
∴，
∴，
综上，则的度数为或；
故答案为或；
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及数学的分类讨论思想，能够正确进行分类是解题的关键.
18. 观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第8个图形共有_______枚五角星
【答案】25
【解析】
【详解】根据规律可知：第n个图形有3n+1个★，
所以第8个图形共有3×8+1=25个★．
故答案为：25
19. 如图，菱形的对角线相交于点O，点E在上，连接，点F为的中点，连接，若，，，则线段的长为___________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据中位线性质，求出OF的长．
【详解】已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，
∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，
∵OE=3，OA=4，
∴根据勾股定理得，
∵AE=BE，
∴，
在Rt△AOB中，
即菱形的边长为，
∵点F为的中点，点O为DB中点，
∴ ．
故答案为
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键．
20. 如图，点D在的边上，，过点 D 作直线交于点 E，交的延长线于点 F，，，，，则的长为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形．
连接，过点E作，交于点G，过点D作于点H，通过证明，得出，，，进而得出，根据，推出，则，则，根据勾股定理求出，用面积法，再根据勾股定理求出，，即可解答．
【详解】解：连接，过点E作，交于点G，过点D作于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
∴，即，
∵，，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
根据勾股定理可得：，
∵，
∴，即，
解得：，
根据勾股定理可得：，，
∴，
故答案为：．
三. 解答题（60分）
21. 先化简，再求代数式 的值，其中 ．
【答案】；
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化；先对给出的代数式进行化简，然后将给定的值 代入化简后的表达式中求值．代数式的化简主要涉及分式的运算，包括加减、乘除和通分等步骤．
【详解】解：原式
∵：
∴原式
22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，ΔABC的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将ΔABC向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到；（点的对应点是点，点的对应点是点，点的对应点是点），请画出；
（2）在方格纸中画出以为斜边的等腰直角三角形（点在小正方形的顶点上）．连接，请直接写出线段的长．
【答案】（1）图见详解；（2）图见详解，
【解析】
【分析】（1）根据题中所给的平移方式可直接进行作图即可；
（2）由等腰直角三角形的性质可直接进行作图，然后结合图形及勾股定理得出的长．
【详解】解：（1）由题意可得如图所示：
（2）由题意可得如图所示：
由图可得：．
【点睛】本题主要考查平移、等腰直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握平移、等腰直角三角形的性质及勾股定理是解题的关键．
23. 高远中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活动，围绕冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种?（必选且只选一种）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调查人数的．
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生?
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若高远中学共有2400名学生，请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名?
【答案】（1）在这次调查中，一共抽取了名学生
（2）见解析 （3）该中学最喜欢高山滑雪的学生共有名
【解析】
【分析】本题主要考查条形统计图以及用样本估计总体数量，根据统计图准确找出相关数据，是解题的关键．
（1）用喜欢短道速滑的学生人数对应的百分比，即可求解；
（2）先求出喜欢冰壶的学生人数，再补全统计图即可；
（3）用最喜欢高山滑雪的比例，即可求解．
【小问1详解】
解：由条形统计图可知最喜欢短道速滑的学生有人，
最喜欢短道速滑的学生人数占所调查人数的，
这次调查中，一共抽取学生名；
【小问2详解】
解：由（1）可得：最喜欢冰壶的学生有(名)，
补全条形统计图如下：
【小问3详解】
解：由条形统计图可得：
该中学最喜欢高山滑雪的学生共有（名）．
24. .已知：在矩形中，对角线，于点，于点；
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，连接.，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形面积的.
【答案】（1）详见解析；（2）面积的面积的面积的面积矩形面积的．
【解析】
【分析】（1）结合矩形的性质和已知条件可证，根据全等三角形对应边相等即知，此题得证；（2）可利用直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半确定三角形的面积与矩形的面积之间的等量关系..
【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴， ，，
∴，
∵于点，于点，
∴，
在和中，，
∴，
∴；
（2）解：的面积的面积的面积的面积矩形面积的．
理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴的面积矩形的面积，
∵，
∴的面积矩形的面积；
作于，如图所示：
∵，
∴，
∴的面积矩形的面积，
同理：的面积矩形的面积．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，灵活应用矩形的性质证全等，熟练掌握直角三角形角的性质是解题的关键.
25. 寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用，若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋?
【答案】（1）每副围棋16元，每副中国象棋10元；（2）最多可以购买25副围棋；
【解析】
【分析】（1）可设每副围棋元，每副中国象棋元，根据“若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元”可列出关于x,y的二元一次方程组，用消元法解之即可.（2）由（1）可知一副围棋和象棋的价格，可设购买围棋副，“购买围棋和中国象棋共40副”,知购买象棋副，根据“总费用不超过550元”可列出关于z的一元一次不等式组，求出z的解集，取最大值即可.
【详解】解：（1）设每副围棋元，每副中国象棋元，
根据题意得：，
∴，
∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；
（2）设购买围棋副，则购买象棋副，
根据题意得：，
∴，
∴最多可以购买25副围棋；
【点睛】本题考查了二元一次方程组及一元一次不等式的实际应用，理解题意，找准题中等量关系是解题的关键.
26. 中，．
（1）如图， 求证： ；
（2）如图， 点位置如图所示，，连接AD，求证：；
（3）如图，在（）的条件下，点 在 上，连接，， 若 ，， 求AB的长．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（）过点作于，得到为等腰直角三角形，进而得到，，结合，得到，为等腰直角三角形，即可求证，
（2）在BD上取，由，，得到为等腰直角三角形，进而得到，，，，进而得到，，结合，即可求证，
（3）在上取，连接，作，由，结合，得到，
结合，，，得到，，设，，结合，得到，由，，得到，，，代入解得：，，，，，结合即可求解，
本题考查了，勾股定理，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．
【小问1详解】
证明：如图，过点作于，则，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，在BD上取，连接，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：如图，在上取，连接，作于，
∵，
∴，
由（2）可知，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
设，
在中，，
∵，由（2）得，
∴，解得：，
∵，，
∴，
∴，即：，即：，
整理得：，即：，
∴，解得：，或（舍），
∴，，，
∴，，
∴．
27. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，．
（1）如图1， 求 k值；
（2）如图2，点 C在 y轴正半轴上，，过点C作的垂线交x轴于点 D，点 E为垂足， 点 P在的延长线上，点P 的横坐标为t，连接，， 的面积为S，求S与t之间的函数关系式，不要求写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点 F在上， 连接，，若，求t值 ．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据直线，得到，，利用勾股定理得到，再根据建立等式求解，即可解题；
（2）证明得到，，过点作于点，利用等面积法得到，进而得到点坐标，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到，最后利用三角形面积公式求解，即可解题；
（3）结合勾股定理和全等三角形性质证明，得到，作轴于点，延长交于点，过点作于点交于点，证明，推出，证明，推出，，证明得到，，再证明利用相似三角形性质建立方程求解，即可解题．
【小问1详解】
解：直线交x轴负半轴于点A，交y轴于点B，
当时，，
，
当时，，
，
，
，
，
解得，
经检验是方程的解，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
，
，，
过点作于点，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
当时，，即，
，
点P 的横坐标为t，
，
；
【小问3详解】
解：，，
，
，
，
，
，
，
，
作轴于点，延长交于点，过点作于点交于点，
易得，
，
，
，
解得，
，
，
，
，
记交于点，
有，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
解得，
经检验是该方程的解．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴交点，全等三角形性质和判定，相似三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于灵活运用相关定理解决问题．