专题06 数列-2024年高考数学一模试题分类汇编学案（山东专用）（原卷版+解析版）

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命题方向
模拟演练
等差数列的基本量运算
1．（2024·山东潍坊·一模）已知等差数列的前n项和为，则（ ）
A．6B．7C．8D．10
【答案】C
【解析】因为数列为等差数列，则，
又，则，即，则.故选：C
2．（2024届山东省滨州市一模联考数学试题）已知等差数列的前项和为，，，则（ ）
A．6B．7C．8D．10
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，由，，得，
解得，所以.故选：C
3．（2024·山东济宁·一模）已知等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．14B．16C．18D．20
【答案】D
【解析】设数列的公差为，由，，
得，解得，
所以.故选：D.
4．（2024·山东聊城·一模）记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．3B．5C．7D．10
【答案】B
【解析】等差数列的前项和为，则，故，
，故，
由得，故选：B
5．（2024·山东临沂·一模）已知等差数列的前项和为.若，则（ ）
A．1012B．1013C．2024D．2025
【答案】A
【解析】由等差数列的通项公式可得：，且，
所以.故选：A.
6．（2024·山东青岛·一模）记正项等差数列的前n项和为，，则的最大值为（ ）
A．9B．16C．25D．50
【答案】C
【解析】∵，
又∵，∴，当且仅当时，取“=”
∴的最大值为25.故选：C
等比数列的基本量运算
7．（2024·山东潍坊·一模）已知数列满足，．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】依题意，，，当时，，则，
所以
.故选：A
8．（2024·山东聊城·一模）已知数列满足，则“ ”是“ 是等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】当时，因为，所以，
又，则，则，
依次类推可知，故，
则是首项为，公比为的等比数列，即充分性成立；
当是等比数列时，因为，所以，
当时，，则是公比为的等比数列，
所以，即，
则，，，
由，得，解得，不满足题意；
当，即时，易知满足题意；
所以，即必要性成立.
故选：C.
9．（2024·山东淄博·一模）已知等比数列共有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则公比q= .
【答案】2
【解析】依题意，，即，
而，所以.
数列中的新定义
10．（2024·山东烟台·一模）给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（ ）
A．存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．对任意，总存在，使得
D．对任意，总存在，使得
【答案】BC
【解析】对于A，由，得，显然有最小值4，无最大值，
因此不存在，使得恒成立，A错误；
对于B，由选项A知，，则，
显然当时，恒成立，B正确；
对于C，由，得，
当时，
即，
于是，
两式相减得，
因此，显然满足上式，则，由，
得数列是递增数列，有最小值1，无最大值，
从而对任意，总存在，使得，C正确；
对于D，，由选项C得，
显然数列是递减数列，，因此对任意，不存在，使得成立，D错误.
故选：BC
11．（2024·山东泰安·一模）已知各项均不为0的递增数列的前项和为，且（，且）．
(1)求数列的前项和；
(2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“-数列”．证明：
①对任意且，存在“-数列”，使得成立；
②当且时，不存在“-数列”，使得对任意正整数成立．
【解】（1），
各项均不为0且递增，
，
，
，
，
化简得，
，
，
，
，
，
为等差数列，
，
，
；
（2）①证明：设“G-数列”公比为，且，
由题意，只需证存在对且成立，
即成立，
设，则，
令，解得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
，
，
存在，使得对任意且成立，
经检验，对任意且均成立，
对任意且，存在“G-数列”使得成立；
②由①知，若成立，则成立，
当时，取得，取得，
由，得，
不存在，
当且时，不存在“G-数列”使得对任意正整数成立．
12．（2024·山东青岛·一模）记集合无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，．
(1)若，用表示；
(2)证明：；
(3)若，，，证明：．
【解】（1）因为
，
且，
所以，由可得，
所以.
（2）因为，
所以
又因为
所以，
所以.
（3）对于，
因为，
所以，
所以，
所以，
，
所以，
.
数列（解答题）
13．（2024·山东日照·一模）己知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，成等差．
(1)求及的通项公式；
(2)记集合的元素个数为，求数列的前50项和．
【解】（1）因为，，成等差，则，且，
当时，可得，解得或（舍去）；
当时，可得，
两式相减得，整理得，
且，则；
可知数列是以首项为1，公差为1的等差数列，所以.
（2）因为，由（1）可得，即，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
可知；
当时，因为，
所以；
综上所述：.
所以数列的前50项和为.
14．（2024·山东菏泽·一模）已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，，求证：．
【解】（1）由①，
当时，解得，
当时，②，
①-②，得，
数列是以首项为，公比为的等比数列，
．
经验证符合上式，所以．
（2）由（1）知，
，．
则，
故
，
所以，，，
故.
数列
等差数列的基本量运算
等比数列的基本量运算
数列中的新定义
数列（解答题）